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待定系数法求二次函数解析式19．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．【答案】（1）（2，7）；（2）﹣2≤y≤7；（3）y＝﹣x2+2x+2．【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；（2）根据函数的增减性求解；（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴顶点坐标为（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），∴当x＝2 时，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴x=b2在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线开口向下，x ≤0时，y 的最大值为2，∴c ＝2，又∵4×(−1)×c−b 24×(−1)=3，∴b ＝±2，∵b ＞0，∴b ＝2．∴二次函数的表达式为 y ＝﹣x 2+2x +2．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．待定系数法求二次函数解析式33．（2023•宁波）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 图象经过点A （1，﹣2）和B （0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y ≤﹣2时，请根据图象直接写出x 的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；（2）求出A 关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．【解答】解：（1）把A （1，﹣2）和B （0，﹣5）代入y ＝x 2+bx +c 得：{1+b +c =−2c =−5， 解得{b =2c =−5，∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；（2）如图：∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．。
二次函数中考复习专题教案第一章：二次函数的基本概念1.1 二次函数的定义解释二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c强调a、b、c系数的含义和作用1.2 二次函数的图像介绍二次函数图像的特点：开口方向、顶点、对称轴、与y轴的交点等利用图形软件绘制几个典型二次函数的图像，让学生观察和分析1.3 二次函数的性质讨论二次函数的增减性、对称性、周期性等性质引导学生通过图像理解二次函数的性质第二章：二次函数的顶点式2.1 顶点式的定义解释顶点式：y = a(x h)^2 + k强调顶点(h, k)对二次函数图像的影响2.2 利用顶点式求解二次函数的图像和性质引导学生通过顶点式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用顶点式求解最值问题2.3 顶点式的应用讨论顶点式在实际问题中的应用，如抛物线运动、几何问题等给出几个实际问题，让学生运用顶点式解决第三章：二次函数的解析式3.1 解析式的定义解释二次函数的解析式：y = ax^2 + bx + c强调解析式与顶点式的关系3.2 利用解析式求解二次函数的图像和性质引导学生通过解析式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用解析式求解最值问题3.3 解析式的应用讨论解析式在实际问题中的应用，如物理、化学等领域的方程求解给出几个实际问题，让学生运用解析式解决第四章：二次函数的图像与性质4.1 图像与性质的关系讨论二次函数图像与性质之间的关系引导学生通过图像判断二次函数的性质4.2 开口方向与a的关系解释开口方向与a的关系：a > 0时开口向上，a < 0时开口向下举例说明如何通过开口方向判断二次函数的性质4.3 对称轴与顶点的关系解释对称轴与顶点的关系：对称轴为x = h举例说明如何通过对称轴判断二次函数的性质第五章：二次函数的实际应用5.1 实际应用的基本形式讨论二次函数在实际应用中的基本形式举例说明如何将实际问题转化为二次函数问题5.2 利用二次函数解决实际问题引导学生运用二次函数解决实际问题，如最值问题、优化问题等给出几个实际问题，让学生运用二次函数解决5.3 实际应用的拓展讨论二次函数在其他领域的应用，如经济学、生物学等引导学生思考如何将二次函数应用于解决其他实际问题第六章：二次函数的综合应用6.1 二次函数与线性函数的组合解释二次函数与线性函数组合的形式，如y = ax^2 + bx + c 与y = dx + e 的组合强调组合函数的图像和性质6.2 利用综合应用解决实际问题引导学生运用综合应用解决实际问题，如函数交点问题、不等式问题等给出几个实际问题，让学生运用综合应用解决6.3 综合应用的拓展讨论综合应用在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将综合应用应用于解决其他实际问题第七章：二次函数与不等式7.1 二次不等式的定义解释二次不等式的形式，如ax^2 + bx + c > 0强调解二次不等式的方法和步骤7.2 利用图像解决二次不等式问题引导学生通过图像解决二次不等式问题，如找出不等式的解集举例说明如何利用图像解决实际问题7.3 二次不等式的拓展讨论二次不等式在其他领域的应用，如经济学、工程学等引导学生思考如何将二次不等式应用于解决其他实际问题第八章：二次函数的最值问题8.1 二次函数最值的概念解释二次函数最值的概念，如最大值、最小值强调最值与对称轴、顶点的关系8.2 利用顶点式求解最值问题引导学生通过顶点式求解二次函数的最值问题举例说明如何利用顶点式求解实际问题中的最值8.3 最值问题的拓展讨论最值问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将最值问题应用于解决其他实际问题第九章：二次函数与几何问题9.1 二次函数与几何图形的关系解释二次函数与几何图形的关系，如圆、椭圆、抛物线等强调二次函数在几何问题中的应用9.2 利用二次函数解决几何问题引导学生运用二次函数解决几何问题，如求解三角形面积、距离问题等举例说明如何利用二次函数解决实际问题中的几何问题9.3 几何问题的拓展讨论几何问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将几何问题应用于解决其他实际问题第十章：二次函数的综合训练10.1 综合训练的目的强调综合训练的重要性，提高学生对二次函数知识的综合运用能力引导学生通过综合训练巩固所学知识10.2 综合训练的内容设计几个综合训练题目，包括不同类型的二次函数问题，如图像分析、性质判断、实际应用等让学生在规定时间内完成综合训练题目给予学生综合训练的反馈，指出错误和不足之处重点和难点解析1. 第一章中二次函数的基本概念：理解二次函数的一般形式和系数含义是学习二次函数的基础，对于图像的特点和性质的理解也是解决复杂问题的关键。
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数是初中数学中的重要内容，掌握了二次函数的知识，能够帮助我们理解函数的基本概念、图像和性质，同时也是后续学习函数、解析几何和微积分等内容的基础。
一、二次函数的定义和基本性质1.二次函数是一个以抛物线形状为特征的函数，其图像在平面直角坐标系中呈现出对称轴和顶点。
2.对于任意的a、b、c，二次函数的图像都存在对称轴，并且过对称轴的顶点。
3.当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
4. 当Δ=b²-4ac>0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即该二次函数的解存在两个不同的实根；当Δ=0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即该二次函数的解存在一个实根；当Δ<0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即该二次函数无实根。
5. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) =ax²+bx+c。
二、二次函数的图像与平移1. 对于y=ax²+bx+c，当a>0时，整个二次函数图像上移a个单位；当a<0时，整个二次函数图像下移a个单位。
2. 对于y=ax²+bx+c，当c>0时，整个二次函数图像上移c个单位；当c<0时，整个二次函数图像下移c个单位。
3. 对于y=ax²+bx+c，当b>0时，整个二次函数图像向左平移b个单位；当b<0时，整个二次函数图像向右平移b个单位。
三、二次函数的解和性质1.根据二次函数的定义，可以用求根公式计算二次函数的解，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
2.根据二次函数的判别式Δ的大小，可以判断二次函数的解的情况，进而判断图像的开口方向和顶点的位置。
3.根据二次函数的顶点坐标和开口方向，可以确定二次函数的整个图像。
初中数学学业水平考试复习讲义二次函数（教师版）王梓瀚/编【核心复习】（1）一般式：（已知图象上三点坐标）设y= 。
（2）顶点式：（已知顶点坐标或对称轴）设y= 。
（3）交点式：（已知与x 轴的交点）设y= 。
例1：已知二次函数 的图像经过 ，那么此函数的解析式是________例2：抛物线顶点为1(-P ，)8-且经过点0(，)6-，则抛物线的解析式为例3：抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0）且经过点0(，)6-，则抛物线的解析式为 3、抛物线y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的特征与a 、b 、c 的符号的关系：①a 的符号决定抛物线 ；∣a ∣决定抛物线开口 即 ∣a ∣ 越大，开口越 ，∣a ∣越小，开口越 。
②b 的符号由 决定（左同右异） ③c 的符号由决定。
④抛物线与x 轴的交点个数由 决定。
（1）b 2﹣4ac ﹥0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴有 个交点。
（2）b 2﹣4ac ﹤0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴 交点。
（3）b 2﹣4ac=0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴有 个交点。
⑤特殊值：当x=1时，决定 的符号；当x =－1时，决定 的符号。
例：如图x=1是二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴，则有（（A ）0<++c b a （B ）c a b +< （C ）b c 2< （D ）0<abc4、二次函数的最值的求法：（1）公式法：对抛物线y=ax 2﹢bx ﹢c ，当a ﹥0时，二次函数有最 值；当 a ﹤0时，二次函数有最 值。
当x= 时，y 的最值是 。
（2）配方法：将二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）配成y ＝a(x-h)2+k 的形式，当x= 时，y 有最值 。
5、①二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）与一元二次方程ax 2﹢bx ﹢c=0（a ≠0）的关系： （1）联系：二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程： ax 2﹢bx ﹢c=0（a ≠0）（2）二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴的交点设为（x 1，0） ，（x 2，0），则x 1，x 2是一元二次方程ax 2﹢bx ﹢c=0（a ≠0）的 。
初中数学学业水平考试复习讲义二次函数（教师版）王梓瀚/编【核心复习】图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 增减性 y=ax 2 y=ax 2+cy=a(x-h)2y=a(x-h)2+hy=ax 2+bx+c（1）一般式：（已知图象上三点坐标）设y= 。
（2）顶点式：（已知顶点坐标或对称轴）设y= 。
（3）交点式：（已知与x 轴的交点）设y= 。
例1：已知二次函数 的图像经过 ，那么此函数的解析式是________例2：抛物线顶点为1(-P ，)8-且经过点0(，)6-，则抛物线的解析式为例3：抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0）且经过点0(，)6-，则抛物线的解析式为 3、抛物线y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的特征与a 、b 、c 的符号的关系：①a 的符号决定抛物线 ；∣a ∣决定抛物线开口 即 ∣a ∣ 越大，开口越 ，∣a ∣越小，开口越 。
②b 的符号由 决定（左同右异） ③c 的符号由 决定。
④抛物线与x 轴的交点个数由 决定。
（1）b 2﹣4ac ﹥0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴有 个交点。
（2）b 2﹣4ac ﹤0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴 交点。
（3）b 2﹣4ac=0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴有 个交点。
⑤特殊值：当x=1时，决定 的符号；当x =－1时，决定 的符号。
例：如图x=1是二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴，则有（ ） （A ）0<++c b a （B ）c a b +< （C ）b c 2< （D ）0<abc4、二次函数的最值的求法：x y1 -1O（1）公式法：对抛物线y=ax 2﹢bx ﹢c ，当a ﹥0时，二次函数有最 值；当 a ﹤0时，二次函数有最 值。
当x= 时，y 的最值是 。
（2）配方法：将二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）配成y ＝a(x-h)2+k 的形式，当x= 时，y 有最值 。
5、①二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）与一元二次方程ax 2﹢bx ﹢c=0（a ≠0）的关系： （1）联系：二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程： ax 2﹢bx ﹢c=0（a ≠0）（2）二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴的交点设为（x 1，0） ，（x 2，0），则x 1，x 2是一元二次方程ax 2﹢bx ﹢c=0（a ≠0）的 。
（3）抛物线与x 轴交点问题：①b 2﹣4ac ﹥0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴有 个交点。
②b 2﹣4ac ﹤0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴 交点。
③b 2﹣4ac=0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴有 个交点。
②二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）与不等式的关系：（识图）例：抛物线如图所示：当x =________时，y =0，当x <-1，或x >3时，y _______0当-1<x <3时，y ______0；当x =_______时，y 有最______值。
6、二次函数图像的变换（1）、平移（上加下减、左加右减）抛物线y ＝a(x-h)2+k 可由y ＝ax 2的图象沿x 轴 平移 个单位，沿y 轴 平移 个单位而得到。
即：当h ＞0、k ﹥0时，先沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴平移 个单位； 当h ＜0、 k ﹥0时，先沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴平移 个单位； 当h ＞0、k ﹤0时，先沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴平移 单位； 当h ﹤0、k ﹤0时，先沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴平移 单位；例：将二次函数 的图像向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到抛物，则（2）、旋转（将抛物线绕顶点旋转1800） 若抛物线向左又向上各平移4个单位，再绕顶点旋转180°，得到新的图像的解析式是________.（3）、对称（关于X 轴和Y 轴对称）函数342--=x x y 关于X 轴对称的函数的解析式为 ；关于Y 轴对称的函数的解析式为二次函数知识点多而碎，学生通过知识填空可以清晰地回顾这部分的内容，再加上每个知识点后面的跟踪练习，更加深了学生对这部分知识的理解和记忆。
【典型例题】一、二次函数基本知识、概念、定理的考察 【例1】下列命题中正确的是① 若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
② 当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。
③ 若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。
④ 若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC =6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。
⑤ 若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
⑥ 若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。
⑦ 若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。
⑧ 若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。
⑨ 若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。
⑩ 若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。
○11若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 【点拨】本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。
【解答】全部正确【积累与小结】抓住系数a 、b 、c 对图形的影响的基本特点，提升的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练对函数、方程的数学思想的运用。
二、二次函数有关的实际应用题【例2】某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？【点拨】本大题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。
【解答】解：(1) （130-100）×80=2400（元）；…………………………………4分（2）设应将售价定为x 元，则销售利润130(100)(8020)5xy x -=-+⨯……………………………………6分 24100060000x x =-+-24(125)2500x =--+.……………………………………………8分当125x =时，y 有最大值2500.∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元. ……………9分【复习思路】复习时注意，自变量的取值限制条件：如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。
【变式训练】某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE MN =．准备在形如Rt AEH △的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt AEH △的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ 内种植紫色花草，每种花草的价设的长为米，正方形的面积为平方米，买花草所需的费用为元，解答下列问题： （1）S 与x 之间的函数关系式为S = ；（2）求W 与x 之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；（3）当买花草所需的费用最低时，求EM 的长．解：（1）222(4)2816.x x x x +--+或 ························································· （2分）（2）604AEB EFGN MNPQ MNPQ W S S S =⨯+△正方形正方形正方形80(-S )+120 =60222214(4)80[(4)]120.2x x x x x x ⨯⨯-++--+ ········································ （4分） =8021601280.x x -+ ··············································································· （5分） 配方，得280(1)1200.W x =-+ ············································································· （6分） ∴当1x =时，1200W =最小值元． ······························································· （7分）（3）设EM a =米，则(1)MH a =+米. 在Rt EMH △中，2222(1)13,a a ++=+解得a =0,1.2a a >∴=EM ∴的长为12米． ······································································· （10分） 三、二次函数与坐标问题【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过(10)A -，，(30)B ，，(03)C ，三点，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B D 、重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果P 点的坐标为()x y ，，PBE △的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出s 的最大值；FC G H E（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 的垂线，垂足为F ，连接EF ，把PEF △沿直线EF 折叠，点P 的对应点为P '，请直接写出P '点坐标，并判断点P '【分析】本大题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。
