队员选拔与组队数学模型
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队员选拔与组队模型
摘要
队员的选拔问题，是一个抽象而难以量化求解的问题， 本文问了队员的选拔 标准直观化，采用了 「L.seaty教授提出的定量和定性的系统分析法，以经验判 断为基础，参照APH的成对比较标度，构造判断矩阵，求出各个单项因素影响 队员综合实力的权向量。结合层次分析法， 求出各个队员的综合能力。依照队员 的综合能力的大小，初略分成 n1个参赛队，并按能力大到依次排序。
将教练的评定结果量化，结合层次分析，将评定结果用数值表示出来。将 n1个参赛队再次排序。比较两次排序方法造成的机会损失，对机会损失大的队 伍重新排序，并删除一些能力差的队伍，组成 n2最终参赛队伍。
用计算机模拟20个人的个人信息表，求出每个人的综合能力，按大小排序 后，删除2名综合能力差的队员。构成n仁6支队伍。
用计算机依据置硬币的原理模拟教练对学生的评价结果，结合以选定的 n1
支队伍，并假设学校要求5支队伍参加比赛，最终确定被选定的 5支队伍为：
队伍编号 培训队成员
T2 P18 P15 P13
T4 P9 P16 P14
T5 P5 P12 P4
T6 P19 P2 P20
T7（新组成的队） P17 P8 P3
关键字：层次分析法 判断矩阵 APH的成对比较标度 权向量 机会损失一. 问题重述
面对每年一次的全国大学生数学建模竞赛及美国大学生数学建模竞赛 , 学 校需要花费较多的人力以及财力从报名的学生中选拔出优秀的学生并组成具有 竞争力的参赛队 , 期望获得最好的成绩 .
数学建模竞赛的每一个参赛队由 3 名同学组成 , 要求在三天的时间内完成 一个实际问题的求解 , 包括问题描述、 问题分析、建立模型、 模型求解算法设计、 编写程序求得结果、模型以及算法改进、模型稳定性分析、优缺点分析，最后撰 写论文等。 竞赛过程中仅允许本队队员之间讨论， 并可以利用图书馆中的图书资 料以及网上的正确可靠资源。
为最终组成有竞争力的参赛队 , 计划分两步来挑选队员 , 具体如下 : 第一步 依据报名表中的信息挑选出优秀的学生，并3人一组组成n1个培训队。 报名表（附件 4）。
第二步 对挑选出的队员进行培训。在培训期间要经过 3 至 6次的模拟竞赛， m 个教练对每一个培训队的每一次竞赛都有一个综合评价和单项评价， 单项评价包 括写作水平、模型的正确性和简洁性、算法的正确性和复杂度、创新点共四项， 评价成绩分为：优秀、优良、一般。基于这些评价最后从中选出实际参加竞赛的 队员并组成 n2（＜n1） 个参赛队 .
假设学校更为关心获特等奖个数 , 一等奖个数 , 二等奖个数 , 以及它在全 国的排名 .所有队员接受了相同的培训，外部环境相同，竞赛中不考虑其他的随 机因素，竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件， 并且参赛队员都能正常 的发挥自己的水平。建立合理的模型，解决以下问题：
1. 请建立挑选队员、队员组队的数学模型；给出求解模型的具体算法，编写程 序实现；
2. 由于队员变更，新组成队的队员之间相互适应需要花费时间，因而希望尽可 能避免不必要的队员变更。 试建立在这种条件下的挑选队员、 队员组队的数学模 型及其求解算法；
3. 对于给定的报名表信息，定性或定量分析影响选定 n2 个参赛队质量的因素；
. 问题分析
如何选出优秀的参赛队员是首要解决的问题， 如何科学合理的建立选拔标准 是解决这个问题的关键。根据题目中的要求首先要解决的如何从报名表信息中， 选拔出综合能力最强的队员。
要确定队员的综合能力， 需要解决的是队员各项能力对其综合能力影响的权 重是多少。实际生活中，对于这样的问题难以做出判断，就像无法说清《概率统 计》这门学科对数学建模影响是多少一样。 但是可以判断哪门学科对数学建模的 影响更为显著。所以我们可以根据美国运筹学专家 T.L.seaty 教授提出的定量和 定性的系统分析法，以经验判断为基础，参照 AHP 的成对比较标度，构造判断 矩阵，对判断矩阵加以适当的处理， 求出各项能力对综合能力的权矩阵。 结合层 次分析法，根据对学生数学建模报名信息表中有关信息，进行分类和分层处理， 学生的数学建模能力指标层次图如图表（ 1）：学生的数学建模能力
A
图表（1）
选拔队员时只需对学生的综合能力按大小进行排序，取综合能力强的同学。 对于组队方案，最初可以根据学生的综合能力组成 n1支队。让学生参加培训，
培训期间根据教练在几次模拟竞赛中对各支培训队进行评价， 根据实际情况，可
以认为教练的综合评定由各个单项的评定结果决定， 综合评定则代表这支培训队 的整体水平，由此确定n2个参加数学建模，对于教练的评定过程，建立指标层 次图如图表（2）：
级 指 标
层 一级指标层 学
习
能
力
B1 写
作
能
力
B2 编
程
能
力
B3 经
验
B4 其
/、
他
B5
二 高 概 线 计 英 专
级 等 率 性 算 语 业
指 数 统 代 方 课
标 学 计 数 法
层 C C C C C C
1 2 3 4 5 6 写 软
程 件
序 熟
悉
C C
7 8
1 ； 获 是
奖 否
情 干
况 部
C C
9 10
个人兴趣C1 1 身
体
状
况
C
12 目前大几C1 3
目标层 标 目
E1 E2 E3 图表（2）
同理可以采用AHP评定标准构造判断矩阵，求出各个单项评定结果对于综 合评定结果的权重的大小。根据实际评定结果， 并将其数值量化（即用适当的数 值来代替），便可用适当的值来衡量综合评定结果。最终确定参赛的 n2支队伍。
题目中第三个问题要求建立一种挑选机制， 使得尽量的避免队员的变更。我 们将这个问题分成两步：第一步找出是什么因素影响队员的变更， 第二步对于队 员的变更应做怎样的调整。
在培训之前，学校对每个同学的学习能力和动力的情况是未知的，故只能根 据学生的个人信息表的情况组成 n1个队，组好队后进入培训阶段，培训后，老 师每次都会给出模拟训练的成绩， 若某个队的综合能力排明靠前，而老师评定结 果排名却很差，这些队员肯定不满意， 希望变更。变更的原因可以认为是由队员 的搭配不合理，因为数学建模中一般要求三名队员在数学思维，软件编程， 论文
写作上各有千秋。所以可以针对各个队员的专项能力和综合能力，从新排序。
三•模型假设
（1） 假设队员选拔时，只考虑报名信息表信息表中的信息，其它因素可以 忽略。
（2） 认为m个教练对各个培训队评定结果的影响力是一致的。
（3） 各个学科对数学建模的影响力的显著程度的评定标准来自相关文献和 实际经验。
（4） 对于队员的变更，只考虑队员的搭配不合理而引起的队员变更，忽略 因队员性格不合引起等其他因素的变更，
（5） 假设模拟竞赛的结果能够准确反应队员的实际水平，不考虑抄袭等情 况，不存在发挥不正常的现象。
（6） 假设学生分组完全按照学校的安排，不会自行更改。
（7） 不会根据几个同学的亲密程度来组队，实力说明一切。
（8） 所有的队员接受相同的培训，外部环境相同，竞赛中不考虑其它因素。
（9） 对于第三问，假设有20个人参加数学建模竞赛报名，学校要求选拔 5 个参赛队。
四. 符号约定
Y :每个学生的数学建模的综合能力。
yk: 一级指标层中队员的某项能力，由它下一指标层决定。
Xi :二级指标层中队员的某项能力。
Xj :二级指标层中队员的某项能力。
A : 目标层的判断矩阵。B1、B3、B4、B5分别为一级目标层第1、3、4、5
的判断矩阵。
CI: 一致性指标。
RI:随机性指标。 CR: —致性检验指标。
':特征向量值。
Zki :第k个教练对第i个组的评定结果。
Qi :第i组的最终评定结果。 n :参加数学建模选拔的人数。 m :教练的人数。
aj :判断矩阵第i行第j列的元素。 Wi :第k层对k -1层的权重。
D:教练对模拟测试评定过程中的判断矩阵。 zk :第k项评定的数值化结果。
Li :第i组的机会损失。
E：为培训队所需达到的期望，由培训队所在的级别决定。 Qi：为队伍实际达到的期望，由在模拟竞赛中教练的评价决定。 P1…P20: 20名参赛队员编号。
T1…T7 :组队过程中组成的不同的队伍。
五. 模型的建立与求解
模型一
一.队员选拔模型
根据层次分析法，设队员的第 k层的某项能力yk由第k 1层的n项成绩
x1,x2,...xn 来确定，则有：yk HWN ■ W2X2 亠■亠 WnXn 。 ( 1)
(1)求权重Wi。
其中Wi是第i项的权重，0 ：：： Wi :: 1, W1 W2 W^ ■亠wn =1
为了确定权重的系数W，采用成对比较，从X1,X2"i Xn中任取两项Xi,Xj进行 比较它们对y的贡献程度。根据心理专家的意见，可按以下 AHP的成对比较标 度给Xi/Xj赋值，如图表(3):
尺度aj 含义
1 Xi与Xj的影响相同
3 Xi比Xj的影响稍强
5 Xi比xj的影响强
7 Xj比xj的影响明显的强
9
Xi比Xj的影响绝对的强
2, 4, 6, 8 Xi比Xj的影响之比在上述两个相邻等级之间
1，1/2,…..1/9 Xi比Xj的影响之比为上面aj的互反数
图表(3)
构造判断矩阵A =［砌］n n，其中n为判断矩阵的维数，判断矩阵中的元素符 合：aij
=1/aij 和 aij =10
由于数学建模中大多数问题需要对大量的数据进行数据处理， 对未知参数进
行估计，主要的数学软件编程以及多数算法多与矩阵有关， 故认为概率统计与线 形代数对数学建模学习能力的影响最大， 高等数学和计算方法较次，英语作为语 言的影响较少，专业课的影响最小。由此构造一个各项成绩对学习能力影响力的 判断矩阵B1如下图表（4）:
判断矩阵B1 （二级指标层第一项）
C1 C2 C3 C4 C5 C6
