反例在初中数学教学中的运用

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反例在初中数学教学中的作用

作者：刘桂侠

来源：《新课程·教师》2013年第05期

摘 要：数学中的反例，通俗地说，是指某命题不成立的具体例子。初中数学中反例是重要的教学方法之一，从反例概念以及反例在初中数学教学中的作用两方面进行了阐述。

关键词：初中数学教学；反例教学；作用

数学是一门有着自己独特的思维特点和逻辑推理体系的严密科学，所以学生不能只直观地理解它。在教学中，教师在指导学生掌握数学严密的逻辑推理的同时，还需要教授学生掌握逆向思维的学习方法——反例。

一、反例在初中数学教学中的作用

举反例是一种简便、实效并极富科学性的方法，在有关数学概念的教学中，反例方法的恰当运用不仅可以帮助学生深刻理解基础知识，还可以培养学生灵活、缜密和创新的思维，所以反例教学在数学教学中具有重要的地位。

首先，反例作为公式教学和强化数学概念的有力工具，可以帮助学生对数学基础知识有深刻掌握，并在一定程度上提高学生的数学修养、培养学生的科学研究能力。其次，反例教学可以培养学生勇于探索、敢于质疑的数学品质。用反例，可以帮助学生消除思维的定式所造成的错觉，如果在做题时千方百计从正面论证却没有结果，就可以试着从反方向入手来论证。所以教师要充分挖掘反例的功能，帮助学生在发散思维的能力和创造能力两方面都有所提升。再次，利用反例可使学生对错解的辨析能力加强。

二、数学课堂教学中反例的具体运用

1.加强知识的理解

对于容易混淆的知识点，学生靠自己是无法彻底分清楚的。这时就需要教师在平时作业或者批改试卷的时候及时发现并整理出来，然后将大部分学生的错题当成反例，在课堂上强调。对于那些模糊的概念，教师也需要运用反例来帮助学生理解。

2.巩固所学的知识点

数学知识是连续记忆的过程，需要不断巩固。例如，在对一元一次方程的学习中，教师可以举出几个反例让学生判断，这样不仅节约了课堂时间，也达到了巩固的目的，还使原本单一的学习过程变得有趣。 龙源期刊网

初中数学教学中反例的运用

数学，是一门应用性极强的科目，在我国教育体系中占重要的地位，但是由于其应用性以及抽象性，无论在教师教学过程或者是学生学习时都存在较大的难度，再加上传统教学一直沿用着统一、量化的教学模式，导致很多教师只注重教学的进程，却忽略了学生学习体悟以及对知识的理解，从而导致很多学生的学习效果不高.而反例教学则是一种有效的教学方式，对于初中数学提升具有较大的效果.笔者将通过本文，就初中数学教学中反例的运用进行分析和探讨.

一、反例教学在数学定理、法则以及公式方面的运用

定理、法则以及公式是理科科目中主要解题依据和方法，但是对于学生来说，定理法则是一种详细的语言文字，但是往往存在较大的可变性，而且学生的记忆过程往往会出现漏记的问题；公式则是一种特殊的符号，其中的符号具有抽象性，记忆过程也有较大的难度.以“全等三角形的判定”课程教学为例，定理的大意是“两个三角形若存在两条边长以及所夹夹角都一一相等，则可判定二者全等”.而通过反例进行教学，教师可以将条件中的“夹角”用“任意的内角”，然后鼓励学生通过画图进行实例验证.而学生通过画图可以发现，如果不是夹角固定，三角形存在较大的可变性，根本无法保证两个三角形全等.相比正面的例子教学，反例教学的优点体现在以下两个方面，一方面可以表现出对比性，增加学生对定理的信服力；另一方面则帮助学生提升理性认识，加深他们对概念的理解.

二、反例教学在知识巩固教学方面的运用

对于初中教学来说，巩固教学一直以来都是比较重要的环节，即在中考前夕，学生已经学习了较多的知识，但是随着时间的推移，一些知识点以及深刻度都在渐渐衰退，所以适当运用反例教学，可以让学生能够完善知识的巩固.例如：在“一元一次方程”的教学过程中，教师首先需要让学生通过反例进行思考，然后根据一元一次方程的条件对方程是否属于一元一次方程进行判断，例如方程等号两边是否属于整式，是否只有单一的未知数，未知数的系数是否是常数.而通过以上反例教学，教师可以让学生清楚了解一元一次方程的构成条件，同时也能让学生仔细进行回忆，唤醒他们在潜意识中记忆的知识.但是反例教学只能作为一种辅助教学的方式，却不能作为教学主要手段，所以反例教学不能过于盲目进行运用.

Ｕ　思路方法　３　

反例，通常是指符合某个数学命题的题设，但不　符合该命题结论的例子．在数学史上，恰当的反例能　够推动数学的发展，加深人们对数学的理解．常常有　这样的情形，一个重要的猜想，数学家很长时间没能　证明它，结果有人举出一个反例否定了这个猜想，使　问题得到了解决．比如　ｒｇ）＝ｎ　＋／／，＋７２４９１，当ｔ／，＝　１，２，３，…，１１０００，　ｎ）都是质数，这似乎给人们造成　一种认识，得到如下命题：对任意的自然数／＇ｌ，ｆ（ｎ）　都是质数．其实，这个命题是错误的．很容易发现反　例，当／＇ｔ＝７２４９０或７２４９１时，厂（／／，）是合数．另一方　面，举世闻明的数论名题——哥德巴赫猜想到目前　为止，虽未得到确认命题一定成立，但也未发现反　例．这就表明，有的时候，寻找一个“好”的反例并不　容易．所以，我们常把反例的给出，叫做“构造……反　例”，由此可以看出反例发现不易．　在中学数学的教学中适当运用反例，能给学生　以深刻的印象，这对理解数学概念，掌握数学方法，　培养探索能力，激发学习兴趣，都起着重要的作用．　下面我们结合教学实践，谈谈反例的教学功能．　１．反例是纠正错误的有力工具　概念定理的教学总是采取正面阐述的方式，而　学生常常会对一些关键性的词语认识不足，对所要　求的条件理解不全．这时反例能起到正面强调所起　不到的强化作用．教育心理学家认为：“概念或规则　的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了　最有利于辨别的信息．”　例１关于双曲线定义的一个问题．　双曲线的定义：平面内与两个定点　、　的距　离的差的绝对值等于常数（小于Ｉ　Ｉ）的点的轨　迹叫作双曲线．　有不少同学往往会把这个概念中小括号内注明　的条件忽略掉．要纠正这种认识可给出反例如下：　平面内动点Ｐ与两个定点　（一１，０），　（１，０）　的距离的差的绝对值等于常数２，很容易写出动点　Ｐ的轨迹方程为Ｉ￣／（　＋１）　＋　一￣／（　一１）　＋　Ｉ　＝２．此时动点Ｐ的轨迹如图１．学生可以通过这个　反例对双曲线本质特征有进一步的认识．　

反例在数学教学中的运用

在数学教学中，反例是一种非常重要的教学策略，可以帮助学生更好地理解和掌握数学概念和定理。反例指的是通过给出一个特殊情况的例子，来否定一个命题或者证伪一个定理。通过引入反例，可以帮助学生更好地理解和记忆数学的抽象概念，培养他们的推理能力和创新思维。

一、引发兴趣和好奇心

在数学教学中，引入反例可以帮助激发学生对数学的兴趣和好奇心。传统的数学教学通常是基于一般规律和定理来进行讲解和推导，这样容易让学生产生距离感，并且难以理解和记忆。而通过引入反例，可以让学生从一个特殊的例子开始思考和探索，从而引发他们对数学问题的兴趣和好奇心。例如，在讲解负数乘法时，可以引入一个反例：(-2)×(-3)=6，这个例子直观地展示了负数乘法规律的异常，引发学生思考、质疑和探索。

二、帮助理解抽象概念

数学中存在很多抽象概念，如零的性质、负数的性质等等，这些概念对于许多学生来说很难理解和掌握。通过引入反例，可以将抽象的概念具体化，使其更易于理解。例如，在讲解零乘法时，可以引入一个反例：0×2=1，这个反例可以帮助学生理解零与任何数相乘都等于零的规律。同样，可以引入反例来帮助学生理解其他数学概念，如对角线不一定相等、平行线不一定没有交点等等。

三、矫正错误观念

学生在学习过程中往往会形成一些错误的观念和惯性思维。而通过引入反例，可以帮助学生纠正错误观念，从而更好地掌握和理解数学概念和定理。例如，在讲解奇数相乘和偶数相乘的特性时，可以引入反例：3×5=15（奇数相乘为奇数），4×6=24（偶数相乘为偶数），通过这两个反例可以帮助学生纠正“奇数相乘为偶数”和“偶数相乘为奇数”的错误观念。

四、培养推理能力

引入反例可以培养学生的推理能力和思维方式。通过分析反例，学生需要从中发现规律，进而得出一般结论。这种思维过程可以帮助学生培养逻辑思维和推理能力。例如，在讲解直角三角形的性质时，可以引入一个反例：两条边长相等的三角形不一定是直角三角形，通过这个反例学生可以发现只有两条边长相等并且夹角为90度的三角形才是直角三角形。