数学思维训练画线段图解题

学解决数学问题既是小学数学教学中的重点, 也是教学中的难点,有不少的数学问题, 文字叙述比较抽象, 数量关系比较复杂, 而小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段, 因此，他们对于一些抽象问题理解起来困难较大。

如果教师一味的从字面去分析题意, 用语言来表述数量关系, 即便是老师讲得口干舌燥, 学生也难以理解掌握。

即便是学生理解了, 也只是局限于会做某个题了。

如何帮助学生理解数学问题中抽象的数量关系，提高他们解决数学问题的能力，不言而喻，大家都会想到借助线段图，以线段图作为学生理解抽象数量关系的一个拐杖，而往往由于咱们的学生理解能力有限的问题，他们通常不善于借助线段图来分析数量关系，主要是由于他们对这种表示方法的“陌生感”所造成的。

为了让线段图成为学生学习应用题的一种工具，我们有必要考虑线段图的提前渗透问题。

关于线段图没有定义, 词典中也没有解释。

在新教材里，线段定义为直线上两点间的部分叫做线段，特点是有两个端点、有限长。

但关于线段图却没有定义，词典中也没有解释。

但我们可以这样理解:线段图是有几条线段组合在一起，用来表示具体问题中的数量关系，帮助学生理解题意，解答问题的一种平面图形，它的特点就是从抽象的文字到直观的图形的再创造、再演示过程。

明了线段图的特点之后，我们就要思考它在具体教学中有何价值。

一、线段图在解决问题中的重要作用。

新课程以来，线段图虽然在小学数学课堂教学中的使用逐渐减弱，但是在以解决问题为载体的数学教学中仍然具有重要的作用。

1 、有利于把抽象的概念形象化。

有的数学问题综合性强，要解决一个数学问题往往要涉及多个数学概念的应用。

由于某些概念比较抽象，加上自身遗忘等原因，学生对这些概念的认识变得比较模糊，不能准确地理解题目中的重要概念，弄清已知条件的意思，进而阻碍了问题的解答，这时教师就可以借助线段图把已知条件形象地展现出来帮助学生理解题意。

如在“和倍问题”中有这样一题：“一套衣服共456 元，上衣的价钱是裤子的2倍多6 元。

例3、大人上楼的速度为小孩的2倍。

小孩从一楼到四楼要6分钟，大人从一楼到六楼要几分钟？
如右图所示，红球现在所在位置是一楼，
从一楼到二楼只需要爬一层即可。

那么，从一层到四层，就是爬三层。

可以
让小朋友回忆下自己爬楼梯的情景。

我们可以这样认为：线段表示两层楼之间
的高度，点表示楼层数。

因此，建立本题的数学模型如下：
由线段图很容易发现，这是一个无头有尾的线段图。

从一楼到四楼，要爬三层，小孩用时6分钟，即每层2分钟。

因为大人比小孩爬得快，所以大人每爬一层用时1分钟。

从一楼到六楼，只要爬五层，
所以，用时5分钟。

例4：一根木料截成5段要16分钟，如果每截一次的时间相等，那么
截7段要几分钟？
【分析】这是一个切木料的问题，按数学模型，也可以归类为植树
问题。

先画图如下：用线段表示木料，用点表示切割位置。

要把木料截为若干段，头和尾显然不用切割，即这是一个无头无尾
的植树问题，所以点比线段少1。

根据题目意思，每次截所用的时
间相同，那么我们只要知道每次截的时间和需要截的次数，就能得
到所需时间。

截成5段，即需要切割4次，则每截一次需要：16÷(5-1)=4(分钟) 截成7段需要切割6次，则需要时间为：4×(7-1)=24(分钟)。

数学思维训练——“倍”的问题及典型练习题一、关于“倍”的数字代换例1、一片树林里杨树和松树一共有240棵，其中松树的数量是杨树的3倍，请问树林里杨树和松树各有多少棵？1、分析找到题目中的重点信息。

杨树和松树的数量一共有240 棵，其中松树的数量是杨树的3倍。

2、画线段图分析。

（用较小的数表示较大的数，更方便）松树的数量是杨树的3倍，可以把杨树的数量看成1份，则松树的数量为3份。

从上图可以看出，松树和杨树的数量一共是4份，总的数量为240棵，则每份的数量为240÷4=60(棵)，即杨树的数量为60棵，松树的数量为60×3=180(棵)。

3、写答题过程。

杨树的数量：240÷(1+3)=60(棵)松树的数量：60×3=180(棵)答：杨树的数量为60棵，松树的数量为180棵。

举一反三小练笔：1、小玲和妈妈两个人的年龄加起来为36岁，妈妈的年龄是小玲年龄的5倍，你知道小玲和妈妈分别是多少岁吗？36÷(1+5)=6(岁)6×5=30（岁）答：小玲是6岁，妈妈是30岁。

2、水果店里苹果和梨一共有90千克，卖掉了18千克以后，苹果的重量是梨的2倍，则现在苹果比梨多多少千克？(90-18)÷(1+2)=24(千克)24×2=48(千克)48-24=24（千克）答：现在苹果比梨多24千克。

3、已知一个长方形的周长为60厘米，长是宽的2倍，则长和宽分别是多少厘米？60÷2÷(1+2)=10(厘米)10×2=20(厘米)答：长和宽分别为20厘米和10厘米。

4、道路两旁的红灯和蓝灯有130盏，其中红灯比蓝灯的2倍还多10盏，请问红灯和蓝灯各有多少盏？（130-10)÷(1+2）=40（盏）40×2+10=90(盏）答：红灯有90盏，蓝灯有40盏。

5、书架上文艺类的书和科技类的书一共有175本，其中文艺类的数量比科技类的3倍还多15本，问这两种书各有多少本?(175-15)÷(1+3)=40(本)40×3+15=135(本)答：文艺类的书有135本，科技类的书有40本。

三年级数学思维训练(上)（一）知识要点和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系;求大小两个数的应用题。

此类题我们常采用画线段图的方法解答。

解答此类题首先要找倍数关系;通过倍数关系画出线段图;然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和。

于是根据图产生这样的思路：相对小的数自己是自己的一倍;而相对大的数是相对小的数的几倍,当然俩个数相等时这个几就是1）;那么就有大数和小数的和就是小数的几+1倍;又因为大数和小数的和已知;于是这个题就变成了一个简单的;已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题。

从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数;我们简称为1倍数.（二）例题选讲例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍;甲班和乙班各有图书多少本？[精妙解答]160÷（3+1）=40（本）-------作为一倍数的乙班的40×3=120（本）----------根据题意关系求的甲班的或者：160-40=120（本答：甲班有图书120本;乙班有图书40本例2 甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发;相向而行;2时后两车相遇。

已知甲车的速度是乙车速度的2倍。

甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？[精彩思路]已知甲车速度是乙车速度的2倍;所以“1倍”数是乙车的速度。

现只需知道甲、乙汽车的速度和;就可用“和倍公式”了。

由题意知两辆车 2时共行 360千米;故1时共行360÷2＝180(千米);这就是两辆车的速度和。

[精妙解答]乙车的速度为(360÷2)÷(2＋1)= 60(千米/时);甲车的速度为60×2=20(千米/时);或180-60=120(千米/时)。

答：甲车每时行120千米;乙车每时行60千米。

从上面两道例题看出;用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁;“和”是谁。

例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显;其中例2中虽未直接给出“和”;但也很容易求出。

用线段图解决简单的和倍差倍问题一、内容概括本讲为三年级较易接受且重要思维训练内容，本讲通过线段图来掌握和差倍问题，线段图是小学阶段数学中重要内容.掌握线段图对小学数学的学习，和数学的理解有着十分重要的意义 .二、知识导航1 .和倍问题，顾名思义就是两个数的和以及这两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，它是常见的典型应用题之一.要想顺利地解答和倍问题，最好的方法就是根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确迅速地列出算式.小数：大数：数量关系式可以这样表示：两数和÷〔倍数+1〕＝一倍量两数和—小数＝大数2 .差倍问题就是两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数.解答差倍问题的关键是找出两个数的差，以及与差相对应的倍数差，从而求出一倍数，再求出其它的数.解题时，我们一般也是先借助线段图帮助自己分析题目的数量关系.小数：大数：数量关系可以这样表示：两数差÷〔倍数-1〕＝一倍量两数差+小数＝大数课前热身1 .7的四倍是〔〕，48是〔〕的6倍，57是3的〔〕倍.2 .泡泡有91颗黑色的巧克力豆，是白色巧克力豆的7倍，问泡泡的白色巧克力豆有多少颗？3. 二班有图书60本，一班的图书本书是二班的的3倍，求一班有图书多少本？4. 哥哥种了72棵树，哥哥种的数是弟弟的3倍，问兄弟两人共种多少棵树？三、例题精讲根底局部例题1. 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的年纪是小华的8倍，问小华和爷爷各多少岁？【练习1】1. 泡泡和小新一共做了300道计算题，泡泡做的题目数量是小新的2倍，泡泡和小新各做了多少道计算题？2. 一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米例题2. 小白兔和小灰兔共有50个萝卜，小灰兔的比小白兔的2倍多2个，小白兔和小灰兔各有多少个萝卜？【练习2】新东方小学三年级共有328人，男生人数是女生人数的2倍还多7人，求男生和女生各有多少人？例题3. 小猴子聪聪和明明共有28个桃子，聪聪的桃子比明明的2倍少2个，聪聪和明明各有几个桃子？【练习3】数学兴趣小组共有成员30人，其中女生比男生的2倍少3人，问男生女生各有多少人？例题4. 李爷爷家养的鸭子比鸡多18只，鸭子的只数是鸡的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鸡各有多少只吗？【练习4】本？小新的课外书比迈斯多30本，小新的课外书是迈斯的4倍.问小新和迈斯各有课外书多少例题5. 新东方学校买来的白色粉笔比彩色粉笔多15箱，白色粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍少3箱.新东方买来的白色粉笔和彩色粉笔各有多少箱？【练习5】妈妈的年龄比泡泡大24岁，今年妈妈的年龄比泡泡的3倍少2岁，问妈妈和泡泡今年各多少岁？例题6. 新东方学校买来的白色粉笔比彩色粉笔多15箱，白色粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱.新东方买来的白色粉笔和彩色粉笔各有多少箱？【练习6】爸爸的年龄比小新大30岁，今年爸爸的年龄比小新的3倍还多2岁，问爸爸和小新今年各多少岁？四、拓展局部例题7. 果园里有桃树、梨树、苹果树共392棵，桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？作业填空题1 )小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红有〔〕岁,妈妈有〔〕岁.2 )生产队养公鸡、母鸡共404只,其中公鸡是母鸡的3倍,公鸡养了〔〕只,母鸡养了〔〕只.3 )小明买大单和小单线共25本,其中大单线的本数比小单线的本数的2倍多4本,大单线的本数有〔本,小单线的本数有〔〕本.4 )师傅和徒弟共生产零件190个,师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个;师、徒各生产〔〕个.两个数的和是84，大数是小数的6倍，求这两个数3. 甲乙两个生产队人收桔子1000千克，甲队收的是乙队的3倍，甲、乙两队各收了桔子多少千克？4. 大村有两个粮仓共存粮食300吨.甲仓存粮比乙仓的2倍还多57吨，两个粮仓各存粮多少吨？5. 书店运来一批书，其中科技书和文艺书390本，科技书比文艺书的3倍少10本，科技书、文艺书各多少倍？6. 足球是排球的3倍，足球比排球多18只.足球和排球各多少只？7. 参加科技小组的人数，今年比去年多41人，今年人数比去年的3倍少3人.今年有多少人参加？8.山坡上有一群羊，其中有绵羊和山羊.绵羊比山羊的3倍多55只，绵羊比山羊多345只，两种羊各有多少只？。

前言亲爱的同学们你们好!我们学校正在开始小学数学画图思维训练专题的系统学习,低年级学生解决问题以直观形象思维能力为主,是进行数学画图思维训练的最佳阶段,这个阶段学生喜欢画画，想象力丰富，画图及模仿能力强，正是养成良好画线段图解题习惯和学习先进解题方法的阶段。

因此要有针对性地对低年级学生进行一些基本的画图思维能力训练。

使你们能快速的形成数学解题思维方法。

为以后进入高年级的解题能力的提升打下扎实有效的基础。

大塘镇中心学校《画图能力训练》这本书根据你们的知识结构年龄特征、兴趣爱好选择了专题性很强的例题精彩讲堂、课后检测、例题扫码解析、课后检测扫码解析四个模块。

你们作为数学学科爱好者,做到“解”而有“法”“研”而有“效”。

这样才能真正提高解题的效益,才能提高自己的数学素养。

彰显数学文化的美丽和其独具的魅力。

大塘镇中心学校《画图能力训练》对学生有着长远的实验价值,能够从根本上培养小学生轻松解决问题的能力。

本丛书紧扣数学课程标准的要求,适应学生巩固课本知识的需要。

着重从画图方法,解题技巧等方面训练学生的能力;另一方面,注重培养学生对数学学习的兴趣。

养成良好的数学解题习惯,掌握便携的解题方法,让学生受益终生。

相信通过对这本书的认真学习,你会收获很多的快乐。

上册目录前言: (2)画图训练一:已知相差数求这个数的问题 (5)1.例题精彩讲堂 (5)2.课后检测 (6)画图训练二:求连加、连减和加减混合问题 (13)1.例题精彩讲堂 (13)2.课后检测 (16)画图训练三:求含有两个问题的数学问题 (18)1.例题精彩讲堂 (18)2.课后检测 (19)画图训练四:求简单的乘法问题 (31)1.例题精彩讲堂 (31)2.课后检测 (33)画图训练五:选择合适的方法解决问题 (37)1.例题精彩讲堂 (37)2.课后检测 (38)画图训练六:用乘法解决简单的问题 (42)1.例题精彩讲堂 (42)2.课后检测 (44)画图训练七:解决二上综合性的问题 (47)课本习题精彩讲堂 (47)下册目录画图训练八:用除法解决平均分的问题 (64)1.例题精彩讲堂 (64)2.课后检测 (65)画图训练九:用除法解决生活中的实际问题 (71)1.例题精彩讲堂 (71)2.课后检测 (73)画图训练十:求同级混合运算的问题 (76)1.例题精彩讲堂 (76)2.课后检测 (77)画图训练十一:求两级混合运算的问题 (79)1.例题精彩讲堂 (79)2.课后检测 (80)画图训练十二:求含有括号的混合运算问题 (82)1.例题精彩讲堂 (82)2.课后检测 (83)画图训练十三:用混合运算解决实际问题 (85)1.例题精彩讲堂 (85)2.课后检测 (86)画图训练十四:解决二下综合性的问题 (91)自我评价: (96)画图训练一:求比一个数多（少）几的数是多少的问题一、教材内容:人教二上第二单元《100以内加减法》第23页的例4及相关练习二、知识目标1.能用100以内的加减法解决实际问题；2.初步学习用线段图直观表达相差问题的数量关系，灵活运用多种方法解决实际问题。

小学数学高年级数学思维训练：行程问题（四）二次相遇此类问题涉及的量有：一人速度、另一人速度、相遇时间和两地距离，这四个量“知三推一”。

基本数量关系为：速度和×二次相遇时间÷3＝两地距离两地距离×3÷速度和＝二次相遇时间两地距离×3÷二次相遇时间－一人速度＝另一人速度另外：路程差÷速度差＝相遇时间相遇时间×速度差＝路程差注意：题目中给出的时间是第一次相遇时间还是第二次相遇时间，还是从第一次相遇到第二次相遇所用时间，其中第二次相遇时间＝第一次相遇时间×3，从第一次相遇到第二次相遇所用时间＝第一次相遇时间×2，由此变通使用公式即可。

1、小军和小明分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。

小军的速度是55米/分，小明的速度是60米/分，经过6分钟两人第二次相遇。

这座桥长多少米？【答案】230米【解析】【详解】（55＋60）×6÷3＝230（米）2、A、B两城间有一条公路长240千米，甲、乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？【答案】9小时；75千米【解析】【分析】甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程。

然后甲乙两人到达对方城市后立即以原速沿原路返回，当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全程，这时甲乙共行了多少个小时呢？可以用两城全长的3倍除以甲乙速度和就可以了。

【详解】出发到第二次相遇时共行：240×3＝720（千米）甲、乙两人的速度和：45＋35＝80（千米）从出发到第二次相遇共用时间：720÷80＝9（小时）35×9－240＝315－240＝75（千米）答：9小时后，两车在途中第二次相遇，相遇地点离A城75千米。