201x版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.4 圆的基本性质导学案 沪科版

圆心角、弧、弦、弦心距间的关系教材分析：本课是沪科版九年级下册第24章第二节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。

主要研究弧，弦，圆心角的关系。

教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。

在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。

同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。

重点：圆心角、弧、弦之间的相等关系难点：从圆的旋转不变性出发，得到圆心角，弦，弧之间的相等关系。

目的分析：知识与技能目标：（1）让学生在实际操作中发现并理解圆的旋转不变性。

（2）结合图形让学生理解圆心角的概念，学会辨别圆心角。

（3）引导学生发现圆心角、弧、弦之间相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题。

过程与方法目标：培养学生观察，分析，归纳的能力，渗透旋转变化的思想及有特殊到一般的变化规律。

情感与态度目标：进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时对学生渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育。

教法分析：1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生又有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。

由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练构建学生头脑中新的知识网络。

2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。

这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。

九年级下册数学知识点归纳关于圆在九年级下册数学教材中，圆是一个重要的概念。

本文将对九年级下册数学中关于圆的知识点进行归纳总结。

1. 圆的定义圆是由平面内到一个确定点的距离恒等于一个常数的所有点组成的集合。

其中，距离常数称为圆的半径。

2. 相关概念- 圆心：圆心是圆上所有点到圆周上所有点的连线的中点。

- 圆心角：圆心角是由圆心所张的弧所对应的角度。

圆心角的度数等于所对应的弧所对应的角度。

- 弧长：弧长是弧上的一部分，它是由圆心角所线的弧所相应的圆周的长度。

- 弧度：弧度是用来表示所对应的圆心角的度量单位，它的定义是沿着圆周的一条弧所对应的圆心角的大小等于弧长与半径的比值。

- 弦：弦是圆上的两个点所确定的线段。

3. 圆的性质- 圆的半径相等：圆上任意两点到圆心的距离相等，即圆的半径相等。

- 弦的性质：等弧长的弦与半径所夹的圆心角相等；等圆心角的弦所夹的弧长相等。

- 弦长公式：已知圆的半径和所对应的圆心角的度数，可以用弧度制表示为l = rθ。

- 同弧度的弧长：在同一个圆中，如果两条弧所对应的圆心角相等，则它们所对应的弧长也相等。

- 圆的内角与弧度的关系：一个内角所对应的弧度等于一个外角所对应的弧度的补角。

- 圆的内接四边形：内接四边形的两个对角线相等。

- 正多边形的内角和：一个正n边形的内角和等于(n-2)×180°。

4. 圆与三角形的关系- 角平分线定理：圆上的角平分线上的点到圆心的距离等于圆上与该角相对的弧所对应的角度的一半。

- 弦切角定理：一个切线和被它所划分的弦与圆心的连线所夹的角相等。

- 直角三角形中圆的性质：在一个直角三角形中，三角形的斜边恰好是以三角形其他两边中点为圆心、斜边中点到圆心的距离为半径所描述的一个圆的圆周。

总结：通过九年级下册数学知识点的归纳，我们对于圆的相关概念、性质及其与三角形的关系有了更深入的了解。

这些知识点不仅在数学学科中有重要应用，还在日常生活中有很多实际应用，如建筑设计、测量等。

圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。

（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

（3）固定的端点O 叫做圆心。

（4）线段OA 的长为r 叫做半径。

2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。

（3）小于半圆的弧叫做劣弧。

（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）经过圆心的弦叫做直径。

4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。

考点2 点与圆的位置关系平面上一点P 与⊙O （半径为r ）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。

考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。

③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。

④平行弦夹的弧相等。

显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的
半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与点A′重合，点B与点B′重
合．因此，弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．
弧AB=弧A′B′，
AB A' B '.
归纳：
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的 弦心距也相等．
的其余各组量也相 等．
活动2：探究圆心角定理及其推论的应用 如图在⊙O中，弧AB=弧AC ，∠ACB=60°，求证： ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：∵ 弧AB=弧AC，
∴ AB=AC, △ABC等腰三角形．
又 ∵∠ACB=ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
课堂小结
定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦心距也相等．
推理： 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心 距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
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随堂训练
1. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
A
E
B
（1）如果AB=CD，那么___弧__A_B_=_弧__C_D，
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 同圆或等圆中，
圆心角_相__等__， 所对的弦___相__等___；
两个圆心角、两条 弧、两条弦、两条
弦心距中有一组量
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的 相等，它们所对应
圆心角_相__等___，所对的弧___相__等____．

圆的基本性质是初中数学九年级下学期第一章第一节的内容．需要掌握点与圆的位置关系，理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它们之间的关系，重点是这四者关系的灵活运用，以及垂径定理及其推论的应用．1、圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O为圆心的圆称为“圆O”，记作O．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．2、点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P在圆外时，d > R；当点P在圆上时，d = R；当点P在圆内时，0d R≤<．反之亦然．3、相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．圆的基本性质内容分析知识结构模块一：圆的确定知识精讲ABCD O【例1】 在平面直角坐标系内，A （3-，tan30-︒），B （2a a，0），A 的半径为4，试说明点B 与A 的位置关系．【难度】★ 【答案】点B 在A 外．【解析】由题意得33A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，()10B ，，所以()22373313AB ⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为4AB >，所以点B 在A 外．【总结】本题考察了点与圆的位置关系，设一个圆的半径长为R ，点P 到圆心的距离为 d ，则有以下结论：当点P 在圆外时，d > R ；当点P 在圆上时，d = R ；当点P 在 圆内时，0d R ≤<．反之亦然．【例2】 过一个点可以画______个圆，过两个点可以画______个圆，过三个点可以画______个圆．【难度】★【答案】无数；无数；一或零．【解析】不共线的三点才可以确定一个圆．【总结】本题考察了圆的确定，不共线的三点可以确定一个圆．【例3】 已知，如图，在O 中，AB 、BC 为弦，OC 交AB 于点D ．求证：（1）ODB OBD ∠>∠；（2）ODB OBC ∠>∠．【难度】★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵OA OB =，∴OAB OBA ∠=∠，∵ODB OAB AOD ∠=∠+∠，∴ODB OBA AOD ∠=∠+∠，∴ODB OBD ∠>∠．（2）∵OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠，∵ODB OCB DBC ∠=∠+∠，∴ODB OBC DBC ∠=∠+∠，∴ODB OBC ∠>∠．【总结】本题考查了圆的性质，利用外角是解决问题的关键．例题解析【例4】 如图，O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH = 9，A 、B 、C 为直线l 上的三个点，AH = 9，BH = 12，CH = 15，请分别说明点A 、B 、C 与O 的位置关系．【难度】★★【答案】A 在O 内；B 在O 上；C 在O 外． 【解析】连接OP ，∵15OP =，9OH =，∴2212PH OP OH =-=，∵9AH HP =<，∴A 在O 内； ∵12BH HP ==，∴B 在O 上； ∵12CH HP =<，∴C 在O 外．【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【例5】 若A （a ，27-）在以点B （35-，27-）为圆心，37为半径的圆上，求a 的值．【难度】★★ 【答案】2或72-．【解析】∵A 点在B 上，∴37BA =，即()()2235272737a ++-+=，解得12a =，272a =-．【总结】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题有两种解．【例6】 如图，作出AB 所在圆的圆心，并补全整个圆． 【难度】★★ 【答案】如图所示．【解析】在AB 上任意作两条弦，分别做两条弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心．【总结】本题考查了不共线三点定圆的作法．HOlP【例7】 如图，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点，且45EOD ∠=︒，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆交于B ，若AB = OC ，求EAD ∠的度数．【难度】★★★ 【答案】15EAD ∠=︒．【解析】∵AB OC =，OC OB =，∴AB OB =，∴EAD BOA ∠=∠， ∴2OBE BOA EAD EAD ∠=∠+∠=∠，∵OB OE =，∴E OBE ∠=∠，∴2OEB EAD ∠=∠， ∵345EOD OEA EAD EAD ∠=∠+∠=∠=︒， ∴15EAD ∠=︒．【总结】本题考查了同一个圆中半径处处相等及三角形外角的应用．【例8】 已知，如图，AB 是O 的直径，半径OC AB ⊥，过OC 的中点D 作EF // AB ．求证：12ABE CBE ∠=∠．【难度】★★★ 【答案】详见解析． 【解析】连接OE ，∵OC AB ⊥，EF //AB ， ∴OC EF ⊥，OBE DEB ∠=∠，∵OB OE =，∴OBE OEB ∠=∠，∴OBE OEB DEB ∠=∠=∠，∵D 为OC 的中点，∴1122OD OC OE ==，∴30OED ∠=︒，∴1152ABE OED ∠=∠=︒，∴451530CBE CBO ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴12ABE CBE ∠=∠．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形性质的综合运用．AB CDEOABC D E F O【例9】已知：AB是O的直径，点P是OA上任意一点，点C是O上任意一点．≤≤．求证：PA PC PB【难度】★★★【答案】详见解析．==，【解析】当P与O重合时，可得PA PC PB当P与O不重合时，连接OC，则OA = OC = OB，=-=-<，∴PA OA OP OC OP PC=+=+>，PB OP OB OP OC PC≤≤．综上可知PA PC PB【总结】本题考查了圆中半径处处相等，并利用三角形的三边关系解决问题．A BCO1、 圆心角、弧、弦、弦心距的概念圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角； 弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 2、 半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧：大于半圆的弧叫做优弧． 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A 、C 为端点的劣弧记作AC ，读作“弧AC ”； 以A 、C 为端点的优弧记作ABC ，读作“弧ABC ”． 3、 等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB 与''A B 是等弧，记作''AB A B ．半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆． 4、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．模块二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识精讲ABCO【例10】 下列命题中真命题的个数是（ ）① 相等的圆心角所对的弧也相等；② 在同圆中，如果两条弦相等，那么所对的弧也相等； ③ A 、B 是O 上任意两点，则AO + BO 等于O 的直径长； ④ 三角形的外心到三角形三边的距离相等． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★ 【答案】A ．【解析】① 需说明是在同圆或等圆中，故①错误；② 一条弦对两条弧，所以需要说明是优弧还是劣弧，故②错误； ③ 易知AO 、BO 均为圆的半径，所以AO BO +为直径，故③正确； ④ 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故④错误．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【例11】 一条弦把圆分成1 : 3两部分，则弦所对的圆心角为______°． 【难度】★ 【答案】90．【解析】∵一条弦把圆分成1 : 3两部分，∴整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360490︒÷=︒， ∴弦所对的圆心角为90︒．【总结】本题考查了同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．【例12】 如图，在O 中，AB AC =，70B ∠=︒，则BAC ∠=______． 【难度】★ 【答案】40︒．【解析】∵在O 中，AB AC =，∴C B ∠=∠，∵70B ∠=︒，∴18040BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用．例题解析ABCDO【例13】 如图，已知O 的半径是6，30BOD ∠=︒，BD BC =，CD =______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】∵BD BC =，30BOD ∠=︒，∴30BOD BOC ∠=∠=︒，∴60COD ∠=︒，∵OC OD =，∴OCD ∆是等边三角形， ∴6CD =．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．【例14】 如图，1O 和2O 是等圆，P 是12O O 的中点，过点P 作直线AD 交1O 于点A 、B ，交2O 于点C 、D ．求证：AB = CD ．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】作1O E AB ⊥于E ，2O F CD ⊥于F ，∵P 是12O O 的中点，∴1PEO ∆≌2PFO ∆，∴12O E O F =， ∵1O 和2O 是等圆，∴AB CD =．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．【例15】 已知，如图，AB 、CD 是O 的直径，弦AE // CD ，联结CE 、BC ．求证：BC = CE ． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵OA OE =，∴A OEA ∠=∠，∵AE //CD ，∴BOC A ∠=∠，EOC OEA ∠=∠， ∴BOC EOC ∠=∠，∴BC CE =．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．FABCDPEA BCDEOOABC【例16】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，AO 平分BAC ∠，AOB BOC ∠=∠，判断ABC∆的形状，并说明理由．【难度】★★ 【答案】等边三角形．【解析】∵AO 平分BAC ∠，∴BAO CAO ∠=∠，∵OA OC OB ==，∴ABO BAO CAO ACO ∠=∠=∠=∠， ∴AOB AOC ∠=∠，∵AOB BOC ∠=∠，∴AOB AOC BOC ∠=∠=∠， ∴AB BC CA ==，∴ABC ∆是等边三角形．【总结】本题考查同圆中相等的圆心角所对的弦相等．【例17】 已知，如图，AB 是O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥，DN AB ⊥．求证：AC BD =．【难度】★★★ 【答案】详见解析．【解析】连接OC 、OD ，则OC OD =，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM ON =， ∵CM AB ⊥，DN AB ⊥，∴OCM ∆≌ODN ∆， ∴COM DON ∠=∠，∴AC BD =．【总结】本题考查了同圆中相等的圆心角所对的弧相等．【例18】 如图，以点O 为圆心的圆弧上依次有四个点A 、B 、C 、D ，且AOB COD ∠=∠．求证：四边形ABCD 是等腰梯形．【难度】★★★ 【答案】详见解析． 【解析】连接AC 、BD ，∵AOB COD ∠=∠，∴AB CD =，∵12ACB AOB ∠=∠，12CAD COD ∠=∠，∴ACB CAD ∠=∠，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形．【总结】本题综合性较强，主要考查了同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系，老师可以选择性的讲解．ABCDO NM OABCD1、 垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2、 相关结论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． （3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．【例19】 O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长为______． 【难度】★ 【答案】8．【解析】∵O 的直径为10，∴5OB =，∵OM AB ⊥，∴OM 平分AB ， ∴224BM OB OM =-=，∴28AB BM ==． 【总结】本题考查了垂径定理的运用．模块三：垂径定理知识精讲例题解析ABCDE F O【例20】 在半径为2的O 中，弦AB 的长为22，则弦AB 所对的圆心角AOB ∠=____°． 【难度】★ 【答案】90．【解析】作OD AB ⊥于D ，则2AD BD ==，∵2OB =，∴222OD OB BD =-=，∴45BOD ∠=︒，∴90AOB ∠=︒．【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例21】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD 上，点E 和点F分别是边AC 和BC 的中点． 求证：四边形CEDF 是菱形．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵CD AB ⊥，且CD 过圆心，∴AD BD =，∴CA CB =，∵点E 和点F 分别是边AC 和BC 的中点，∴12CE AC =，12DE AC =，12CF BC =，12DF BC =，∴CE DE DF CF ===，∴四边形CEDF 是菱形．【总结】本题考查了垂径定理的运用即菱形的判定．【例22】 如图，一根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分，此时水面宽AB为0.6米，污水深CD 为0.1米，求圆形的下水管道的直径．【难度】★★ 【答案】1米．【解析】连接OB ，设圆半径为R ，则0.1OD R =-， 10.32BD AB ==，由222OD BD OB +=得()2220.10.3R R -+=，解得0.5R =， 所以下水管道的直径为1米．【总结】本题考查了垂径定理以及勾股定理的综合运用．A BD O【例23】 如图，在O 中，弦CD 、EF 的延长线相交于点P ，G 、H 分别是CD 、EF 的中点，GH 与PC 、PE 分别相交于Q 、R 两点，试判断PQR ∆的形状，并证明所得到的结论．【难度】★★ 【答案】等腰三角形． 【解析】连接OG 、OH ，∵G 、H 分别是CD 、EF 的中点， ∴OG CD ⊥，OH EF ⊥，∵OH OG =，∴H G ∠=∠，∴GQC HRE ∠=∠，∴PQR PRQ ∠=∠， ∴PQR ∆是等腰三角形．【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例24】 如图，P 是O 的弦AB 的中点，PC OA ⊥，垂足为C ，求证：PA PB AC AO =． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】连接OP ，∵P 是O 的弦AB 的中点，∴OP AB ⊥，∵PC OA ⊥，∴ACP ∆∽APO ∆，∴PA AOAC PA =，∵PA PB =， ∴PA AOAC PB=，即PA PB AC AO =． 【总结】本题考查了垂径定与相似三角形的综合运用．CDEFG O PQROP ABCABCDH O【例25】 位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小智和小方沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等，并测得BC 长240米，A 到BC 的距离为5米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．【难度】★★ 【答案】1442.5米．【解析】连接OA 交BC 于D 点，连接OC ，∵A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等， ∴OA BC ⊥，BD DC =，设半径为R ，则5OD R =-，120DC =，由222OD DC OC +=，∴()2225120R R -+=，解得：1442.5R =， 所以滴水湖的半径为1442．5米．【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例26】 如图，弦CD 垂直于O 的直径AB ，垂足为H ，且22CD =，3BD =，则AB 的长为_______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】由题意得2DH =，221BH DB DH =-=，设半径为R ，则1OH R =-，由222OD OH HD =+，∴()()22212R R =-+，解得32R =，∴23AB R ==．【总结】本题考查了垂径定理的运用．BCOD【例27】 已知O 的半径4r =，AB 、CD 为O 的两条弦，AB 、CD 的长分别是方程()24341630x x -++=的两根，其中AB > CD ，且AB // CD ，求AB 与CD 间的距离．【难度】★★★【答案】232+或232-．【解析】∵()24341630x x -++=，解得：143x =，24x =．∵AB >CD ，∴43AB =，4CD =，当AB 、CD 圆心同侧时，作OE AB ⊥于E ，并延长交CD 于F ，∵AB // CD ，∴OF ⊥CD ，∴222OE OB BE =-=，2223OF OD DF =-=， ∴232EF OF OE =-=-，当AB 、CD 圆心两侧时，同理可得232EF OF OE =+=+， ∴AB 与CD 间的距离是232+或232-．【总结】本题考查了垂径定理的运用，做题的关键是要分情况讨论．【例28】 已知，如图，1O 与2O 交于A 、B ，过A 的直线分别交1O 与2O 于M 、N ，C 是MN 的中点，P 是12O O 的中点． 求证：PA PC =．【难度】★★★ 【答案】详见解析．【解析】作1O E AM ⊥，2O F AN ⊥，作PH MN ⊥于H ，则12////O E PH O F ，且E 、F 分别为AM 、AN 的中点，∴12AE AF EF MN +==，∵C 是MN 的中点，∴12NC MN =，∴EF NC =，∴EC FN AF ==，∵P 是12O O 的中点，∴EH FH =， ∴HC HA =，∴PA PC =．【总结】本题考查了垂径定理的运用．ABCP N ME FH【例29】 如图，已知四边形ABCD 外接圆O 的半径为2，对角线AC 与BD 的交点为E ，AE = EC ，2AB AE =，且23BD =，求四边形ABCD 的面积．【难度】★★★ 【答案】23．【解析】∵AE EC =，2AB AE =，∴222AB AE AE AC ==⋅，∴AB AE AC AB=，又EAB BAC ∠=∠，∴ABE ∆∽ACB ∆， ∴ABE ACB ∠=∠，∵ADB ACB ∠=∠，∴ABE ADB ∠=∠，∴AB AD =， 连接AO 交BD 于H ，连接BO ，∵AB AD =，∴AO BD ⊥，∴3BH DH ==， ∵2OB =，∴1OH =，∴1AH =，∴132ABD S BD AH ∆=⋅⋅=，∵E 为AC 中点，∴ABE CBE S S ∆∆=，ADE CDE S S ∆∆=，即ABD CBD S S ∆∆=， ∴223ABD ABCD S S ∆==四边形， ∴四边形ABCD 的面积是23．【总结】本题考查了垂径定理的运用及图形的分割，综合性较强，解题时注意认真观察．A BC DE OH【例30】 如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD BC ⊥，OE AC ⊥，垂足分别为D 、E ．（1）在DOE ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．（2）设BD = x ，DOE ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．【难度】★★★【答案】（1）DE 长度不变，2DE =；（2）()2244024x x x y x -+-=<<．【解析】（1）连接AB ，∴2222AB OA OB =+=，∵OD BC ⊥，OE AC ⊥， ∴D 、E 分别为BC 、AC 中点，∴122DE AB ==．（2）作DF OE ⊥于F ，由（1）易得1452DOE AOB ∠=∠=︒，由题意得24OD x =-，∴28222ODx DF OF -===，2222EF DE EF x =-=， ∴28222x xOE OF EF -+=+=，∴()221440224x x x y DF OE x -+-=⋅⋅=<<．【总结】本题考查了垂径定理、勾股定理及中位线定理的综合运用，综合性较强．OABCDEFABCDEO【习题1】已知O 半径为5，若点P 不在O 上，则线段OP 的取值范围为_______________．【难度】★【答案】05OP ≤<或5OP >．【解析】∵点P 不在O 上，∴当点P 在O 内时，05OP ≤<；当点P 在O 外时， 5OP >，综上可知05OP ≤<或5OP >． 【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【习题2】 如图，AB 是直径，BC CD DE ==，40BOC ∠=︒，则AOE ∠=_____．【难度】★ 【答案】60︒．【解析】∵BC CD DE ==，∴BOC COD DOE ∠=∠=∠， ∵40BOC ∠=︒，∴180360AOE BOC ∠=︒-∠=︒． 【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【习题3】如图，为方便三个村庄居民子女的上学问题，上级镇政府决定在A 、B 、C 三个村庄旁边造一所学校，要求它到各村庄的距离相等，请你在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹）【难度】★ 【答案】如图所示．【解析】作线段AB 、AC 的中垂线的交点P 即为学校位置． 【总结】本题考查了不共线的三点可以确定一个圆．随堂检测A BC D EFOAB CD E O【习题4】如图，AB CD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥，25OEF ∠=︒，求EOF ∠的度数．【难度】★★【答案】130︒．【解析】∵AB CD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥，∴OE OF =，∴OEF OFE ∠=∠，∵25OEF ∠=︒， ∴1801802130EOF OEF OFE OEF ∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【习题5】如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，以点B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 于点D ，交BC 于点E ．求证：（1）2AD DE =；（2）D 是AC 的中点．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）连接BD ，∵BA BD =，60A ∠=︒，∴ABD ∆是等边三角形，∴60ABD ∠=︒，∵90B ∠=︒，∴30DBC ∠=︒，∴2ABD DBC ∠=∠， ∴2AD DE =；（2）由（1）得60ADB ∠=︒，DB DA =，∵ADB DBC C ∠=∠+∠，∴30C ∠=︒，∴DB DC =，∴DA DC =， ∴D 是AC 的中点．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【习题6】如图，AB 为O 直径，E 为BC 的中点，OE 交BC 于点D ，BD = 3，AB =10，则AC =______．【难度】★★ 【答案】8．【解析】∵AB 为O 直径，E 为BC 的中点，∴OD BC ⊥，BD CD =，∴224OD OB BD =-=， ∵OA OB =，∴28AC OD ==．【总结】本题考查了垂径定理及三角形中位线．AB CD ECDEFO【习题7】 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD ），点O 是CD 的圆心，其中CD = 600米，E 为CD 上一点，且OE CD ⊥，垂足为F ，EF = 90米，求这段弯路的半径．【难度】★★ 【答案】545米．【解析】∵点O 是CD 的圆心，OE CD ⊥，∴13002DF CD ==，设O 的半径为R ，则90OF R =-，由222OD OF FD =+得()22290300R R =-+，解得545R =， ∴这段弯路的半径为545米．【总结】本题考查了垂径定理的应用．【习题8】如图，在ABC ∆中，70A ∠=︒，O 截ABC ∆的三边所得的弦长都相等，求BOC ∠的度数．【难度】★★★ 【答案】125︒．【解析】作OE AB ⊥、OF BC ⊥、OG AC ⊥，∵O 截ABC ∆的三边所得的弦长都相等， ∴OE OF OG ==，∴OB 平分ABC ∠，OC 平分ACB ∠， ∵70A ∠=︒，∴110ABC ACB ∠+∠=︒，∴115522OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，∴18055125BOC ∠=︒-︒=︒．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理、角平分线的逆定理及三角形的内角和．ABCOEFG【习题9】 已知，如图，ABC ∆是等边三角形，AB 是O 的直径，AE EF FB ==，CE 、CF 交AB 于点M 、N ． 求证：AM = MN = NB ．【难度】★★★ 【答案】详见解析． 【解析】连接OE 、OF ，∵AE EF FB ==，∴60AOE EOF FOB ∠=∠=∠=︒， ∵ABC ∆是等边三角形，∴CAO AOE ∠=∠，∴OE //AC ，∴OM OEMA AC=． ∵AC BC =，O 是AB 中点， ∴1302ACO ACB ∠=∠=，∴12OA AC =，∴12OE AC =．∴2AM OM =，∴23AM OA =，13OM OA =， 同理23BN OB =，13ON OB =，∵OA OB =，∴23OM ON OA +=，∴AM MN NB ==．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及平分线分线段成比例．【习题10】 如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，过点C 、D 分别作CN CD ⊥、DM CD ⊥，分别交AB 于点N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．【难度】★★★【答案】AN 与BM 相等． 【解析】作OH CD ⊥交CD 于H ，则CH DH =，∵CN CD ⊥、DM CD ⊥， ∴CN ∥OH ∥DM ，∴ON OM =， ∵OA OB =，∴OA ON OB OM -=-， ∴AB BM =．【总结】本题考查了垂径定理及梯形的中位线．ABCDON M HABCE FN MO【作业1】在下列命题中，正确的个数是（ ） ① 圆心角相等，则它们所对的弦必相等；② 经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆； ③ 直径平分弦，则必垂直于弦；④ 如果同圆中，两条弦互相平分，那么这两条弦都是直径． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★ 【答案】B ．【解析】① 需说明是在同圆或等圆中，故①错误；② 不共线的三点可以确定一个圆，故②正确； ③ 直径平分非直径的弦，则必垂直于弦，故③错误； ④ 如果同圆中，直径垂直于弦，则必然平分弦，故④错误．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及垂径定理．【作业2】在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AC = 7，BC = 4．若以点C 为圆心，BC 为半径作圆，判断点D 、E 与C 的位置关系．【难度】★【答案】点D 在C 外；点E 在C 内．【解析】∵AC = 7，BC = 4，90C ∠=︒，∴2265AB AC BC =+=，∵4C R =，1652DC AB R ==>，∴点D 在C 外； 1722EC AC R ==<，∴点E 在C 内． 【总结】本题考查了点与圆的位置关系．课后作业【作业3】已知直线a 和直线外两点A 、B ，经过A 、B 作一圆，使它的圆心在直线a上．【难度】★ 【答案】如图所示．【解析】作线段AB 的中垂线于直线a 的交点P 即为圆心． 【总结】本题考查了线段的垂直平分线的作法．【作业4】已知O 外一点A 和圆上的点最大距离为23厘米，最小距离为10厘米，则O 的半径为______厘米．【难度】★★【答案】132．【解析】点A 与圆心的连心线所在的直线与圆的交点即为点A 到圆上的最大距离和最小距离，所以半径()13231022R =-÷=厘米．【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【作业5】 如图，在O 中，2AB BC =，试确定AB 与2BC 的大小关系．【难度】★★ 【答案】2AB BC <．【解析】取AB 中点E ，∵2AB BC =，∴AE EB BC ==，∵AE EB AB +>， ∴2AB BC <．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．AB COE【作业6】如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O 交于点G 、B 、F 、E ，GB = 8厘米，AG = 1厘米，DE = 2厘米，则EF = ______厘米．【难度】★★ 【答案】6．【解析】连接OE ，作OH DC ⊥于H 点，∵GB = 8厘米，AG = 1厘米，DE = 2厘米， ∴4OE =厘米，3EH =厘米， ∴26EF EH ==厘米．【总结】本题考查了垂径定理的应用．【作业7】已知点A （1，0），B （4，0），P 是经过A 、B 两点的一个动圆，当P与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为3时，求圆心P 的坐标．【难度】★★【答案】5522⎛⎫ ⎪⎝⎭，或5522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【解析】设()P x y ，∵P 是经过A 、B 两点的一个动圆，∴P 在线段AB 的中垂线上，∵A （1，0），B （4，0），∴52x =且P 在x 轴上两交点的距离为3，∵P 与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为3， ∴P 在x 轴上与y 轴上截得的两条弦相等．∴x y =，∴52y =±，∴P 点坐标为5522⎛⎫ ⎪⎝⎭，或5522⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【总结】本题考查了垂径定理的应用．OABCD EF GHOP ABC【作业8】 已知，如图，在O 中，弦AB 的长是半径OA 的3倍，C 为AB 的中点，AB 、OC 相交于P ．求证：四边形OACB 为菱形．【难度】★★★ 【答案】详见解析．【解析】∵C 为AB 的中点，∴OC AB ⊥，AP PB =，∵弦AB 的长是半径OA 的3倍，∴32AP AO =，∴30PAO ∠=︒， ∴1122PO OA OC ==，即OP PC =，∵AP BP =，OC AB ⊥，∴四边形OACB 为菱形．【总结】本题考查了垂径定理的应用及菱形的判定．【作业9】已知：过圆O 内一点P 作弦AB 、CD ，且AB = CD ，在BD 上取两点E 、F ，且BE DF =．求证：直线PO 是EF 的垂直平分线．【难度】★★★ 【答案】详见解析．【解析】作OM AB ⊥，ON CD ⊥，∵AB = CD ，∴OM ON =，BM DN =， ∴POM ∆≌PON ∆，∴PM PN =，∴PB PD =，∵OB OD =，PO PO =，∴OPB ∆≌OPD ∆， ∴POB POD ∠=∠，∵BE DF =，∴BOE DOF ∠=∠， ∴POE POF ∠=∠，∴EOH FOH ∠=∠，∵OE OF =， ∴直线PO 是EF 的垂直平分线．【总结】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的综合应用．ABC D EFOPM NH【作业10】 如图，1O 与2O 交于A 、B ，M 为12O O 的中点，过点A 作EF AM ⊥分别交1O 与2O 于点E 、F ．若1290O AO ∠=︒，1212AO AO O O m ==（2m ≥），求EF 的长．【难度】★★★ 【答案】4．【解析】作1O C AE ⊥于C 点，并延长与2O A 的延长线交于G 点，作2O D AF ⊥于D 点，∵EF AM ⊥，M 为12O O 的中点，∴AC AD =，∴2O AD ∆≌GAC ∆，∴2AG AO =，∵1290O AO ∠=︒，∴1O AC ∆∽1O GA ∆，∴11O A AG O G AC ⋅=⋅， ∴121O A AO O G AC ⋅=⋅，∵1212AO AO O O m ==，∴121O O O G AC =⋅，∵1290O AO ∠=︒，2AG AO =，∴121O O O G =， ∴1AC =，∴44EF AC ==．【总结】本题考查了垂径定理及相似三角形性质的综合应用．ABEFMGC D。

第24章圆24.2 圆的基本性质第1课时圆的定义及与圆有关的概念教学目标教学反思1.认识圆，理解圆的本质属性.2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.3.会判断点与圆的位置关系，并应用这一关系进行解题.教学重难点重点：认识圆，理解圆的本质属性.难点：理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.教学过程导入新课问题情境：观察下列图片，从图片中找出共同的图形.教师追问：你还能举出生活中的圆形吗？师生活动：学生列举生活中的圆形，教师适当引导.思考：车轮为什么做成圆形? 做成三角形、正方形可以吗？师生活动：如果把车轮做成圆形，车轴安装在圆心上，当车轮在地面滚动的时候，车轴离开地面的距离总是等于车轮半径长.因此车厢里坐的人都将平稳地被车子拉着走.假设车轮是个破的，已经不成圆形了，轮缘上高一块低一块的，也就是说从轮缘到轮子圆心的距离不相等，那么这种车子行驶起来一定很颠簸.同样道理，如果车轮设计成三角形或是正方形，因为其中心点到周边各点的距离不等长，所以行驶起来也一定会很颠簸！探究新知1.圆的定义教师提问：同学们，你们知道怎样画一个圆吗？你有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，教师圆规演示画圆的过程，总结圆的定义.1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）；2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）；教学反思3.旋转一圈（使铅笔在纸上画出封闭曲线）；4.用字母表示圆心、半径、直径.【归纳总结】圆的旋转定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.问题情境：1.以1 cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？2.如何画一个确定的圆？师生活动：学生独立思考并回答，教师引导.教师追问：从画圆的过程可以看出什么呢？【归纳总结】①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于半径.②平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上.【归纳总结】圆的集合定义：平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.探究：确定一个圆的要素.教师提问：当圆的圆心确定时，这个圆唯一确定吗？当圆的半径确定时，这个圆唯一确定吗？师生活动：学生小组讨论，举出反例，思考确定圆的要素，教师引导.①②【解】如图①，圆心相同，半径不同，能画出无数个同心圆；如图②，半径相同，圆心不同，能画出无数个等圆.【归纳总结】确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.圆的基本性质：同圆的半径相等.【新知应用】例1 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.师生活动：（学生思考，教师引导）要使A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，点A ，B ，C ，D 与点O 的距离有什么关系？【证明】∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴ OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴ A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上.【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）. 2.点与圆的位置关系圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是到圆心的距离小于圆的半径r 的所有点的集合； （2）圆的外部是到圆心的距离大于圆的半径r 的所有点的集合. 【新知讲解】点与圆的位置关系： 1.点P 在圆上⇔OP ＝r （如图①）. 2.点P 在圆内⇔OP <r （如图②）. 3.点③练一练：1.正方形ABCD 的边长为3 cm ，以A 为圆心，３cm 长为半径作⊙A ，则点A 在⊙A ，点B 在⊙A ，点C 在⊙A ，点D 在⊙A .2.一点和⊙O 上的最近点距离为4 cm ，最远距离为10 cm ，则这个圆的半径是 cm.3.与圆有关的概念 （1）弦连接圆上任意两点的线段（如图中的AB ）叫做弦.图中的弦还有 .经过圆心的弦（如图中的AC ）叫做直径.注意：①弦和直径都是线段.②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （2）弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A ，B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. （3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.教学反思（4）劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC .大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC .（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆. （6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 3.概念辨析（1）长度相等的弧是等弧吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.（2）直径是弦吗？弦是直径吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）直径是弦，但弦不一定是直径，只有在弦经过圆心时，这条弦才叫直径，因此直径是圆中最长的弦.（3）半圆是弧吗？弧是半圆吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）半圆是弧，但弧不一定是半圆，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧才是半圆.【新知应用】例2 下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦.其中正确的是________.（填序号）师生活动：（引发学生思考）优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的有关概念可知，连接圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧.例3 如图.（1）请写出以点B 为端点的劣弧及优弧； （2）请写出以点B 为端点的弦及直径； （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.师生活动：发对优弧、劣弧概念的思考.【解】（1）劣弧：BD ，BF ，BC ，BE .优弧：BFE ，BFC ，BCD ，BCF .（2）弦BD ， AB ， BE .其中弦AB 又是直径.（3）答案不唯一.如：弦DF ，它所对的弧是DF 和DEF . 【归纳总结】大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.要按照一定的顺序书写，不要遗漏.【拓展延伸】 例4 下列说法：①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm ，且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，以3 cm 为半径的圆有无数个.其中错误的有（ ）A .1个 B.2个 C.3个 D.4个师生活动：（引发学生思考）结合圆的定义分析怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A教学反思【归纳总结】（学生总结，老师点评）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小.两者缺一不可.例5A，B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A.AB＞0B.0＜AB＜5C.0＜AB＜10D.0＜AB≤10师生活动：（引发学生思考）连接圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连接圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么.【答案】D【归纳总结】（学生总结，老师点评）圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长.课堂练习1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍.（2）如图所示，图中有条直径，条非直径的弦.2.一点和⊙O上的点最近距离为6 cm，最远距离为12 cm，则这个圆的半径是 .3.判断下列说法的正误.（1）弦是直径. （）（2）过圆心的线段是直径. （）（3）半圆是弧. （）（4）过圆心的直线是直径. （）（5）直径是最长的弦. （）（6）半圆是最长的弧. （）（7）长度相等的弧是等弧. （）（8）同心圆也是等圆. （）4.给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的是.（填序号）5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？第5题图6.如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.参考答案1.（1）直径半径（2）两三2.9 cm或3 cm3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√（6）×（7）×（8）×4.①5.解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.6.证明：如图，连接ON，OA.∵点A，N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD. 教学反思第6题答图课堂小结学生独立思考，进行总结，教师补充概括. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的旋转定义圆的定义圆的集合定义弦—直径劣弧圆弧半圆圆的有关概念优弧等圆等弧 布置作业教材第14页练习板书设计24.2 圆的基本性质第1课时 圆的定义及与圆有关的概念1.圆的定义（1）圆的旋转定义 （2）圆的集合定义2.与圆有关的概念：弦；直径；弧；半圆；等圆；等弧.3.点与圆的位置关系： 点P 在圆上⇔OP ＝r ； 点P 在圆内⇔OP <r ； 点P 在圆外⇔OP >r. 教学反思。

九年级下册数学圆知识点总结手写数学是一门抽象而又饱含逻辑的学科，其中对于几何图形的研究尤为重要。

在九年级下册的数学学习中，圆是一个重要的概念，其知识点的掌握对于理解和解决与圆有关的问题至关重要。

本文将对九年级下册数学中的圆知识点进行总结，帮助学生更好地掌握和运用这些知识。

一、圆的定义及相关术语首先，我们需要清楚地了解什么是圆。

圆是平面上所有离一个定点距离相等的点的集合。

其中，离圆心的距离称为半径，直径是连接圆上任意两点，并经过圆心的线段。

此外，圆周是由圆上的所有点构成的曲线。

二、圆的性质1. 圆周上所有的弧度都相等，对应的圆心角也相等。

这是圆的一个基本性质。

2. 在一个圆上，两点间的最短距离是它们与圆心的连线，这也意味着圆心到圆上某点的连线与切线垂直。

3. 在一个圆内，半径相等的弧度所对应的圆心角也相等。

4. 在同一个圆或等圆上，相等的弧所对应的圆心角也相等。

5. 相交圆的两个切点与相交圆的圆心所构成的线段相等。

三、圆的相关定理1. 直径定理：被直径所截的弧是一个直角。

即如果两条弦垂直且经过圆心，则连接两条弦的线段是直径，而两条弦所对应的弧都是直角。

2. 切线定理：切线与半径垂直。

也就是说，过切点的切线与它所切的圆的半径垂直。

3. 弦切角定理：如果一个弦和一个切线相交，那么切线与相交弦的切点和圆心所夹的角等于切线外的弦所对应的弧所对应的圆心角的一半。

四、圆的面积和周长计算1. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（3.14），即C=πd。

2. 圆的面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π，即A=πr²。

通过对九年级下册数学中圆的知识点进行总结，我们可以更好地理解和运用这些概念和性质。

掌握了这些基本内容，我们能够更好地解决与圆相关的问题，并在实际生活中灵活应用几何知识。

在学习过程中，可以通过大量的练习巩固理论知识，深化对圆的认识，并尝试将其与其他数学概念相结合，提高数学思维的灵活性和运用能力。

能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等. 在同圆或者等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
例题分析：
例1 已知：如图24-17，AB,CD为⊙O的直径. 求证：AD//CB. 证明: 连接AC,DB.
∵ AB,CD为⊙O的直径
∴ OA=OB， OC=OD ∴ 四边形ABCD为平行四边形.
图 24-17
同圆或等圆中， 两个圆心角、 两条弧、两条 弦中有一组量 相等，它们所 对应的其余各 组量也相等．
性质
n°弧
∵把圆心角等分成360份,则每一份的
圆心角是1º.同时整个圆也被分成了360
n°
份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧. 这样,1º的圆心角对着1º的弧,
1°
1°弧
1º的弧对着1º的圆心角.
n º的圆心角对着nº的弧,
n º的弧对着nº的圆心角. 性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
例4 如图，在⊙O中，AB = AC ，∠ACB=60°，
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：∵ AB = AC
∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形．
O
又∠ACB=60°，
B
C
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
(2)圆是由圆心和半径确定的,圆心确定圆的位置,半径 确定圆的大小).
交流：
点与圆的位置关系
平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外， 与圆还有几种位置关系，这些关系根据什么来确定？
（1）若点A在⊙O上 （2）若点A在⊙O 内 （3）若点A在⊙O外
OA r
OA r
OA r
符号 读作等价于.它表示从符号的 左边可以推出右边；同时从符号的右 边也可以推出左边.

·
⊙O，读作“圆O”．
O
思考
A ·r O
问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离 有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什 么特点？
A ·r O
因此，圆可以看成：平面内到定点（圆心O） 的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.
观察图中点A，B，C与圆的位置关系.设 ⊙O半径为 r , 说出A，B，C到圆心O的距离与 半径的关系：
证明 连接AC，DB. ∵AB，CD为⊙O的直径.
A
C
O
D
B
∴OA=OB，OC=OD.
∴四边形ADBC为平行四边形.
∴AD∥CB.
1.下列说法正确的是( D ) A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆 C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦
2.下列说法中，不正确的是( D ) A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等 C．周长相等的两个圆是等圆 D．长度相等的两条弧是等弧
点A在圆内 点B在圆上 点C在圆外
OA < r OB = r OC > r
A
O·
C
r
B
反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，
能否判断点和圆的位置关系？
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d， 则有：
d ＜ r 点P在圆内
PP P
d= r
点P在圆上
O·
d ＞ r 点P在圆外
r
A
点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则
符号“ ”读
点在圆内
d﹤r
作“等价于”， 它表示符号
●
点在圆上
d＝r

微专题二：圆的基本性质【知识点扫描】1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分.4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.6. 半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.7.圆内接四边形的对角．8.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .9.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .10.圆锥的侧面积公式：S=rlπ.（其中为的半径，为的长）；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.【难点突破】重难点1垂径定理及其应用一．选择题：1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD =3:7，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=3，给出下列结论：⊙FG=2；⊙5 tanE；⊙495DEFS=；其中正确的是( )A. ⊙⊙B. ⊙⊙C. ⊙⊙D.⊙⊙⊙二、填空题：1.在半径为1的⊙O中，两条弦AB，AC的长分别为3和2，则弧BC的长度为．三、解答题：1.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊙CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：⊙ADG⊙⊙AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求⊙ADG得面积与⊙AFD的面积比．重难点2圆周角定理及其推论一、选择题1. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设⊙BCD=α，则的值为（）A．sin2α B．cos2α C．tan2α D．tan﹣2α2.如图，点C为⊙ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且⊙ACB=⊙ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A．8.5B．5C．4D．二、填空题1.如图，⊙O是⊙AB C的外接圆，AD⊙B C于D，CE⊙AB于E，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊙B C于M，BF为⊙O的直径，下列结论：⊙四边形AH CF为平行四边形；⊙AH＝2OM，⊙BF＝2F C；⊙DN＝DH；其中正确的有______(第1题) （第2题）2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2）、B（0，2+m）、C（0，2-m）（m＞0），点P 在以D（4，6）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足⊙BPC=90°，则m的最大值是3.如图，AB，BC是⊙O的弦，⊙B=60°，点O在⊙B内，点D为上的动点，点M，N，P 分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是三．解答题1.请完成以下问题：（1）如图1，=，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．2.如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是⊙ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：⊙APE 是等腰直角三角形； （2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．3.如图1，已知四边形ABCD 内接于圆0，AD=BC ，延长AB 到E ，使BE=AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF（1）若圆0的半径为3，⊙DAB=120°，求劣弧BD 的长； （2）如图2，连接BD ，求证：BF=21BD ； （3）如图3，G 是BD 的中点，过B 作AE 的垂线交圆0于点P ，连接PG ，PF ，求证：PG=PF图1 图2 图34.如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为⊙α（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：的度数30.2°40.4°50.0°61.6°的度数55.7°60.4°80.2°100.3°⊙α的度数43.0°50.2°65.0°81.0°猜想：、、⊙α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒（2）如图2，若⊙α=60°，AB=2，CD=1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D 重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒⊙求弦CG的长；⊙求圆O的半径．重难点3 三角形的外接圆及圆内接四边形 一、选择题1.如图，点A 的坐标为A （8，0），点B 在y 轴正半轴上，且AB=10，点P 是⊙AOB 外接圆上一点，且⊙BOP=45°，则点P 的坐标为（ ）A ．（7，7）B ．（7，7）C ．（5，5）D ．（5，5）2.如图所示，四边形ABCD 中，DC⊙AB ，BC=2，AB=AC=AD=3．则BD 的长为( ) A.13 B.5 C.23 D.243.如图，⊙ABC 内接于圆O ，延长AO 交BC 于点P ，交圆O 于点D ，连结OB ，OC ，BD ，DC （ ）A ．若AB=AC ，则BC 平分ODB ．若OCBD ，则CD ：AB=：3C ．若⊙ABO=30°，则OC BDD ．若BC 平分OD ，则AB=AC二．填空题1.在⊙ABC 中，45AB =5AC =，11BC =，则⊙ABC 的外接圆半径为____________2、如图，⊙ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊙AC于M，下列结论中正确的是．⊙DB=DC；⊙AC+AB=2CM；⊙AC﹣AB=2AM；⊙S⊙ABD=S⊙ABC．重难点4弧长及扇形面积的有关计算一．选择题1．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．2π﹣1C．2π﹣2D．π﹣2二．填空题1、如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β．（1）线段AA'的长为．（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为（两小题均用含a，α，β的代数式表示）2、如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为_ __3、如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊙AB交半圆与点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=4cm，则图中阴影部分面积为cm2．三、简答题1、在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角⊙BAC与圆心角⊙BOC互补．（1）求⊙BOC的度数．（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．。

24.2 圆的基本性质一．选择题（共15小题）1．如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（ ）（第1题图）A．75° B．60° C．45° D．30°2．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过点P且与AB垂直，点C为L与y轴的交点．若点A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为多少？（ ）（第2题图）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣73．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB 于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（ ）（第3题图）A．一直减小 B．一直不变C．先变大后变小 D．先变小后变大4．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（ ）（第4题图）A．15° B．20° C．25° D．30°5．在半径为10cm的圆中，两条平行弦分别长为12cm，16cm，则这两条平行弦之间的距离为（ ）A．28cm或4cm B．14cm或2cm C．13cm或4cm D．5cm或13cm6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧、、，如果+=，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）（第6题图）A．AB+CD=EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．不能确定7．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）（第7题图）A． B．1 C． D．a8．下列说法正确的个数共有（ ）（1）如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等．（2）弦的中垂线一定是这条弦所在圆的对称轴．（3）平分弦的直径一定垂直于这条弦．（4）两条边相等的两个直角三角形一定全等．A．1个 B．2个C．3个 D．0或4个9．如图，等边三角形ABC的边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（ ）（第9题图）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值10．下列命题，真命题的个数是（ ）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个 D．1个11．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴的正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则（ ）（第11题图）A．△ABC外接圆的圆心在OC上B．∠BAC=60°C．△ABC外接圆的半径等于5 D．OC=1212．如图所示，在边长为1的单位正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在网格的交点上，则△ABC的外接圆的半径R为（ ）（第12题图）A．B． C． D．13．如图，等边三角形内接于⊙O，点P在弧BC上，PA与BC相交于点D，若PB=3，PC=6，则PD=（ ）（第13题图）A．1.5 B．C．2 D．14．如图，坐标平面上有A（0，a）、B（﹣9，0）、C（10，0）三点，其中a＞0．若∠BAC=95°，则△ABC的外心在第几象限？（ ）（第14题图）A．一 B．二 C．三D．四15．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）A．线段AB的中点C及两个端点B．角的顶点及角的边上的两点C．三角形的三个顶点D．矩形的对角线交点及两个顶点二．填空题（共10小题）16．如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010π cm后才停下来．则这只蚂蚁停在点 ．（第16题图）17．如图，⊙M交x轴于B，C两点，交y轴于点A，弦CE⊥AB于点H，M的纵坐标为2，B（3，0），C（﹣，0），则圆心M的坐标为 ，线段AF的长为 ．（第17题图）18．如图，直径AB、CD所夹的锐角为60°，P为上的一个动点（不与点B、C重合），PM、PN分别垂直于CD、AB，垂足分别为M、N．若⊙O的半径为2cm，则在点P移动过程中，MN的长是否有变化 （填“是”或“否”），若有变化，写出MN的长度范围；若无变化，写出MN的长度 cm．（第18题图）19．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC、BD是⊙O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差为 ．（第19题图）20．如图，正方形ABCD的顶点A、B和正方形EFGH的顶点G、H在一个半径为5cm的⊙O 上，点E、F在线段CD上，正方形ABCD的边长为6cm，则正方形EFGH的边长为 cm．（第20题图）21．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15cm，AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．（第21题图）22．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为2，OE=2，则OD的长为 ．（第22题图）23．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是 ．（第23题图）24．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连结BO，设BO的中点为C，则线段AC的最小值为 ．25．一个直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12=0的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于 ．三．解答题（共5小题）26．如图，已知OC是⊙O的半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）求弦CD的长．（第26题图）27．如图，AB是⊙O的直径，延长BA到点D，使DA=AO，AE垂直于弦AC，垂足为A，点E 在DC上，求S△AEC：S△AOC．（第27题图）28．如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD=16cm，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，求AE﹣BF的值．（第28题图）29．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的长；（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于点C、D，直接写出弦CD的长．（第29题图）参考答案一．1．D【解析】设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠ABP=75°，因而∠PAB=90°﹣75°=15°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是30°，因而P在大量角器上对应的度数为30°．故选D．（第1题答图）【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．2．A【解析】连接AC，如答图.由题意，得BC=OB+OC=9.∵直线L通过点P且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9.在Rt△AOC中，AO==2.∵a＜0，∴a=﹣2，故选A．（第2题答图）【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．　3．C【解析】如答图，连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO=∠OQD=90°.∵PC=OQ，OC=OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP=DQ=y，∴S阴=S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ=（x+y）2﹣y2﹣x2=xy，观察图象可知xy的值先变大后变小．故选C．（第3题答图）【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．　4.A【解析】连接OB，如答图.∵四边形ABCO是菱形，∴OA=AB.∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°.∵OP⊥AB，∴∠BOP=∠AOB=30°.由圆周角定理得，∠PAB=∠BOP=15°.故选A．（第4题答图）【点评】本题考查的是菱形的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握菱形的性质、圆周角定理、垂径定理是解题的关键．5．B【解析】有两种情况：①如图，当AB和CD在点O的两旁时.过点O作MN⊥AB于点M，交CD于点N，连接OB，OD.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，由垂径定理，得BM=AB=8（cm），DN=CD=6（cm）.∵OB=OD=10cm，由勾股定理，得OM==6（cm），同理ON=8cm，∴MN=8+6=14（cm）.②当AB和CD在点O的同旁时，MN=8﹣6=2（cm）.故选B．（第5题答图）【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是理解题意，能得出两种情况，题目比较典型，难度适中．注意要进行分类讨论．　6．B【解析】如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB，∴AB=FM，CD=EM.在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选B．（第6题答图）【点评】本题主要考查对三角形的三边关系定理，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解此题的关键．7．B【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°.∵AB=BD，∴，∴∠AED=∠AOB.∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD.∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°.又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形.在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB.∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故选B．（第7题答图）【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．　8．解：（1）在同圆或等圆中，如果圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误；（2）根据垂径定理推出弦的中垂线是这条弦所在圆的对称轴，故本选项正确；（3）平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，故本选项错误；（4）如果有一条直角边和斜边相等，则这两个直角三角形不全等，故本选项错误；∴正确的有1个．故选A．【点评】本题主要考查对圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定，垂径定理等知识点的理解和掌握，能正确运用性质进行判断是解此题的关键．9． D【解析】A、连接OA、OC.∵点O是等边三角形ABC的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O 到AB、AC的距离相等，由折叠，得DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），由折叠，得∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，∴∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD=OG，OE=OF，∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD=CG，AF=CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G=AD，∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△=S△AOC=（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四边OAF=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC﹣S△OFG，过点O作OH⊥AC于点H，∴S△OFG=•FG•OH，形OFAD由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确.故选D．（第9题答图）【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形的面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，10．C【解析】经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，∴①错误；任意一个圆一定有内接三角形，并且有多个内接三角形，∴②错误；任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，∴③正确；三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点距离相等，∴④正确．故选C．【点评】本题考查了确定圆的条件和三角形的外接圆与外心的应用，主要考查学生运用性质进行说理的能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．11．D【解析】设线段BA的中点为E，∵点A（0，4），B（0，﹣6），∴AB=10，E（0，﹣1）．如答图，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C.∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．过点P 作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=5，由勾股定理，得CF==7，∴OC=OF+CF=5+7=12.故选D．（第11题答图）【点评】本题主要考查了坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造圆周角以及直角三角形，由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口．　12．A【解析】作AC、AB的垂直平分线交于点O，则点O为△ABC的外接圆圆心，连接OA，则OA==，故选A．（第12题答图）【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．　13．C【解析】在PA上截取PE=PB，连接BE.∵△ABC是等边三角形，∠ACB=APB，∴∠ACB=∠APB=60°，AB=BC；∴△BEP是等边三角形，BE=PE=PB；∴∠ACB﹣∠EBC=APB﹣∠EBC=60°﹣∠EBC；∴∠ABE=∠CBP；∵在△ABE与CBP 中，，∴△ABE≌△CBP；∴AE=CP；∴AP=AE+PE=PB+PC．∵PB=3，PC=6，∴PA=6+3=9.∵∠BAP=∠DAB（公共角），∠ABC=∠ACB=∠APB=60°，∴△ABD∽△APB，∴=，即=，∴AB=3BD.∵∠PBD=∠PAC，∠BPD=∠APC=60°，∴△BPD∽△APC，∴=，即PD=6×=2.故选C．（第13题答图）【点评】本题通过构造等边三角形，利用等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、求出某些线段的长度，再利用相似的判定定理和性质定理去求出未知线段的长度．　14．D【解析】∵∠BAC=95°，∴△ABC的外心在△ABC的外部，即在x轴的下方.∵外心在线段BC的垂直平分线上，即在直线x=上，∴△ABC的外心在第四象限.故选D．【点评】本题考查的是三角形的外心的确定，掌握外心的概念和外心与锐角、直角、钝角三角形的位置关系是解题的关键，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．15．C【解析】A、线段AB的端点A、B和线段AB的中点C不能确定一个圆，故本选项错误；B、当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆，故本选项错误；C、经过三角形的三个顶点作圆，有且只有一个圆，故本选项正确；D、矩形的对角线的交点及两个顶点，如果这三个点在一条直线上，就不能确定一个圆，故本选项错误.故选C．【点评】本题考查了确定圆的条件的应用，注意：不在同一直线上的三个点确定一个圆．二．16．E【解析】从点A开始沿ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是8π+4π=12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是2010π÷12π=167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从点A到点B所得路径长是2π，再到C的路线长也是2π，从点C到点D，到点E的路线长是2π，则从点A行走6πcm到点E．【点评】本题主要考查了圆的周长的计算，正确而理解蚂蚁行走一周以后又回到A，是一个循环的过程，是解决本题的关键．17．（，2），4【解析】过点M作MN⊥BC于点N，连接CM.∵B（3，0），C（﹣，0），∴OB=3，OC=，∴BC=4.∵MN⊥BC，∴CN=BC=2，∴ON=，∴M（，2），Rt△CMN中，由勾股定理，得CM===4，∴∠MCN=30°，连接EB，∴∠CEB=∠CMN=60°，∴∠ABE=30°，连接AM、EM、AE，∴∠AME=2∠ABE=60°，∴△AME是等边三角形，∴AE=AM=4.∵∠EAB=∠ECB，∠AHE=∠AOC=90°，∴∠AEH=∠CFO.∵∠CFO=∠AFE，∴∠AFE=∠AEH，∴AF=AE=4．（第17题答图）【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、坐标与图形特点、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．18．否，【解析】MN的长没有变化；理由如下，如答图，延长PN交圆于点E，延长PM 交圆于点F，连接EF、OE、OF，作OH⊥EF于点H．根据垂径定理，PN=NE，PM=MF，∴MN∥EF且MN=EF.∵∠MON=120°，∠PNO=∠PMO=90°，∴∠P=60°，∴弦EF的长为定值，MN的长也为定值.在Rt△EOH中，易知∠EOH=60°，∵OE=2，∴EH=OE•sin60°=，∴EF=2，∴MN=EF=.（第18题答图）19．1【解析】（1）如图，连接OA、OD，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E、F．（第19题答图）∵AC⊥BD，∴∠EMF=∠OFB=∠OEM=90°，∴四边形OEMF为矩形.∵OA=OC=2，OM=√3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d、h，则d2+h2=OM2=3．四边形ABCD的面积为：s=|AC|•（|BM|+|MD|）=|AC|•|BD|，从而s=2≤8﹣（d2+h2）=5，当且仅当d=h时取等号，故四边形ABCD的面积最大值为5．（2）四边形ABCD的面积s=2=2=2，当dh=0即d=0或h=0时（一条弦过原点），s最小，最小值为4．∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差5﹣4=1．【点评】本题考查了垂径定理以及坐标与图形的变换，当对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线乘积的一半，这一性质要好好记忆，同时还要注意极值图形的选取方法．　20．2.8【解析】作OM⊥AB于点M，ON⊥HG于点N，连接OA、OH.∵正方形ABCD和正方形EFGH，∴M、O、N在同一条直线上.∵OM⊥AB，∴AM=AB=3，∴OM==4.设正方形EFGH的边长为x，则ON=x+2.∵ON⊥HG，∴NH=HG=x，则（x+2）2+（x）2=25，解得x=2.8．（第20题答图）【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和正方形的性质，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．21．37.5【解析】如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC.∵CD=15cm，AB=60cm，CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD=AB=30cm，∴设半径为rcm，则OD=（r﹣15）cm.根据题意，得r2=（r﹣15）2+302，解得r=37.5．∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm.（第21题答图）【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．　22．2【解析】连接BO并延长交AC于点F，如图.∵BA=BC，∴=，∴BF⊥AC.∵直径MN⊥BC，∴BD=CD.∵∠BOD=∠EOF，∴Rt△BOD∽Rt△EOF，∴===.设OF=x，则OD=x，∵∠DBO=∠DEC，∴Rt△DBO∽Rt△DEC，∴=，即=，而BD=CD，∴DB2=x（x+2）=3x2+2x，在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2=（2）2，解得x 1=，x2=﹣（舍去），∴OD=x=2．（第22题答图）【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理．熟练应用相似比是解决问题的关键．23．13【解析】连接OP，OQ.∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=（AC+BC）=9.∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18﹣14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13．（第23题答图）【点评】本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．　24．2【解析】过B作BD∥AC交x轴于D.∵C是OB的中点，∴OA=AD，∴AC=BD，∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值.∵A（3，0），∴D（6，0）.∵M（3，4），∴DM==5，∴BD=5﹣1=4，∴AC=BD=2，即线段AC的最小值为2；（第24题答图）【点评】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，确定线段长的最值问题，可以利用本身垂线段最短或两点之间线段最短来确定，也可以利用另一量来确定，本题是利用BD的长度来解决问题，是中考填空题的压轴题．25．2.5【解析】解可得方程x2﹣7x+12=0得，x1=3，x2=4，∴斜边边长为5，即直角三角形外接圆的直径是5，∴半径等于2.5．【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．　三．26．解：（1）设OC=x.∵弦CD垂直平分半径AO，∴OE=OA=x.∵PC⊥OC，CD⊥OP，∴∠PCO=∠CEO=90°，∴∠P+∠COP=90°，∠ECO+∠COP=90°，∴∠P=∠ECO，∴△CEO∽△PCO，∴，∴=，x=6，则⊙O的半径为6；（2）由（1），得OC=6，OE=3，由勾股定理，得CE==3，∵CD⊥OA，∴CD=2CE=6．【点评】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．　27．解：作OF⊥AC于点F，延长OF交CD于点G，如答图.∵OA=OC，∴F是AC的中点.∵AE垂直于弦AC，∴AE∥OG，∴G是EC的中点，∴GF=AE.∵AE∥OG，DA=OA，∴E是DG的中点，∴AE是△ODG的中位线，∴AE=OG，∴AE=（OF+GF）=（OF+AE），∴=.∵△AEC的面积=AE•AC，△AOC的面积=AC•OF，∴S△AEC：S△AOC==．（第27题答图）【点评】本题考查了垂径定理、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定的难度，需要通过作辅助线运用三角形中位线的定理才能得出结果．　28．解：如图，连接OC，延长AE交⊙O于点H，连接BH；过点O作ON⊥BH于点N，交CD于点M；则HN=BN，CM=DM=CD=8，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB=90°.∵AE⊥CD，∴CD∥BH.∵ON⊥BH，BF⊥CD，∴EH=MN=BF（设为x）.∵AO=B0，HN=BN，∴ON为△ABH的中位线，∴AH=2ON，即AE+x=2（OM+x），AE﹣x=2OM；由勾股定理，得OM2=OC2﹣CG2=100﹣64=36，∴OM=6，2OM=12；∴AE﹣BF=12．（第28题答图）【点评】该命题以圆为载体，以垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．　29．解：（1）作OH⊥CD于点H，连接OD.∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm.∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，∴OH=cm.在Rt△OHD中，由勾股定理，得HD=cm.∵OH⊥CD，∴由垂径定理，得DC=2DH=2cm；（2）作OH⊥CD于点H，连接OD.∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm.∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，∴∠OEH=60°﹣15°=45°.在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理，得HD==（cm）.∵OH⊥CD，∴由垂径定理，得DC=2DH=2cm，即CD=2cm．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．。

圆的基本性质知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。

圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O读作“圆O”。

（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3、垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．4、圆心角和圆周角：（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．5、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

教师引入反证法.
教师讲解：反证法即为先假设命题的结论不成立，经过推理得到矛盾，由矛盾得到假设错误，从而得到原命题成立．
2.反证法较为抽象，通过多个例子进行说明，使学生有较为深刻的理解，使知识得以深化.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆圆心的坐标是(D)
接圆半径，先确定外接圆的圆心，所以指导学
生找出三角形外接圆的圆心，然后再运用勾股定理进行计算．
该例题将本节所学内容与以前的知识紧密结合，使学生很好地进行知识的迁移，加深对本节知识的理解.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.下列语句中，正确的是(D)
A.三个点确定一个圆
B.一个圆中可以有无数条弦，但只有一条直径
(2)用反题的结论不成立；
②推理：从①中的“反设”出发，逐步推理直至出现与已知条件、定义、基本事实、定理等中任一个相矛盾的结果；
③结论：由矛盾的结果判定①中的“反设”不成立，从而肯定命题的结论成立.
师生活动：教师出示问题，学生在得到结论的同时，进行证明，教师设疑、点拨.
A.(2，3)B．(3，2)C.(1，3)D．(3，1)
分析：不在同一条直线上的三点所确定的圆的圆心是“连接每两点的线段的垂直平分线的交点”，故可作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心.
例2如图，为美化校园，学校要把一块三角
形的空地扩建成一个圆形喷水池，在三角形三
个顶点处各有一棵名贵花树(A，B，C)，若不动
【情感态度价值观】
通过本节知识的学习，感知数学就在身边，从而更加热爱生活，激发学生学习数学的兴趣。

A
●O C
随堂练习
驶向胜利
三角形与圆的位置 关系 (wèi zhi)
的彼岸
• 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角(dùnjiǎo)三角形的外接 圆,并说明与它们外心的位置情况
A
A
A
●O
●O
●O
锐B角三角形的外心位C 于(Bwèi┐yú)三角形内,C直角三角B形的外心C位于
直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
2021/12/11
作三角形的外接圆是必备基本第九技页，共十能一页。,定要熟练掌握.
结束 寄语 (jiéshù)
下课了!
• 盛年 不重来, , (shènɡ nián)
一日难再晨
及时宜自勉,岁月不待人.
再见(zàijiàn)
2021/12/11
第十页，共十一页。
内容(nèiróng)总结
Image
12/11/2021
第十一页，共十一页。
• 因此,三角形的三个顶点确定(quèdìng)一 个圆,这圆叫做三角形的外接圆.这个
三角形叫做圆的内接三角形. 外接圆的圆心是三角形三边(sān 垂 biān) 直平分线的的交点,叫做三角形的外 B
心. 老师提示: 多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
2021/12/11
第八页，共十一页。

驶向胜利 的彼岸
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？
老师提示:
A●
能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆的圆
心(yuánxīn)在线段AB的垂直平分线上. 经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂直平
●B
┏ ●O

沪科版初中数学九年级第24章圆教学设计24.2圆的基本性质（共六课时）第一课时一．教学背景（一）教材分析：圆是在学习了直线图形的有关性质的基础上来研究的一种特殊的曲线图形。

它是常见的几何图形之一，是初中几何中主要内容之一，《圆》这一章知识本身具有一定的高度和难度，是学生对所学几何知识的再一次综合与提升，是学生丰富对现实空间及图形的认识，建立初步空间观念的保证。

“圆的基本性质”是对已学过的旋转及轴对称等知识的巩固，也为本章即将探究的圆的性质，和圆与其他图形的位置、数量关系等知识打下基础。

（二）学情分析：九年级学生在过去的生活和学习中对圆的知识已经有了一些认识，初步体会到圆在生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面均广泛存在，这对进一步探究圆的定义及相关性质奠定了一定的基础。

但对圆的相关性质掌握较少，对知识的转化能力较差，所以重在要学生参与，主动探究，增加解决实际问题的能力。

二．教学目标1.通过观察、操作、归纳等理解圆的定义、弦、弧、直径、等圆、等弧等相关概念；探索并掌握点与圆的位置关系； 2．学会圆、弧、弦等的表示方法． 3．感受圆和实际生活的联系，培养学生用数形结合思想方法分析解决问题的能力。

三．教学重难点教学重点：1.理解与圆有关的概念并会用符号语言表示.2.理解和掌握点与圆的位置关系。

教学难点：圆的概念的理解及点与圆的位置关系。

四．教学方法分析及学习方法指导教学方法分析：充分确立学生在教学中的主体地位，贯彻师生合作，民主教学的精神，通过课前延伸，自主学习，合作探究，让学生积极参与知识回顾和技能的训练过程，通过观察和动手操作，充分调动已有知识，采用“迁移法”、“发生法”和“教师引导法”，强化学生的思考和探究意识，提高学生的思维品质。

学习方法指导：教师引导，学生在观察、操作、概括应用的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，进一步理解并运用由特殊到一般，数形结合和转化等数学思想方法解决问题。

九年级数学圆知识点总结北师大版九年级数学圆知识点总结（北师大版）一、圆的定义1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

2、圆心：圆中心的点叫做圆心。

3、半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

4、直径：通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。

二、圆的性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、圆心角和圆周角（1）顶点在圆心上的角叫做圆心角。

（2）顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

3、圆的基本性质（1）半径相等的圆是等圆。

（2）直径是圆中最长的弦。

（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4、圆的面积和周长（1）圆的面积 S=πr²，其中r为半径。

（2）圆的周长 C=2πr，其中r为半径。

三、点和圆的三种位置关系1、点在圆内：点和圆心的距离小于半径。

2、点在圆上：点和圆心的距离等于半径。

3、点在圆外：点和圆心的距离大于半径。

四、直线和圆的三种位置关系1、直线和圆相离：直线和圆没有公共点。

2、直线和圆相切：直线和圆只有一个公共点。

3、直线和圆相交：直线和圆有两个公共点。

五、圆和圆的位置关系1、外离：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆外面。

2、外切：两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆外面。

3、相交：两圆有两个公共点。

4、内切：两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆里面。

5、内含：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆里面。

六、正多边形和圆1、把正多边形的各边中心连向它的各边所在直线时，中心和边的垂线组成的角叫做正多边形的中心角。

2、正多边形的半径和边数之间存在如下关系：半径=r，边数n=2πr/α，其中α为正多边形的中心角。

七、弧长和扇形面积1、弧长公式：l=nπr/180，其中n为弧度制下的扇形圆心角。

2、扇形面积公式：S=nπr²/360，其中n为扇形圆心角。

24.2圆的基本性质
第二课时
教学目标
【知识与能力】
1探索圆的对称性，进而得到垂径定理；
2.能够利用径定理解决相关的实际问题。

【过程与方法】
在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程。

【情感态度价值观】
使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的精神。

教学重难点
【教学重点】
垂径定理的应用。

【教学难点】
利用垂径定理解决实际问题。

课前准备
课件、圆规、直尺、三角板等。

教学过程。