北京市石景山区2012届高三统一测试--数学理

2012年石景山区高三统一测试高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵ C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得∴ C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=，………4分 ∵ ()π，0∈A , ∴0sin ≠A ∴ 21cos =B ． 又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． …………6分 （Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得622232=⨯=b …………8分,43A B ππ==Q426sin +=∴C …………11分 2334266221sin 21+=+⨯⨯⨯==∴C ab s ． …………13分16．（本小题满分13分） 解：（I ）由频率分布表得31000.03M ==, …………1分 所以100(333715)42m =-+++=， …………2分420.42100n ==，0.030.030.370.420.151N =++++=． …………3分…………5分 （Ⅱ）由题意知，全区90分以上学生估计为4215600342100+⨯=人．………7分 （III ）设考试成绩在(]0,30内的3人分别为A 、B 、C ；考试成绩在(]30,60内的3人分别为a 、b 、c ，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有： (A ，B)，(A ，C)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)， (B ，C)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(C ，a)，(C ，b)，(C ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)共有15个. …………10分 设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D ．则事件D 含有3个结果： (A ，B)，(A ，C) ，(B ，C) …………11分 ∴31()155P D == ．…………13分 17．（本小题满分13分）解： （Ⅰ）证明:因为多面体1111D C B A ABCD -为正方体， 所以1111B C A ⊥面ABB ；因为111A B A ⊂面ABB ，所以111B C A ⊥B ．…………2分又因为11A AB ⊥B ，1111B C AB B ⋂=，所以111DC A A B ⊥B 面.…………4分 因为11A A ⊂B 面BE ,所以平面11ADC B ⊥平面1A BE . …………6分 （Ⅱ）当点F 为11D C 中点时，可使F B 1//平面BE A 1. …………7分 以下证明之：易知：EF //112C D ，且EF 11=2C D ， …………9分 设11AB A B O ⋂=，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D , 所以EF //1B O 且EF 1=B O ，所以四边形1B OEF 为平行四边形. 所以1B F //OE . …………11分E F A BCD B 1A 1 D 1C 1又因为11B F A BE ⊄面，1OE A BE ⊂面．所以F B 1//面BE A 1 …………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222'()2a x af x x x x+=+= …………1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；……5分（2）当0a <时2('()x x f x x=.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2a g x x x x=-++，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立， 即22220ax x x-++≤在[1,2]上恒成立.即21a x x≤-在[1,2]上恒成立.…………11分 令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分19．（本小题满分14分）解：解：（Ⅰ）由题意，2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a c ==．即：椭圆方程为.12322=+y x ------------4分 （Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =，此时AOB S ∆= -----------6分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-= ．设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ -----------8分所以221)23k AB k +=+ ， ------------11分由222AB k k =⇒=⇒= ------------13分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=． ---------14分20．（本小题满分13分）解：（I ）因为2221122,212(22)1(21)++=++=++=+n n n n n n n a a a a a a a所以数列}1{2+n a 是“平方递推数列” ． --------2分由以上结论21lg(21)lg(21)2lg(21)n n n a a a ++=+=+ ，所以数列)}1{lg(2+n a 为首项是lg5公比为2的等比数列 ． --------4分（II ）11121lg(21)[lg(21)]22lg5lg5---+=+⨯==n n n n a a ，11221215,(51)2--+==-n n n n a a ．--------6分1lg lg(21)lg(21)(21)lg 5nn n T a a =++++=-L ，215nn T -=．--------9分（III ）11lg (21)lg512lg(21)2lg52---===-+n n n n n n T b a ，11222n n S n -=-+． --------13分[注：若有其它解法，请酌情给分]。

2012北京石景山高三一模数学文一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合B，N=x∣2x−2>0，则M∩N等于 ( )A. −1, 1B. 1, 3C. 0, 1D. −1, 02. 在复平面内，复数2−i对应的点位于 ( )1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数y=1+sinπ−x的图象 ( )A. 关于x=π对称 B. 关于y轴对称2C. 关于原点对称D. 关于x=π对称4. 设m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，下列命题正确的是 ( )A. 2a−c cos B=b cos CB. 2sin A−sin C cos B=sin B cos CC. 2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin B+C=sin AD. 若m⊥α,n∥α,则m⊥n5. 执行下面的框图，若输入N=6，则输出p的值是 ( )A. 120B. 720C. 1440D. 50406. 直线x+y=5和圆O:x2+y2−4y=0的位置关系是 ( )A. 相离B. 相切C. 相交不过圆心D. 相交过圆心7. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( )．A. 8+433B. 8+423C. 8+233D. 3238. 如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α,CB⊥α,AD=4，AB=6,BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB面积的最大值是 ( )．A. 932B. 365C. 12D. 24二、填空题（共6小题；共30分）9. 设向量a=cosθ,1，b=1,3cosθ，且a∥b，则cos2θ=．10. 等差数列a n前9项的和等于前4项的和．若a1=1，a4+a k=0，则k=．11. 已知点P x,y的坐标满足条件x+y≤4,y≤x,y≥1,点O为坐标原点，那么∣PO∣的最小值等于，最大值等于．12. 在区间0,9上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为．13. 设函数f x=−x+a,x<12x,x≥1的最小值为2，则实数a的取值范围是．14. 集合U=x,y∣x∈R,y∈R，M=x,y∣∣x∣+∣y∣<a，P=x,y∣y=f x，现给出下列函数：①y=a x，②y=log a x，③y=sin x+a，④y=cos ax，若0<a<1时，恒有P∩∁U M=P，则所有满足条件的函数f x的编号是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a、b、c，且2a−c cos B=b cos C．（1）求角B的大小；，a=2，求△ABC的面积．（2）若A=π416. 我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表：（1）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（2）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（3）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．17. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE ?证明你的结论．18. 已知函数f x=x2+2a ln x．（1）若函数f x的图象在2,f2处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）求函数f x的单调区间；（3）若函数g x=2x+f x在1,2上是减函数，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆x2a +y2b=1（a>b>0）右顶点到右焦点的距离为3−1，短轴长为22．（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为332，求直线AB的方程．20. 若数列A n满足A n+1=A n2，则称数列A n为"平方递推数列"．已知数列a n中，a1=2，点（a n,a n+1）在函数f x=2x2+2x的图像上，其中n为正整数．（1）证明数列2a n+1是"平方递推数列"，且数列lg2a n+1为等比数列；（2）设（1）中"平方递推数列"的前n项之积为T n，即T n=2a1+12a2+1⋯2a n+ 1，求数列a n的通项及T n关于n的表达式；（3）记b n=log2an+1T n，求数列b n的前n项和S n．答案第一部分1. B2. D3. A4. D5. B6. A7. A8. C第二部分9. −1310. 10【解析】提示：a5+a6+⋯+a9=0=5a7=5a4+a102．11. 2；10【解析】平面区域如图：当P取1,1时，有最小值；当P取3,1时，有最大值．12. 29【解析】由不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，所以所求概率为4−29−0=29．13. a≥3【解析】当x≥1时，f x=2x为增函数，且f1=2．当x<1时，f x=−x+a为减函数，且f1=a−1．要满足题意，必有a−1≥2，解得a≥3．14. ①②④【解析】P∩∁U M=P即P⊆∁U M，M表示以±a,0，0,±a为顶点的正方形内部的点（不包括边界），所以满足题意条件的函数的图象不经过这个正方形内部．分别画出四个函数的图象发现，只有③的函数图象不满足题意．第三部分15. （1）由已知及正弦定理，得2sin A−sin C cos B=sin B cos C,即2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin B+C=sin A.由A∈0,π，得sin A≠0，所以cos B=1 .又因为0<B<π，所以B=π3．（2）由正弦定理，得b=a sin Bsin A= 6.由A=π4，B=π3，得sin C=sin π−π4−π3=sinπ4+π3=sinπcosπ+cosπsinπ=6+2.所以△ABC的面积为S=12ab sin C=1×2×6×6+2=3+3.16. （1）由频率分布表得M=30.03=100，所以m=100−3+3+37+15=42，n=42100=0.42，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1．（2）由题意知，全区90分以上学生估计为42+15100×600=342人．（3）设考试成绩在0,30内的3人分别为A、B、C；考试成绩在30,60内的3人分别为a、b、c，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：A,B,A,C,A,a,A,b,A,c,B,C,B,a,B,b,B,c,C,a,C,b,C,c,a,b,a,c,b,c共有15个．设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D．则事件D含有3个结果：A,B,A,C,B,C．∴P D=315=15.17. （1）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为B1C1⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B．又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，所以A1B⊥平面ADC1B1．因为A1B⊂平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE．（2）当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE．证明如下：设AB1∩A1B=O，连结OE，EF．因为EF是△C1DD1的中位线，所以EF∥C1D，且EF=12C1D．则B1O∥C1D且B1O=12C1D，所以EF∥B1O，且EF=B1O，从而四边形B1OEF为平行四边形，于是B1F∥OE．又因为B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，所以B1F∥平面A1BE．18. （1）由已知，得fʹx=2x+2a=2x2+2a.由题意，得fʹ2=222+a2=1,解得a=−3．（2）函数f x的定义域为0,+∞．①当a≥0时，fʹx>0，f x的单调递增区间为0,+∞；②当a<0时fʹx=2 x+−a x−−ax．当x变化时，fʹx,f x的变化情况如下：由上表可知，函数f x（3）由g x=2x+x2+2a ln x，得gʹx=−22+2x+2a.根据题意，gʹx=−2x2+2x+2ax≤0在1,2上恒成立，即a≤1−x2在1,2上恒成立．令 x=1x−x2，在1,2上，因为ʹx=−1x2−2x=−1x2+2x <0,所以 x在1,2为减函数，从而x min= 2=−7 2 ,因此，a≤−72．19. （1）由题意，a−c=3−1b=2a2=b2+c2解得a=3,c=1．_{ }即：椭圆方程为x23+y22=1（2）当直线AB与x轴垂直时，∣AB∣=3，不符合题意故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k x+1代入消去y得：2+3k2x2+ 6k2x+3k2−6=0．设A x1,y1,B x2,y2，则x1+x2=−6k22x1x2=3k2−62所以∣AB∣=43k2+12+3k2，由∣AB∣=332⇒k2=2⇒k=±2，所以直线l AB:2x−y+2=0或l AB:2x+y+2=0．20. （1）因为a n+1=2a n2+2a n,2a n+1+1=22a n2+2a n+1=2a n+12所以数列2a n+1是"平方递推数列"．由以上结论lg2a n+1+1=lg2a n+12=2lg2a n+1所以数列lg2a n+1为首项是lg5，公比为2的等比数列．（2）因为lg2a n+1=lg2a1+1×2n−1=2n−1lg5=lg52n−1所以2a n+1=52n−1,a n=1252n−1−1．所以lg T n=lg2a1+1+⋯+lg2a n+1=2n−1lg5故T n=52n−1．（3）b n=lg T nlg2a n+1=2n−1lg52lg5=2−12S n=2n−2+12．。

北京市石景山区2013届高三统一测试数学（理）试题本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第Ⅰ卷 （选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M= {x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则M I N 等于（ ） A ． [-2，2] B ．{2} C ．[2，+∞） D ． [-2,+∞） 2．若复数（a －i ）2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是（ ）A ． 1B ．-1C ．2D ．-23．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u r =（m ，n ），q r =（3，6），则向量p u r 与q r共线的概率为（ ） A ．13 B ．14C ．16D ．1124．执行右面的框图，输出的结果s 的值为（ ） A ．-3 B ．2 C ．12-D ．135． 如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。

则下面结论中，错误．．的结论是( ) A ．∠ECA = 90oB ．∠CEM=∠DMA+∠DBAC ．AM 2 = AD·AED ．AD·DE = AB·BC6．在（2x 2－1x）5的二项展开式中，x 的系数为（ ） A ．-10 B ．10 C ．-40 D ．407．对于直线l ：y=k (x+1)与抛物线C ：y 2= 4x ，k=±1是直线l 与抛物线C 有唯一交点的( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要8．若直角坐标平面内的两点p 、Q 满足条件：①p 、Q 都在函数y=f （x ）的图像上；②p 、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q]是函数y=f （x ）的一对“友好点对”（注：点对[P ，Q]与[Q ，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f （x ）=221(0)4(0)og x x x x x >⎧⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）对．A ． 0B ． 1C ．2D ． 3第Ⅱ卷 （非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．直线2p sinθ=1与圆ρ=2 cos θ相交弦的长度为 。

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1 B ． {}4,32， C ． {}4,3 D ．{}4,3,2,1 【答案】B【KS5U 解析】因为{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ，所以{34}U A =，ð,所以{2,3,4}U C A B ⋃=（），选B.2. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i -- B ．i +2 C ．13i + D ．i +3 【答案】A 【KS5U 解析】2133113Z i i Z i i -==-=--，选A.3．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ） A ．(2,4) B ．(3,7) C ．(1,1)D ．(1,1)-- 【答案】D【KS5U 解析】因为(2,4),(1A B A C ==所以(1,1)B C A C A B =-=--，即(1,1A D B C ==--，选D.4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 【答案】C【KS5U 解析】C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α⊂当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。

2012-2013学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合U ={1, 2, 3, 4}，A ={1, 2}，B ={2, 4}，则(∁U A)∪B =( ) A.{1, 2} B.{2, 3, 4} C.{3, 4} D.{1, 2, 3, 4}2. 若复数Z 1=i ，Z 2=3−i ，则Z 2Z 1=( )A.1+3iB.2+iC.−1−3iD.3+i3. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，则AD →=( ) A.(2, 4) B.(1, 1)C.(−1, −1)D.(−2, −4)4. 设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若m // α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β B.若m // α，n ⊥β，m ⊥n ，则α // β C.若m // α，n ⊥β，m // n ，则α⊥β D.若m // α，n ⊥β，m // n ，则α // β5. 执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A.1B.2C.3D.46. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A.60种B.63种C.65种D.66种7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A.83B.4C.2D.438. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n +k|n ∈Z}，k =0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②−3∈[3]；③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a −b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．已知不等式组{y ≤xy ≥−x x ≤a 表示的平面区域S 的面积为4，则a =________；若点P(x, y)∈S ，则z =2x +y 的最大值为________．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知PA =1，AB =2，PO =3，则圆O 的半径等于________．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=−4，则公比q =________；|a 1|+|a 2|+...+|a n |=________．在△ABC中，若a=2，∠B=60∘，b=√7，则BC边上的高等于________．已知F是双曲线x24−y212=1的左焦点，A(1, 4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________．给出定义：若m−12<x≤m+12（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f(x)=x−{x}的四个命题：①y=f(x)的定义域是R，值域是(−12，12]；②点(k, 0)是y=f(x)的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f(x)的最小正周期为1；④函数y=f(x)在(−12，32]上是增函数．则上述命题中真命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知函数f(x)=sin2x(sin x+cos x)cos x．（1）求f(x)的定义域及最小正周期；（2）求f(x)在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE // BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．(1)求证：BC⊥平面A1DC；(2)若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；(3)当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为12，13，p．且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为14．（1）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（2）求p的值；（3）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．已知函数f(x)=ln x−ax+1，a∈R是常数．（1）求函数y=f(x)的图象在点P（1, f(1)）处的切线l的方程，并证明函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l 的下方；（2）讨论函数y=f(x)零点的个数．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√32，且经过点M(4, 1)，直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a n}，如果函数y=f(x)使得b n=f(a n)仍为一个“三角形”数列，则称y=f(x)是数列{a n}的“保三角形函数”(n∈N∗)．（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)=k x(k>1)是数列{a n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2013，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n+1−3S n=8052，证明{c n}是“三角形”数列；（3）若g(x)=lg x是（2）中数列{c n}的“保三角形函数”，问数列{c n}最多有多少项？（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）参考答案与试题解析2012-2013学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】先求出∁U A ，再由集合的并运算求出B ∪(∁U A)． 【解答】解：∵ 集合U ={1, 2, 3, 4}，A ={1, 2}， ∴ ∁U A ={3, 4} ∵ B ={2, 4}∴ (∁U A)∪B ={2, 3, 4} 故选：B ． 2.【答案】 C【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】把两个复数代入后运用复数的除法运算即可求得两复数的商． 【解答】解：由复数Z 1=i ，Z 2=3−i ， 则Z 2Z 1=3−i i=i(3−i)i 2=−1−3i ．故选C ． 3.【答案】 C【考点】向量的减法及其几何意义 【解析】由已知中平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，根据向量加减法的三角形法则，可得向量BC →的坐标，根据平行四边形的几何特征及相等向量的定义，可得AD →=BC →，进而得到答案． 【解答】解：∵ 平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线， 又AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，∴ BC →=AC →−AB →=(−1, −1)， 故AD →=BC →=(−1, −1). 故选C . 4. 【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系 命题的真假判断与应用【解析】利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案． 【解答】选择支C 正确，下面给出证明． 证明：如图所示：∵ m // n ，∴ m 、n 确定一个平面γ，交平面α于直线l ． ∵ m // α，∴ m // l ，∴ l // n ． ∵ n ⊥β，∴ l ⊥β， ∵ l ⊂α，∴ α⊥β． 故C 正确． 故选：C ．5. 【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】根据题中程序框图的含义，得到分段函数y ={x 2−1(x ≤2)log 2x(x >2)，由此解关于x 的方程f(x)=3，即可得到可输入的实数x 值的个数． 【解答】解：根据题意，该框图的含义是当x ≤2时，得到函数y =x 2−1；当x >2时，得到函数y =log 2x ．因此，若输出结果为3时，①若x≤2，得x2−1=3，解之得x=±2②当x>2时，得y=log2x=3，得x=8因此，可输入的实数x值可能是2，−2或8，共3个数故选：C6.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是奇数，需要分成两种不同的情况：3个偶数、1个奇数；1个偶数，3个奇数，利用组合知识，即可求得结论．【解答】解：由题意知，要得到四个数字的和是奇数，需要分成两种不同的情况，当取得3个偶数、1个奇数时，有C43C51=20种结果，当取得1个偶数，3个奇数时，有C41C53=40种结果，∴共有20+40=60种结果，故选A．7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE＝3，PD＝2，CD＝3，DB ＝1，CE＝EB＝2．据此即可计算出其体积．【解答】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE＝3，PD＝2，CD＝3，DB ＝1，CE＝EB＝2．∴V P−ABC=13×S△ABC×PD=13×12×4×3×2=4．8.【答案】C【考点】同余的性质（选修3）【解析】根据题中“类”的理解，在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，对于各个结论进行分析：①∵2011÷5=402...1；②∵−3÷5=0...2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可．【解答】解：①∵2011÷5=402...1，∴2011∈[1]，故①对；②∵−3=5×(−1)+2，∴对−3∉[3]；故②错；③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a−b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a−b∈[0]”．故④对．∴正确结论的个数是3．故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】2,6【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABO及其内部，根据三角形面积公式建立关于a的方程，解之可得a=2．再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=2时，z=2x+y取得最大值为6．【解答】解：根据题意，可得a是一个正数，由此作出不等式组{y≤xy≥−xx≤a表示的平面区域，得到如图的△ABO及其内部，其中A(a, a)，B(a, −a)，O(0, 0)∴平面区域的面积S =12×2a×a=4，解之得a=2（舍负）．设z=F(x, y)=2x+y，将直线l:z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F(2, 2)=6故答案为：2，6【答案】√6【考点】与圆有关的比例线段【解析】由于PAB与PCD是圆的两条割线，且PA=1，AB=2，PO=3，我们可以设圆的半径为R，然后根据切割线定理构造一个关于R的方程，解方程即可求解．【解答】解：设⊙O的半径为R则PC=PO−OC=3−RPD =PO +OD =3+R 又∵ PA =1，AB =2， ∴ PB =PA +AB =3 由切割线定理易得： PA ⋅PB =PC ⋅PD即1×3=(3−R)×(3+R) 解得R =√6． 故答案：√6． 【答案】 −2,2n−1−12【考点】等比数列的前n 项和 【解析】先利用等比数列的通项公式求得公比；|a n |是以a 1为首项，|q|为公比，进而利用等比数列的求和公式求解． 【解答】解：q =√a4a13=√−83=−2，|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=12(1−2n )1−2=2n−1−12.故答案为：−2；2n−1−12. 【答案】 3√32【考点】 正弦定理 【解析】根据余弦定理b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，结合题中数据算出c =3，从而得到△ABC 的面积S =12ac sin B =3√32，再由△ABC 的面积S =12a ⋅ℎ（ℎ是BC 边上的高），即可算出ℎ的大小，从而得到BC 边上的高． 【解答】解：∵ △ABC 中，a =2，b =√7，且∠B =60∘， ∴ 根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，可得7=4+c 2−4c cos 60∘，化简得c 2−2c −3=0，解之得c =3（舍负） ∴ △ABC 的面积S =12ac sin B =12×2×3×sin 60∘=3√32又∵ △ABC 的面积S =12a ⋅ℎ（ℎ是BC 边上的高） ∴ ℎ=2S a=3√32×22=3√32故答案为：3√32【答案】9【考点】 双曲线的定义 【解析】根据A 点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a ，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案． 【解答】解：∵ A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4, 0)， ∴ 由双曲线性质|PF|−|PF′|=2a =4， 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A 、P 、F′三点共线时等号成立． 故答案为：9． 【答案】 ①③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】依据函数定义，得到f(x)=x −{x}∈(−12，12]，再对四个命题逐个验证后，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，{x}−12<x ≤{x}+12，则得到f(x)=x −{x}∈(−12，12]，则命题①为真命题；由于k ∈Z 时，f(k)=k −{k}=k −k =0，但由于f(x)∈(−12，12]，故函数不是中心对称图形，故命题②为假命题；由题意知，函数f(x)=x −{x}∈(−12，12]的最小正周期为1，则命题③为真命题；由于，{x}−12<x ≤{x}+12，则得到f(x)=x −{x}为分段函数，且在(−12，12]，(12，32]为增函数，但在区间(−12，32]上不是增函数，故命题④为假命题．正确的命题为①③故答案为①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【答案】解：（1）由函数的解析式可得cos x ≠0，所以x ≠kπ+π2，k ∈Z ．所以函数f(x)的定义域为{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z}．… 再由f(x)=sin 2x(sin x+cos x)cos x=2sin x(sin x +cos x)=2sin 2x +sin 2x =√2sin (2x −π4)+1，…可得函数的周期T =2π2=π．…（2）因为−π6≤x ≤π4，所以−7π12≤2x −π4≤π4．… 故当2x −π4=π4时，即x =π4时，函数f(x)取得最大值为√2×√22+1=2； …当2x−π4=−π2时，即x=−π8时，函数f(x)取得最小值为√2×(−1)+1=−√2+1．…【考点】求两角和与差的正弦求二倍角的正弦求二倍角的余弦三角函数的周期性及其求法正弦函数的定义域和值域【解析】（1）由函数的解析式可得cos x≠0，所以x≠kπ+π2，k∈Z．由此求得函数f(x)的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为√2sin(2x−π4)+1，由此可得函数的周期T=2π2．（2）根据−π6≤x≤π4，利用正弦函数的定义域和值域求得最大值和最小值．【解答】解：（1）由函数的解析式可得cos x≠0，所以x≠kπ+π2，k∈Z．所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π2，k∈Z}．…再由f(x)=sin2x(sin x+cos x)cos x =2sin x(sin x+cos x)=2sin2x+sin2x=√2sin(2x−π4)+1，…可得函数的周期T=2π2=π．…（2）因为−π6≤x≤π4，所以−7π12≤2x−π4≤π4．…故当2x−π4=π4时，即x=π4时，函数f(x)取得最大值为√2×√22+1=2；…当2x−π4=−π2时，即x=−π8时，函数f(x)取得最小值为√2×(−1)+1=−√2+1．…【答案】(1)证明：∵在△ABC中，∠C=90∘，DE // BC，∴AD⊥DE，可得A1D⊥DE．又∵A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．∵BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．∵BC⊥CD，CD∩A1D=D，∴BC⊥面A1DC．(2)以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．可得D(2, 0, 0)，E(2, 2, 0)，B(0, 3, 0)，A1(2, 0, 4)，设n→=(x, y, z)为平面A1BC的一个法向量，∵CB→=(0,3,0)，CA1→=(2,0,4)，BE→=(2,−1,0)，∴{3y=02x+4z=0，令x=2，得y=0，z=−1．所以n→=(2, 0, −1)为平面A1BC的一个法向量．设BE与平面A1BC所成角为θ，则sinθ=|cos<BE→⋅n→>|=√5⋅√5=45．所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为45．(3)以(2)建立的空间直角坐标系为基础，如图所示：设D(x, 0, 0)，则A1(x, 0, 6−x)，B(0,3,0)，∴A1B=√(x−0)2+(0−3)2+(6−x−0)2=√2x2−12x+45，根据二次函数的图象与性质，可得当x=3时，A1B取得最小值，A1B的最小值是3√3，此时点D为AC的中点，即D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为3√3．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角直线与平面所成的角空间两点间的距离公式 直线与平面垂直的判定【解析】（1）由Rt △ABC 中，∠C =90∘且DE // BC ，证出A 1D ⊥DE ．结合A 1D ⊥CD ，可得A 1D ⊥面BCDE ，从而得到A 1D ⊥BC ．最后根据线面垂直判定定理，结合BC ⊥CD 可证出BC ⊥面A 1DC ；（2）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系如图所示．可得D 、E 、B 、A 1各点的坐标，从而算出CB →、CA 1→的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出n →=(2, 0, −1)为平面A 1BC 的一个法向量．根据空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的性质，即可算出BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值；（3）设D(x, 0, 0)，可得A 1(x, 0, 6−x)，由此得到A 1B =√2x 2−12x +45，结合二次函数的图象与性质可得当D 为AC 中点时A 1B 的长度最小，并且这个最小值为3√3．【解答】(1)证明：∵ 在△ABC 中，∠C =90∘，DE // BC ， ∴ AD ⊥DE ，可得A 1D ⊥DE ． 又∵ A 1D ⊥CD ，CD ∩DE =D ， ∴ A 1D ⊥面BCDE ． ∵ BC ⊂面BCDE ， ∴ A 1D ⊥BC ．∵ BC ⊥CD ，CD ∩A 1D =D ， ∴ BC ⊥面A 1DC ．(2)以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．可得D(2, 0, 0)，E(2, 2, 0)，B(0, 3, 0)，A 1(2, 0, 4)， 设n →=(x, y, z)为平面A 1BC 的一个法向量， ∵ CB →=(0,3,0)，CA 1→=(2,0,4)，BE →=(2,−1,0)， ∴ {3y =02x +4z =0，令x =2，得y =0，z =−1．所以n →=(2, 0, −1)为平面A 1BC 的一个法向量． 设BE 与平面A 1BC 所成角为θ，则sin θ=|cos <BE →⋅n →>|=√5⋅√5=45．所以BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值为45． (3)以(2)建立的空间直角坐标系为基础，如图所示：设D(x, 0, 0)，则A1(x, 0, 6−x)，B(0,3,0)，∴ A 1B =√(x −0)2+(0−3)2+(6−x −0)2=√2x 2−12x +45， 根据二次函数的图象与性质，可得当x =3时，A 1B 取得最小值， A 1B 的最小值是3√3，此时点D 为AC 的中点，即D 为AC 中点时，A 1B 的长度最小，最小值为3√3．【答案】解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立， 则P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，（1）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率 p 1=1−p(A 1¯A 2¯)=1−(1−12)(1−13)=23． （2）∵ 三人中只有甲破译出密码的概率为14．∴ 12×(1−13)×(1−p)=14， 解得p =14．（3）X 的可能取值为0，1，2，3， p(X =0)=(1−12)(1−13)(1−14)=14．p(X =1)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124． p(X =2)=12×13×(1−14)+12×(1−13)×14+(1−12)×13×14=14． p(X =3)=12×13×14=124． ∴ X 的分布列是EX =0×14+1×1124+2×14+3×124=1312．【考点】离散型随机变量的期望与方差 相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量及其分布列【解析】（1）记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立，P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率p 1=1−p(A 1¯A 2¯)．（2）由三人中只有甲破译出密码的概率为14．知12×(1−13)×(1−p)=14，由此能求出p =14． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，p(X =0)=14．p(X =1)=1124．p(X =2)=14．p(X =3)=124．由此能求出X 的分布列和期望．【解答】解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立， 则P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，（1）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率 p 1=1−p(A 1¯A 2¯)=1−(1−12)(1−13)=23． （2）∵ 三人中只有甲破译出密码的概率为14． ∴ 12×(1−13)×(1−p)=14， 解得p =14．（3）X 的可能取值为0，1，2，3， p(X =0)=(1−12)(1−13)(1−14)=14．p(X =1)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124． p(X =2)=12×13×(1−14)+12×(1−13)×14+(1−12)×13×14=14． p(X =3)=12×13×14=124． ∴ X 的分布列是EX =0×14+1×1124+2×14+3×124=1312．【答案】 解：（1）f(1)=−a +1，k 1=f′(1)=1−a ，所以切线l 的方程为 y −f(1)=k 1×(x −1)，即y =(1−a)x作F(x)=f(x)−(1−a)x =ln x −x +1，x >0，则 F′(x)=1x−1=1x(1−x)，解F′(x)=0得x =1．所以任意x >0且x ≠1，F(x)<0，f(x)<(1−a)x ，即函数y =f(x)(x ≠1)的图象在直线l 的下方．（2）令y =0，即ln x =ax −1，画图可知当a ≤0时，直线y =ax −1与y =ln x 的图象有且只有一个交点，即一个零点； 当a >0时，设直线y =ax −1与y =ln x 切于点(x 0, ln x 0)，切线斜率为k =1x 0∴ 切线方程为y −ln x 0=1x 0(x −x 0)，把(0, −1)代入上式可得x 0=1，k =1∴ 当0<a <1时，直线y =ax −1与y =ln x 有两个交点，即两个零点； 当a =1时直线y =ax −1与y =ln x 相切于一点，即一个零点； 当a >1时直线y =ax −1与y =ln x 没有交点，即无零点．综上可知，当a >1时，f(x)无零点；当a =1或a ≤0时，f(x)有且仅有一个零点； 当0<a <1时，f(x)有两个零点． 【考点】利用导数研究函数的单调性 根的存在性及根的个数判断【解析】（1）已知f(x)=ln x −ax +1，对你进行求导，根据导数和斜率的关系，求出切线的方程；（2）令y =0，进行变形ln x =ax −1，利用数形结合的方法，进行分类讨论，讨论函数y =f(x)的零点； 【解答】 解：（1）f(1)=−a +1，k1=f′(1)=1−a，所以切线l的方程为y−f(1)=k1×(x−1)，即y=(1−a)x作F(x)=f(x)−(1−a)x=ln x−x+1，x>0，则F′(x)=1x −1=1x(1−x)，解F′(x)=0得x=1．所以任意x>0且x≠1，F(x)<0，f(x)<(1−a)x，即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方．（2）令y=0，即ln x=ax−1，画图可知当a≤0时，直线y=ax−1与y=ln x的图象有且只有一个交点，即一个零点；当a>0时，设直线y=ax−1与y=ln x切于点(x0, ln x0)，切线斜率为k=1x0∴切线方程为y−ln x0=1x0(x−x0)，把(0, −1)代入上式可得x0=1，k=1∴当0<a<1时，直线y=ax−1与y=ln x有两个交点，即两个零点；当a=1时直线y=ax−1与y=ln x相切于一点，即一个零点；当a>1时直线y=ax−1与y=ln x没有交点，即无零点．综上可知，当a>1时，f(x)无零点；当a=1或a≤0时，f(x)有且仅有一个零点；当0<a<1时，f(x)有两个零点．【答案】解：（1）设椭圆的方程为x 2a2+y2b2=1，因为e=√32，所以c2a2=a2−b2a2=34，所以a2=4b2，又因为M(4, 1)在椭圆上，所以16a2+1b2=1，两式联立解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为x 220+y25=1；（2）将y=x+m代入x 220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2−20=0，△=(8m)2−20(4m2−20)>0，解得−5<m<5；（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−205．k1+k2=y1−1x1−4+y2−1x2−4=(y1−1)(x2−4)+(y2−1)(x1−4)(x1−4)(x2−4)．分子=(x1+m−1)(x2−4)+(x2+m−1)(x1−4)=2x1x2+(m−5)(x1+x2)−8(m−1)=2(4m2−20)5−8m(m−5)5−8(m−1)=0．所以直线MA、MB的斜率互为相反数．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程【解析】（1）由椭圆的离心率，椭圆经过点M和隐含条件a2=b2+c2联立解方程组可求得椭圆的标准方程；（2）直接把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0即可求得m的取值范围；（3）设出两直线斜率，把两直线的斜率和转化为直线与椭圆的两个交点的坐标之间的关系，利用根与系数关系代入化简整理即可得到答案．【解答】解：（1）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，因为e=√32，所以c2a2=a2−b2a2=34，所以a2=4b2，又因为M(4, 1)在椭圆上，所以16a2+1b2=1，两式联立解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为x220+y25=1；（2）将y=x+m代入x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2−20=0，△=(8m)2−20(4m2−20)>0，解得−5<m<5；（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−205．k1+k2=y1−1x1−4+y2−1x2−4=(y1−1)(x2−4)+(y2−1)(x1−4)(x1−4)(x2−4)．分子=(x1+m−1)(x2−4)+(x2+m−1)(x1−4)=2x1x2+(m−5)(x1+x2)−8(m−1)=2(4m2−20)5−8m(m−5)5−8(m−1)=0．所以直线MA、MB的斜率互为相反数．【答案】（1）解：显然a n=n+1，a n+a n+1>a n+2对任意正整数都成立，即{a n}是三角形数列．因为k>1，显然有f(a n)<f(a n+1)<f(a n+2)<…，由f(a n)+f(a n+1)>f(a n+2)得k n+k n+1>k n+2第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页解得1−√52<k <1+√52．所以当k ∈(1,1+√52)时，f(x)=k x 是数列{a n }的保三角形函数．…（2）证明：由4s n+1−3s n =8052，得4s n −3s n−1=8052， 两式相减得4c n+1−3c n =0，所以c n =2013(34)n−1…经检验，此通项公式满足4s n+1−3s n =8052． 显然c n >c n+1>c n+2，因为c n+1+c n+2=2013(34)n +2013(34)n+1=2116⋅2013(34)n−1>c n ， 所以{c n }是三角形数列．…（3）解：g(c n )=lg [2013(34)n−1]=lg 2013+(n −1)lg (34)，所以{g(c n )}单调递减．由题意知，lg 2013+(n −1)lg (34)>0①且lg c n−1+lg c n >lg c n−2②， 由①得(n −1)lg 34>−lg 2013，解得n <27.4， 由②得n lg 34>−lg 2013，解得n <26.4． 即数列{b n }最多有26项．… 【考点】数列与不等式的综合 数列的应用【解析】（1）确定{a n }是三角形数列，再利用函数的单调性，可得不等式，即可求k 的取值范围； （2）求得数列{c n }的通项，再利用定义进行证明即可；（3）确定{g(c n )}单调递减，利用定义可得不等式lg 2013+(n −1)lg (34)>0且lg c n−1+lg c n >lg c n−2，由此可得n 的范围，从而可得结论．【解答】（1）解：显然a n =n +1，a n +a n+1>a n+2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列． 因为k >1，显然有f(a n )<f(a n+1)<f(a n+2)<…， 由f(a n )+f(a n+1)>f(a n+2)得k n +k n+1>k n+2 解得1−√52<k <1+√52．所以当k ∈(1,1+√52)时，f(x)=k x 是数列{a n }的保三角形函数．…（2）证明：由4s n+1−3s n =8052，得4s n −3s n−1=8052， 两式相减得4c n+1−3c n =0，所以c n =2013(34)n−1… 经检验，此通项公式满足4s n+1−3s n =8052． 显然c n >c n+1>c n+2，因为c n+1+c n+2=2013(34)n +2013(34)n+1=2116⋅2013(34)n−1>c n ，所以{c n }是三角形数列．…（3）解：g(c n )=lg [2013(34)n−1]=lg 2013+(n −1)lg (34)， 所以{g(c n )}单调递减．由题意知，lg 2013+(n −1)lg (34)>0①且lg c n−1+lg c n >lg c n−2②，由①得(n −1)lg 34>−lg 2013，解得n <27.4， 由②得n lg 34>−lg 2013，解得n <26.4．即数列{b n }最多有26项．…。

20年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M 等于（ ）A ．)1,1(-B ．)3,1(C ．)1,0(D ．)0,1(-2．在复平面内，复数21ii-+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．圆2cos ,2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩的圆心坐标是（ ）4．设nm ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,ααA ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,2)-D ．(2,0)-5．执行右面的框图，若输入的N 是6， 则输出p 的值是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．50406．若21()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 （ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．367．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A．8+B．8+C．83+ D ．3238．如图，已知平面l αβ= ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥ 4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个 动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积 的最大值是（ ）A．B ．16C ．48D ．144βαA C BDP第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a，且b a //，则θ2cos = ．10．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若40k a a +=，则k =________． 11.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E，若DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =，则线段CE 的长为 ．12．设函数21,,2()1log ,2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的最小值为1-，则实数a 的取值范围是 ．13．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x = 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机 往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的 概率是 ．14．集合{}{},|),(,,|),(a y x y x M R y R x y x U <+=∈∈={},)(|),(x f y y x P ==现给出下列函数：①xa y =，②x y a log =，③sin()y x a =+，④cos y ax =，若10<<a 时，恒有,P M C P U = 则所有满足条件的函数)(x f 的编号是 ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a c o s c o s )2(=-． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若cos 22A a ==，求ABC ∆的面积.16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为31，乙每次投中的概率为21，每人分别进行三次投篮． （Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．17 ．（本小题满分14分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，13AA =，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：11//BDC AB 面；（Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.18．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围.C 1A 1CB 1ABD19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a 1，短轴长为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为4，求直线AB 的方程．20．（本小题满分13分） 若数列}{n A 满足21nn A A =+，则称数列}{n A 为“平方递推数列”．已知数列}{n a 中，21=a ，点(1,+n n a a )在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数．（Ⅰ）证明数列}1{2+n a 是“平方递推数列”，且数列)}1{lg(2+n a 为等比数列；（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即)12)12)(12(21+++=n n a a a T （ ，求数列}{n a 的通项及n T 关于n 的表达式；（Ⅲ）记21log n n a n b T += ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使2012n S >的n 的最小值．2012年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=． (4)分 ∵ 0A π<<, ∴0sin ≠A ，∴ 21cos =B ．又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． …………6分 （Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得b = (8)分由cos A =可得4A π=，由3π=B ，可得sin 4C =， …………11分 ∴113sin 22242s ab C +==⨯=． …………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． …………1分;27832)0(303=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;943231)1(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;923231)2(223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ.27131)3(333=⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξξ的分布列如下表：…………4分 127139229412780=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． …………5分 （Ⅱ）乙至多投中2次的概率为87211333=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ． …………8分（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则2121,,B B B B A =为互斥事件． …………10分=+=)()()(21B P B P A P 61819483278=⨯+⨯． 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为61． …………13分 17．（本小题满分14分）（I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ． …………1分 ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1． ∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． …………4分（II ）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0），1(0,3,2)CB = ，1(1,3,0)CD =，…………5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =- . …………7分 易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………8分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯. ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. …………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …………12分 解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. …………13分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222'()2a x af x x x x+=+= …………1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； ……5分（2）当0a <时2('()x x f x x+-=.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2a g x x x x=-++，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x ≤-在[1,2]上恒成立. …………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩-------1分解得1a c =. ------------2分即：椭圆方程为.12322=+y x ------------3分 （Ⅱ）当直线AB 与x 轴垂直时，AB =， 此时AOB S ∆不符合题意故舍掉； -----------4分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ------------6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， -----------7分所以AB =. ------------9分 原点到直线的AB距离d =，所以三角形的面积12S AB d ==.由22S k k =⇒=⇒= ------------12分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=. ---------13分 20．（本小题满分13分）解：（I ）因为2221122,212(22)1(21)++=++=++=+n n n n n n n a a a a a a a所以数列}1{2+n a 是“平方递推数列” . --------2分由以上结论21lg(21)lg(21)2lg(21)n n n a a a ++=+=+，所以数列)}1{lg(2+n a 为首项是lg5公比为2的等比数列. --------3分（II ）11121lg(21)[lg(21)]22lg5lg5---+=+⨯==n n n n a a ，11221215,(51)2--+==-n n n n a a .--------5分 1l g l g (21)l g (21)(21)l g 5nn n T a a =++++=-，215nn T -=.--------7分（III ）11lg (21)lg512lg(21)2lg52---===-+n n n n n n T b a11222n n S n -=-+. --------10分112220122n n --+>110072nn+>m i n 1007n=. --------13分[注：若有其它解法，请酌情给分]。

北京石景山区2012—2013学年高三第二学期统一测试英语试题考生须知：1．本试卷满分150分，考试时长120分钟。

2．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

第I卷第一部分听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题1．5分，共7．5分）听下面5段对话。

每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间米回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍1．What's the woman looking for?A．Grey pants．B．Brown pants．C．Blue pants．2．What will the man probably eat for dinner?A．Pizza．B．Snacks in KFC．C．French food.3．Where will the woman go first?A．To the dentist's．B．To the post office．C．To the bookstore．4．What do we learn from the woman's remark about Helen?A．She is talkative．B．She is quiet．C．She is active．5．What will the man do this Tuesday?A．Give a speech．B．Meet some children．C．Attend a conference．第二节（共10小题；每小题1．5分，共15分）听下面4段对话或独白，每段对话或独自后有几道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有5秒钟的时间阅读每小题。

听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白你将听两遍。

听第6段材料，回答第6至7题。

6．Why is the woman worried?A．She has no time to write her book．B．She doesn't know what to read．C．She hasn't finished her task．7．What do we know about the man?A．He has been to Europe with the woman．B．He has finished reading all the books．C．He has forgotten to write his reports．听第7段材料，回答第8至9题。

2011-2012学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合U={1, 2, 3, 4}，A={1, 2}，B={2, 4}，则∁U(A∪B)=()A.{3}B.{2}C.{1, 2, 4}D.{1, 4}2. 已知复数z=1+i1−i，则复数z的模为（）A.2B.√2C.1D.03. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2−x，则f(1)=()A.−3B.−1C.1D.34. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A.8 3B.43C.4D.25. 执行右面的框图，若输入实数ρ√2，则输出结果为（）A.√22B.14C.√2−1D.126. 设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )A.4B.6C.8D.127. 以下四个命题中，真命题的个数是（）①命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”；②若p∨q为假命题，则p、q均为假命题；③命题p：存在x∈R，使得x2+x+1<0，则−p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0④在△ABC中，A<B是sin A<sin B的充分不必要条件．A.1B.2C.3D.48. 对于使−x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做−x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则−12a−2b的上确界为（）A.92B.−92C.−14D.−4二、填空题：本大题共6个小题，每小题0分，共30分．在△ABC中，已知c=2，∠A=120∘，a=2√3，则∠B=________．统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是________；优秀率为________．已知向量a→=(√3,1)，b→=(0,1)，c→=(k,√3)，若a→+2b→与c→垂直，则k＝________．已知等差数列的前n项和为S n，若a4＝18−a5，则S8＝________．若实数x，y满足条件{x−y+1≥0x+y≥2x≤1，则2x+y的最大值为________．已知函数f(x)=log a x−x+b(a>0，且a≠1)，当13<a<12且3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n, n+1)，n∈N∗，则n=________．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=√3cos2x+12sin2x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π6, π4]上的最大值和最小值．甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：（1）求乙球员得分的平均数和方差；（2）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率．（注：方差s2=1n[(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+...+(x n−x¯)2其中x¯为x1，x2，x3...x n的平均数）如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB // CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BM // 平面ADEF；（2）求证：BC⊥平面BDE．已知椭圆x2a+y2b=1(a>b>0)过点M(0, 2)，离心率e=√63．(1)求椭圆的方程；(2)设直线y=x+1与椭圆相交于A，B两点，求S△AMB．已知f(x)=ax−ln x，a∈R（1）当a=2时，求曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若f(x)在x=1处有极值，求f(x)的单调递增区间；（3）是否存在实数a，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q使得c n+1=pc n+q对于任意n∈R∗都成立，我们称数列{c n}是“K类数列”．（1）若a n=2n，b n=3⋅2n，n∈N∗，数列{a n}，{b n}是否为“K类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列{c n}是“K类数列”，则数列{a n+a n+1}也是“K类数列”；（3）若数列a n满足a1=2，a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，t为常数．求数列{a n}前2012项的和．并判断{a n}是否为“K类数列”，说明理由．参考答案与试题解析2011-2012学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据A与B求出两集合的并集，找出全集U中不属于并集的部分即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1, 2}，B={2, 4}，∴A∪B={1, 2, 4}，∵全集U={1, 2, 3, 4}，∴∁U(A∪B)={3}．故选A2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为i，从而求得它的模．【解答】解：由于复数z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，故复数z的模为1，故选C．3.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】要计算f(1)的值，根据f(x)是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f(−1)的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f(x)=2x2−x，代入即可得到答案．【解答】解：∵当x≤0时，f(x)=2x2−x，∴f(−1)=2×(−1)2−(−1)=3，又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(1)=−f(−1)=−3.故选A.4. 【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知该几何体为一个三棱锥，高为2，底面为腰长为2的等腰直角三角形，利用锥体体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为一个三棱锥，高为2，底面为腰长为2的等腰直角三角形，体积V=13Sℎ=13×(12×2×2)×2=43故选B5.【答案】D【考点】程序框图【解析】由程序框图可知该程序利用分段函数求值的，分段函数为y={x−1,x≤1log2x，x>1，将x=√2代入分段函数即可．【解答】解：由程序框图可知，本程序是条件结构，对应的分段函数为y={x−1,x≤1log2x，x>1，因为√2>1，所以y=log2√2=12．故选D．6.【答案】B【考点】抛物线的性质【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=−2，∵点P到y轴的距离是4，∴点P到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，所以点P到该抛物线焦点的距离是6.故选B.7.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据逆否命题的定义，可得①是真命题；根据含有逻辑词“或”的命题真假的判断，可得②是真命题；根据含有量词的命题否定方法，可得③是真命题；根据正弦定理和充要条件的判断，可得④是假命题．由此可得答案．【解答】解：对于①，命题“若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”故命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，可得①正确；对于②，命题“p∨q”只要存在真命题它就是真命题而p∨q为假命题，说明p、q中没有真命题，得它们均为假命题，可得②正确；对于③，含有量词的命题“存在x∈R，p(x)”的否定是“任意x∈R，−p(x)”故命题p“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定−p是“任意x∈R，都有x2+x+1≥0”，可得③正确；对于④，在△ABC中，A<B等价于a<b，根据正弦定理得到sin A<sin B故在△ABC中，A<B是sin A<sin B的充要条件，可得④不正确综上所述，真命题是①②③，共3个故选：C8.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意可知，求的是12a +2b的最小值，并且a，b>0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：∵12a +2b=a+b2a+2(a+b)b=52+b2a+2ab≥52+2√b2a⋅2ab=92，（当且仅当a=b=12时取到等号）∴−12a −2b≤−92（当且仅当a=b=12时取到上确界）故选B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题0分，共30分．【答案】30∘【考点】正弦定理【解析】先根据正弦定理利用题设条件求得sin C，进而求得C，最后利用三角形内角和求得B．【解答】解：由正弦定理可知asin A =csin C∴sin C=c⋅sin Aa =2√322√3=12∴C=30∘∴∠B=180∘−120∘−30∘=30∘故答案为：30∘【答案】800,20%【考点】频率分布直方图【解析】由题意分析直方图可知：不低于60分或不低于80分的频率，又由频率、频数的关系可得：不低于60分段的频数，进而可得答案．【解答】解：根据题意可得：不低于80分的频率=(0.01+0.01)×10=0.2=20%，而不低于60分的频率=(0.025+0.035+0.01+0.01)×10=0.8，故不低于60分的频数=0.8×1000=800．故填：800；20%．【答案】−3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由向量a→=(√3,1)，b→=(0,1)，c→=(k,√3)，先求出a→+2b→=(√3, 3)，再由a→+2b→与c→垂直，求出k的值．【解答】∵向量a→=(√3,1)，b→=(0,1)，c→=(k,√3)，∴a→+2b→=(√3, 3)，∵a→+2b→与c→垂直，∴(√3,3)⋅(k, √3)=√3k+3√3=0，∴k＝−3．【答案】72【考点】等差数列的前n项和【解析】先根据a4＝18−a5求得a4+a5，进而求得a1+a8代入S8中答案可得．【解答】∵a4＝18−a5，∴a4+a5＝18，∴a1+a8＝18，∴S8=(a1+a8)×82=72【答案】4【考点】简单线性规划【解析】足约束条件{x −y +1≥0x +y ≥2x ≤1的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案．【解答】解：满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≥2x ≤1的平面区域如下图所示：由图可知：当x =1，y =2时，2x +y 取最大值4故答案为：4【答案】2【考点】 函数的零点 【解析】利用函数零点的判定定理及其单调性即可得出n ． 【解答】解：∵ 函数f(x)=log a x −x +b(a >0，且a ≠1)，当13<a <12时，函数f(x)单调递减．∵ 当13<a <12且3<b <4时，f(2)=log a 2−2+b >log 122−2+b =b −3>0；f(3)=log a 3−3+b <log 133−3+b =b −4<0．∴ f(2)f(3)<0．由函数零点的判定定理及其单调性可知：函数f(x)的零点x 0∈(2, 3)． 因此n =2． 故答案为2三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【答案】解：(1)由题意得，f(x)=√3(1+cos 2x)2+12sin 2x =√32cos 2x +12sin 2x +√32=sin (2x +π3)+√32; 则f(x)的最小正周期T =π .(2)∵ −π6≤x ≤π4，∴ 0≤2x +π3≤5π6，当2x +π3=π2时，即x =π12时，f(x)有最大值为1+√32， 当2x +π3=0时，即x =−π6时，f(x)有最小值为√32． 【考点】求二倍角的余弦 求二倍角的正弦 求两角和与差的正弦 正弦函数的定义域和值域 三角函数的周期性及其求法【解析】(1)根据二倍角的余弦、两角和的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期.(2)由x 的范围求出2x +π3的范围，再由正弦函数的最值求出此函数的最值，以及对应的x 的值．【解答】解：(1)由题意得，f(x)=√3(1+cos 2x)2+12sin 2x =√32cos 2x +12sin 2x +√32=sin (2x +π3)+√32; 则f(x)的最小正周期T =π . (2)∵ −π6≤x ≤π4，∴ 0≤2x +π3≤5π6，当2x +π3=π2时，即x =π12时，f(x)有最大值为1+√32， 当2x +π3=0时，即x =−π6时，f(x)有最小值为√32． 【答案】解：（1）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18，24，24，30，所以平均数x ¯=18+24+24+304=24； …s 2=14[(18−24)2+(24−24)2+(24−24)2+(30−24)2]=18．…（2）甲球员四场比赛得分为20，20，26，32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：(18, 20)(18, 20)(18, 26)(18, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (30, 20)(30, 20)(30, 26)(30, 32)… 得分和超过5的结果有：(24, 32)(24, 32)(30, 26)(30, 32)…求得分和超过5的概率为14．…【考点】极差、方差与标准差 茎叶图众数、中位数、平均数【解析】（1）由茎叶图读出乙球员四场比赛得分，再按照平均数和方差公式计算即可．（2）本问是道古典概型问题．分别从两人得分中随机选取一场的 得分共有16种情况，得分和超过5的结果有(24, 32)(24, 32)(30, 26)(30, 32)，易求所求的概率为14 【解答】解：（1）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18，24，24，30，所以平均数x ¯=18+24+24+304=24； …s 2=14[(18−24)2+(24−24)2+(24−24)2+(30−24)2]=18．…（2）甲球员四场比赛得分为20，20，26，32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况： (18, 20)(18, 20)(18, 26)(18, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (30, 20)(30, 20)(30, 26)(30, 32)… 得分和超过5的结果有：(24, 32)(24, 32)(30, 26)(30, 32)… 求得分和超过5的概率为14．…【答案】 证明：（1）取DE 中点N ，连结MN ，AN ． 在△EDC 中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点，… 所以MN // CD ，且MN =12CD ． 由已知AB // CD ，AB =12CD ，所以MN // AB ，且MN =AB ．所以四边形ABMN 为平行四边形． … 所以BM // AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM // 平面ADEF ． …（2）在矩形ADEF 中，ED ⊥AD ． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF ∩平面ABCD =AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ． 所以ED ⊥BC ． …在直角梯形ABCD 中，AB =AD =2，CD =4，可得BC =2√2． 在△BCD 中，BD =BC =2√2，CD =4， 因为BD 2+BC 2=CD 2，所以BC ⊥BD ． 因为BD ∩DE =D ，所以BC ⊥平面BDE ．… 【考点】直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定【解析】（1）取DE 中点N ，连结MN ，AN ，证明四边形ABMN 为平行四边形，从而可证BM // 平面ADEF ；（2）先证明ED ⊥平面ABCD ，可得ED ⊥BC ，再利用勾股定理，证明BC ⊥BD ，利用线面垂直的判定定理，证明BC ⊥平面BDE ．【解答】 证明：（1）取DE 中点N ，连结MN ，AN ． 在△EDC 中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点，… 所以MN // CD ，且MN =12CD ．由已知AB // CD ，AB =12CD ，所以MN // AB ，且MN =AB ．所以四边形ABMN 为平行四边形． … 所以BM // AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM // 平面ADEF ． …（2）在矩形ADEF 中，ED ⊥AD ．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF ∩平面ABCD =AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ． 所以ED ⊥BC ． …在直角梯形ABCD 中，AB =AD =2，CD =4，可得BC =2√2． 在△BCD 中，BD =BC =2√2，CD =4， 因为BD 2+BC 2=CD 2，所以BC ⊥BD ． 因为BD ∩DE =D ，所以BC ⊥平面BDE ．… 【答案】解：(1)由题意得b =2,ca =√63结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=12 所以，椭圆的方程为x 212+y 24=1．(2)由{x 212+y 24=1，y =x +1，得x 2+3(x +1)2=12，即4x 2+6x −9=0，经验证Δ>0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．所以x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−94， |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2(x 1−x 2)2=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =3√102因为点M 到直线AB 的距离d =2=√22， 所以S △AMB =12×|AB|×d=12×3√102×√22=3√54．【考点】椭圆中的平面几何问题 椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）利用椭圆过点M(0, 2)，离心率e =√63，求出几何量，即可得到椭圆的方程； （2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出|AB|，计算M 到直线AB 的距离，即可求S △AMB ． 【解答】解：(1)由题意得b =2,ca =√63结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=12 所以，椭圆的方程为x 212+y 24=1．(2)由{x 212+y 24=1，y =x +1，得x 2+3(x +1)2=12，即4x 2+6x −9=0，经验证Δ>0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．所以x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−94， |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2(x 1−x 2)2=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =3√102因为点M 到直线AB 的距离d =√2=√22， 所以S △AMB =12×|AB|×d =12×3√102×√22=3√54．【答案】 解：（1）当a =2时，f(x)=2x −ln x ，函数的定义域为(0, +∞) 求导函数可得：f′(x)=2−1x∴ f′(1)=1，f(1)=2∴ 曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y −2=x −1，即x −y +1=0； （2）∵ f(x)在x =1处有极值，∴ f′(1)=0 ∵ f′(x)=a −1x ∴ a −1=0，∴ a =1 ∴ f′(x)=1−1x令f′(x)>0，可得x <0或x >1 ∵ x >0，∴ x >1∴ f(x)的单调递增区间为(1, +∞)；（3）假设存在实数a ，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3，①当a ≤0时，∵ x ∈(0, e],∴ f′(x)<0，∴ f(x)在区间(0, e]上单调递减 ∴ f(x)min =f(e)=ae −1=3，∴ a =4e（舍去）；②当0<1a <e 时，f(x)在区间(0, 1a )上单调递减，在(1a , e]上单调递增 ∴ f(x)min =f(1a )=1+ln a =3，∴ a =e 2，满足条件；③当1a ≥e 时，∵ x ∈(0, e],∴ f′(x)<0，∴ f(x)在区间(0, e]上单调递减∴f(x)min=f(e)=ae−1=3，∴a=4e（舍去），综上所述，存在实数a=4e，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）当a=2时，f(x)=2x−ln x，函数的定义域为(0, +∞)，求导函数，即可确定切点与切线的斜率，从而可得曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）利用f(x)在x=1处有极值，确定a的值，利用导数大于0，结合函数的定义域，即可得到f(x)的单调递增区间；（3）分类讨论，确定函数f(x)在区间(0, e]上的单调性，从而可得函数的最小值，利用最小值是3，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（1）当a=2时，f(x)=2x−ln x，函数的定义域为(0, +∞)求导函数可得：f′(x)=2−1x∴f′(1)=1，f(1)=2∴曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−2=x−1，即x−y+1=0；（2）∵f(x)在x=1处有极值，∴f′(1)=0∵f′(x)=a−1x∴a−1=0，∴a=1∴f′(x)=1−1x令f′(x)>0，可得x<0或x>1∵x>0，∴x>1∴f(x)的单调递增区间为(1, +∞)；（3）假设存在实数a，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3，①当a≤0时，∵x∈(0, e],∴f′(x)<0，∴f(x)在区间(0, e]上单调递减∴f(x)min=f(e)=ae−1=3，∴a=4e（舍去）；②当0<1a <e时，f(x)在区间(0, 1a)上单调递减，在(1a, e]上单调递增∴f(x)min=f(1a)=1+ln a=3，∴a=e2，满足条件；③当1a≥e时，∵x∈(0, e],∴f′(x)<0，∴f(x)在区间(0, e]上单调递减∴f(x)min=f(e)=ae−1=3，∴a=4e（舍去），综上所述，存在实数a=4e ，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3．【答案】（1）解：因为a n=2n，所以有a n+1=a n+2，n∈N∗故数列{a n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为1，2；…因为b n=3⋅2n，所以有b n+1=2b n，n∈N∗．故数列{b n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为2，0．…（2）证明：若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，故数列{a n+a n+1}也是“κ类数列”，对应的实常数分别为p，2q．…（3）因为a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，所以有a1+a2=3t⋅2，a3+a4=3t⋅23…，a2009+a2010=3t⋅22009a2011+a2012=3t⋅22011故数列{a n}前2012项的和S2012=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2009+a2010)+(a2011+a2012)=3t⋅2+3t⋅23+...+3t⋅22009+3t⋅22011=2t(22012−1)…若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，而a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，且a n+1+a n+2=3t⋅2n+1(n∈N∗)，则有3t⋅2n+1=3t⋅p2n+2q对于任意n∈N∗都成立，可以得到t(p−2)=0，q=0，当p=2，q=0时，a n+1=2a n，a n=2n，t=1，经检验满足条件．当t=0，q=0时，a n+1=−a n，a n=2(−1)n−1，p=−1经检验满足条件．因此当且仅当t=1或t=0时，数列{a n}是“κ类数列”．对应的实常数分别为2，0或−1，0．…【考点】数列的应用【解析】（1）由数列通项，可得a n+1=a n+2，b n+1=2b n，对照新定义，即可得到结论；（2）若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，从而可得(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，即可得到结论；（3）利用等比数列的求和公式，可求数列{a n}前2012项的和，利用新定义，可以判断{a n}是“K类数列”．【解答】（1）解：因为a n=2n，所以有a n+1=a n+2，n∈N∗故数列{a n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为1，2；…因为b n=3⋅2n，所以有b n+1=2b n，n∈N∗．故数列{b n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为2，0．…（2）证明：若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，故数列{a n+a n+1}也是“κ类数列”，对应的实常数分别为p，2q．…（3）因为a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，所以有a1+a2=3t⋅2，a3+a4=3t⋅23…，a2009+a2010=3t⋅22009a2011+a2012=3t⋅22011故数列{a n}前2012项的和S2012=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2009+a2010)+(a2011+a2012)=3t⋅2+3t⋅23+...+3t⋅22009+3t⋅22011=2t(22012−1)…若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，而a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，且a n+1+a n+2=3t⋅2n+1(n∈N∗)，则有3t⋅2n+1=3t⋅p2n+2q对于任意n∈N∗都成立，可以得到t(p−2)=0，q=0，当p=2，q=0时，a n+1=2a n，a n=2n，t=1，经检验满足条件．当t=0，q=0时，a n+1=−a n，a n=2(−1)n−1，p=−1经检验满足条件．因此当且仅当t=1或t=0时，数列{a n}是“κ类数列”．对应的实常数分别为2，0或−1，0．…。