定积分的概念和性质

1 / 1 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用

一． 定积分的定义

A）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

，

把区间[a,b]分成n个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211niiixxxnixxx在[iixx,1]上任意取一点i，作和式：)1.......()(1iniixf

如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[iixx,1]怎样选取，只要0有iniixf1)(I （I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做badxxf)(即I=badxxf)(其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

例：求曲边图形面积：3xy的图像在1,0x间与1x及x轴围成的图形面积。

注：

1、有定义知道badxxf)(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x无关，即badxxf)(=baduuf)(=badttf)(

2、定义中的0不能用n代替

3、如果iniixfLim10)(存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？

经典反例：中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(xxxf在[0，1]上不可积。

2 / 2 可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。

以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

初中数学知识归纳定积分的基本概念和性质

定积分作为数学中的一个重要概念，是初中数学学习中必须掌握的内容之一。本文将从定积分的基本概念和性质两个方面进行归纳，帮助初中生更好地理解和掌握这一知识点。

1. 定积分的基本概念

定积分是对函数在一定区间上的积分，可以理解为曲线与x轴所夹的面积。具体而言，定积分可以表示为∫ab f(x)dx，其中a和b分别表示积分的下限和上限，f(x)表示被积函数。

定积分的计算方法有多种，常见的有几何法和定积分的运算法则。几何法是通过图形的面积进行计算，而定积分的运算法则则利用不定积分求解。

2. 定积分的性质

定积分具有以下几个性质：

（1）可加性：对于函数f(x)和g(x)，定积分具有可加性，即∫ab

[f(x) + g(x)] dx = ∫ab f(x) dx + ∫ab g(x) dx。

（2）线性性：对于任意实数k，定积分具有线性性质，即∫ab kf(x)

dx = k∫ab f(x) dx。

（3）区间可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以将该区间分割成若干小区间，然后进行分别计算再求和，即∫ab f(x) dx =

∑(i=1 to n) ∫xi-1 xi f(x) dx，其中[xi-1, xi]表示分割后的小区间。 （4）定积分的性质与原函数相关：如果函数F(x)在区间[a, b]上是函数f(x)的原函数，则∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)。

（5）无关紧要的加法常数：定积分无关紧要的加法常数，即∫ab

f(x) dx = ∫ab [f(x) + C] dx，其中C为任意常数。

3. 定积分的应用

定积分不仅仅在数学理论中有重要应用，还广泛应用于物理、经济学等实际问题中。以下是一些常见的应用场景：

（1）面积计算：定积分可以用来计算曲线与x轴所夹的面积，从而解决几何学中的面积问题。

§1 定积分的概念与性质

练习题P233 2 （1），3，6 （1）（2）

一、 利用定义计算积分10 dxex.

二、比较下列积分哪一个值较大：

（1）222311xdxxdx与 （2）1100(1)xedxxdx与

三、估计积分022 dxexx的值

§2 微积分基本公式

练习题P240 1，2，5（1） （2），6 （1）——（6），9（1）

一、 计算下列积分：

(1)dxx20|sin|=

（2）1204dxx

（3）420213311xxdxx

(4)12111)()(220xxxxxfdxxf，，，其中

（5）2220020()limxtxxtedttedt

二、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导且，0)(xfxadttfaxxF)(1)(，证明：在(a，b)内有0)(xF.

三、当x为何值时，函数20()xtxtedt有极值？

§3 定积分的换元法和分部积分法

练习题P249 1.（1）——（8），2，11（1）——（6）

一、 计算下列积分：

(1)4111 dxx

(2)223coscosdxxx

(3) 2120ttedt (4)211lnedxxx

二、设],[)(baxf在上连续，证明：babadxxbafdxxf)()(.

三、证明002sin2sinxdxxdxnn.

四、 计算下列积分：

(1)eedxx1ln； (2)12201; ()mmIxdxm为自然数

1 / 4 第五章 定积分

本章重点: 1 定积分计算: 1.用牛一莱公式

2.用“特性”(奇偶对称)

3.分段函数的定积分

2 积分上限函数求导及应用

3 定积分计算中应注意的问题

第一节．定积分的概念与性质

教学内容和重点: 1 理解定积分定义

2 掌握性质和几何意义

一. 定积分的引入

1. 数学上: 求曲边梯形的面积

① 曲边梯形

② 面积的求法

ⅰ分割 ⅱ近似 ⅲ 求和 ⅳ 取极限

ix既表示第i个小区间,也表示长度. A=01lim()niifix

max{}ix

2.物理上: ① 作变速直线运动的路程. V(t) [1,2TT]

② 求法: S=01lim()niiiVt

③ 分析: ⅰ 含义不同,但处理的方法完全一样

ⅱ 式子均为特定和式结构的极限

二. 定积分的概念

1. Def: 设f(x)在[a,b]上有界(有界才有极限)

若01lim()niiifx ,则称01lim()()nbiiaifxfxdx

2. 定积分存在的两个充分条件

① 若f(x)C[a,b]()bafxdx (f(x)在[a,b]上可积)

② 若f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点(非无穷,振荡)(工类的)()bafxdx

3. 几个注意的问题

① 定积分,对任意分法和任意取法都成立采取特殊的分法,取法(比如等分)

② 0n等分

③ 定积分的值,只与f(x)和积分区间[a,b]有关,与积分变量无关 2 / 4 ()()()bbbaaafxdxfuduftdt