微积分基本定理课件1北师大选修(2)

1．6 微积分基本定理

1．问题导航

(1)微积分基本定理的内容是什么？

(2)定积分的取值符号有哪些？

2．例题导读

通过P53例1，学会利用微积分基本定理求简单定积分的步骤和方法，通过P53例2的学习，理解定积分的几何意义和定积分的取值符号．

1．微积分基本定理

(1)内容：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．

(2)表示：为了方便，常常把F(b)－F(a)记成F(x)ba，即abf(x)dx＝F(x)ba＝F(b)－F(a)．

2．定积分的符号

由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．

(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(如图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．

(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(如图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．

(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时(如图3)，定积分的值为0，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．( )

(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )

(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )

答案：(1)√ (2)√ (3)√

2．若a＝01(x－2)dx，则被积函数的原函数为( )

A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝x－2＋C

C．f(x)＝12x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x

答案：C 3.0πsin xdx＝________．

解析：0πsin xdx＝－cos xπ0＝(－cos π)－(－cos 0)＝2.

教学准备

1. 教学目标

知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分

过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法

情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

2. 教学重点/难点

重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点 了解微积分基本定理的含义

3. 教学用具

4. 标签

教学过程

四、教学过程

（一）、复习：定积分的概念及用定义计算

（二）、探究新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．

四：课堂小结：

本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！

微积分基本定理 同步练习

1. 计算定积分badxxf)(的关键是____________________。

2. 满足212)(xxxF的函数)(xF为______________。

3. 满足xxFsin)(的函数)(xF为________________。

4. 下列式子正确的是（ ）

A. )()()(afbfdxxfba

B. )()()(afbfdxxfba

C. )()(xfdxxfba

D. )()(xfdxxfba

5. 下列值等于1的积分是（ ）

A. 10xdx B. 10)1(dxx C. 101dx D. 1021dx

6. 102dxx( )

A. 0 B. 31 C. 231x D. x2

7. 1021dxx( )

- 1 - 微积分基本定理

一、教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式

二、教学重难点：牛顿-莱布尼兹公式

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：定积分的概念及计算

（二）、探究新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()vto），

则物体在时间间隔12[,]TT内经过的路程可用速度函数表示为21()TTvtdt。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在12[,]TT上的增量12()()STST来表达，即

21()TTvtdt=12()()STST 且()()Stvt。

对于一般函数()fx，设()()Fxfx，是否也有()()()bafxdxFbFa

若上式成立，我们就找到了用()fx的原函数（即满足()()Fxfx）的数值差()()FbFa来计算()fx在[,]ab上的定积分的方法。

定理 如果函数()Fx是[,]ab上的连续函数()fx的任意一个原函数，则

()()()bafxdxFbFa

证明：因为()x=()xaftdt与()Fx都是()fx的原函数，故()Fx-()x=C（axb）

其中C为某一常数。令xa得()Fa-()a=C，且()a=()aaftdt=0

即有C=()Fa，故()Fx=()x+()Fa ()x=()Fx-()Fa=()xaftdt

令xb，有()()()bafxdxFbFa - 2 - 为了方便起见，还常用()|baFx表示()()FbFa，即()()|()()bbaafxdxFxFbFa