直线的倾斜角与斜率

第九章 直线与圆的方程

第６０课 直线的斜率与倾斜角

一、考纲要求：

１、深刻认识在平面直角坐标系中确定直线的两个要素；

2、理解直线的倾斜角及其斜率的概念，并深刻认识它们之间的关系;

3、熟练掌握过两点直线斜率的计算公式。

二、知识梳理

回顾:

1、直线的倾斜角:在直角坐标系中，一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角，我们规定与x轴平行的直线的倾斜角为0,于是，的取值范围是0,。

２、直线的斜率:当2时,直线的斜率tank,当2时,直线的斜率不存在。

3、经过两点11122212,,,PxyPxyxx的直线的斜率k ;若12xx,则k ，直线的状态是 。

解析:

1、任意一条直线都有倾斜角,并且倾斜角是唯一的,除了垂直于x轴的直线外,所有直线都有斜率，并且唯一。垂直于x轴的直线不能用斜率求解，可以由图形求解。

2、直线的斜率k与倾斜角的关系为tan2k，当从02时，k相应地从0增大到;当从2时，k相应地从增大到0。实质上是正切函数tany在0,且2上的单调性。

3、深刻理解经过两点11122212,,,PxyPxyxx的直线的斜率是111222,,,PxyPxy两点在y轴上投影的坐标差与在x轴上投影的坐标差的比值，求它们差的“方向”要一致。

三、诊断练习：

1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化,通过问题驱动，使教学言而有物,帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。

２、诊断练习点评:

题1、经过点0,0,1,3AB的直线l的斜率k ,倾斜角 。

1 直线的倾斜角和斜率，直线方程

一、直线的倾斜角和斜率

1．直线的倾斜角概念的注意点：

1）注意旋转方向：逆时针

2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°

3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°

2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。

概念注意点：

1）倾斜角为90°的直线无斜率

2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率

3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。

3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。

例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。

解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴ =135°。

点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。

例2．设直线l的斜率为k，且-1

解法1：当-1

当k=0时，=0，当0

解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：

由上图可知：-1

点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。

2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。

二、直线方程的四种形式

1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种

（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方 2 程。

（2）由两个不重合的点确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的两点式方程和其特例截距式。

2．点斜式和斜截式方程

1 直线的倾斜角和斜率

基础题

一．选择题：

1．下列命题中，正确的命题是

（A）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα

（B）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α

（C）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率

（D）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π

2．直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的斜率为

（A）3 （B）－3 （C）33 （D）－33

3．直线y=xcosα+1 (α∈R)的倾斜角的取值范围是

（A）[0, 2] （B）[0, π) （C）[－4, 6] （D）[0, 4]∪[43,π)

4．若直线l经过原点和点(－3, －3)，则直线l的倾斜角为

（A）4 （B）54 （C）4或54 （D）－4

5．已知直线l的倾斜角为α，若cosα=－54，则直线l的斜率为

（A）43 （B）34 （C）－43 （D）－34

6．已知直线l1: y=xsinα和直线l2: y=2x+c，则直线l1与l2

（A）通过平移可以重合 （B）不可能垂直

（C）可能与x轴围成等腰直角三角形 （D）通过绕l1上某一点旋转可以重合

二．填空题：

7．经过A(a, b)和B(3a, 3b)(a≠0)两点的直线的斜率k= ，倾斜角α= .

8．要使点A(2, cos2θ), B(sin2θ, －32), (－4, －4)共线，则θ的值为 .

9．已知点P(3 2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为 .

10.若经过点A(1－t, 1+t)和点B(3, 2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 .

提高题

一．选择题：

2 1．已知，A(－3, 1)、B(2, －4)，则直线AB上方向向量AB的坐标是

丹阳市第五中学高一数学教学案（必修2---解几）

课题：2.1.1直线的斜率(1)

教学目标：

知识与技能：①理解直线的斜率、倾斜角的概念，掌握过两点的斜率公式，并会利用这些知识确定直线位置，画直线。

②通过本节学习，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素及其关系，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，学会观察、对比、抽象、概括的思维方法，进一步体会数形结合和分类讨论思想。

过程与方法：由生活背景认知来研究直线的方向，体会形与数之间的对应关系，刻画形的特征即直线的倾斜程度可以用数来完成。

情感态度与价值观：培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力。

教学重点：直线的斜率、倾斜角的概念，直线斜率公式的推导，斜率存在性的分类讨论

教学难点：斜率公式的推导

教学工具：多媒体、三角板等

教法：探究

课型：新授

教学过程：

一、创设情境，导入新课：

直线是最常见的图形，过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线。如何用数学语言刻画直线的方向，进而建立直线的方程？如何利用直线的方程研究直线的位置关系？

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

问题：直线在直角坐标系中如何刻画其方向呢？

二、新授：

1、 直线的倾斜角

① 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的

直线把X轴所在的直线绕着交点逆时针方向旋转到直线

重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角

② 规定：与X轴平行或重合的直线的倾斜角为0

③ 直线的倾斜角的取值范围是0180

2、 直线的斜率

确定直线位置的要素除了点外，还有直线的倾斜程度，通过建立直角坐标系，点可以用坐标来反映，直线的倾斜程度可以用直线上的两点坐标来反映。

想一想： 楼梯的倾斜程度是怎样刻画的？

如果楼梯台阶的宽度不变，那么每级