高中数学选修2-2学案6：1.3.3 函数的最大(小)值与导数

人教版高中数学选修2-2

1 1.3.3 函数的最大(小)值与导数

学习目标

1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别.

2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．

知识导学

知识点一 函数最值的概念

如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有__________，那么称f(x0)为函数的定义域上的最大值．

如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有__________，那么称f(x0)为函数在定义域上的最小值．

思考 函数的极值与最值的区别是什么？

知识点二 求函数的最值

1．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤：

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．

2．函数在开区间(a，b)的最值

在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．

思考 (1)函数f(x)＝1x在(1,2)上有最值吗？

(2)函数f(x)＝ln x在[1,2]上有最值吗？

题型探究 人教版高中数学选修2-2

2 题型一 求函数的最值

例1 求下列各函数的最值：

(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；

(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．

跟踪训练1 设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.

(1)求a，b，c的值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

题型二 含参数的函数的最值问题

例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

跟踪训练2 a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．

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3

题型三 函数最值问题的综合应用

例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1处都取得极值．

(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；

(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．

跟踪训练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，

(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；

(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．

易错易混

求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误

例4 求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值． 人教版高中数学选修2-2

4 错解 由已知得f′(x)＝3x2－4x，

令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝43.

当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

当x∈0，43，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

当x∈43，2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

∴函数f(x)在x＝0处取得最大值f(0)＝1，

在x＝43处取得最小值f43＝－527.

错因分析 求出函数的极值后，要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值，否则会出现错误．

正解 由已知得f′(x)＝3x2－4x.

令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝43.

当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

当x∈0，43时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

当x∈43，2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

∴函数f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，

在x＝43处取得极小值f43＝－527.

又f(－1)＝－2，f(2)＝1，

∴函数f(x)的最大值是1，最小值是－2.

防范措施 若连续函数y＝f(x)在[a，b]为单调函数，则其最值必在区间端点处取得；若该函数在[a，b]上不单调，即存在极值点，则最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．

当堂检测

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( )

A．等于0 B．大于0

C．小于0 D．以上都有可能

2．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( )

A．1，－1 B．1，－17

C．3，－17 D．9，－19

3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )

A．有最大值，但无最小值 人教版高中数学选修2-2

5 B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，但有最小值

D．既无最大值，也无最小值

4．函数f(x)＝exsin x在区间0，π2上的值域为( )

A.0，eπ2

B.0，eπ2

C.0，eπ2

D.0，eπ2

5．已知f(x)＝2x3－6x2＋a(a为常数)在[－2,2]上有最小值3，那么f(x)在[－2,2]上的最大值是__________．

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6 ——★ 参 考 答 案 ★——

知识梳理

知识点一

f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0)

思考 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．

函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．

知识点二

1．(2)最大值 最小值．

思考 (1)没有．

(2)有最大值ln 2，最小值0.

题型探究

例1 解 (1)f′(x)＝－4x3＋4x，

令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，

得x＝－1，x＝0，x＝1.

当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 －

f(x) －60 极大

值4 极小

值3 极大

值4 －5

∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；

当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.

(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，

∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；

x＝1时，f(x)最大值＝2.

即f(x)的最小值为－12，最大值为2. 人教版高中数学选修2-2

7 跟踪训练1 解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.

∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴a＞0，b＝－12.

又直线x－6y－7＝0的斜率为16，

因此f′(1)＝3a＋b＝－6，

故a＝2，b＝－12，c＝0.

(2)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)，列表如下：

x (－∞，－2) －2 (－2，2)

2 (2，＋∞)

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 极大值 极小值

∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．

∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f(2)＝－82，

f(－2)＝－f(2)＝82，

∴当x＝2时，f(x)取得最小值为－82；

当x＝3时，f(x)取得最大值为18.

例2 解 f′(x)＝3x2－2ax.

令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.

①当2a3≤0，即a≤0时，

f(x)在[0,2]上单调递增，

从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.

②当2a3≥2，即a≥3时，

f(x)在[0,2]上单调递减，

从而f(x)max＝f(0)＝0.

③当0<2a3<2，即0

从而f(x)max＝ 8－4a 0

综上所述，f(x)max＝ 8－4a a≤2，0 a>2.

跟踪训练2 解 f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．

若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)