指数函数及其性质练习题

课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。

2.1.2 指数函数及其性质知识清单1．指数函数的概念一般地，______________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a<1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性 质 过定点过点______，即x ＝____时，y ＝____函数值 的变化 当x >0时，______； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性是R 上的________是R 上的________基础练习一、填空题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号)①y ＝(－4)x ；②y ＝πx ；③y ＝－4x ；④y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)． 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为________． 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是________．(填序号)4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)＝________.5．如图是指数函数 ①y ＝a x ； ②y ＝b x ； ③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________．6．函数y ＝(12)x －2的图象必过第________象限．7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件为________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 二、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期.(1) (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是________．(填序号)13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．能力提升一、填空题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________． 2．函数y ＝16－4x 的值域是________．3．函数y ＝a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数；②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数； ③f (x )与g (x )均为奇函数；④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________． 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．二、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填序号)13．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.知识清单1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 基础练习 1．②解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数． 2．2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 3．②解析 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．4．－19解析 当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.5．b <a <1<d <c解析 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系． 6．二、三、四解析 函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象可知．7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考察函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭1.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50 000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交． 12．①解析 由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．能力提升 1．Q P解析 因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P . 2．[0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)． 3．3解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 4．②解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．5．f (x )＝－e －x －2解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2. 6．c <a <b解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b . 7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得()12g x<()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增，∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g (22)<g (2)． ∴f (x )min ＝g (1)＝2， f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]． 12．①解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除③、④.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x>12x>0,22x－12x>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++ ＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。

指数函数培优经典题指数函数是数学中常见的一种函数类型，它具有多种应用和特性。

本文将介绍一些指数函数的经典题目，帮助读者加深对该函数的理解和应用能力。

问题一：指数函数的定义与性质1.1 定义：指数函数是以底数为常数、指数为自变量的函数形式，可以表示为$f(x) = a^x$，其中$a$为底数。

1.2 性质：指数函数具有以下几个重要性质：- 当$a。

0$且$a \neq 1$时，函数图像上升，且过点$(0,1)$；- 当$a < 0$且$a \neq 1$时，函数图像下降，且过点$(0,1)$；- 当$a。

1$时，函数图像右移，且整体上升趋势；- 当$0 < a < 1$时，函数图像右移，且整体下降趋势；- 当$a < 0$时，指数函数在整数域上没有定义。

问题二：指数函数的应用题2.1 指数函数的增长与衰减假设某种细菌的个数随时间的变化服从指数函数规律，已知该种细菌在初始时刻有1000个，经过2小时后，细菌的个数减少到800个。

求该细菌的指数函数表达式。

解答：根据题意，我们可以列出以下方程：$800 = 1000 \cdot a^2$将方程两边同时除以1000，得到：$\frac{800}{1000} = a^2$化简得：$0.8 = a^2$开平方得：$a = \pm \sqrt{0.8}$由于细菌个数不能为负数，所以$a = \sqrt{0.8}$，即指数函数的表达式为$f(x) = \sqrt{0.8}^x$。

2.2 指数函数与复利计算假设某人将元存入银行，年利率为4%，每年复利一次。

求多少年后该人的存款将翻倍？解答：根据复利计算公式，我们可以列出以下方程：$ = \cdot (1 + 0.04)^n$将方程两边同时除以，得到：$2 = (1 + 0.04)^n$化简得：$\log_{1.04}(2) = n$通过计算，约得到$n \approx 17$。

所以，该人的存款将在大约17年后翻倍。

高中数学《指数函数图像与性质》精选练习（含详细解析）一、选择题1.函数y=的定义域为( )A.RB.(-∞,+∞)C.(-∞,0)D.{x|x≠0,x∈R}2.定义运算:a·b=则函数f(x)=1·2x的图象大致为( )3.若函数y=(1-a)x是实数集R上的减函数,则实数a的取值范围是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(-2,0)D.(0,2)4.下列函数中,值域为的函数是( )A.y=B.y=C.y=D.y=5.若函数f=a x-1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a等于( )A.1B.C.1或D.26函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b均为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<02.已知实数a,b满足等式2a=3b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中可能成立的关系式有( )A.①②③B.①②⑤C.①③⑤D.③④⑤二、填空题7.若函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,则a= .8.函数y=2a x-2+1(a>0,且a≠1)的图象过定点.9.当x>0时,函数f(x)=的值总是大于1,则a的取值范围是. 【补偿训练】当x<0时,函数y=(2a-1)x的值总小于1,则a的取值范围是.【解析】由题意,2a-1>1,所以a>1.答案:a>110已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a≠1),经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为.11.函数y=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],则实数a的取值范围为.三、解答题(每小题10分,共20分)12.求下列函数的定义域和值域:(1)y=-1.(2)y=.13已知函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.(1)求a的值.(2)求函数y=f(x≥0)的值域.14.若y=(a-3)(a-2)x是指数函数,求函数f(x)=的定义域与值域..15.已知函数f(x)=-1.(1)作出f(x)的简图.(2)若关于x的方程f(x)=3m有两个解,求m取值范围.(2).参考答案与解析1【解析】选D.因为2x-1≠0,所以x≠0.2【解析】选A.f(x)=3【解析】选B.由于函数y=(1-a)x是实数集R上的减函数,则有0<1-a<1,解得0<a<1.4【解析】选D.y=中y>0且y≠1,y=中y可以为0,y=中y>1.5【解析】选B.由题意知或解得a=.6【解析】选D.f(x)=a x-b的图象是由y=a x的图象平移得到的,由图象可知f(x)在R上是递减函数,所以0<a<1,由y=a x过点(0,1)得知y=a x的图象向左平移|b|个单位得f(x)的图象,所以b<0.7【解析】由指数函数的定义得解得a=1.答案:1【解析】令x-2=0,解得x=2,则y=3,所以过定点(2,3).答案:(2,3)【解题指南】指数函数只有底数大于1时,才会有x>0时,函数值总大于1.9【解析】由题意知,a2-1>1,即a2>2,解得a>或a<-.答案:a>或a<-10【解析】由已知得解得所以f(x)=+3,所以f(-2)=+3=4+3=7.答案:711【解析】由题意,当x≤0时,a x≥1,所以0<a<1.答案:0<a<1【误区警示】本题由x≤0时,a x≥1,易得出a>1的错误答案.12【解析】(1)要使y=-1有意义,需x≠0,则>0且≠1,故-1>-1且-1≠0,故函数y=-1的定义域为,函数的值域为(-1,0)∪(0,+∞).(2)函数y=的定义域为实数集R,由于2x2≥0,则2x2-2≥-2,故0<≤9,所以函数y=的值域为(0,9].13【解析】(1)函数图象经过点,所以a2-1=,则a=.(2)由(1)知函数为f(x)=(x≥0),由x≥0,得x-1≥-1.于是0<≤=2,所以函数的值域为(0,2].14【解析】因为y=(a-3)(a-2)x是指数函数,所以解得a=4,所以f(x)=,由x+2≠0,得x≠-2,所以f(x)的定义域是∪,令t=,所以t≠0,即f(x)≠1,所以f(x)的值域是∪15【解析】(1)f(x)=如图所示.作出直线y=3m,当-1<3m<0时,即-<m<0时,函数y=f(x)与y=3m有两个交点,即关于x的方程f(x)=3m有两个解。

指数函数图像和性质及经典例题指数函数图像和性质及经典例题【基础知识回顾】⼀、指数公式部分有理指数幂的运算性质（1）r a ·sr r a a += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rs s r a a=)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r ra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．正数的分数指数幂的意义)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm )1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm⼆、指数函数1.指数函数的概念:⼀般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是⾃变量，函数的定义域为R ．2.指数函数的图象和性质1．在同⼀坐标系中画出下列函数的图象：（1）x)31(y = （2）x)21(y = （3）x2y = （4）x3y = （5）x 5y =【指数函数性质应⽤经典例题】例1．设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数．证明：设121 2,,x x R x x ∈<，则12()()f x f x -1222()()2121x x a a =---++ 21222121x x =-++12122(22)(21)(21)x x x x -=++，由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <，所以1222xx< 即12220xx -<，⼜由20x>，得1120x +>，2120x +>，∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <，所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数．例2.已知函数2()1xx f x a x -=++(1)a >，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）⽅程()0f x =没有负数根．证明：（1）设121x x -<<，则1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++，∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<，∴12123()0(1)(1)x x x x -<++；∵121x x -<<，且1a >，∴12x xa a <，∴120xx a a-<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）假设0x 是⽅程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201x x a x -+=+，即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++，①当010x -<<时，0011x <+<，∴0331x >+，∴03121x ->+，⽽由1a >知01x a <，∴①式不成⽴；当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，⽽00x a >，∴①式不成⽴．综上所述，⽅程()0f x =没有负数根．针对性练习1. 已知函数f (x )=a x ＋b 的图象过点(1，3)，且它的反函数f －1(x )的图象过(2，0)点，试确定f (x )的解析式．2. 已知,32121=+-x x 求3212323++++--x x x x 的值．3. 求函数y =3322++-x x 的定义域、值域和单调区间．4. 若函数y =a 2x ＋b ＋1(a ＞0且a ≠1，b 为实数)的图象恒过定点(1，2)，求b 的值．5. 设0≤x ≤2，求函数y =1224221++?--a a xx 的最⼤值和最⼩值．针对性练习答案1解析：由已知f (1)=3，即a ＋b =3⼜反函数f －1(x )的图象过(2，0)点即f (x )的图象过(0，2)点．即f (0)=2 ∴1＋b =2b =1代⼊①可得a =2 因此f (x )=2x ＋1 2解析：由,9)(22121=+-x x可得x ＋x －1=7∵27)(32121=+-x x∴23121212333---++?+xx x xx x =27∴2323-+x x=18，故原式=23解析：(1)定义域显然为(－∞，＋∞)． (2)u y x x x x f u3.4)1(423)(22=∴≤--=-+== 是u 的增函数，当x =1时，y max =f (1)=81，⽽y =3223++-x x ＞0．∴]81,0(,3304即值域为≤．(3) 当x ≤1 时，u =f (x )为增函数，u y 3=是u 的增函数，由x ↑→u ↑→y ↑∴即原函数单调增区间为(－∞，1］；当x ＞1时，u =f (x )为减函数，u y 3=是u 的增函数，由x ↑→u ↓→y ↓∴即原函数单调减区间为［1，＋∞).4解析：∵x =－2b时，y =a 0＋1=2∴y =a 2x ＋b ＋1的图象恒过定点(－2b，2) ∴－2b=1，即b =－2 5解析：设2x =t ，∵０≤x ≤2，∴1≤t ≤4 原式化为：y = 21(t －a )2＋1 当a ≤1时，y min =942,2322max 2+-=+-a a y a a ；当1＜a ≤25时，y min =1，y max =2322+-a a ；当a ≥4时，y min =232,9422max 2+-=+-a a y a a ．。

2.1.2 指数函数及其性质(二)自主学习学习目标1．理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．基础自测1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x2. 指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1题型探究类型一 比较大小问题【例1】 比较下列各题中两个值的大小：(1)3π与33.14； (2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3.规律方法 比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．变式迁移1 比较⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412的大小．类型二 解简单的指数不等式【例2】 如果a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是____________．类型三 指数函数的最值问题【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值．规律方法 指数函数y ＝a x (a >1)为单调增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (0<a <1)为单调减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时，函数有最小值a t .变式迁移3 (1)函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值；(2)0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．课堂小结1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．当堂检测一、选择题1．下图分别是函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，a ，b ，c ，d 分别是四数2，43，310，15中的一个，则相应的a ，b ，c ，d 应是下列哪一组( )A.43，2，15，310B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43，2 2．已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a3．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12)4．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) A ．a a <a b <b a B ．a a <b a <a b C ．a b <a a <b a D ．a b <b a <a a5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x >14－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)二、填空题6．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是____________．7．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是____________．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是__________．三、解答题9．解不等式a x ＋5<a 4x －1 (a >0，且a ≠1)．10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.【参考答案】基础自测1．C 2.C 3.A 4.C题型探究【例1】 解 (1)构造函数y ＝3x .∵a ＝3>1，∴y ＝3x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵π>3.14，∴3π>33.14.(2)构造函数y ＝0.99x .∵0<a ＝0.99<1，∴y ＝0.99x 在(－∞，＋∞)上是减函数．∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11.(3)分别构造函数y ＝1.4x 与y ＝0.9x .∵1.4>1,0<0.9<1，∴y ＝1.4x 与y ＝0.9x在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数．∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，∴1.40.1>1>0.90.3，∴1.40.1>0.90.3.变式迁移1 解 将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412分成如下三类：(1)负数⎝⎛⎭⎫－233； (2)大于0小于1的数⎝⎛⎭⎫3412；(3)大于1的数⎝⎛⎭⎫4313，223.∵⎝⎛⎭⎫4313<413，而413＝223， ∴⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 【例2】 解 (1)当0<a <1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，x 的取值范围是：当0<a <1时，x ≥－6；当a >1时，x ≤－6.变式迁移2 (12，＋∞) 解析 a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1. ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数．∴x >1－x ，解得x >12. ∴x 的取值范围是(12，＋∞)． 【例3】 解 (1)①若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，最大值为a 2，最小值为a .∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去). ②若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，最大值为a ，最小值为a 2.∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)， 综上所述，所求a 的值为12或32. (2)设t ＝a x ，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，对称轴为t ＝－1.①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，∴0<1a≤t ≤a ； ∴y ＝(t ＋1)2－2当t ∈[1a，a ]时递增． 故当t ＝a 时，y max ＝a 2＋2a －1.由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去，∵a >1)．②若0<a <1，t ＝a x 在[－1,1]上递减，t ∈[a ，1a]， y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)． 综上，可得a ＝13或3. 变式迁移3 解 (1)∵f (x )＝a x 在[1,2]上是单调函数，∴f (x )在1或2时取得最值．∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3，∵a >0，∴a ＝2.(2)y ＝12·22x －3·2x ＋5＝12(22x －6·2x )＋5 ＝12(2x －3)2＋12. ∵x ∈[0,2]，1≤2x ≤4，∴当2x ＝3时，y 最小值＝12， 当2x ＝1时，y 最大值＝52. 当堂检侧1．C2．B 【解析】c <0，b ＝53>3,1<a <3，∴b >a >c .3．B 【解析】函数y ＝(12)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 4．C 【解析】由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .5．D 【解析】因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象知 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.6.⎣⎡⎦⎤－53，1 7．c >a >b 【解析】y ＝0.8x 为减函数，∴0.80.7>0.80.9，且0.80.7<1，而1.20.8>1，∴1.20.8>0.80.7>0.80.9.8．(－∞，－1)【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12得x ∈∅； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；因此当x <0时，由2x －1<－12得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．9．解 当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1.解得x >2；当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1.解得x <2.故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)； 当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)．10．(1)解 由2x －1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)解 由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12·(－x )3 ＝－⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3 ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明 当x >0时，12x －1>0，x 3>0， ∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.。

高中数学：指数函数的图像和性质练习及答案指数函数的图象与性质1.指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x在同一坐标系内的图象如图所示，则a、b、c、d的大小顺序是( )A．b<a<d<cB．a<b<d<cC．b<a<c<dD．b<c<a<d2.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝m x，②y＝n x的图象为( )A．B．C．D．3.函数y＝a x－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )A．B．C．D．4.把函数y＝f(x)的图象向左，向下分别平移2个单位，得到y＝2x的图象，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2x＋2＋2B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2D．f(x)＝2x－2－25.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )A．(0，1)∪(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，)6.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2a＋2c<4.指数函数的定义域7.已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是( ) A．(0，1)B．(2，4)C．(，1)D．(1，2)8.函数y＝的定义域是________．指数函数的值域9.函数y＝的值域为________．10.当x∈[0，1]时，函数f(x)＝3x＋2的值域为________．指数函数的性质11.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( ) A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数12.关于指数函数，有下列几个命题：①指数函数的定义域为(0，＋∞)；②指数函数的值域是不包括1的；③指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称；④指数函数都是单调函数．其中正确的命题有________(填写正确命题的序号)．13.指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)对于任意的x1、x2∈R，都有f(x1)f(x2)________f(x1＋x2)．(填“>”，“<”或“＝”)指数幂的大小比较14.a＝与b＝()5的大小关系是( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．大小关系不定15.设<()b<()a<1，那么( )A．a a<a b<b aB．a a<b a<a bC．a b<a a<b aD．a b<b a<a a16.设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( ) A．f()<f()<f()B．f()<f()<f()C．f()<f()<f()D．f()<f()<f()指数方程的解法17.集合M＝{3，2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N等于( )A．{0，1，2}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{1，2，3}18.方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝________.19.若方程()x＋()x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．指数不等式的解法20.已知不等式为≤3x<27，则x的取值范围( )A．－≤x<3B．≤x<3C．RD．≤x<21.已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( ) A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<122.不等式<2－2x的解集是________．指数函数的单调性23.函数y＝的递减区间为( )A．(－∞，－3]B．[－3，＋∞)C．(－∞，3]D．[3，＋∞)24.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( ) A．(，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，)D．(－，)25.已知函数f(n)＝是增函数，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B．(7，8)C．[7，8)D．(4，8)26.函数y＝的递增区间是________．27.已知函数f(x)＝.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．指数函数的最值28.已知函数y＝ax(a>1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为( ) A．B．2C．3D．429.已知函数y＝9x－2·3x－1，求该函数在区间x∈[－1，1]上的最大值和最小值．30.已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]．(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值．与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y＝的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )A．2B．C．D．a233.函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．答案1.指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x在同一坐标系内的图象如图所示，则a、b、c、d的大小顺序是( )A．b<a<d<cB．a<b<d<cC．b<a<c<dD．b<c<a<d【答案】A【解析】作直线x＝1与各图象相交，交点的纵坐标即为底数，故从下到上依次增大．所以b<a<d<c.故选A.2.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝m x，②y＝n x的图象为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由1>n>m>0可知①②应为两条递减指数函数曲线，故只可能是选项C或D，进而再判断①②与n和m的对应关系，不妨选择特殊点，令x＝1，则①②对应的函数值分别为m和n，由m<n知选C.故选C.3.函数y＝a x－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当a>1时，y＝a x－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.当0<a<1时，y＝a x－为减函数，且在y轴上的截距为1－<0，故选D.4.把函数y＝f(x)的图象向左，向下分别平移2个单位，得到y＝2x的图象，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2x＋2＋2B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2D．f(x)＝2x－2－2【答案】C【解析】y＝2x向上，向右分别平移2个单位得f(x)的图象，所以f(x)＝2x－2＋2.5.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )A．(0，1)∪(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，)【答案】D【解析】方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y＝|a x－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<.②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．综上，0<a<.6.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2a＋2c<4.【答案】(1)f(x)＝其图象如图所示．(2)证明由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a<2，2c≤2，所以2a＋2c<4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，即2c－1＋2a－1<2，所以2a＋2c<4.综上知，总有2a＋2c<4.7.已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是( )A．(0，1)B．(2，4)C．(，1)D．(1，2)【答案】A【解析】根据题意可知1<2x<2，则0<x<1，所以函数f(2x)的定义域是(0，1)．8.函数y＝的定义域是________．【答案】(－∞，]【解析】要使函数y＝有意义，则必须()3x－1－≥0，即()3x－1≥()3，∴3x－1≤3，解得x≤.∴函数y＝的定义域是(－∞，]．故答案为(－∞，]．9.函数y＝的值域为________．【答案】[0，4)【解析】∵2x>0，∴0≤16－2x<16，则0≤<4，故函数y＝的值域为[0，4)．10.当x∈[0，1]时，函数f(x)＝3x＋2的值域为________．【答案】[3，5]【解析】因为指数函数y＝3x在区间[0，1]上是增函数，所以30≤3x≤31，即1≤3x≤3，于是1＋2≤3x＋2≤3＋2，即3≤f(x)≤5.11.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数【答案】B【解析】因为f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.12.关于指数函数，有下列几个命题：①指数函数的定义域为(0，＋∞)；②指数函数的值域是不包括1的；③指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称；④指数函数都是单调函数．其中正确的命题有________(填写正确命题的序号)．【答案】③④【解析】①指数函数的定义域为R，故①错误；②指数函数的值域是(0，＋∞)，故②错误；③∵f(x)＝()x＝2－x，∴指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称，故③正确；④当a>1时，y＝ax是增函数；当0<a<1时，y＝ax是减函数，所以指数函数都是单调函数，故④正确．故答案为③④.13.指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)对于任意的x1、x2∈R，都有f(x1)f(x2)________f(x1＋x2)．(填“>”，“<”或“＝”)【答案】＝【解析】∵对于指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)，任意取x 1、x2∈R，有f(x1)f(x2)＝＝＝f(x1＋x2)．故答案为＝.14.a＝与b＝()5的大小关系是( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．大小关系不定【答案】A【解析】考察函数y＝()x与y＝()x知，前者是一个增函数，后者是一个减函数，∴>()0＝1，()5<()0＝1，∴>()5，即a>b，故选A.15.设<()b<()a<1，那么( )A．a a<a b<b aB．a a<b a<a bC．a b<a a<b aD．a b<b a<a a【答案】C【解析】∵<()b<()a<1，且y＝()x在R上是减函数．∴0<a<b<1，∴指数函数y＝a x在R上是减函数，∴a b<a a，∴幂函数y＝x a在R上是增函数，∴a a<b a，∴a b<a a<b a，故选C.16.设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( ) A．f()<f()<f()B．f()<f()<f()C．f()<f()<f()D．f()<f()<f()【答案】B【解析】∵y＝f(x＋1)是偶函数，故函数的图象关于直线x＝1对称，则f()＝f()，f()＝f()，又∵当x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，且<<，故f()<f()<f()，即f()<f()<f()，故选B.17.集合M＝{3，2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N等于( )A．{0，1，2}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{1，2，3}【答案】D【解析】因为2是它们的公共元素，所以2a＝2，a＝1，b＝2，因此M∪N＝{1，2，3}，选D.18.方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝________.【答案】(3，0)，(2，2)【解析】方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13变形为3n(2m－3)＋2m＝13.(*)∵m，n为非负整数，∴当m＝0，1时，经验证无解，应舍去．当m＝2时，(*)化为3n＋22＝13，解得n＝2.此时方程的非负整数解为(2，2)．当m＝3时，(*)化为5·3n＋23＝13，即3n＝1，解得n＝0.当m≥4时，2m－3≥13，左边>右边，(*)无非负整数解．综上可知：方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝(3，0)，(2，2)．故答案为(3，0)，(2，2)．19.若方程()x＋()x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】令()x＝t，∵方程有正根，∴t∈(0，1)．方程转化为t2＋2t＋a＝0，∴a＝1－(t＋1)2.∵t∈(0，1)，∴a∈(－3，0)．20.已知不等式为≤3x<27，则x的取值范围( )A．－≤x<3B．≤x<3C．RD．≤x<【答案】A【解析】由题意可得≤3x≤33，再根据函数y＝3x在R上是增函数，可得－≤x<3，故选A.21.已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<1【答案】D【解析】∵f(－2)＝a2，f(－3)＝a3.f(－2)>f(－3)，即a2>a3，故0<a<1.选D.22.不等式<2－2x的解集是________．【答案】{x|x>3，或x<－1}【解析】原不等式化为<()2x，又y＝()x为减函数，故x2－3>2x，解得{x|x>3，或x<－1}．23.函数y＝的递减区间为( )A．(－∞，－3]B．[－3，＋∞)C．(－∞，3]D．[3，＋∞)【答案】B【解析】设u＝(x＋3)2，y＝()u，∵u＝(x＋3)2在(－∞，－3]上递减，在[－3，＋∞)上递增，而y＝()u在R上递减，∴y＝在[－3，＋∞)上递减．24.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( )A．(，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，)D．(－，)【答案】B【解析】由题意知函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.25.已知函数f(n)＝是增函数，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B．(7，8)C．[7，8)D．(4，8)【答案】D【解析】因为函数f(n)＝是增函数，所以解得4<a<8.26.函数y＝的递增区间是________．【答案】[2，＋∞)【解析】函数y＝的单调递增区间即为y＝x2－4x＋3的单调递增区间，∵y＝x2－4x＋3的单调递增区间为[2，＋∞)，故答案为[2，＋∞)．27.已知函数f(x)＝.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．【答案】(1)a＝1，得f(x)＝，∵∈(0，1)，∴f(x)的外层函数是一个递减的指数函数；令t＝x2－4x＋3，则其减区间为(－∞，2)，增区间为(2，＋∞)．∴f(x)的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)(2)∵f(x)有最大值为3，∈(0，1)，函数t＝ax2－4x＋3有最小值－1，∴函数t＝ax2－4x＋3在区间(－∞，)上是减函数，在区间(，＋∞)上是增函数由此可得，a>0且f()＝＝3，得－＋3＝－1，解之得a＝1.综上所述，当f(x)有最大值3时，a的值为1.28.已知函数y＝ax(a>1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为( ) A．B．2C．3D．4【答案】B【解析】y＝a x(a>1)在[1，2]上是增函数，最大值为a2，最小值为a1，所以a2－a1＝2，解得a＝2或a＝－1(舍)．29.已知函数y＝9x－2·3x－1，求该函数在区间x∈[－1，1]上的最大值和最小值．【答案】令3x＝t，∵－1≤x≤1，∴≤t≤3，∴y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2(其中≤t≤3)．∴当t＝1时(即x＝0时)，y取得最小值－2，当t＝3时(即x＝1时)，y取得最大值2. 30.已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]．(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值．【答案】(1)∵t＝3x在[－1，2]是单调增函数，∴t max＝32＝9，t min＝3－1＝.(2)令t＝3x，∵x∈[－1，2]，∴t∈[，9]，原方程变为：f(x)＝t2－2t＋4，∴f(x)＝(t－1)2＋3，t∈[，9]，∴当t＝1时，此时x＝0，f(x)min＝3，当t＝9时，此时x＝2，f(x)max＝67.题组10 与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y＝的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称【答案】A【解析】设函数y＝f(x)＝，则此函数的定义域为R.f(－x)＝＝＝－f(x)，故函数是奇函数，故它的图象关于原点O对称，故选A.32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )A．2B．C．D．a2【答案】B【解析】∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝.33.函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．【答案】(1)由已知得∴k＝1，a＝，∴f(x)＝2x.(2)函数g(x)为奇函数．证明：g(x)＝，其定义域为R，又g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．。

4.2.2 指数函数的图像和性质（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）函数e xy -=(e 是自然底数)的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案.【详解】解析 10ee e 0xxx x y x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪<⎩，，， 函数exy -=为偶函数，且过()0,1，e0xy -=>，函数在(),0∞-上递增，在()0,∞+上递减，故C 符合. 故选：C.2．（2022·全国·高一课时练习）函数①x y a =；②xy b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54313，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54313，12B 354，12，13C ．12，13354D ．13，12，543【答案】C【分析】由直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 即可求解. 【详解】解：直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而5113423>>>， 所以a ，b ，c ，d 的值分别是12，13，3，54，故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）函数327x y =- ） A ．(3⎤-∞⎦ B ．()3-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【答案】C【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案. 【详解】由题意得3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥． 故选：C.4．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()1232,1,,14,x x f x x x ⎧-⎪=⎨⎪<⎩则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-【答案】B【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域.【详解】当1x 时，32x y =-单调递增，值域为(]2,1-；当14x <时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2-. 故选：B5．（2022·全国·高一课时练习）若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．[1,1]-【答案】A【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可 【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--， 所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-， 因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数， 所以()f x 在R 上为增函数， 所以142x x +≥-，解得1≥x ， 故选：A.6．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知0.130.12,0.3,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】C【分析】根据指数函数的单调性比较大小．【详解】∵0.3x y =是减函数，30.10>>，所以30.10.30.31<<， 又0.121>， ∴b c a <<． 故选：C ．7．（2022·四川宜宾·高一期末）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．22a b > D ．a b >【答案】B【分析】根据给定条件，举例说明判断A ，C ，D ；利用指数函数单调性判断B 作答. 【详解】取1,2a b ==-，满足a b >，显然有11a b>、22a b <、a b <成立，即选项A ，C ，D 都不正确； 指数函数2x y =在R 上单调递增，若a b >，则必有22a b >，B 正确. 故选：B8．（2022·全国·高一专题练习）已知0.30.80.81.6, 1.6,0.7a b c ===，则（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．b c a >> D ．a b c >>【答案】A【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案. 【详解】解： 1.6x y =是增函数，故0.30.81.6 1.6a b =<=， 而0.30.81.610.7c >>=，故c a b <<. 故选：A.9．（2022·全国·高一课时练习）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值为（ ） A ．13B 3C 3D 33【答案】D【分析】分01a <<与1a >两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a 的值.【详解】当01a <<时，函数()xf x a =在[]22-,上为减函数， 则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=-+=+=，解得：33a =， 当1a >时，函数()xf x a =在[]22-,上为增函数， 则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=+-=+=，解得：3a =． 综上，33a =或3． 故选：D10．（2022·全国·高一）已知函数()()201xf x a a =-<<，则函数的图像经过（ ）．A ．第一、二、四象限B ．第二、三、四象限C ．第二、四象限D ．第一、二象限【答案】B【分析】根据指数函数的单调性和函数图象的平移变换即可得出结果. 【详解】因为01a <<，所以函数()x f x a =的图象经过一、二象限，又()2x f x a =-的图象是由()x f x a =的图象沿y 轴向下平移2个单位得到， 所以函数()2x f x a =-的图象经过二、三、四象限，如图，故选：B11．（2022·湖北武汉·高一期末）函数y x a =+与x y a =，其中0a >，且1a ≠，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据y x a =+单调递增可排除AC ，再根据y x a =+与y 轴交点位置可排除B. 【详解】0a >，则y x a =+单调递增，故排除AC ；对于BD ，x y a =单调递减，则01a <<，∴y x a =+与y 轴交于0和1之间，故排除B. 故选：D.12．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知130440.6,,5a b c a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．c b a << D ．a b c <<【答案】B【分析】根据中间值1比较大小即可.【详解】解：根据题意，01c a ==，134450.61,154a b -⎛⎫=<==> ⎪⎝⎭，所以a c b <<．故选：B ．二、多选题13．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()33x xf x -=-，则（ ）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【分析】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-得到()f x 的值域为R ，判断A 正确，D 错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B 选项，根据函数奇偶性定义判断得到C 选项.【详解】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-，所以()33x x f x -=-值域为R ，A 正确，D 错误； 因为()3x g x =是递增函数，而()3xh x -=-是递增函数，所以()33x x f x -=-是递增函数，B 正确；因为定义域为R ，且()()33x xf x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，C 正确；故选：ABC三、填空题14．（2022·全国·高一课时练习）若0a >且1a ≠，则函数()43x f x a -=+的图像恒过的定点的坐标为______．【答案】()4,4【分析】任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.【详解】令40x -=，得4x =，所以()0434f a =+=，所以函数()43x f x a -=+的图像恒过定点()4,4．故答案为：()4,415．（2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习）函数()42xf x a -=+（0a >且1a ≠）恒过一定点________ .【答案】()4,3【分析】令40x -=，求出x 的值后，再代入函数解析式，即可得解.【详解】令40x -=可得4x =，则()0423f a =+=，因此，函数()f x 的图象恒过定点()4,3.故答案为：()4,3.16．（2022·广东广州·高一期末）函数1()211xf x x =--的定义域为______． 【答案】[)()0,11,+∞【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由2101x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，因此定义域为[)()0,11,+∞.故答案为：[)()0,11,+∞.17．（2022·上海市延安中学高一期末）函数()23xy x =<的值域为___________.【答案】(0,8)【分析】根据指数函数的性质，结合自变量范围求值域. 【详解】由3x <，又2x y =递增， ∴函数值域为(0,8). 故答案为：(0,8).四、解答题18．（2022·河北·元氏县第四中学高一开学考试）已知函数21()2x f x -=．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （3）解不等式()f x 4≥．【答案】（1）R ；（2）详见解析；（3）{|3x x ≥或3}x ≤-. 【分析】（1）由指数函数的定义域可得解；（2）由()()f x f x -=可知函数为偶函数； （3）利用对数函数的单调性可知212242x-≥=，得212x -≥，从而得解.【详解】（1）易知函数()212x f x -=，x R ∈. 所以定义域为R . （2）由()()()221122x xf x f x ----===，从而知()f x 为偶函数；（3）由条件得212242x-≥=，得212x -≥，解得3x ≥或3x ≤-.所以不等式的解集为：{|3x x ≥或3}x ≤-.【点睛】本题主要考查了指数型函数的定义域，奇偶性及解指数不等式，属于基础题. 19．（2022·全国·高一课时练习）已知x 满足311x ≥+，求函数142x x y +=-的最大值及最小值． 【答案】max 8y =，min 1y =-【分析】先求x 的范围，再通过换元法求最值.【详解】由311x ≥+可得：201x x -≥+可得：(]1,2x ∈-，令2x t =，(]1,2x ∈-， 则()222(2)22211x x y t t t =-⨯=-=--，1,42t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当1t =即0x =时，min 1y =-；当4t =即2x =时，max 8y =．20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为7．(1)求a 的值；(2)证明：函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数． 【答案】(1)2a = (2)证明见解析【分析】（1）根据()1(1)xf x a a =+>单调性代入计算即可；（2）根据定义法证明函数为增函数即可. （1）因为()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上单调递增，所以函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为()()207f f +=，所以20117a a +++=，解得2a =±，又因为1a ＞，所以2a =． （2）由（1）知，()()()22x x F x f x f x -=--=-， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则 ()()()()1122122222x x x x F x F x ---=--- 1221112222x x x x =-+- 121221222222x x x x x x -=-+⋅()122112212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为12x x <，所以12220x x -<，211102x x ++>，所以()()120F x F x -<，即()()12F x F x <，所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数． 21．（2022·湖南·高一课时练习）在同一直角坐标系内作出函数3x y =与3x y -=的图象. 【答案】作图见解析【分析】直接在平面直角坐标系中作出两个指数函数的图象即可. 【详解】解：作出函数3x y =与3x y -=的图象如下图所示：22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩（1）在给出的坐标系中画出函数()f x 的图象． （2）根据图象写出函数的单调区间和值域．【答案】（1）图见解析；（2）函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞，单调递减区间为[0,)+∞，值域为(,1]-∞. 【解析】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出所求分段函数的图象； （2）根据图象观察可知即可得出结果.【详解】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩的图象为：（2）由函数的图像可知，函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞ 单调递减区间为[0,)+∞， 函数()f x 的值域为(,1]-∞23．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知定义域为R 的函数()2122x xf x a =-+是奇函数. (1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的R x ∈，不等式()()2240f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(2)函数在定义域内单调递增，证明见解析(3)()4242，-【分析】（1）由()f x 是奇函数可得()00f =，求出a 的值，再验证此时()f x 是奇函数； （2）()f x 先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数()f x 在R 上单调递增；（3）利用()f x 的奇偶性和单调性将不等式变成224x mx x ->--，再利用二次函数恒成立求出实数m 的取值范围. （1）因为函数的定义域为R ，所以()110012f a =-=+，∴1a =. 经检验当1a =时，有()()f x f x -=-，所以1a =.()211111111212212221x x x xf x +-=-=--=-+++， 函数在定义域内单调递增，证明如下：设12x x >，所以()()()()12212112112*********x x x x x x f x f x --=-=++++，因为1222x x >，所以()()12f x f x >，所以函数()f x 在R 上单调递增. （3）∵()f x 是奇函数，由已知可得()()()22244f x mx f x f x ->-+=--224x mx x ->--，则2240x mx -+>，∴∆<0，故24240m -⨯⨯<，4242m -<<.∴实数m 的取值范围为()4242，-. 24．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上最大值和最小值的和为12，令()3x x f x a =+．(1)求实数a 的值.(2)并探究()()1f x f x +-是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由； (3)解不等式：()()2121f x f x -+<． 【答案】(1)3a = (2)是定值，证明见解析 (3)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由单调性得最大值与最小值的和，从而求得a 值； （2）由（1）所得参数值，直接计算()(1)f x f x +-可得； （3）根据（2）的结果化简不等式求得1()2f x <，再解之可得． （1）因为函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上为单调函数，所以212a a +=，解得3a =或4a =-．因为0a >且1a ≠，所以3a =；由（1）得， ()333xx f x =+，所以()()1133331333333333x x x x x x x f x f x --+-=+=+++++⨯3313333x x x=+=++；（3）由（2）得，()()11f x f x -=-，且()0f x >，所以()()()2211f x f x f x <--=，所以 ()12f x <，所以31233x x<+，整理得，33x <，解得12x <， 所以原不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数1()323xx f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2()(2)4f a f a +->，则实数a的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(),2(1,)-∞-+∞ C ．()2,1- D ．(1,2)-【答案】B【分析】构造函数()()2g x f x =-，可证得()g x 是奇函数，且在R 上单调递增. 2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->，进而可解得结果.【详解】令1()()233xxg x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，（R x ∈），则()11()()23333xxxx g x f x g x --⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 是奇函数；又13,3xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭都是R 上增函数，所以()g x 在R 上单调递增.所以2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->，进而有()()22g ag a >-，所以220a a +->， 解得2a <-或1a >. 故选：B.2．（2022·全国·高一课时练习） 若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【分析】问题转化为13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在()0,+∞上能成立，根据右侧的单调性求值域，进而求参数范围.【详解】由题意知13xx a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞． 故选：C二、多选题3．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数()2+1x xf x a =（0a >，1a ≠），则下列说法正确的是（ ）A ．函数图象关于y 轴对称B ．函数的图像关于(0,0)中心对称C ．当1a >时，函数在(0,)+∞上单调递增D ．当01a <<时，函数有最大值，且最大值为2a 【答案】AD【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.【详解】()2+1x xf x a=的定义域为{}0x x ≠，当0x ≠时，则()()22+1+1==()x x xxf x aaf x ---=，故()f x 是偶函数，因此图象关于y 轴对称，故A 正确，B 错误， 当0x >时，()2+11x x xxf x a a+==，令1u x x=+，则()u f u a =， 当1a >时，()u f u a =单调递增，1u x x=+在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，由复合函数的单调性可知:()2+11x x xxf x a a+==在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故C 错误，当01a <<时，当0x >时， 由于()uf u a =单调递减，1u x x=+在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故()2+11x x x x f x a a +==在01x <<上单调递增，在1x >上单调递减，故当1x =时，()f x 取最大值，且最大值为2(1)f a =，当0x <时，由于()f x 是偶函数，故最大值为()21f a -=，故D 正确，故选：AD4．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【分析】首先换元，设3x t =，[]1,1x ∈-，()2224212y t t t =-+=--+，再结合复合函数的单调性，判断AB ；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD.【详解】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确． 故选:ACD ．三、填空题5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，若对任意的[1,1]x ∈-，2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立，则实数k 的取值范围为_______.【答案】11k ≥【分析】由2(2)0xxk f ⋅-≥得(2)2x xf k ≥使得不等式一边是参数k ，另一边是不含k 关于x 的式子，分离参数.【详解】由83y x x=+为奇函数，可得其图像关于(0,0)对称，所以f x （）的图像关于(0,)a 对称，由题目可知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，可得12a =-， 对任意的[1,1]x ∈-，2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立8[1,1],2(3212)02x x xx k ⇔∀∈-⋅-⋅+-≥恒成立， 即8232122x xxk ⋅≥⋅+-在[1,1]x ∈-恒成立， 所以28123(2)2x x k ≥-+，令12x t =，由[1,1]x ∈-，可得1[,2]2t ∈， 设2233()81238()42h t t t t =-+=--，当2t =时，h t （）取得最大值11， 所以k 的取值范围是11k ≥. 故答案为：11k ≥.【点睛】①分离参数法：遇到类似()()k f x g x ⋅≥或()()k f x g x +≥等不等式恒成立问题，可把不等式化简为()k h x ≥或()k h x ≤的形式，达到分离参数的目的，再求解y h x =（）的最值处理恒成立问题；②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.四、解答题6．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知实数a 大于0，定义域为R 的函数3()13x x af x a =++是偶函数.(1)求实数a 的值并判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)对任意的t ∈R ，不等式()()212f t f t m -≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1a =，()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析； (2)14m =.【分析】（1）利用偶函数的性质求a ，利用单调性的定义证明函数()f x 的单调性即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可. （1）因为()313x x a f x a =++为偶函数，且()3113133x x x xa f x a a a ---=++=+⋅+⋅，所以()()f x f x =-，解得1a =±，又0a >，所以1a =,()1313xx f x =++；设120x x >>，则()()()121212121211131313313333x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭，因为120x x >>，所以12330x x ->，1212121133101103333x xx x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅，所以()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()()212f t f t m -≥-，所以212t t m -≥-，平方得()22344140t m t m +-+-≥，又因为对任意R t ∈不等式恒成立，所以()()224443140m m ∆=--⨯⨯-≤，解得14m =. 7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a = (2)()1,1- (3)10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用函数是奇函数(0)0f =求解a 即可．（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可． （1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =， 当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =； （2）由（1）可得()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，因为20x >，可得211x +>，所以10121x<<+， 所以22021x-<-<+， 所以211121x-<-<+， 所以函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()220x mf x +->可得()22xmf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t t t m t -=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥， 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【答案】(1)103a b += (2)36t <【分析】（1）将点M N 、代入函数()f x ，即可求出a b 、的值，则可求出答案；（2）当3x ≤-时，函数11xy a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方可等价于当3x ≤-时，不等式13203x x t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，利用参变分离可得当3x ≤-时，min1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，易知函数1323x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，由此即可求出答案. （1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=； （2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．9．（2022·全国·高一单元测试）已知指数函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图像过点3,8⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)设函数()()1=-g x f x ，求()g x 的定义域；(2)已知二次函数()h x 的图像经过点()0,0，()()121+=-+h x h x x ，求函数()()f h x 的单调递增区间． 【答案】(1)[)0,+∞ (2)[)1,+∞【分析】（1）根据条件求出()f x 解析式，再列出不等式即可求得()g x 定义域. （2）由待定系数法求得()h x 解析式，再根据复合函数的单调性即可得到结果. （1）由题意知318a =，解得12a =，所以()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()112xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得0x ≥．所以()g x 的定义域为[)0,+∞．（2）设()()20h x mx bx c m =++≠，则()()()()()221112h x m x b x c mx m b x m b c +=++++=+++++，()()22121h x x mx b x c -+=+-++，由()()121+=-+h x h x x ， 得221m b b m b c c +=-⎧⎨++=+⎩，解得12m b =-⎧⎨=⎩，则()22h x x x c =-++， 又()00h c ==，所以()()22211h x x x x =-+=--+，所以()22h x x x =-+在[)1,+∞上单调递减，又()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，所以函数()()f h x 的单调递增区间为[)1,+∞．10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2x x a f x a =+．(1)求a 的值；(2)求证：()()1f x f x +-为定值； (3)求12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】(1)4a = (2)证明见解析 (3)100【分析】（1）函数x y a =在[]1,2上单调，得到220a a +=，排除5a =-，得到答案. （2）()442xx f x =+，代入数据计算得到()()11f x f x +-=，得到证明.（3）根据()()11f x f x +-=，两两组合计算得到答案. （1）解：因为函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，且函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上单调，所以当1x =和2x =时，函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上取得最值，即220a a +=， 解得4a =或5a =-（舍去），所以4a =． （2）解：由（1）知，4a =，所以()442xx f x =+，故()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅．（3）解：由（2）知，()()11f x f x +-=，因为12001201201+=，21191201201+=，，1001011201201+=， 所以12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12001192012012020121f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1001011100100201201f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()221x xf x a a =+-（0a >，且1a ≠），求函数()f x 在[)0,+∞上的值域．【答案】答案见解析．【分析】应用换元法，令x t a =则()()212g t t =+-，讨论1a >、01a <<，注意定义域的范围，结合二次函数性质判断g t 单调性，根据单调性求值域即可.【详解】令x t a =，则()f x 可化为()()222112g t t t t =+-=+-．当1a >，0x ≥时，1t ≥，又g t 在[)1,+∞上单调递增， ∴()()12g t g ≥=，即()2f x ≥；当01a <<，0x ≥时，01t <≤，又g t 在(]0,1上单调递增， ∴()12g t -<≤，即()12f x -<≤．综上，当1a >时，函数()f x 在[)0,+∞上的值域是[)2,+∞； 当01a <<时，函数()f x 在[)0,+∞上的值域是1,2．12．（2022·全国·高一课时练习）对于函数1()2(1)+=-x a f x a （0a >且1a ≠）．(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)当24a <<时，求函数()f x 在[][]3,11,3--⋃上的最大值和最小值． 【答案】(1)奇函数(2)最大值为11(1)12f a =+-，最小值为11(1)12f a -=---．【分析】（1）利用奇函数的定义判断可得答案；．（2）利用单调性的定义判断可得函数()f x 为减函数，再由奇偶性可得答案. （1）由题意得11()12x f x a =+-， 由10x a -≠，得0x ≠，∴函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称， 又11111()()121212x xx x a f x f x a a a --=+=+=--=----， ∴函数()f x 为奇函数； （2）任取1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x <，则()()12121111x x f x f x a a -=-=--()()211211x x x x a a a a ---，∵120x x <<，当24a <<时，2101x x a a a >>=， ∴120x x a a ->，110x a ->，210x a ->， ∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减．又函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，∴当24a <<时，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，(0,)+∞， 即函数()f x 在区间[1,3]和[3,1]--上单调递减． ∴当13x ≤≤时，max 11()(1)012f x f a ==+>-，min 311()(3)012f x f a ==+>-， 当31x -≤≤-时，max ()(3)(3)0f x f f =-=-<，min ()(1)(1)0f x f f =-=-<， ∴函数()f x 在[3,1][1,3]--上的最大值为11(1)12f a =+-， 最小值为11(1)12f a -=---． 13．（2022·湖南常德·高一期末）已知()12f x x x -=+-．(1)若0[1,1]x ∃∈-时，()00220x xf k -⋅≥，求实数k 的取值范围；(2)设()2xg x e =-若方程2(())30()kf g x k g x +-=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)(,1]-∞；(2)[14，＋∞）【分析】（1）将含参不等式，进行参变分离()212122x xk ≤+-，转换为二次函数求最值即可求函数最值，得k 的取值范围；（2）将原方程转换为()()22232120x x e k e k --+-++=，利用整体换元2xt e =-，结合二次函数的实根分布即可求解. (1)解： ()220xxf k -⋅≥即()2112222,1222x xx x xk k +-≥⋅≤+-，令11,222xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，记()221F t t t =-+． ∴()()max 21F t F ==，∴1k ≤ 即k 的取值范围是(,1]-∞． (2)解：由()22302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭得()1222302xx e e k k +-+-+=-， 即()()22232120x x e k e k --+-++=，且20xe -≠，令2x t e =-，则方程化为()()()2231200t k t k t -+++=≠．又方程2(2)302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，由2x t e =-的图象可知，()()()2231200t k t k t -+++=≠有两个根1t ，2t 且1202t t <<<或1202,2t t <<=．记()()()22312t t k t k ϕ=-+++，则(0)120(2)410k k ϕϕ=+>⎧⎨=-+<⎩ 或(0)120(2)41023022k k kϕϕ⎧⎪=+>⎪=-+=⎨⎪+⎪<<⎩，解得14k >或14k = 综上所述，k 的取值范围是[14，＋∞）．14．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()e e x x f x k -=+为奇函数． (1)求实数k 的值；(2)若对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使21()1e x t f x -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)1k =- (2)1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据奇函数满足()00f =求解即可；（2）将不等式转换为对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使1121e e ex xx t--≤-成立，根据单调性只需“对任意的[]20,1x ∈，21e e et t x t--≤-成立”，故考虑21ex t-的最小值，即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值，再分当12t ≥与12t 两种情况讨论即可 (1)（1）因为函数()e e x x f x k -=+为奇函数，故()00e e 010f k k =+=+=，故1k =-，此时()e e x x f x -=-为奇函数，故1k =- (2)因为e x y =为增函数，e x y -=为减函数，故()e e x xf x -=-为增函数，故“对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使1121e e ex x x t--≤-成立”，即“对任意的[]20,1x ∈， 21e e et tx t--≤-成立”，故考虑21ex t-的最小值，即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值.①当12t ≥时，2x t -在20x =时取最大值，故1e e e t tt -≤-，即2e 2t ≤，22ln t ≤，因为ln 2122<，故不成立； ②当12t时，2x t -在21x =时取最大值，11e e et tt --≤-成立，即2e 11e t -≤，即1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为111ln 22e 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭时满足条件. 综上所述，1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

指数函数的性质与图像练习题（1）1. 下列函数中，既是偶函数又在(−∞, 0)上是单调递减的是（ ）A.y ＝−cos xB.y ＝lg |x|C.y ＝1−x 2D.y ＝e −x2. 函数f(x)=cos x x 的图象大致为（ ）A. B.C.D.3. 指数函数y ＝a x 的图象经过点(3, 27)，则a 的值是（ ）A.3B.9C.D.4. 已知a ＝(35)−13，b =(35)−14，c ＝(23)−14，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.c <a <bB.a <b <cC.b <a <cD.c <b <a5. 若P =√2,Q =√6−√2，则P ，Q 中较大的数是________．6. 函数y =lg (4+3x −x 2)的单调增区间为________．7. 函数y =a x+1−2的图象恒过一定点，这个定点是________．8. 已知指数函数f(x)=(3m 2−7m +3)m x 是减函数，求实数m 的值．lg(x+1)的定义域为A，集合B={x||x|≤2}．9. 已知函数f(x)=√2−x(1)求A;(2)求A∩B.10. 已知函数f(x)＝x2+(1−a)x−a(a∈R)．（1）解关于x的不等式f(x)<0；（2）若∀a∈[−1, 1]，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案与试题解析指数函数的性质与图像练习题（1）一、选择题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）1.【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝−cos x，为偶函数，但在区间(−∞, 0)上不是单调函数，不符合题意；对于B，y＝lg|x|，既是偶函数又在(−∞, 0)上是单调递减，符合题意；对于C，y＝1−x2，为偶函数，但在区间(−∞, 0)上是增函数，不符合题意；对于D，y＝e−x，不是偶函数，不符合题意；2.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势．【解答】f(−x)=cos(−x)−x =−cos xx=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=π3时，f(π3)=12π3=6π3.【答案】A【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】指数函数的图象与性质【解析】根据指数函数的性质判断即可．【解答】y =(35)x 是减函数，故a ＝(35)−13>b =(35)−14，而b =(35)−14>c ＝(23)−14，故c <b <a ，二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）5.【答案】P【考点】利用不等式比较两数大小【解析】作差利用幂函数的单调性即可得出．【解答】P −Q =2√2−√6=√8−√6>0，∴ P >Q ．6.【答案】(−, 32] 【考点】复合函数的单调性【解析】函数y =lg (4+3x −x 2)的增区间即为函数y =4+3x −x 2的增区间且4+3x −x 2>0，由此即可求得．【解答】解：由4+3x −x 2>0，解得−1<x <4，所以函数的定义域为(−1, 4)．函数y =lg (4+3x −x 2)的增区间即为函数y =4+3x −x 2的增区间且4+3x −x 2>0， 因此所求增区间为(−1, 32]． 故答案为：(−1, 32]． 7.【答案】(−1, −1)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】令解析式中的指数x +1=0求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标．【解答】解：令x +1=0解得，x =−1，代入y =a x+1−2得，y =−1，∴ 函数图象过定点(−1, −1)，故答案为：(−1, −1)．三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）8.【答案】解：由题意得，得3m −7m +3=1，解得m =13或m =2， 又f(x)是减函数，则0<m <1，所以m =13．【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】由指数函数的概念得3m −7m +3=1，求出m 的值，再由指数函数的单调性和f(x)是减函数，对m 的值进行取舍．【解答】解：由题意得，得3m −7m +3=1，解得m =13或m =2，又f(x)是减函数，则0<m <1，所以m =13． 9.【答案】解：(1)据题意，得{x +1>0，2−x >0，∴ −1<x <2，∴ A =(−1,2)．(2)据(1)求解知 A =(−1,2)．又∵ B ={x||x|≤2}={x|−2≤x ≤2}，∴ A ∩B =(−1,2)．【考点】函数的定义域及其求法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)据题意，得{x +1>0，2−x >0，∴ −1<x <2，∴ A =(−1,2)．(2)据(1)求解知 A =(−1,2)．又∵ B ={x||x|≤2}={x|−2≤x ≤2}，∴ A ∩B =(−1,2)．10.【答案】不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，当a <−1时，不等式的解集为(a, −1)；当a ＝−1时，不等式的解集为⌀；当a >−1时，不等式的解集为(−1, a)．x 2+(1−a)x −a ＝−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)＝−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1, 1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1, 1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0， 即{x 2+2x +1≥0,x 2−1≥0,解得x ≥1或x ≤−1，所以x 的取值范围为{x|x ≤−1或x ≥1}．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，通过a 与−1的大小比较，求解即可．（2）x 2+(1−a)x −a ＝−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)＝−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1, 1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1, 1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，求解即可． 【解答】不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，当a <−1时，不等式的解集为(a, −1)；当a ＝−1时，不等式的解集为⌀；当a >−1时，不等式的解集为(−1, a)．x 2+(1−a)x −a ＝−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)＝−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1, 1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1, 1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0， 即{x 2+2x +1≥0,x 2−1≥0,解得x ≥1或x ≤−1，所以x 的取值范围为{x|x ≤−1或x ≥1}．。