二次函数知识点总结和题型总结

二次函数知识点总结及典型题目一.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点.二.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . y=ax2 (a ≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0).例题精析：1． 二次函数的概念，二次函数y ＝ax 2 (a ≠0)的图象性质二次函数的一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)。

强调a ≠0．而常数b 、c 可以为0，当b ，c 同时为0时，抛物线为y ＝ax 2(a ≠0)。

此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y 轴，即直线x ＝0。

例：已知函数4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大? (3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小? 解： (1)使4m m 2x)2m (y -++=是关于x 的二次函数，则m 2＋m －4＝2，且m ＋2≠0，即：m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得；m ＝2或m ＝－3，m ≠－2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m ＋2＞0， (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m ＋2＜0。

二次函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. (1) 单调性与最值①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)b -+∞上递减，当bx =-时，；24()4ac b f x a -=.(2) 当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，图2-9令02p qx +=： （1） 若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2） 若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=；（3） 若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a =-=；（4） 若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.三、一元二次方程与二次函数的转化1．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a=< 2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1） 开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表2-5所示.四、二次不等式转化策略1. 二次不等式的解集与系数的关系若二次不等式2()0f x ax bx c =++≤的解集是0(,][,)a b a c a αβαβαβ⎧⎪<⎪⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪⎪⋅=⎪⎩二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x 轴交点横坐标有关的.2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠.()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩.注 若表述为“已知函数2()f x ax bx c =++”，并未限制为二次函数，则应有()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨>⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨<⎩. 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1） 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2） 对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型归纳及思路提示题型1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思想进行分析.例2.41 “0a <”是“方程2210ax x ++=至少有一个负数根”的（ ）Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件解析 由于0a <，则方程2210ax x ++=的判别式440a ∆=->，设12,x x 为方程的两根，则12122010x x ax x a ⎧+=->⎪⎪⎨⎪=<⎪⎩，故12,x x 异号，因此方程有一个负数根；但反之，若方程2210ax x ++=有负数根，当0a =时，即210x +=有负数根12x =-，那么方程2210ax x ++=有负数根⇒0a <.因此“0a <”是方程“2210ax x ++=至少有一个负数根”的充分不必要条件.故选B.变式1 已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A m f m =<，则（ ）. A. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +> B. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +<C. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +=D. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +<变式2 已知函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，若12x x <，121x x a +=-，则（ ）.A. 12()()f x f x <B. 12()()f x f x =C. 12()()f x f x >D. 1()f x 与2()f x 的大小不能确定例 2.42 （2012江苏13）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为_____________. 解析 将二次不等式转化为二次方程求解.由题意知2()f x x ax b =++的值域为[0,)+∞，得240a b ∆=-=.不等式()f x c < ()0f x c ⇔-<，即20x ax b c ++-<的解集为(,6)m m +，设方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，则1212x x ax x b c +=-⎧⎨=-⎩，12||x x -==6==，得9c =.评注 本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解.即不等式2x ax b c ++<的解集为(,6)m m +与方程2x ax b c ++=的实根12,x x 之间的联系，即12||6x x -=.变式1 （2012浙江理17）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则______a =. 变式2 （2012北京理14）已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则m 的取值范围是________. 题型2 二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件思路提示 结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.例2．43 已知,αβ是方程2(21)420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求实数m 的取值范围. 分析 根据二次方程根的分布结合图像求解.解析 根据题意，如图2-10所示，对于2()(21)42f x x m x m =+-+-，由图像知2αβ<<，得(2)0f <，故2(2)2(21)2420f m m =+-⨯+-<，解得3m <-，所以m 的取值范围是(,3)-∞-.图2-10评注 利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果.变式1 关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的两个根，一个小于0，一个大于1.求实数m 的取值范围. 变式2 已知二次函数2()2(,)f x x bx c b c R =++∈满足(1)0f =,且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--和(0,1)内，求实数b 的取值范围.例2.44 已知方程32230(,,)x ax bx c a b cR +++=∈的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个）.A. )+∞ B.)+∞ C.)+∞ D. )+∞ 解析 由方程32230(,,)x ax bx c a b c R +++=∈有三个实根123,,x x x ，且满足12301,1,1x x x <<=>.则231a b c ++=-，得123c a b =---.32232310x ax bx a b ++---=, (*)由1x =是方程的根，可知方程(*)可写成：2(1)[(231)]0x x mx a b -++++=，展开并与方程(*)对照系数可得21m a =+.所以2(21)(231)0x a x a b +++++=. 令2()(21)(231)f x x a x a b =+++++，(0)2310(1)4330f a b f a b =++>⎧⎨=++<⎩，如图2-11，(,)a b 所在的区域如阴影部分所示,点1(1,)3A -)+∞.故选A.图2-11变式1 设直线2y x m =-+与y 轴相交于点P ，与曲线22:33(1)C x y x -=≥相交于Q ，R ，且|PQ|<|PR |,求||||PR PQ 的取值范围. 题型3 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题思路提示 根据二次函数图像，分析对称轴与区间的位置关系.例2.45 函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上是单调函数，则（ ）. A. (,1)a ∈-∞ B. (2,)a ∈+∞ C. [1,2) D. (,1][2,)a ∈-∞+∞ 分析 利用区间[1,2]在对称轴的左侧和右侧分别作图.解析 作出函数在[1,2]上符合单调区间的图像，如图2-12（a ）,(b)所示的情况均满足要求.故选D.图2-12(b)(a)x评注 在处理“动轴定区间”问题时，首先应确定不定量，即区间一定，然后根据题目要求分类讨论对称轴与区间的相对位置关系，求解参数的范围.变式1 函数2()23f x x kx =-+在[1,)-+∞上是增函数，求实数k 的取值范围. 例2.46 求函数2()21f x x ax =--在[0,2]上的值域.分析 解答本题可结合二次函数的图像及对称轴与区间的位置关系. 解析 2()21f x x ax =--，抛物线()y f x =开口向上，对称轴x a =.（1） 当0a ≤时，函数在区间[0,2]上为增函数，故min max (0)1,(2)34y f y f a ==-==-，所以函数的值域为[1,34]a --.（2） 当2a ≥时，函数在区间[0,2]上为减函数，故min max (2)34,(0)1y f a y f ==-==-，所以函数的值域为[34,1]a --.（3） 当01a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(2)34y f a a y f a ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),34]a a -+-.（4） 当12a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(0)1y f a a y f ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),1]a -+-.评注 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R 还是区间[,]m n ，若是区间[,]m n ，最大（小）值不一定在对称轴处取得，而应该看对称轴是在区间[,]m n 内还是在 区间的左边或右边.在区间的某一边时，应该利用函数的单调性求解，最值不在对称轴处取得，而在区间的端点处取得.变式1 已知函数22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值.例2.47 已知二次函数2()23f x x x =--，若()f x 在[,1]t t +上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式. 分析 本题考查“定轴动区间”问题，求给定的二次函数在动区间上的最值，利用数形结合及分类讨论思想求解.解析 根据二次函数的解析式知1x =为其对称轴，分析对称轴与区间的位置关系，如图2-13所示.(b)(c)图2-13(a )x(1) 当1t >时，如图2-13（a ）所示，2()()23g t f t t t ==--；(2) 当11t +<，即0t <时，如图2-13（b ）所示，2()(1)4g t f t t =+=-； (3) 当11t t ≤≤+，即01t ≤≤时，如图2-13（c ）所示，()(1)4g t f ==-.因此224(0)()4(01)23(1)t t g t t t t t ⎧-<⎪=-≤≤⎨⎪-->⎩.变式1 已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)0,(1)1f f ==，若()f x 在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，求,m n 的值.变式2 （2012北京东城期末理8）已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(,)a b 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为A.8B.6C.4D.2最有效训练1.函数2263,[1,1]y x x x =-+∈-，则y 的最小值是（ ）.A. 32-B. 3C. 1-D.不存在 2.已知,,a b c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或13. 函数y =x 2+mx +1的图像关于直线x =1对称的充要条件是( ). A. m =-2 B. m =2 C. m =-1 D. m =14. 已知函数ƒ(x )=ax 2+bx +c ，且a >b >c ，a +b +c =0，则( ). A. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )>0 B. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )<0 C. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)=0 D. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)>05. 已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y=x2的图像上，则使得∆ABC的面积为2的点C的个数为( ).A. 4B. 3C. 2D. 16. 已知函数ƒ(x)=2x2+(4-m)x+4-m，g(x)=mx，若对于任意实数x，ƒ(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( ).A. [-4,4]B. (-4,4)C. (-∞,4)D. (-∞,-4)7. 若函数ƒ(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线x=1对称，则ƒ(x)max=________.8. 关于x的方程2x2+ax-5-2a=0的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率，则实数a的取值范围是________.9. 当x∈[0,2]时，函数ƒ(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是________.10.已知二次函数ƒ(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0,+∞)，则c aa c+++22的最小值为________.11.已知定义域为R的函数ƒ(x)满足ƒ(ƒ(x)-x2+x)=ƒ(x)-x2+x.(1)若ƒ(2)=3，求ƒ(1)，又若ƒ(0)=a，求ƒ(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得ƒ(x0)=x0，求函数ƒ(x)的解析式.12.已知二次函数ƒ(x)=x2+mx+1(x∈Z)，且关于x的方程ƒ(x)=2在区间(-3,12)内有两个不同的实根.(1)求ƒ(x)的解析式；(2)若x∈[1,t](t>1)时，总有ƒ(x-4)≤4x成立，求t的最大值.。

二次函数考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 注意： （1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0， 而b 、c 为任意实数。

（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。

（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2为整式）例1： 函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m= _______．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a____时，是二次函数；当a______，b_____时，是一次函数；当a_______，b_______，c_________时，是正比例函数．例3：函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数 例4： 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=2x1＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax 2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线x=ab 2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--，) （2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x1）（x-x2）（a ≠0）,对称轴:直线x=22x1x + (其中x1、x2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为____________；对称轴是___________。

二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函 数，叫做二次函数。

这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题：例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b24a ）1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ 。

二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳1．二次函数的定义与解析式(1) 二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2) 二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠ 0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠ 0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠ 0)．2．二次函数的图象和性质3. 幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质(1) 幂函数的图象比较(2) 幂函数的性质比较1(1) 已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2) 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3) 已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2． 幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴，在 (1，＋ ∞) 上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．1(2)函数 y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 2，y ＝x －1 可作为研究和学习幂函数 图象和性质的代表．题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是8， 试确定此二次函数．思维启迪： 确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件 灵活运用．解 方法一 设 f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴所求二次函数解析式为 f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 设 f(x)＝a(x －m)2＋n ，a ≠ 0.∵f(2)＝f(－1)，2＋ － 1 1 1 ∴抛物线对称轴为 x ＝ 2 ＝ 2.∴m ＝ 2. 又根据题意函数有最大值为 n ＝ 8，12∴y ＝f(x)＝a (x )2 ＋8.依题意有4a ＋2b ＋c ＝－1， a －b ＋c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， a ＝－4，解之，得 b ＝4， c ＝7，∵f(2)＝－1，∴a(x 1) ＋8＝－1，解之，得a＝－ 4.2∴f(x)＝－4(x 1)2＋8＝－4x2＋4x＋7.2方法三依题意知，f(x)＋1＝0 的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.4a －2a－1 －a2又函数有最大值y max＝8，即4a＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．题型二二次函数的图象与性质例 2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈［－4,6］．(1)当a＝－2 时，求f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使y＝f(x)在区间［－4,6］上是单调函数；(3) 当a＝1 时，求f(|x|)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈［－4,6］，∴f(x)在［－4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在［－4,6］上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3) 当a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈［－6,6］，x2＋2x＋3，x∈0，6］且f(x)＝2，x2－2x＋3，x∈［－6，0］∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6］，单调递减区间是［－6,0］．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．题型三二次函数的综合应用例 3 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋ c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间［－1,1］上，不等式f(x)>2x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴ a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，2a＝2，a＝1，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴a＋b＝0，b＝－ 1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m 等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在［－1,1］上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在［－1,1］上的最小值大于0 即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在［－1,1］上单调递减，∴g(x)min ＝g(1) ＝－m－1，由－m－1>0 得，m<－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立）问题是高考命题的热点．题型四幂函数的图象和性质例 4 已知幂函数f（x）＝xm2－2m－3 （m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞ ）上是减函数，求满足（a＋1）－m3<（3－2a）－m3的 a 的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解∵函数在（0，＋∞）上递减，∴ m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，1∴m＝1.而f（x）＝x－3在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，11∴（a＋1）－3<（3 －2a）－3等价于a＋1>3－2a>0 或0>a＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a.2 3 2 3解得a<－1 或3<a<2. 故 a 的取值范围为a|a<－1或3<a<2 .探究提高（1）幂函数解析式一定要设为y＝xα（α为常数的形式）；（2）可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数 形结合来解，一般从 ①开口方向； ②对称轴位置； ③判别式； ④端点 函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时， 一般需借助于二次函数的图 象、性质求解．2． 与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋ bx ＋ c>0， a ≠ 0 恒成立的充要条件是(2)ax 2＋ bx ＋ c<0， a ≠ 0 恒成立的充要条件是3． 幂函数 y ＝x α(α∈R)，其中 α为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变 量，指数 α为常数．失误与防范1． 对于函数 y ＝ ax 2＋bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明 a ≠0时，就要讨论 a ＝0和 a ≠0两种情况. 2． 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象a>0 b 2－4ac<0a<0最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.。

(完整版)二次函数知识点与题型总结二次函数知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴就组成了平面直角坐标系。

注意：x轴和y轴上的点不属于任何象限。

2、点的坐标的概念点的坐标用a,b表示其顺序是横坐标在前纵坐标在后中间有“”分开横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对当 a b时a,b和b,a 是两个不同点的坐标。

知识点二、函数及其相关概念、变量与常量在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量数值保持不变的量叫做常量。

一般地在某一变化过程中有两个变量x与y如果对于x的每一个值y都有唯一确定的值与它对应那么就说x是自变量y是x的函数。

2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点1）解析法两个变量间的函数关系有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示这种表示法叫做解析法。

2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系这种表示法叫做列表法。

(3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值2）描点：以表中每对对应值为坐标在坐标平面内描出相应的点3）连线：按照自变量由小到大的顺序把所描各点用平滑的曲线连接起来。

知识点三、概念总结及基本性质1、二次函数的概念：一般地形如y ax2 bx c（abc是常数a 0）的函数叫做二次函数。

二次函数的定义域是全体实数．2.、二次函数y ax2 bx c的结构特征：⑴等号左边是函数右边是关于自变量⑵abc是常数a是二次项系数x的二次式 x的最高次数是b是一次项系数c是常数项．2．3、二次函数的基本形式（平移规律：左加右减上加下减）(1）y ax2的性质：a的绝对值越大抛物线的开口越小。

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时y随x的增大而增大；x0时y随a向上00y轴x的增大而减小；x0时y有最小值0．x0时y随x的增大而减小；x0时y随向下00y轴x的增大而增大；x0时y有最大值0．(2）yax2c的性质：上加下减。

中考复习二次函数知识点总结二次函数是中考数学中的重要知识点之一、下面我将从函数的定义、图像特征、解析式以及一些常见题型进行总结，希望对中考复习有所帮助。

一、函数的定义：函数是数学中最基本的概念之一，它是描述两个集合之间对应关系的规则。

在二次函数中，我们通常用y来表示函数的值，用x表示自变量。

二、图像特征：1.开口方向：二次函数的图像在x轴上开口的方向可以通过二次项的系数（即a的正负性）来判断。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2.对称轴：二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称。

这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程为x=-b/(2a)。

3.顶点坐标：对称轴与二次函数图像的交点称为顶点，它的坐标为：(-b/(2a),f(-b/(2a)))4.单调性：当a>0时，二次函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，二次函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。

注意：二次函数的图像开口向上时，在对称轴上有一个最小值，反之开口向下时，在对称轴上有一个最大值。

三、解析式：一般情况下，二次函数的解析式可以写成：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

特殊情况下，二次函数的解析式还有以下两种形式：1.完全平方式：y=a(x-p)^2+q，其中p、q为常数。

此时，二次函数的对称轴的方程为x=p，顶点的坐标为(p,q)。

2.二次项因式可能性：y=a(x-h)(x-k)，其中h、k为常数。

此时，二次函数的对称轴的方程为x=(h+k)/2，顶点的坐标为((h+k)/2,a(h+k)/4)。

四、常见题型：1.求顶点坐标：根据二次函数的解析式，可以直接读出顶点的坐标。

2.求对称轴方程：根据二次函数的解析式，可以直接读出对称轴的方程。

3.求图像开口方向：判断二次项的系数a的正负性即可。

4.求单调性：根据图像特征可以判断。

5. 求零点：令y=0，解方程ax^2+bx+c=0即可。

二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数得概念与图像1、二次函数得概念一般地,如果,那么y叫做x 得二次函数。

叫做二次函数得一般式。

2、二次函数得图像二次函数得图像就是一条关于对称得曲线,这条曲线叫抛物线。

抛物线得主要特征:①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。

3、二次函数图像得画法---五点法:二、二次函数得解析式二次函数得解析式有三种形式:(1)一般式:(2)顶点式:(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根与存在时,根据二次三项式得分解因式,二次函数可转化为两根式。

如果没有交点,则不能这样表示。

三、抛物线中,得作用(1)决定开口方向及开口大小,这与中得完全一样、(2)与共同决定抛物线对称轴得位置、由于抛物线得对称轴就是直线,故:①时,对称轴为轴所在直线;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧、(3)得大小决定抛物线与轴交点得位置、当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴、以上三点中,当结论与条件互换时,仍成立、如抛物线得对称轴在轴右侧,则、四、二次函数得性质1、二次函数得性质一元二次方程得解就是其对应得二次函数得图像与x轴得交点坐标。

因此一元二次方程中得,在二次函数中表示图像与x轴就是否有交点。

当>0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当<0时,图像与x轴没有交点。

补充:函数平移规律:左加右减、上加下减六、二次函数得最值如果自变量得取值范围就是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。

如果自变量得取值范围就是,那么,首先要瞧就是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内得增减性,如果在此范围内,y随x得增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x得增大而减小,则当时,,当时,。

典型例题1、已知函数,则使y=k成立得x值恰好有三个,则k得值为( )A.0B.1C.2D.32、如图为抛物线得图像,A、B、C为抛物线与坐标轴得交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确得就是( )A.a＋b=－1B. a－b=－1C. b<2aD. ac<03、二次函数得图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系中得大致图象就是( )、4、 如图,已知二次函数得图象经过点(－1,0),(1,－2),当随得增大而增大时,得取值范围就是 .5、 在平面直角坐标系中,将抛物线绕着它与y 轴得交点旋转180°,所得抛物线得解析式就是( ).A. B.C. D.6、 已知二次函数得图像如图,其对称轴,给出下列结果①②③④⑤,则正确得结论就是( )A ①②③④B ②④⑤C ②③④D ①④⑤ 7.x … －2 －1 0 1 2 … y…4664…从上表可知,下列说法中正确得就是 .(①抛物线与轴得一个交点为(3,0); ②函数得最大值为6;③抛物线得对称轴就是; ④在对称轴左侧,随增大而增大.8、 如图,在平面直角坐标系中,O 就是坐标原点,点A 得坐标就是(－2,4),过点A 作AB ⊥y 轴,垂足为B ,连结OA . (1)求△OAB 得面积; (2)若抛物线经过点A . ①求c 得值;②将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到得抛物线顶点落在△OAB 得内部(不包括△OA B 得边界),求m 得取值范围(直接写出答案即可).9.已知二次函数y =14 x 2+ 32x 得图像如图.(1,-2)-1(1)求它得对称轴与x 轴交点D 得坐标;(2)将该抛物线沿它得对称轴向上平移,设平移后得抛物线与x 轴、y 轴得交点分别为A 、B 、C 三点,若∠ACB =90°,求此时抛物线得解析式;(3)设(2)中平移后得抛物线得顶点为M ,以AB 为直径,D 为圆心作⊙D ,试判断直线CM 与⊙D 得位置关系,并说明理由.10、 如图,在平面直角坐标系xOy 中,AB 在x 轴上,AB ＝10,以AB 为直径得⊙O′与y 轴正半轴交于点C ,连接BC ,AC 、CD 就是⊙O′得切线,AD ⊥CD 于点D ,tan ∠CAD ＝,抛物线过A ,B ,C 三点、(1)求证:∠CAD ＝∠CAB ; (2)①求抛物线得解析式;②判定抛物线得顶点E 就是否在直线CD 上,并说明理由;(3)在抛物线上就是否存在一点P ,使四边形PBCA 就是直角梯形、若存在,直接写出点P得坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由、11、 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 就是直角梯形,BC ∥AD ,∠BAD = 90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 就是BC 得中点,A 、B 、D 三点得坐标分别就是A (-1,0),B ( -1,2),D ( 3,0),连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ,若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N .(1)求抛物线得解析式(2)抛物线上就是否存在点P .使得P A = PC .若存在,求出点P 得坐标;若不存在.请说明理由。

二次函数知识点总结及练习知识点1：二次函数的概念（1）一般地，形如 （a,b,c 是常数， ）的函数，叫做二次函数。

注意：①a ②最高次数为 ③代数式一定是 （2）二次函数的一般形式是 （a,b,c 是常数， ） 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．练习：1.已知函数35)1(12-+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。

2.若函数y=(m 2+2m-7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

知识点2：二次函数的图像和性质（1）y=ax 2的图像和性质：练习：1. y=-2x 2的对称轴是 ，顶点坐标是 ；当 时，y 的值随x 值的增大而减小 2.当m= 时，抛物线mm x m y +-=2)1(开口向下，对称轴为 ，当x<0时，y 随x 的增大而 ；当x>0时，y 随x 的增大而 ．3.已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在二次函数y=-2x 2图象上，当x 1＞x 2＞0时，则y 1与y 2的大小关系是 ．4.已知点(-1，y 1)，(2，y 2)，(-3，y 3)都在函数y=5x 2的图象上，则则y 1与y 2,y 3的大小关系是 ． （2）y=ax 2+c 的图像和性质：1．二次函数y=-2x 2＋6图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当 时，y 随x 的增大而增大． 2.已知y=ax 2＋c 的图象上有A(-3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)三点，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是 ． 3.将二次函数y=2x 2-1的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ．4.已知抛物线y=(m-1)x 2＋m 2-2m-2的开口方向向下，且经过点(0，1)． (1)求m 的值；(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴； (3)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）y=a(x-h)2+k 的图像和性质：1.抛物线y=-12(x ＋4)2的顶点坐标为 ，当x ＞-4时，y 随x 的增大而 ．2.抛物线y=-2(x-1)2-3的开口方向是 ，其顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，当 时，函数值y 随自变量x 的值的增大而减小．3.若抛物线y=(x-m)2＋(m ＋1)的顶点在第一象限，则m 的取值范围为 ．4.已知A(1，y 1)、B(-12，y 2)、C(-2，y 3)在函数y=a(x ＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 ．(4)二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图像和性质练习：1.抛物线3842-+-=x x y 的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ， 函数值得最大值是 。

二次函数知识点总结和经典题型第一部分 二次函数基础知识✧ 相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2ax y =的性质✧ 二次函数2y ax c =+的性质✧ 二次函数y a x h =-的性质：✧ 二次函数()2y a x h k =-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . 顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. ✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大 小．一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. ✧ 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。