直线的倾斜角与斜率

1 3.1.1

倾斜角与斜率

1．倾斜角的相关概念

(1)两个前提：①直线l与x轴相交；

②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；

③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；

②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．

思考：下图中标的倾斜角α对不对？

2．斜率的概念及斜率公式

(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．

(3)斜率与倾斜角的对应关系．

图示

倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°

斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0)

在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.

倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°

斜率k 0 33 1 3 －3 －1 －33

(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1x2－x1．

思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？

1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为( )

A．45° B．135° C．0° D．无法计算

2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )A．0° B．45° C．60° D．90°

3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )A．5 B．8 C．132 D．7

4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )A．33 B．3 C．1 D．22

直线的倾斜角

【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，

一、直线的倾斜角的定义

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。

二、直线倾斜角的意义：

①直线的倾斜角，体现了直线对x轴正向的倾斜程度；

②在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角；

③倾斜角相同，未必表示同一条直线。

三、倾斜角怎么求

将直线方程化成y=kx+c的形式，k即为斜率。tanα=k，α即为直线与x坐标轴正方向的夹角。平面直角坐标系内，当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角。

四、倾斜角公式

k=tan，α

k>0，时，α∈（0°，90°）

k<0时，α∈（90°，180°）

k=0时，α=0°

当α=90°时，k不存在

ax+by+c=0(a≠0）倾斜角为A，

则tanA=a/b，A=arctan(a/b)

当a≠0时，倾斜角为90度，即与X轴垂直 五、直线√3xy+1=0的倾斜角

直线√3x－y+1的斜率为：

A/B=√3/(1)=√3

∵tan60°=√3

∴直线√3x－y+1的倾斜角为60°

六、直线的斜率的定义： 1.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tanα。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。

2.性质：当时，k≥0；当时，k＜0；当时，k不存在。

直线斜率的性质：

当时，k≥0；当时，k＜0；当时，k不存在。

直线倾斜角的理解：

（1）注意“两个方向”：直线向上的方向、x轴的正方向；

（2）规定当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0度。 六、直线斜率的理解：

每条直线都有倾斜角，但每条直线不一定都有斜率， 斜率不存在；当 也逐渐增大； 且逐渐增大。

直线的倾斜角和斜率

引言

在几何学和代数学中，直线是一个重要的概念。直线可以用不同的方式来表达和描述，其中倾斜角和斜率是两个常见的表示方法。本文将详细介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法以及它们之间的关系。

直线的倾斜角

倾斜角是表示直线相对于水平方向的旋转程度的数值。直线的倾斜角可以是正值或负值，取决于直线向上或向下倾斜的方向。倾斜角的取值范围是从负无穷到正无穷。

计算倾斜角

可以通过计算直线上两点间的斜率来得到直线的倾斜角。斜率是指直线上任意两点的纵坐标变化量除以横坐标变化量的比值。

假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线AB的倾斜角可以通过以下公式计算：

倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))

其中arctan是反正切函数。需要注意的是，这个公式只适用于直线不垂直于x轴的情况。

当直线垂直于x轴时，倾斜角没有定义。此时可以取特殊值正无穷或负无穷来表示。

倾斜角的意义

倾斜角可以用于判断直线是向上倾斜还是向下倾斜，以及直线的旋转方向。倾斜角为正值表示直线向上倾斜，倾斜角为负值表示直线向下倾斜。倾斜角的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。

倾斜角还可以用于计算直线与水平线之间的夹角。直线与水平线的夹角等于90度减去直线的倾斜角的绝对值。 直线的斜率

斜率是直线上任意两点间纵坐标变化量除以横坐标变化量的比值。斜率可以用来描述直线的陡峭程度。

计算斜率

与计算倾斜角类似，直线的斜率可以通过两点间的纵坐标变化量除以横坐标变化量来计算。

假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线AB的斜率可以通过以下公式计算：

斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)

斜率的取值范围是从负无穷到正无穷。如果直线是垂直于x轴的，则斜率没有定义。

斜率的意义

斜率表示直线上每个单位横坐标变化对应的纵坐标的变化量。斜率为正值表示纵坐标随横坐标增加而增加，直线向上倾斜；斜率为负值表示纵坐标随横坐标增加而减少，直线向下倾斜。

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2.1 直线的斜率与倾斜角

考点一 倾斜角 思维导图

常见考法

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【例1】（1）（2020·四川高一期末）直线l：3x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ）

A．30° B．60° C．120° D．90°

（2）（2020·全国高二课时练习）l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是( )

A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°

C．90°

【答案】（1）C（2）C

【解析】直线l：3x+y﹣3＝0的倾斜角为则tan3k，因为 [0,180)，所以120故选：C

（2）由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的范围是90°180°，故选C.

【一隅三反】

1．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）直线3310xy的倾斜角为（ ）．

A．30 B．60 C．120 D．150

【答案】C

【解析】直线3310xy的斜率3k，设其倾斜角为，0,180，则tan3，所以120，故选：C

2．（2020·广东高一期末）直线y＝32x的倾斜角是（ ）

A．3 B．4 C．6 D．56

【答案】A

【解析】设直线的倾斜角为,0,，由题意直线的斜率3k，所以tan3k，所以3.

故选：A.

考点二 斜率

【例2】（2020·全国高二课时练习）过点32A，)与点23B，)的直线的倾斜角为（ ）

A．45 B．135 C．45或135 D．60

【答案】A

【解析】323213223ABk，故直线的倾斜角为45.故选：A.

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【一隅三反】

1．（2020·全国高二课时练习）如果过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，那么m的值是（ ）