椭圆历年高考题精选

高考数学椭圆测试题及答案高考数学椭圆专项考试及答案一、选择题2.已知焦点在X轴上的椭圆的偏心率为，其长轴长度等于圆的半径c 3360 x2 y2-2x-15=0，那么椭圆的标准方程为()(甲)=1(乙)=1(C) y2=1 (D)=1第二，填空7.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的xx为原点，焦点F1、F2在X轴上，偏心率为。

穿过F1的直线L在A点和B点与C相交，ABF2的周长为16，那么C 的方程如下。

8.已知点P是椭圆16x2 25y2=400上的点，在X轴上方，F1和F2分别是椭圆的左右焦点，直线PF2的斜率为-4，那么F1，F2的面积为。

9.如果通过椭圆=1(a0)的左右焦点F1和F2的两条相互垂直的直线L1 l1、l2的交点在该椭圆内，则该椭圆的偏心率的取值范围为。

第三，回答问题10.(2013 Xi安模拟)在平面直角坐标系中，已知曲线C上任意点P到两个固定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4。

(1)求曲线c的方程.(2)让通过(0，-2)的直线L和曲线C在A点和B点相交，以线段AB为直径做一个圆。

:圆能通过坐标原点吗？如果是，请写出此时直线L的方程，证明你的结论；如果没有，请说明原因。

1.(2013渭南模拟)已知椭圆C:=1(a0)的右顶点A为抛物线y2=8x。

焦点、上顶点B和偏心率为。

(1)求椭圆c的方程.(2)通过点(0)的直线L，斜率为k，在点P和q与椭圆C相交，若直线PQ中点的横坐标为-，求解直线L的方程.12.(能力挑战)已知点P是圆F1:(x )2 y2=16上的任意一点，点F2和点F1关于原点对称。

线段PF2和PF1的中线相交于点m .(1)求m点的轨迹c的方程.(2)设轨迹C和X轴的左右交点分别为A和B，点K为轨迹C上不同于A和B的任意点，KHx轴和H为垂足，延伸HK到点Q使|HK|=|KQ|，连接AQ并延伸与B相交且垂直于X轴的直线L到点D，n为d B的中点。

椭圆2019年1.（2019全国1文12）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=2.（2019全国II 文9）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．83.（2019北京文19）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．4.（2019江苏16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a-+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．5.（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.6.（2019全国II 文20）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.7.（2019天津文19）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.8.(2019全国III 文15）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.9.（2019北京文19）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．2010-2019年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12CD 2．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 13．(2018上海)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为A ．B ．C ．D ．4．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A ．B C ．23D ．59 5．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B C ．3 D ．136．（2017新课标Ⅰ）设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足AMB ∠ =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞7．（2016年全国I 卷）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．348．（2016年全国III 卷）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．349．（2015新课标1）已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A B 、是C 的准线与E 的两个交点，则AB =A ．3B ．6C ．9D ．1210．（2015广东）已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()14,0F -，则m = A ．2 B ．3 C ．4 D ．911．（2015福建）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)412．(2014福建)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是A ．25B ．246+C ．27+D ．2613．（2013新课标1）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝114．（2013广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 15．(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆ 是底角为o30的等腰三角形，则E 的离心率为 A 、21 B 、32 C 、43 D 、54二、填空题16．(2018浙江)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．17．（2015浙江）椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点(),0F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．18．（2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．19．（2014辽宁）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．20．（2014江西）设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．21．（2014安徽）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为____．22．（2013福建）椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 ．23．（2012江西）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．24．（2011浙江）设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =；则点A 的坐标是 ．三、解答题25．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 26．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．27．（2018北京）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为3，焦距为．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． (1)求椭圆M 的方程；(2)若1k =，求||AB 的最大值；(3)设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点71(,)42Q - 共线，求k ．28．（2018天津）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3||AB = (1)求椭圆的方程；(2)设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．29．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．30．（2017天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．（i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．31．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l ：(0)y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为||NO ． 设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值．x32．（2017北京）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为4:5．33．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．34．（2016年北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．35．（2016年全国II 卷）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. （Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当AM AN =时，证明：32k <<.36．（2016年山东）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B ．(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明k k'为定值； (ii)求直线AB 的斜率的最小值．37．（2016年天津）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.38．（2015新课标2）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，点在C 上．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．39．（2015天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为5． （Ⅰ）求直线BF 的斜率；（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），故点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M ，||=||PM MQ λ． （i ）求λ的值；（ii ）若||sin =9PM BQP ∠，求椭圆的方程．40．（2015陕西）如图，椭圆E ：22221x y a b+=（a >b >0）经过点(0,1)A -，且离心率为22．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．41．(2015重庆)如图，椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的左、右焦点分别为1F ,2F ，且过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且PQ ⊥1PF ．（Ⅰ）若122PF =+|，222PF =-|，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若|1PQ PF λ=，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率e 的取值范围．42． (2014新课标1) 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>3F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 23，O 为坐标原点． （Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．43．(2014浙江)如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．44．（2014新课标2）设1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．45．（2014安徽）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF = （Ⅰ）若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； （Ⅱ）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率． 46．（2014山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>，直线y x =被椭圆C ． （Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(ⅰ)设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；(ⅱ)求OMN ∆面积的最大值．47．（2014湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=证明你的结论．48．（2014四川）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标． 49．（2013安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点23)P ，.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点(0,22)A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.50．（2013湖北）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．51． (2013天津)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ， 3， 过点F 且与x43(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D两点．若··8AC DB AD CB +=， 求k 的值．52．（2013山东）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为32，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．53．（2012北京）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M ,N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△AMNk 的值. 54．（2013安徽）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a , b 的值．55．（2012广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．56．（2011陕西）设椭圆C : ()222210x y a b a b +=>>过点(0，4)，离心率为35．（Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 57．（2011山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -． （Ⅰ）求22m k +的最小值； （Ⅱ）若2OG OD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．58．（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．59．（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）如果||AB =154，求椭圆C 的方程．。

2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。

高考椭圆试题及答案一、选择题1. 已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，若椭圆的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则下列说法正确的是（）A. \(a > b\)B. \(a < b\)C. \(a = b\)D. \(a = 2b\)答案：A2. 椭圆\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)的长轴长度为（）A. 3B. 5C. 6D. 9答案：C二、填空题3. 若椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的焦点坐标为\((\sqrt{5}, 0)\)和\((-\sqrt{5}, 0)\)，则a的值为（）。

答案：34. 椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)的短轴长度为（）。

答案：6三、解答题5. 已知椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)，求椭圆上一点P(x, y)到焦点F(1, 0)的距离的最小值。

答案：最小值为\(\sqrt{3} - 1\)。

6. 椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的长轴和短轴分别为2a和2b，且a > b > 0，若椭圆上存在一点P(x, y)，使得\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，且\(\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2}\)，求椭圆的离心率。

答案：离心率为\(\frac{1}{2}\)。

四、计算题7. 已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)，求椭圆的离心率和焦距。

答案：离心率\(e = \frac{3}{5}\)，焦距\(2c = 6\)。

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题36 椭圆（学生版）一．选择题（共12小题）1．（2019•北京）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =2．（2018•全国）已知椭圆22221x y a b +=过点3(4,)5-和4(3,)5-，则椭圆离心率(e = )A B C ．15D ．253．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆222:14x y C a +=的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C D 4．（2010•福建）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( ) A ．2B ．3C ．6D ．85．（2013•大纲版）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且||3AB =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=6．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=7．（2018•新课标Ⅱ）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，△12PF F 为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．148．（2017•全国）椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在C 上，22F P =，1223F F P π∠=，则C 的长轴长为( )A ．2B ．C ．2+D ．2+9．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m 的取值范围是( )A ．(0，1][9，)+∞B ．(0[9，)+∞C ．(0，1][4，)+∞D ．(0[4，)+∞10．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A B C D ．1311．（2016•新课标Ⅰ）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．3412．（2016•新课标Ⅲ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．34二．填空题（共7小题）13．（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．则该圆标准方程为 ．14．（2014•安徽）设1F ，2F 分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若11||3||AF F B =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为 ．15．（2011•江西）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2做圆221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是 ．16．（2019•新课标Ⅲ）设1F ，2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为 ．17．（2019•浙江）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．18．（2019•上海）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．19．（2018•浙江）已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m = 时，点B 横坐标的绝对值最大． 三．解答题（共6小题）20．（2016•北京）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．21．（2019•天津）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已|2||(OA OB O=为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且//OC AP．求椭圆的方程．22．（2019•天津）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||(ON OF O=为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题36 椭圆（教师版）一．选择题（共12小题）1．（2019•北京）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【答案】B【解析】由题意，12c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，22244a b a ∴-=，即2234a b =．2．（2018•全国）已知椭圆22221x y a b +=过点3(4,)5-和4(3,)5-，则椭圆离心率(e = )ABC ．15D ．25【答案】A【解析】椭圆22221x y a b +=过点3(4,)5-和4(3,)5-，则2222169125916125a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得5a =，1b =，22224c a b ∴=-=，c ∴=c e a ∴==3．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆222:14x y C a +=的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12CD【答案】C【解析】椭圆222:14x y C a +=的一个焦点为(2,0)，可得244a -=，解得a =2c =，c e a ∴===．故选C ． 4．（2010•福建）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8【答案】C【解析】由题意，(1,0)F -，设点0(P x ，0)y ，则有2200143x y +=，解得22003(1)4x y =-，因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2200000(1)34x OP FP x x y x =++=++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -，所以当02x =时，OP FP 取得最大值222364++=，故选：C ．5．（2013•大纲版）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且||3AB =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】C【解析】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，可得1c ==，所以221a b -=⋯①AB 经过右焦点2F 且垂直于x 轴，且||3AB =∴可得3(1,)2A ，3(1,)2B -，代入椭圆方程得22223()121a b +=，⋯②联解①②，可得24a =，23b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=6．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( ) A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】22||2||AF BF =，2||3||AB BF ∴=，又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=，又12||||2BF BF a +=，2||2aBF ∴=， 2||AF a ∴=，13||2BF a =，12||||2AF AF a +=，1||AF a ∴=，12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=， 在△12BF F 中，由余弦定理可得222134()()22cos 222a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得214202a a a -+=，解得23a =，a ∴222312b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：22132x y +=．7．（2018•新课标Ⅱ）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△12PF F 为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】由题意可知：(,0)A a -，1(,0)F c -，2(,0)F c ，直线AP 的方程为：3()6y x a =+，由12120F F P ∠=︒，212||||2PF F F c ==，则(2,3)P c c ， 代入直线3:3(2)6AP c c a =+，整理得：4a c =，∴题意的离心率14c e a ==．【答案】D【解析】椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在C 上，22F P =，1223F F P π∠=，则C 的长轴长为( )A ．2B ．C ．2+D ．2+【解答】解：椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，则1c =，2||2PF =，12||2||22PF a PF a ∴=-=-，由余弦定理可得22211221222||||||2||||cos3PF F F PF F F PF π=+-，即21(22)44222()2a -=+-⨯⨯⨯-，解得1a =，1a =（舍去），22a ∴=+D ．9．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m 的取值范围是( )A ．(0，1][9，)+∞B ．(0[9，)+∞C ．(0，1][4，)+∞D ．(0[4，)+∞【答案】A【解析】假设椭圆的焦点在x 轴上，则03m <<时，设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，设(,0)A a -，(,0)B a ，(,)M x y ，0y >，则22222a y a x b-=，MAB α∠=，MBA β∠=，AMB γ∠=，tan y x a α=+，tan y a xβ=-，222222222222tan tan 2222tan tan[()]tan()1tan tan ()ay ay ab ab a y a x y y a b c yy bαβγπαβαβαβ+=-+=-+=-=-=-=-=------222tan ab c yγ∴=-，当y 最大时，即y b =时，AMB ∠取最大值，M ∴位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，120AMB ∠︒，60AMO ∠︒，3tan tan 603AMO m∠=︒=，解得：01m <；当椭圆的焦点在y 轴上时，3m >，当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，120AMB ∠︒，60AMO ∠︒，tan tan 6033m AMO ∠︒=，解得：9m ，m ∴的取值范围是(0，1][9，)+∞10．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A 6B 3C 2D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴a =，化为：223ab =．∴椭圆C的离心率c e a ===．11．（2016•新课标Ⅰ）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】设椭圆的方程为：22221x y a b+=，直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：1x y c b +=，椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，2b =，222114()b c b =+，∴223b c =，2223a c c -=，12c e a ∴==． 12．（2016•新课标Ⅲ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意可设(,0)F c -，(,0)A a -，(,0)B a ，设直线AE 的方程为()y k x a =+，令x c =-，可得(M c -，())k a c -，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得(0,)2kaH ，由B ，H ，M 三点共线，可得BH BM k k =， 即为()2kak a c a c a -=---，化简可得12a c a c -=+，即为3a c =，可得13c e a ==．二．填空题（共7小题）13．（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．则该圆标准方程为 ． 【答案】22325()24x y -+=【解析】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标(4,0)，上下顶点坐标(0,2)±， 设圆的圆心(,0)a ，则22(0)(02)4a a -+-=-，解得32a =， 圆的半径为：52， 所求圆的方程为：22325()24x y -+=．14．（2014•安徽）设1F ，2F 分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若11||3||AF F B =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为 ．【答案】22312x y += 【解析】由题意，1(,0)F c -，2(,0)F c ，2AF x ⊥轴，22||AF b ∴=，A ∴点坐标为2(,)c b ，设(,)B x y ，11||3||AF F B =，∴113AF F B =，(c c ∴--，2)3(b x c -=+，)y ， 5(3B c ∴-，21)3b -，代入椭圆方程可得22221()53()13b c b--+=，221b c =+，223b ∴=，213c =，22312x y ∴+=． 故答案为：22312x y +=． 15．（2011•江西）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2做圆221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是 ．【答案】22154x y +=【解析】设切点坐标为(,)m n 则 1211n n m m -=--即22102m n n m +--= 221m n += 1102m n ∴+-=即AB 的直线方程为220x y +-=线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 220c ∴-=；20b -=解得1c =，2b = 所以25a =故椭圆方程为22154x y +=16．（2019•新课标Ⅲ）设1F ，2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为 ．【答案】【解析】设(,)M m n ，m ，0n >，椭圆22:13620x y C +=的6a =，b =，4c =，23c e a ==， 由于M 为C 上一点且在第一象限，可得12||||MF MF >，△12MF F 为等腰三角形，可能1||2MF c =或2||2MF c =，即有2683m +=，即3m =，n =2683m -=，即30m =-<，舍去．可得M ．故答案为：．17．（2019•浙江）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．【解析】椭圆22195x y +=的3a =，b =2c =，23e =，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆， 连接AO ，可得||2||4PF AO '==，设P 的坐标为(,)m n ，可得2343m -=，可得32m =-，n =，由(2,0)F -，可得直线PF 的斜率为2322=-+ 另解：由||2||4PF AO '==，||642PF =-=，||24FF c '==，可得416161cos 2244PFF +-'∠==⨯⨯，sin PFF '∠=， 可得直线PF的斜率为sin cos PFF PFF '∠'∠．18．（2019•上海）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ． 【答案】1[arccos 3π-，]π【解析】设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(2-，0)，(2，0)，121F P F P ，2221x y ∴-+，结合22142x y +=可得：2[1y ∈，2]故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：2221222222212238cos 3[122(2)8F P F Qy y y F P F Q x y x θ-====-+∈-++++-，1]3-故1[arccos 3θπ∈-，]π19．（2018•浙江）已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m = 时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由(0,1)P ，2AP PB =，可得122x x -=，1212(1)y y -=-，即有122x x =-，1223y y +=，又221144x y m +=，即为2221x y m +=，① 222244x y m +=，②①-②得1212(2)(2)3y y y y m -+=-，可得122y y m -=-，解得132m y -=，234my +=， 则2223()2m m x -=+， 即有222223109(5)16()244m m m m x m --+---+=-==， 即有5m =时，22x 有最大值4，即点B 横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．三．解答题（共6小题）20．（2016•北京）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点．（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．（1）解：椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，2a ∴=，1b =，则c =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为e （2）证明：如图， 设0(P x ，0)y ，则002PA y k x =-，PA 所在直线方程为00(2)2y y x x =--， 取0x =，得0022M y y x =--； 001PB y k x -=，PB 所在直线方程为0011y y x x -=+， 取0y =，得01N x x y =-． 0000022||2211N x y x AN x y y --∴=-=-=--， 00000222||1122M y x y BM x x x +-=-=+=--． ∴000000222211||||2212ABNM y x x y S AN BM y x --+-==-- 22220000000000000000000000(22)(2)4(2)4444841112(1)(2)222222x y x y x y x x y y x y y x x y x y x y x y +-+-++++--+=-==--+--+--000000004(22)11422222x y x y x y x y +--==⨯=+--．∴四边形ABNM 的面积为定值2．21．（2019•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已3|2||(OA OB O =为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．解：3|2||OA OB =32a b =，可得22311142c b e a a =-=-；（Ⅱ）3b =，12c a =， 即2a c =，3b c =，可得椭圆方程为2222143x y c c+=，设直线FP 的方程为3()4y x c =+，代入椭圆方程可得2276130x cx c +-=，解得x c=或137cx=-，代入直线PF方程可得32cy=或914cy=-（舍去），可得3 (,)2cP c，圆心C在直线4x=上，且//OC AP，可设(4,)C t，可得3242ctc c=+，解得2t=，即有(4,2)C，可得圆的半径为2，由直线FP和圆C相切的条件为d r=，2=，解得2c=，可得4a=，b=可得椭圆方程为2211612x y+=．22．（2019•天津）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||(ON OF O=为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．解：（Ⅰ）由题意可得24b=，即2b=，cea==222a b c-=，解得a，1c=，可得椭圆方程为22154x y+=；（Ⅱ）(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+， 代入椭圆方程224520x y +=， 可得22(45)200k x kx ++=， 解得22045k x k =-+或0x =， 即有220(45k P k -+，22810)45k k -+， 2y kx =+，令0y =，可得2(M k -，0)， 又(0,1)N -，OP MN ⊥， 可得281011220k k k-=---，解得k = 可得PB 的斜率为。

历届高考数学中的“椭圆”单元测试题(供文科使用)-(2)work Information Technology Company.2020YEAR历届高考中的“椭圆”试题精选（自我测试）12345678题 号答 案1.(2007安徽文)椭圆1422=+y x 的离心率为（ ） （A ）23 （B ）43 （C ）22（D ）322.(2008上海文)设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．103．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．324．（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）125．（2003北京文）如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点 F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）A ．51B ．52C ．55D ．5526．（2002春招北京文、理）已知椭圆的焦点是F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线7．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） （A ）32 （B ）33 （C ）22（D ）238.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）（A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24二、填空题：9．(2008全国Ⅰ卷文)在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．10．（2006上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．11.（2007江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A C B+= .12．（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．历届高考中的“双曲线”试题精选（自我测试）1．（2005全国卷Ⅱ文，2004春招北京文、理）双曲线149x y -=的渐近线方程是（ ）（A ）23y x =± （B ）49y x =± （C ）32y x =± （D ）94y x =±2.（2006全国Ⅰ卷文、理）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．143．（2000春招北京、安徽文、理）双曲线12222=-ay b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．234.（2007全国Ⅰ文、理）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）（A ）112422=-y x （B ）141222=-y x （C ）161022=-y x （C ）110622=-y x5.(2008辽宁文) 已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．（2005全国卷III 文、理）已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53C ．23D ．37．(2008福建文、理)双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为12,F F ，若P 为其上的一点，且12||2||PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞8.(2007安徽理)如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）5 （C ）25 （D ）31+二、填空题：9.（2008安徽文）已知双曲线22112x y n n-=-的离心率是3。

椭圆高考题汇编1．（2019全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2.（2019全国II 理21（1））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；3.（2019北京理4）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，则（A ）22.2a b =（B ）22.34a b=（C ）2a b=（D ）34a b=4.（2019全国III 理15）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)+=>>：x y C a b a b的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为6的直线上，12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．142．(2018上海)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A ．B C ．23D ．594．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3 C ．3 D ．135．(2016年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．346．(2016年浙江)已知椭圆1C ：2221x y m +=(1m >)与双曲线2C ：2221x y n-=(0n >)的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <7．(2014福建)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是 A ．25 B ．246+ C ．27+ D ．268．（2013新课标1）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝19．(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆ 是底角为o 30的等腰三角形，则E 的离心率为A 、21B 、32 C 、43 D 、54 二、填空题10．(2018浙江)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．11．(2018北京)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．13．（2015新课标1）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．14．（2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（2014辽宁）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．16．（2014江西）设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．17．（2014安徽）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为_____．18．（2013福建）椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c +与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于19．（2012江西）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．20．（2011浙江）设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =；则点A 的坐标是 ． 三、解答题21．（2018全国卷Ⅰ）设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．22．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．23．(2018天津)设椭圆22221x x a b+=(0a b >>)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值．24．（2017新课标Ⅰ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)2P =-，43(1,)2P =中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．25．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．26．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．27．（2017天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程． 28．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．x29．(2016年北京)已知椭圆C ：22221(0)x y a ba b+=>>(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．30．(2015新课标2）已知椭圆C ：2229x y m +=(0m >)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．31．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b ab+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．32．（2015安徽）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为10． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．33．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>焦点分别是1F 、2F ．以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．( i )求||||OQ OP 的值； （ii ）求△ABQ 面积的最大值．34． (2014新课标1) 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． （Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．35．(2014浙江)如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．36．（2014新课标2）设1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．37．（2014安徽）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =（Ⅰ）若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； （Ⅱ）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率． 38．（2014山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>，直线y x=被椭圆C ． （Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(ⅰ)设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； (ⅱ)求OMN ∆面积的最大值．39．（2014湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．40．（2014四川）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标． 41．（2013安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点23)P ，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点(0,22)A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．42．（2013湖北）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．43． (2013天津)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，， 过点F 且与x 轴垂直的直(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 设A ， B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点． 若··8AC DB AD CB +=， 求k 的值．44．（2013山东）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值． 45．（2012北京）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A，离心率为．直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M ,N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△AMN得面积为3时，求k 的值． 46．（2013安徽）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶第20题图点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a , b 的值．47．（2012广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由． 48．（2011陕西）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 49．（2011山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -．（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2OG OD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．50．（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（01b <<）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．51．（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB |=154，求椭圆C 的方程．。

高考椭圆最常考的题型（140分推荐）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知椭圆：x 24+y 2b2=1(0<b <2) ，左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点，若|BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为5，则b 的值是( )A. 1B. √2C. 32D. √32. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线x =√2与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则椭圆的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 24+y 22=1C.x 28+y 24=1D.x 26+y 23=13. 已知直线y =kx(k ≠0)与椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >1)交于P ，Q 两点，点F ，A 分别是椭圆C 的右焦点和右顶点，若|FP|+|FQ|+|FA|=52a ，则a =( )A. 4B. 2C. 43D. 2√334. 已知直线2x +y −4=0经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，F 1是椭圆的左焦点，且|AB |=|AF 1|，则椭圆的方程为( )A. x 240+y 236=1B. x 220+y 216=1C. x 210+y 26=1D.x 25+y 2=15. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. 136. 已知椭圆方程为x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2)，那么k =( )A. 59B. 97C. 1D. 537. 已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦距为4，则C 的离心率( )A. 13B. 12C. √22D. 2√238. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则椭圆C 的方程为( )A. x 23+y 2=1B. x 23+y 22=1 C. x 212+y28=1 D. x 212+y24=1二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）9.已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为12，则C的方程可以为．10.椭圆E：x2a2+y23=1的右焦点为F2，直线y=x+m与椭圆E交于A，B两点．若△F2AB周长的最大值是8，则m的值等于________．三、解答题（本大题共20小题，共240.0分）11.设椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33，短轴一个端点到右焦点的距离为√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求|AB|．13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1,√32)在椭圆C上，且△PF1F2的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线x=my+1对称，求m的取值范围．14.已知点P(3,4)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2√3．(Ⅰ)求椭圆Ｃ的标准方程；(Ⅱ)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线过定点(13,0)，求k的取值范围．16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和直线l:xa−yb=1，椭圆的离心率e=√63，坐标原点到直线l的距离为√32．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．17.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过两点(0,1)，(√3,12)．(I)求椭圆E的方程；(II)若直线l:x−y−1=0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB 的面积S．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，M(√3,−12)是椭圆C上的一点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(−4,0)作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，A点关于x轴的对称点为D，问直线BD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴的一个端点到右焦点的距离为3√2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆相交于不同两点A、B，求|AB|．20.已知椭圆C1的方程为x24+y23=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为√32．(1)求椭圆C2的方程；(2)如上图，M，N分别为直线l与椭圆C1，C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON 的面积为△POM的面积的2倍，若直线l的方程为y=kx(k>0)，求k的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点，且AB=√7，右准线l的方程为x=4．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P，交l于点Q.若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．23.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y=kx+2与椭圆C交于A，B两点且∠AOB为直角，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)求AB的长度．24.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−3)2+y2=1，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当AN=127AM时，求直线l的方程．26.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上.(1)若F1F2=2√2，点P的坐标为(√3,√2)，求椭圆E的方程；(2)若点P横坐标为a2，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．28.如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M( √2, 1 )(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的一个顶点为B( 0,−b )，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积29.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点(1,32)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C 于D，E两点(其中D在x轴上方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若ΔAEF与ΔBDF的面积比为1:7，求直线l的方程．30.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且椭圆E经过点P(−√3,12)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A,B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化，三角形AF2B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出三角形AF2B的周长，欲使|BF2|+|AF2|的最大，只须|AB|最小，利用椭圆的性质即可得出答案．【解析】解：由椭圆的方程可知：长半轴长为a=2，由椭圆的定义可知：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，所以|AB|=8−(|AF2|+|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a=3，可求得b2=3，即b=√3．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和离心率，属于简单题．结合已知条件建立关系式求得a2=6,b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，所以ca =√22①又因为直线x=√2与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，所以A(√2,√2)代入x2a2+y2b2=1得2a2+2b2=1②又因为a2=b2+c2③联立①②③解得a2=6,b2=3，所以椭圆的方程为x26+y23=1．故选D．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的概念与标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，属于基础题．取椭圆的左焦点F′，由三角形全等知|PF|=|QF′|，由椭圆的概念及集合性质知|FP|+ |FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,|FA|=a−c,b=1，代入条件及利用a，b，c的关系式求得a．【解答】解：取椭圆的左焦点F′，因为直线过原点，∴|OP|=|OQ|,|OF|=|OF′|，由椭圆的对称性，∴|PF|=|QF′|，∴|FP|+|FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,∵|FP|+|FQ|+|FA|=52a,|FA|=a−c，所以2a+a−c=52a，即a=2c，∵a2=b2+c2=1+14a2，a=2√33．故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质，属于基础题．由直线2x+y−4=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2，可求得c=2，由椭圆定义可求得即a=√5，故a2=5，b2=1，椭圆方程可解．【解答】解：直线2x +y −4=0与x 轴和y 轴的交点分别为F 2(2,0)，B(0,4)， 所以c =2，又2a =|AF 1|+|AF 2|=|AB|+|AF 2|=|BF 2|=2√5， 所以a =√5，从而b 2=5−4=1， 所以椭圆方程x 25+y 2=1．故选D ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆的几何性质，涉及向量的线性关系，属基础题．根据向量关系得出|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，根据平行线截线段成比例定理得出|AO||AF|的值，得到a ，c 的关系，求得离心率． 【解答】 解：如图所示：∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴|PA||AB|=23， 又∵PO//BF ， ∴|AO||AF|=|PA||AB|=23， 即aa+c =23， ∴e =ca =12． 故选C ．6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值，属于基础题． 把椭圆x 2+ky 2=5的方程化为标准形式，得到c 2的值等于4，解方程求出k ． 【解答】解：椭圆x 2+ky 2=5，即x 25+y 25k=1，∵焦点坐标为(0,2)，c 2=4， ∴5k −5=4，∴k =59， 故选：A ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．根据题意求出c =2，a =2√2，由e =ca 即可求出结果． 【解答】 解：∵椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦点在x 轴上，且焦距为4，∴a 2>4，c =2， ∴a 2−4=4， ∴a =2√2， ∴e =ca =2√2=√22． 故选C ．8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 利用△AF 1B 的周长为4√3，求出a =√3，根据离心率为√33，可得c =1，求出b ，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF 1B 的周长为4√3，∵△AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a +2a =4a ， ∴4a =4√3， ∴a =√3， ∵离心率为√33，∴ca =√33，c =1，∴b =√a 2−c 2=√2， 即椭圆C 的方程为x 23+y 22=1．故选B ．9.【答案】x 24+y 23=1(答案不唯一)【解析】 【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a ，b 和c 之间的关系，属于基础题． 利用离心率为12，可得b =√32a ，即可求解．【解答】解：设椭圆的标准方程为 x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵离心率为12， ∴e =ca =√a 2−b 2a=12， ∴b =√32a ， 令a =2，则b =√3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1(答案不唯一)．10.【答案】1【解析】 【分析】本题考查的知识要点：椭圆的定义和方程的应用，属于基础题型．首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出相应的值，最后求出结果． 【解答】 解：椭圆E ：x 2a 2+y 23=1的右焦点为F 2，N 为左焦点，直线y =x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，则△F 2AB 周长l =AB +BF 2+AF 2=AB +2a −NB +2a −NA =4a +(AB −NA −NB)， 由于NA +NB ≥AB ，所以当N 、A 、B 三点共线时，△F 2AB 的周长l =4a =8， 所以a =2， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，直线y =x +m 经过左焦点，所以m =1． 故答案为1．11.【答案】解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2=1，则b =4，∵e =ca =35，∴a 2−b 2a 2=925，即1−16a 2=925，∴a =5，∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1． (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线与C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 将直线方程y =45(x −3)代入C 的方程，得x 225+(x−3)225=1，即x 2−3x −8=0，故x 1+x 2=3．设线段AB 的中点坐标为(x′,y′)，则x′=x 1+x 22=32，y′=y 1+y 22=25(x 1+x 2−6)=−65，即所求中点坐标为(32,−65).【解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，以及直线与椭圆的综合应用，属于中档题目． (1)将(0,4)代入椭圆方程求出b ，再由椭圆的离心率求出a ，得到椭圆方程； (2)写出直线方程联立椭圆方程，利用中点坐标公式结合韦达定理得出．12.【答案】解：(Ⅰ)由题意：e =c a =√33，即a =√3c ，短轴一个端点到右焦点的距离为√3， 即b 2+c 2=(√3)2=3， 而a 2=b 2+c 2， 所以a 2=3，b 2=2， 所以椭圆的方程：x 23+y 22=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)，左焦点(−1,0)，直线l 的方程：y =x +1， 设A(x,y)，B(x′,y′)，联立直线l 与椭圆的方程，消去y 整理得：5x 2+6x −3=0， 所以x +x′=−65，xx′=−35，∴|AB|=√1+k 2√(x +x′)2−4xx′ =√1+1×√(−65)2−4×(−35)=8√35．【解析】本题考查直线与椭圆的交点弦长，属于基础题．(Ⅰ)由题意得离心率及长半轴长及a ，b ，c 之间的关系，求出椭圆的方程；(Ⅱ)由题意写出直线l 的方程与椭圆联立写出两根之和及之积，再由弦长公式求出弦长．13.【答案】解：(1)由题意可得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2解得a =2，b =1，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0). 因为直线x =my +1过定点(1,0)，所以(x 1−1)2+y 12=(x 2−1)2+y 22.因为A ，B 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，所以(x 1−1)2+1−x 124=(x 2−1)2+1−x 224，整理得x 12−x 224=(x 1−x 2)(x 1+x 2−2)，所以x 1+x 2=83，所以x 0=43.因为点M 在直线x =my +1上，所以x 0=my 0+1，则y 0=13m .由{x 24+y 2=1,x =43,得y =±√53， 则−√53<13m <0或0<13m <√53，解得m <−√55或m >√55.故m 的取值范围为(−∞,−√55)⋃(√55,+∞)．【解析】本题考查椭圆的性质和标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由题意得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2，解出a ，b ，进而求出答案．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，由条件求出x 1+x 2=83，x 0=43，进而由条件求出y =±√53，进而求出答案．14.【答案】解：(1) 令F 1(−c,0)，F 2(c,0)，∵PF 1⊥PF 2，∴k PF 1·k PF 2=−1，即43+c ·43−c =−1，解得c =5，∴椭圆的方程为x 2a 2+y 2a 2−25=1．∵点P(3,4)在椭圆上，∴9a 2+16a 2−25=1，解得a 2=45，或a 2=5， 又a >c ，∴a 2=5舍去， 故所求椭圆方程为x 245+y 220=1．(2)P 点纵坐标的值即为F 1F 2边上的高，∴△PF1F2=12|F1F2|×4=12×10×4=20．【解析】本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．(1)设出焦点的坐标，利用垂直关系求出c值，椭圆的方程化为x2a2+y2a2−25=1，把点P的坐标代入，可解得a2的值，从而得到所求椭圆方程．(2)P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，由S△PF1F2=12|F1F2|×4求得△PF1F2的面积．15.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知：{2b=2√3ca=12a2=b2+c2，得{a=2b=√3c=1,故椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(Ⅱ)设直线l：y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将y=kx+m代入椭圆方程，消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，所以，即m2<4k2+3…………①由根与系数关系得x1+x2=−8km3+4k2，则y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，所以线段AB的中点P的坐标为(−4km3+4k2,3m3+4k2)．又线段AB的垂直平分线l′的方程为y=−1k (x−13)，由点P在直线l′上，得3m3+4k2=−1k(−4km3+4k2−13)，即4k2+3km+3=0，所以m=−13k(4k2+3)…………②由①②得(4k2+3)29k2<4k2+3，∵4k2+3>0,∴4k2+3<9k2所以k2>35，即k<−√155或k>√155，所以实数k的取值范围是．【解析】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，属于中档题．(Ⅰ)由离心率得到a ，c ，b 的关系，再代入椭圆的标准方程中即可求解．(Ⅱ)设出A ，B 的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m 2<4k 2+3，再结合根与系数关系得到AB 中点P 的坐标为(−4km3+4k 2,3m3+4k 2).求出AB 的垂直平分线l′方程，由P 在l′上，得到4k 2+3km +3=0.结合m 2<4k 2+3求得k 的取值范围．16.【答案】解：(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca=√63ab√a 2+b 2=√32，又a 2=b 2+c 2,解得：a 2=3，b =1， ∴椭圆的方程为x 23+y 2=1;(Ⅱ)假设存在这样的k ，使以CD 为直径的圆过定点E ， 联立直线与椭圆方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， ∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0，∴k >1或设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 则{x 1+x 2=−12k1+3k 2x 1·x 2=91+3k2，② 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2),要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，故EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0，∴(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0，③ 将②代入③整理得k =76>1， 经验证使得①成立，综上可知，存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ．【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，注意合理地进行等价转化，属于中档题．(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca =√63√a 2+b 2=√32，由此能求出椭圆的方程;(Ⅱ)假设存在这样的值，联立方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解即可．17.【答案】解：(1)由题意得{b 2=13a2+14b2=1，解得{a =2b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1x =y +1， 消去x 得5y 2+2y −3=0． 所以y 1,2=−1或35，直线l 与x 轴的交点为(1,0)，记为点P ，S =12|OP||y 1−y 2|=45．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，三角形面积的应用，属于简单题．(1)根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的计算，求出椭圆E 的方程;(2)根据已知及直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算，求出△AOB 的面积S ．18.【答案】解：(1)∵c a =√32，a 2=b 2+c 2，∴a 2=4b 2，∴x 24b 2+y 2b 2=1，将M (√3,−12)代入椭圆C ，∴b 2=1， ∴椭圆C 方程为：x 24+y 2=1．(2)显然AB 斜率存在，设AB 为：y =k(x +4)，{x 24+y 2=1,y =k(x +4)⇒(1+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−4=0,Δ=16−192k 2>0，∴k 2<112． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 1,−y 1)， ∴x 1+x 2=−32k 21+4k2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2，∵BD ：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，∴y =0时x =x 1+x 2y 1−x 1y 1y 1+y 2=2kx 1x 2+4k(x 1+x 2)k(x 1+x 2)+8k=2k(64k 2−41+4k 2)+4k(−32k 21+4k 2)k(−32k 21+4k 2)+8k =128k 3−8k−128k 3−32k 3+8k+32k 3=−1，∴直线BD 过定点(−1,0)．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)根据点在椭圆上得3a 2+14b 2=1，与离心率联立方程组解得a 2=2，b 2=1，即得太严方程；(2)设直线l 的方程为y =k(x +4)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=−32k 21+4k 2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2求出BD 的方程，令y =0，解得横坐标，结合韦达定理化简可得横坐标为定值，即可证明直线BD 过定点．19.【答案】解：(1)根据题意，椭圆C 的短轴一个端点到右焦点的距离为3√2，则有a =3√2， 又由椭圆C 的离心率为√22，则有e =ca =√22，则有c=3，则b2=a2−c2=18−9=9，则椭圆的标准方程为：x218+y29=1;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)．由(1)可得：椭圆的标准方程为：x218+y29=1，直线l的方程为：y=x−1，联立{x218+y29=1y=x−1，消去y得3x2−4x−16=0，则有x1+x2=43,x1x2=−163，|AB|=√1+12√(x1+x2)2−4x1x2=√2√169+643=4√263．【解析】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，属基础题．(1)根据题意，由椭圆的几何性质可得e=ca =√22且a=3√2，解可得c的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；(2)联立直线与椭圆的方程，可得方程3x2−4x−16=0，结合根与系数的关系由弦长公式计算可得答案．20.【答案】解：(1)椭圆C1的方程为x24+y23=1的长轴长为4，设椭圆C2的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，由题意可得b=2，e=ca =√32，a2−c2=4，解得a=4，b=2，c=2√3，可得椭圆C2的方程为y216+x24=1；(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，△PON面积为△POM面积的2倍，可得|ON|=2|OM|，即有|x2|=2|x1|，联立{y =kx 3x 2+4y 2=12，消去y 可得x =±√123+4k2，即|x 1|=√123+4k 2，同样求得|x 2|=√164+k 2， 由√164+k 2=2√123+4k 2，解得k =±3， 由k >0，得k =3．【解析】本题考查椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系，考查联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题． (1)由题意设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程即可得到所求方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意可得|x 2|=2|x 1|，联立直线y =kx 和椭圆方程，求得交点的横坐标，解方程即可得到所求值．21.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)．由题意得{a 2c=4,a 2=b 2+c 2,√a 2+b 2=√7,解得a 2=4，b 2=3． 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y 23=1,消y 得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0． 又直线PQ 过点A(2,0)，则方程必有一根为2，则x P =8k 2−64k 2+3． 代入直线y =k(x −2)，得点P (8k 2−64k 2+3,−12k4k 2+3)．联立{y =k(x −2),x =4,所以Q(4,2k)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k 4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，解得k 2=3，所以k =±√3．所以直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x0−2)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以4x 0+2y 02x0−2=0 ①，又x 024+y 023=1 ②，联立①②，解得x 0=65或x 0=2(舍)，所以P (65,−4√35)或P (65,4√35)． 所以直线PQ 的斜率为±√3，从而直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题． (1)由题意列出关于a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y23=1,求出P (8k 2−64k 2+3,−12k 4k 2+3)，Q(4,2k).利用OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，求出k 即可求解；方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x−2).又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出x 0=65，得到P (65,−4√35)或P (65,4√35).所以直线PQ 的斜率为±√3，即可求解．22.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3， 得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意： 当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2， 将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(1,32)，(−1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．23.【答案】解：(1)由题意2a =4，∴a =2，∴ca =√32，∴c =√3，b 2=a 2−c 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 把y =kx +2代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=(16k)2−4×12×(4k 2+1)=64(k 2−3)>0，即k 2>3， ∴x 1+x 2=−16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，∵∠AOB 为直角，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， ∴x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=0， 即(k 2+1)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=0， ∴12(k 2+1)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，∴−4k 2+16=0，∴k 2=4，∴x 1+x 2=−16k1+4k 2=±3217，x 1x 2=121+4k 2=1217，∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√(3217)2−4817=4√6517， 故|AB|的长度4√6517．【解析】本题考查了椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，属于中档题．(1)根据离心率和长轴长，可得a ，b ，然后即可写出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆，利用韦达定理以及∠AOB =90°，求出k.再用弦长公式求出弦长|AB|．24.【答案】解：(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.得{e =c a =12,a 2c −c =3解得{a =2,c =1所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为OAQB 为平行四边形，所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则Q(x 1+x 2,y 1+y 2)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时O 、A 、B 三点共线，不符合题意： 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2，将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意， 所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．25.【答案】解：(1)记椭圆E 的焦距为2c(c >0).因为右顶点A (a , 0)在圆C 上，右准线x =a 2c与圆C ：(x −3)2+y 2=1相切．所以{(a −3)2+02=1 , | a 2c−3 |=1 ,解得{a =4 ,c =8,(舍去) { a =2 ,c =1 ．于是b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆方程为：x 24+y 23=1．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y =k (x −2)． 由方程组 {y =k (x −2) , x 24+y 23=1消去y 得，(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0．所以x N ⋅2=16k 2−124k 2+3，解得x N =8k 2−64k 2+3. 由方程组{ y =k (x −2) ,(x −3)2+y 2=1 ,消去y 得(k 2+1)x 2−(4k 2+6)x +4k 2+8=0 , 所以x M ⋅2=4k 2+8k 2+1，解得x M =2k 2+4k 2+1．因为AN =127AM ，所以2−x N =127(x M −2)．即124k 2+3=127⋅21+k 2，解得 k =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，当直线l 与x 轴重合时，不符题意． 设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)．由方程组{x =ty +2 , x 24+y 23=1消去x 得，(3t 2+4)y 2+12ty =0，所以y N =−12t3t 2+4 ， 由方程组 {x =ty +2 ,(x −3)2+y 2=1消去x 得(t 2+1)y 2−2ty =0， 所以y M =2tt 2+1， 因为AN =127AM ，所以y N =−127y M ，即−12t3t 2+4=−127⋅2t t 2+1，解得 t =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系及判定，直线的一般式方程，考查学生的计算能力和推理能力，属于较难题． (1)记椭圆E 的焦距为2c ，根据题意可知{ (a −3)2+02=1 ,| a 2c −3 |=1 ,从而即可得a ，c 的值，进而求得椭圆E 的方程．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且直线l 的方程为：y =k (x −2)，从而联立直线和椭圆方程消去y 后可得x N =8k 2−64k 2+3，同理联立直线和圆可得x M =2k 2+4k 2+1，再根据AN =127AM 即可求得k 的值，从而求得直线l 的方程．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)，联立直线和椭圆方程消去x 可得y N =−12t3t 2+4，再联立直线和圆可得y M =2tt 2+1，从而据AN =127AM 即可求得t 的值，从而求得直线l 的方程．26.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3， 得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意： 当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2， 将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．27.【答案】解：(1)设椭圆E 焦距为2c ，则2c =|F 1F 2|=2√2，所以c 2=a 2−b 2=2， ① 又点(√3,√2)在椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1上，所以3a 2+2b 2=1，②联立①②解得{a 2=6b 2=4或{a 2=1b 2=−1(舍去)，所以椭圆E 的方程为x 26+y 24=1；(2)设椭圆E 焦距为2c ，则F 1(−c,0)，F 2(c,0)，将x =a2代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y 2=3b24，不妨设点P 在x 轴上方， 故点P 坐标为(a2,√3b2)， 又点M 为PF 1中点，故点M 坐标为(a−2c 4,√3b4)， 所以F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a−6c 4,√3b 4)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,√3b2)，由，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即a−6c 4⋅a2+√3b4⋅√3b 2=0，化简得a 2−6ac +3b 2=0，将b 2=a 2−c 2代入得3c 2+6ac −4a 2=0， 即3(ca )2+6⋅ca −4=0， 所以3e 2+6⋅e −4=0， 解得e =−1±√213，因为e ∈(0,1)，所以椭圆E 的离心率为e =√213−1．【解析】本题考查向量的数量积、椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系，为基础题．(1)把点(√3,√2)代入椭圆方程，求出a ，b ，即可求出结果； (2)将x =a2代入x 2a2+y 2b 2=1，得出点P 坐标为(a 2,√3b2)，得出点M 的坐标和相应向量的坐标，利用数量积，即可求出结果．28.【答案】解：(1)因为l ⊥x 轴，所以F 2(√2,0)，由题意可得{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，解得{a 2=4b 2=2,∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线BF 2的方程为y =x −√2． 由{y =x −√2x 24+y 22=1得点N 的纵坐标为√23．又| F 1F 2 |=2√2， ∴S △F 1BN =12×(√2+√23)×2√2=83．【解析】本题考查求椭圆的方程，三角形的面积，是直线与椭圆位置关系，属于基础题(1)由题意可得F 2(√2,0)，进而得到{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，求解即可得到椭圆C 的方程；(2)根据题意可得直线BF 2的方程为y =x −√2.联立直线方程和椭圆方程即可得到N 的纵坐标为√23.再根据| F 1F 2 |=2√2和三角形的面积公式即可得解．29.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距长为c ，∴{ c a =121a 2+94b 2=1, 又∵a 2=b 2+c 2，∴{a =2b =√3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，，联立{x =ky −13x 2+4y 2=12⇒3(ky −1)2+4y 2=12 ∴(3k 2+4)y 2−6ky −9=0 ∴{y 1+y 2=6k3k 2+4 ①y 1y 2=−93k 2+4 ②y 2=−37y 1 ③,由①③得{y 1=21k2(3k 2+4)y 2=−9k 2(3k 2+4)代入 ②21⋅9⋅k 24(3k 2+4)2=93k 2+4⇒k =±43综合图象知k =43∴l 的方程为3x −4y +3=0【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的面积问题，是中档题．(1)由离心率为12和(1,32)在椭圆上，再结合a 2=b 2+c 2，可得a 、b ，从而得出椭圆方程；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，由ΔAEF 与ΔBDF 的面积比为1:7，可得y 2y 1=−37，直线DE与椭圆联立，计算可得k的值，即可得出直线l的方程．30.【答案】解：(1)因为椭圆焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且过点P(−√3,12)，所以2a=PF1+PF2=12+√494=4，所以a=2，从而b=√a2−c2=√4−3=1，故椭圆的方程为x24+y2=1；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，因为A(−2,0)，且A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，解得n=2y0x0+2，所以BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，同理得AC=x0+2y0+2y0+1，因此，S ABCD=12AC⋅BD=12⋅x0+2y0+2x0+2⋅x0+2y0+2y0+1=(x0+2y0+2)2 2(x0+2)(y0+1)=x02+4y02+4x0y0+4x0+8y0+42(x0y0+x0+2y0+2)，因为点M(x0,y0)在椭圆上，所以x024+y02=1，即x02+4y02=4，代入上式得：S ABCD=4x0y0+4x0+8y0+82(x0y0+x0+2y0+2)=2，∴四边形ABCD的面积为2．【解析】本题考查的是椭圆的标准方程和计划意义，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由2a=PF1+PF2=12+√494=4得到a，再由焦点坐标可得到c，利用b=√a2−c2，即可得到b，从而得到椭圆E的标准方程；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，从而得到BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，AC=x0+2y0+2y0+1，由S ABCD=12AC⋅BD，即可得到四边形ABCD的面积．。