任意角的三角函数

任意角的三角函数（内部使用）姓名： 日期：一、任意角的三角函数1、三角函数：任意角的三角函数的定义：角α是一个终边上任取点(,)P x y ，设(0)OP r r =≠则sin α= ；cos α= ；tan α= 。

2、三角函数值的符号：（1）记忆口诀：sin α上正下负横轴零，cos α左负右正纵轴零，tan α交叉正负横轴零。

（2）解释： 。

（3二、公式一（1）()sin +2k απ= ； （2）()cos +2k απ= ； （3）()tan +2k απ= 。

说明角的终边绕原点每转动一周，函数值会重复出现。

三、单位圆中的三角函数线（1）单位圆： ； （2）有向线段： ；四、三角函数的定义域和值域一、几个常见结论：1、同一个角α的正弦、余弦大小比较：（1）当α= 时，sin cos αα=； （2）当α∈ 时，sin cos αα>； （3）当α∈ 时，sin cos αα<。

2、确定sin cos αα+的符号：（1）当α∈ 时，sin cos 1αα+>； （2）当α∈ 时，sin cos 1αα+<-； （3）当α∈ 时，sin cos 0αα+=； （4）当α∈ 时，sin cos 0αα+>； （5）当α∈ 时，sin cos 0αα+<。

二、利用单位圆比较大小：当0,2πα⎛⎫∈⎪⎝⎭，比较tan ,sin ,ααα三者大小：> > 。

【例1】下列命题：①终边相同的角的同名三角函数值相等；②终边不同的角的同名函数值不等； ③若sin 0α>，则α是第一、第二象限的角；④若α是第二象限角，且(),P x y是其终边上一点，则cos α=其中正确的命题个数为 （ ） .A 1 .B 2 C.3 D.4【例2】设︒<<︒18090α，角α的终边上一点为)22,(x P ，且x 63cos =α.求：sin α，αtan 的值。

任意角的三角函数及基本公式三角函数是数学中的一个重要概念，它们描述了角度与三角比之间的关系。

任意角的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

下面将详细介绍这些函数的定义、基本公式以及它们之间的关系。

1. 正弦函数（sine function）：在单位圆上，从x轴正向到射线与单位圆的交点之间的弧度即为角的弧度。

正弦函数将给定角度的正弦值映射到数轴上。

其定义如下：sin(θ) = y/r其中θ为角度，y为对边，r为斜边。

2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数表示角的余弦值在数轴上的投影长度。

其定义如下：cos(θ) = x/r其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。

3. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角的正切值在数轴上的投影比。

其定义如下：tan(θ) = y/x其中θ为角度，y为对边，x为邻边。

4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角的余切值在数轴上的投影比。

其定义如下：cot(θ) = x/y其中θ为角度，y为对边，x为邻边。

5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角的正割值在数轴上的投影长度。

其定义如下：sec(θ) = r/x其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。

6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角的余割值在数轴上的投影长度。

其定义如下：csc(θ) = r/y其中θ为角度，y为对边，r为斜边。

这些函数在不同的角度上有不同的值，可以通过查表或计算器得到具体数值。

同时，它们之间存在一些基本公式和关系，如下：1. 互余关系（co-function identities）：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)tan(θ) = cot(90° - θ)cot(θ) = tan(90° - θ)sec(θ) = csc(90° - θ)csc(θ) = sec(90° - θ)2.三角函数的平方和差：sin²(θ) + cos²(θ) = 1tan²(θ) + 1 = sec²(θ)cot²(θ) + 1 = csc²(θ)3.三角函数的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)cot(θ) = 1/tan(θ)4.符号关系：根据角度的位置和象限，三角函数的值可能为正或负。

三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22yx r +=，正弦：r y =αsin 余弦：rx =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：xr =αsec余割：yr =αcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。