辽宁省沈阳市2017届高三教学质量检测(一)理数试题 Word版含答案

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,故选A考点：集合的并集运算2. 复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，，即对应的点在第四象限，故选D.3. 以下四个命题中，真命题是（）A. ，B. “，”的否定是“，”C. ，函数都不是偶函数D. 条件：，条件:则是的必要不充分条件【答案】D【解析】A.不正确，时，，时，；B.不正确，应为“”；C.不正确，当时，是偶函数；D.正确.故选D.4. 的展开式中，含项的系数是（）A. -10B. -5C. 5D. 10【答案】A【解析】含的项为，系数为-10，故选A.5. 在等差数列中，为其前项和，若，则（）A. 60B. 75C. 90D. 105【答案】B6. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个棱柱的三视图，则此棱柱的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】7. 我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。

”设计程序框图是计算圆周率率不足近似值的算法，其中圆的半径为1.请问程序中输出的是圆的内接正（）边形的面积。

A. 1024B. 2048C. 3072D. 1536【答案】A【解析】当时，，时，，时，，当时，，……，时，，故输出的是圆的内接正1024边形的面积，故选A.8. 已知满足约束条件，若目标函数的最大值是-2，则实数（）A. -6B. -1C. 1D. 6【答案】C【解析】先做出如图可行域，因为目标函数的最大值为-2，即由图像可知经过平面的点A时，目标函数取得最大值，即，解得：，，代入目标函数，解得：，故选C.9. 已知函数，函数，恰有三个不同的零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A10. 在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，则正方体棱长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】取的中点为 ,连结，四面体外接球的球心在上，球的体积为，设正方体的棱长为，那么在中，，解得，故选C.11. 过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交其抛物线于两点，若，且，则抛物线方程为（）A. B. C. D.【答案】C点睛：本题考查了抛物线的焦半径公式，开口向右的抛物线上的点到焦点的距离为，利用点既在抛物线上又在直线上，这样建立方程求解，求抛物线方程时，要注意几个与有关的量，比较焦点，准线，以及焦点到准线的距离和焦半径公式，以及焦点弦长公式，有时可以和平面几何建立关系，或是利用直线与抛物线联立，或是点在抛物线上，都可以解决抛物线方程的问题.12. 已知函数，关于的方程有3个相异的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D点睛：本题主要考察了函数零点的问题，通过换元转化为二次方程实数根的问题，再通过树形结合得到函数的零点或是零点的取值范围，代入得到系数的取值，本题综合性较强，难点较大.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则__________．【答案】14. 在正方形中，，分别是边上的动点，当时，则的取值范围是__________．【答案】【解析】以点A为原点建立如图坐标系，，，即，而，表示线段上的点到定点的距离的取值范围，点C到直线的距离最短，即，点C和线段的端点连线最长，即边长2，所以取值范围为 .15. 抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为__________．【答案】【解析】图中阴影的面积为，而抛物线于轴所为成的面积为，所以，故填： .点睛：本题考查了几何概型，以及利用定积分求面积，利用定积分求面积第一个步骤需画出函数图像，第二步找到被积函数以及被积区间，最后根据定积分的计算公式计算.16. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是__________．【答案】点睛：本题主要考察了递推公式，以及等差数列和与通项公式的关系，以及分类讨论数列的通项公式，本题有一个易错的地方是，忽略的取值问题，当出现时，认为奇数项和偶数项成等差数列，其实，奇数项应从第三项起成等差数列，所以奇数项的通项公式为，而不是，注意这个问题，就不会出错.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角对应的边分别是，已知. （Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若的面积，，求的值.【答案】（I）；（II）.试题解析：（Ⅰ）由，得，即，解得或（舍去），∵，∴；（Ⅱ）由，得，又∵，∴，由余弦定理得，故，又由正弦定理得．18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（I）详见解析；（II）.（Ⅱ）解：可求得：，，∴，∴，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，设平面的法向量为，则，即，令，得，∴，经观察二面角的大小为钝角，设为，∴．点睛：立体几何的第一问，经常考到证明线线，线面垂直，若是证明线线垂直，也经常转化为证明线面垂直，需证明线与包含另一条直线的平面垂直，而证明线面垂直又需证明线与平面内的两条相交直线垂直，那么直角三角形的直角边垂直，或是等腰三角形的底边中线垂直底边，或是三线满足勾股定理，都可以证明线线垂直，只有证明了垂直，才可以为后面建立空间向量打下一个很好的基础.19. 某次考试中，语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，随机抽取的500名学生在本次考试中语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）（Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中至少有一科成绩特别优秀的同学中随机抽取3人，设3人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.（附公及表）①若，则，；②，；③【答案】（I）数学人，语文人；（II）期望为；（III）有的把握认为语文特别优秀的同学数学也特别优秀.【解析】试题分析：（Ⅰ）语文服从正态分布，，即，根据频率分布直方图计算成绩大于135的频率，再乘以500就是人数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果可知，至少有一科特别优秀的有16人，其中都优秀的有6人，恰有一科优秀的有10人，服从超几何分布，列出分布列；（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）列列联表，计算和6.635比较大小.（Ⅱ）∵至少有一科成绩特别优秀的同学人数为：，∴语文、数学两科都优秀的有人，单科优秀的有人，的所有可能取值为，∴，，，，∴的分布列为：∴；（Ⅲ）列联表：由于，∴有的把握认为语文特别优秀的同学数学也特别优秀．注：计算时，不计算出近似值144.5，答案中类有似“”的化简步骤直接写出“>6.635”不扣分．20. 已知椭圆和直线：，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点，若直线过点且与椭圆相交于两点，试判断是否存在直线，使以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（I）；（II）或.试题解析：（Ⅰ）由直线，∴，即——①又由，得，即，又∵，∴——②将②代入①得，即，∴，，，∴所求椭圆方程是；（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线方程为，则直线与椭圆的交点为，又∵，∴，即以为直径的圆过点；∵以为直径的圆过点，∴，即，由，，得，∴，∴，解得，即；综上所述，当以为直径的圆过定点时，直线的方程为或.21. 已知，函数.（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）设，且有两个极值点，其中，若恒成立，求的取值范围.【答案】（I）单调递增区间是和，单调递减区间是；（II）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先注意到函数的定义域，求函数的导数，在定义域内求和的区间；（Ⅱ）首先求，根据导数，得到，得到根与系数的关系，其中，并代入求，并求函数的最小值，即得到的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）易求的定义域，当时，，，令得，或，故的单调递增区间是和，单调递减区间是；又∵，∴，∴设，,∵，当时，恒有，∴在上单调递减，∴，故，又∵恒成立，∴.点睛：导数中出现恒成立的问题是高考常考题型，一般可参变分离，转化为求函数恒成立的问题，根据导数根与系数的关系，求得，这样，将函数变形为的函数，并求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，求得函数的最值，得到的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），曲线经过伸缩变换后的曲线为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线的极坐标方程为，且曲线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（I）；（I）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据伸缩变换得到，代入曲线的参数方程，可得，化为普通方程为，最后根据互化公式；（Ⅱ）将曲线的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相交求弦长，可以根据弦长公式，先求圆心到直线的距离， .（Ⅱ）由，得，∵，∴的普通方程为，圆心到的距离为：，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知，函数.（Ⅰ）当，时，求不等式的解集；（Ⅱ）若，且，求证：；并求时，的值. 【答案】（1）；（2），.试题解析：解：（Ⅰ）当时，不等式化为，即或或，解得或或，∴不等式的解集为；（Ⅱ）当且仅当，即时“”成立，又∵，解得，．。

2017届辽宁省重点高中校高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．设为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于，所以的共轭复数为，故选B.2．1. 设集合，则的元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合，，∴，∴的元素的个数为个，故选D.3．1. 设向量满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,∴，故选A.4．1. 如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业累计同比贡献率，以下结论正确的是（）A. 2015年前三个季度中国累计比较2014年同期增速有上升的趋势B. 相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对的贡献率明显增加C. 相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对的贡献率明显增加D. 相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对的贡献率明显增加【答案】B【解析】通过图形可以看出，最后三个条形中，白色条形所占的比重明显比前四个条形所占比重要大，即相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对的贡献率明显增加，故选B.5．1. 的展开式中常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】展开式的通项为，令，则，∴的展开式中常数项为，故选A.6．1. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积，高，故体积，故选C.7．1. 抛物线上有两点到焦点的距离之和为，则到轴的距离之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点，准线方程，设，∴∴，∴到轴的距离之和为，故选D.点睛：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，解题的关键是利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，注重对基础的考查，属于中档题；根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出到轴的距离之和.8．1. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得；，不满足条件“” ，，满足条件“”，不满足条件“”，，不满足条件“”，，满足条件“”，满足条件“”，退出循环，输出的值为，故选C.点睛：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题；由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.9．1. 设满足约束条件，若仅在点处取得最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，作出满足约束条件，平面区域如下图：目标函数（其中）可化为，则由目标函数（其中）仅在点处取得最大值，得：，即．故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10．1. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，,则当时,的表达式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得：，即，则，，函数为定义在上的奇函数，可得，∴设时，可得，∴∴，故选A.11．1. 飞机的航线和山頂在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为,飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如图,，，，∴在中，∵，∴，山顶的海拔高度为．故选D.12．1. 已知函数的图象上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，的导数为；当时，的导数为，设，为该函数图象上的两点，且，当，或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为．两直线重合的充要条件是①，②，由①及得，由①②得，令，则，且，则，结合三次函数的性质可知，在时恒成立，故单调递增，即，即，可得函数的图象在点、处的切线重合，的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法；先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，即可得出的取值范围.二、填空题13．1. 函数的最小正周期为__________．【答案】1【解析】对于，，函数是函数,轴上方的图象不动将轴下方的图象向上对折得到的，故，故答案为.14．1. 球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到的距离为，则球的表面积为__________．【答案】【解析】平面所截得的截面圆的面积为，即小圆的面积为，小圆的半径是，则大圆的半径，球的表面积为，故答案为.点睛：本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由与球心距离为的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径即，进而求出球的表面积.15．1. 函数的最大值为__________．【答案】【解析】由于，的最大值为，故的最大值为，故答案为.16．1. 直线与双曲线的左支、右支分别交于两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】∵，∴，∴，代入双曲线，可得，∴，∴，∴，故答案为.三、解答题17．1. 已知数列为等比数列，，且.（1）求；（2）若数列满足，，求.【答案】 (1).(2).【解析】试题分析：（1）根据等比数列的定义将和表示成首项和公比的形式，进而解出，得到；（2）将转化为，利用累加法即可求出.试题解析：（1）设的公比为，则，或，当时，；当时，.（2）.，.18．1. 已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第—道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售.（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有部智能手机进人审核，记这部手机可以出厂销售的部数为，求的分布列及数学期望.【答案】 (1) (2)详见解析【解析】试题分析：（1）根据题意只通过两道程序是指前两道通过，第三道未通过，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果；（2）计算出每部智能手机可以出厂销售的概率为，的次数的取值是，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可.试题解析：（1）设“审核过程中只通过两道程序” 为事件，则.（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为.由题意可得可取，则有,.所以的分布列为:故(或).19．1. 在如图所示的四棱锥中，四边形为正方形，平面，且分别为的中点，.（1）证眀: 平面；（2）若,，求二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析(2)【解析】试题分析：（1）连结，分别交于点，连结，推导出，，，由此能证明平面；（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.试题解析：（1）证明: 连结,分别的交于点，连结为中点，为中点，.又为中点，又为的中点，平面平面平面.（2）平面,又平面.如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴轴建立空间直角坐标系，则,则平面,平面的一个法向量,设平面的法向量为,则,即,令,则,由图可知，二面角为饨角，二面角的余弦值.点睛：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用；证明线面平行常用的方式有：（1）、利用三角形中位线；（2）、构造平行四边形；（3）、利用面面平行；在该题中利用的是（1）.利用向量法求二面角先求出每个面的法向量，将二面角的平面角转化为法向量夹角或其补角（根据图形观察确定）.20．1. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到椭圆右焦点的最小距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，直线的斜率分别为，若成等差数列，求直线的方程.【答案】(1)椭圆的方程为. (2).【解析】试题分析：（1）由题意列关于的方程组，求解方程组可得的值，则椭圆的方程可求；（2）由（1）知，，设：．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求.试题解析：（1）点的坐标为,由题意可得:得∴椭圆的方程为.（2）设点,又,故直线的方程可设为,由,得,.又成等差数列，,即，故直线的方程为，即.21．1. 已知函数且.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）求函数在区间上的最小值.【答案】(1)函数的单调递减区间是，函数的极小值为无极大值.(2)详见解析【解析】试题分析：（1）把代入，先求定义域，在求导数，令，，求解函数的单调区间及极值；（2）先求导数，研究函数的极值点、端点的函数值，比较极小值与端点函数值的大小，进而求出最小值.试题解析：（1）当时，,由，解得,所以函数的单调递增区间是.由,解得,所以函数的单调递减区间是.所以函数的极小值为无极大值.（2）当时,,设,当时，,此时恒成立，所以在上单调递增，所以.当时，,令,即,解得或；令,即,解得.①当时，即当时, 对恒成立，则在区间单调递减, 所以.②当时，即当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以.③当，即时,对恒成立，则在区间单调递增，所以.综上所述，当时，,当时，；当或时,.22．1. 选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的参数方程；（2）在曲线上任取一点，求的最大值.【答案】解：(1)曲线的参数方程为为参数).(2)【解析】试题分析：（1）等式两边同时乘以，利用，先将其转化为直角坐标方程，再利用将其化为参数方程；（2）根据（1）将点的参数形式代入，利用辅助角公式将其化简，得其最值. 试题解析：（1）由得,即,故曲线的参数方程为为参数).（2）由（1）可设点的坐标为，.点睛：本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程，以及三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；极坐标方程与直角坐标方程互化主要是通过，圆的直角坐标方程与参数方程互化主要是根据，同时辅助角公式在三角函数式化简中的应用频率也是相当高的.23．1. 选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】解：（1）（2）.【解析】试题分析：（1）将绝对值不等式两边同时平方，将其转化为一元一次不等式，再根据不等式解集的端点值即为相对应方程的解可得；（2）将代入将原题转化为对恒成立，令求出其值域即可得的取值范围.试题解析：（1）由得,即,而不等式的解集为,则是方程的解，解得舍去).（2）不等式对恒成立等价于，不等式对恒成立，设，则。

辽宁省沈阳市大东区2017届高三质量监测（一模）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|M x x x ==，{}|lg 0N x x =≤，则M N = （）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞2.复数z 满足()22z i i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.以下四个命题中，真命题是（ ） A ．()0,x π∃∈，sin tan x x =B ．“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，20010x x ++<” C ．R θ∀∈，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数 D ．条件p ：44x y xy +>⎧⎨>⎩，条件q :22x y >⎧⎨>⎩则p 是q 的必要不充分条件4.)52x 的展开式中，含3x 项的系数是（ ）A ．-10B ．-5 C. 5 D ．105.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A ．60 B ．75 C.90 D ．1056.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个棱柱的三视图，则此棱柱的侧面积为（ ）A．16+．20+16+．8+7.我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。

”设计程序框图是计算圆周率率不足近似值的算法，其中圆的半径为1.请问程序中输出的S 是圆的内接正（ ）边形的面积。

A ．1024B ．2048 C.3072 D ．15368.已知,x y 满足约束条件102020x y x y a y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y =-的最大值是-2，则实数a =（ ）A ．-6B ．-1 C.1 D ．69.已知函数()212,632,x x a f x x x x a⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩，函数()()g x f x ax =-，恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,36⎛- ⎝B ．13,62⎛⎫⎪⎝⎭C.(,3-∞-D ．()3-+∞10.在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36π，则正方体棱长为（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．511.过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218y x -=的一条渐近线平行，并交其抛物线于A B 、两点，若AF BF >，且3AF =，则抛物线方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x = C.24y x = D ．28y x =12.已知函数()xe f x x=，关于x 的方程()()()2210f x af x a a R -+-=∈有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21,21e e ⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭B ．21,21e e ⎛⎫--∞ ⎪-⎝⎭ C.210,21e e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ D ．2121e e ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕπ<<个单位得到函数()2sin sin cos 1y x x x =--的图象，则ϕ= ．14.在正方形ABCD 中，2AB AD ==，,M N 分别是边,BC CD 上的动点，当4AM AN = 时，则MN的取值范围是 ．15.抛物线22y x x =-+与x 轴围成的封闭区域为M ，向M 内随机投掷一点(),P x y ，则y x >的概率为 ．16.已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N +∀∈，1n n a a +<恒成立，则m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知()cos23cos 1A B C -+=. （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.18. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=，2AB PC ==，AP BP ==.（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值.19. 某次考试中，语文成绩服从正态分布()2100,17.5N ，数学成绩的频率分布直方图如下：（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，随机抽取的500名学生在本次考试中语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的） （Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中至少有一科成绩特别优秀的同学中随机抽取3人，设3人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. （附公及表）①若()2,x N μσ ，则()0.68P x μσμσ-<≤+=，()220.96P x μσμσ-<≤+=；②()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++；③20. 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>和直线l ：1x y a b -=，椭圆的离心率e =，坐标原点到直线l（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点()1,0E -，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交于,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知，函数()()12ln f x x a x a R x=--∈. （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()2ln g x f x x a x =-+，且()g x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，若()()12g x g x t ->恒成立，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C ：33cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 经过伸缩变换32xx y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩′′后的曲线为2C ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求2C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线3C 的极坐标方程为sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且曲线3C 与曲线2C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知，函数()f x x a x b =++-.（Ⅰ）当1a =，2b =时，求不等式()4f x <的解集； （Ⅱ）若,a b R ∈，且1212a b +=，求证：()92f x ≥；并求()92f x =时，,a b 的值. 试卷答案一、选择题1-5: ADDAB 6-10:BACAC 11、12：CD二、填空题13.724π 14. 15.18 16.15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题17.解：（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=， 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）， ∵0A π<<，∴3A π=；（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ==== 得20bc =，又∵5b =，∴4c =，由余弦定理得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=，故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=． 18.（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结,,PO CO AC ， ∵△APB 为等腰三角形，∴PO AB ⊥，又∵四边形ABCD 是棱形，∠120BCD =︒， ∴ACB ∆是等边三角形，∴CO AB ⊥，又CO PO O = ，∴AB ⊥平面PCO ，又PC ⊂平面PCO ，∴AB PC ⊥；（Ⅱ）解：可求得：1PO =，OC ， ∴222OP OC PC +=，∴OP OC ⊥，以O 为坐标原点，分别以,,OC OB OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0,1,0)A -，(0,1,0)B，C ，(0,0,1)P，2,0)D -，1,0)BC =-，1)PC =- ，(0,2,0)DC =，设平面DPC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0PC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020z y -==⎪⎩，令1x =，得(1n =，设平面PCB 的法向量为(,,)m a b c = ，则00PC m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0c b -=-=， 令1a =，得(1m =，∴cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅经观察二面角B PC D --的大小为钝角，设为θ，∴cos θ= 19.解：（Ⅰ） ∵语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P x =≥=-⨯=， 数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯=， 故语文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人，数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=人； （Ⅱ）∵至少有一科成绩特别优秀的同学人数为：1012616+-=，∴语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3，∴3103163(0)14C P X C ===，2110631627(1)56C C P X C ===， 1210631615(2)56C C P X C ===，363161(3)28C P X C ===， ∴X 的分布列为：∴3271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （Ⅲ）22⨯列联表：由于()2250064844615604801445 6.63510490124884961x ⨯⨯-⨯⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学数学也特别优秀． 注：计算2x 时，不计算出近似值144.5，答案中类有似“15604804961⨯⨯⨯”的化简步骤直接写出“>6.635”不扣分． 20.解：（Ⅰ）由直线:1x y l a b -=，∴2=，即2222433a b a b =+——① 又由3e =，得2223c a =，即2223c a =，又∵222a b c =+，∴2213b a =——②将②代入①得，即42443a a =，∴23a =，22b =，21c =， ∴所求椭圆方程是2213x y +=； （Ⅱ）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为0x =，则直线m 与椭圆的交点为(0,1)±，又∵(1,0)E -， ∴90CED ∠=，即以CD 为直径的圆过点E ；②当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为2y kx =+，11(,)C x y ，22(,)D x y ，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(13)1290k x kx +++=， 由2214449(13)k k ∆=-⨯+23636k =-0>，得1k >或1k <-，∴1221213k x x k -+=+，122913x x k =+， ∴1212(2)(2)y y kx kx =++212122()4k x x k x x =+++∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ED ⊥，即0EC ED ⋅=，由11(1,)EC x y =+ ，22(1,)ED x y =+，得1212(1)(1)0x x y y +++=，∴21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=，∴2229(1)12(21)501313k kk k k +-++⋅+=++，解得716k =>，即7:26m y x =+； 综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线m 的方程为0x =或726y x =+. 21.解：（Ⅰ）易求()f x 的定义域(0,)+∞，当3a =时，1()23ln f x x x x =--，213'()2f x x x =+-22231x x x -+=，令'()0f x >得，102x <<或1x >， 故()f x 的单调递增区间是1(0,)2和(1,)+∞，单调递减区间是1(,1)2；（Ⅱ）由已知得1()ln g x x a x x=-+，(0,)x ∈+∞，22211()1a x ax g x x x x++'=++=， 令'()0g x =，得210x ax ++=，∵()g x 有两个极值点12,x x ，∴2121240010a x x a x x ⎧->⎪+=->⎨⎪⋅=>⎩，∴211221()a x x a x x ⎧<-⎪⎪=⎨⎪⎪=-+⎩，又∵12x x <，∴1(0,1)x ∈， ∴12()()g x g x -111()()g x g x =-111111111ln (ln )x a x x a x x x =-+--+ 11112()2ln x a x x =-+11111112()2()ln x x x x x =--+ 设11()2()2()ln h x x x x x x =--+，(0,1)x ∈,∵221111'()2(1)2[(1)ln ()]h x x x x x x x =+--++22(1)(1)ln x x xx+-=， 当(0,1)x ∈时，恒有'()0h x <，∴()h x 在(0,1)x ∈上单调递减，∴()(1)0h x h >=， 故12()()0g x g x ->，又∵12()()g x g x t ->恒成立，∴0t ≤.22.解：（Ⅰ）∵'3'2x x yy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴3'2'x x y y =⎧⎨=⎩，代入33cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，得'1cos 'sin x y αα=+⎧⎨=⎩，∴2C 的普通方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=， ∵222x y ρ+=，cos x ρθ=，∴22cos 0ρρθ-=， ∴2C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（Ⅱ）由sin()16πρθ-=，得1cos cos 12ρθθ=， ∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴3C的普通方程为10x -=，圆心2C 到3C的距离为：12d ==，11 ∴||PQ === 23.解：（Ⅰ）当1,2a b ==时，不等式()4f x <化为|1||2|4x x ++-<， 即123x x ≤-⎧⎨-<⎩或1234x -<<⎧⎨<⎩或225x x ≥⎧⎨<⎩， 解得312x -<≤-或12x -<<或522x ≤<， ∴不等式()4f x <的解集为35{|}22x x -<<； （Ⅱ）()f x ||||x a x b =++-|()()|x a x b ≥+--||a b =+a b =+12()()2a b a b =++5222b a a b=++52≥+92= 当且仅当22b a a b =，即2b a =时“=”成立， 又∵1212a b +=，解得32a =，3b =．。

2017年沈阳市大东区高三质量监测 数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A D D A B B A C A C C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸中横线上.13.724π14. 2,2]15.1816. 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，…………………………4分即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）， ∵0A π<<，∴3A π=；…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由1133sin 5322S bc A bc ==== 得20bc =，又∵5b =，∴4c =，………………………………………………………8分由余弦定理得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=，故21a =…………10分又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．…………12分 18.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结,,PO CO AC ，∵△APB 为等腰三角形，∴PO AB ⊥，…………………………………………………1分 又∵四边形ABCD 是棱形，∠120BCD =︒，∴△ACB 是等边三角形，∴CO AB ⊥，…………………………………………………2分 又CO PO O =，∴AB ⊥平面PCO ，又PC ⊂平面PCO ，∴AB PC ⊥；………4分（Ⅱ）解：可求得：1PO =，3OC =PA BCxyz O∴222OP OC PC +=，∴OP OC ⊥，……………………………………………………5分 以O 为坐标原点，分别以,,OC OB OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0,1,0)A -，(0,1,0)B，C ，(0,0,1)P，2,0)D -，(3,1,0)BC =-，(3,0,1)PC =-，(0,2,0)DC =，………………………………7分设平面DPC 的法向量为(,,)n x y z =，则00PC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020z y -==⎪⎩，令1x =，得(1,0,3)n =……………………………………………………………………9分 设平面PCB 的法向量为(,,)m a b c =，则00PC m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0c b -=-=，令1a =，得(1,3,3)m =，∴27cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅11分 经观察二面角B PC D --的大小为钝角，设为θ，∴cos θ=．………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ） ∵语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，∴语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P x =≥=-⨯=，………………2分 数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯=， 故语文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人，数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=人； …………………………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）∵至少有一科成绩特别优秀的同学人数为：1012616+-=，∴语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3，∴3103163(0)14C P X C ===，2110631627(1)56C C P X C ===， 1210631615(2)56C C P X C ===，363161(3)28C P X C ===，………………………………………6分 ∴X 的分布列为：…………………………………………………………………………………………………7分 ∴3271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；………………………………………8分 （Ⅲ）22⨯列联表：…………………………………………………………………………………………………10分由于22500(648446)1560480144.5 6.63510490124884961χ⨯⨯-⨯⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯， ∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学数学也特别优秀．……………………………12分 注：计算2χ时，不计算出近似值144.5，答案中类有似“15604804961⨯⨯⨯”的化简步骤直接写出“ 6.635>”不扣分． 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由直线:1x y la b -=，∴2=，即2222433a b a b =+——①…………1分又由3e =，得2223c a =，即2223c a =，又∵222a b c =+，∴2213b a =——②……3分将②代入①得，即42443a a =，∴23a =，22b =，21c =， ∴所求椭圆方程是2213x y +=；……………………………………………………………4分 （Ⅱ）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为0x =，则直线m 与椭圆的交点为(0,1)±，又∵(1,0)E -，∴∠90CED =︒，即以CD 为直径的圆过点E ；…………………………………………6分 ②当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为2y kx =+，11(,)C x y ，22(,)D x y ，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(13)1290k x kx +++=， 由2214449(13)k k ∆=-⨯+23636k =-0>，得1k >或1k <-，…………………6分∴1221213k x x k -+=+，122913x x k=+， ∴1212(2)(2)y y kx kx =++212122()4k x x k x x =+++…………………………………8分∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ED ⊥，即0EC ED ⋅=，由11(1,)EC x y =+，22(1,)ED x y =+，………………………………………………10分得1212(1)(1)0x x y y +++=，∴21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=，∴2229(1)12(21)501313k k k k k +-++⋅+=++，解得716k =>，即7:26m y x =+；综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线m 的方程为0x =或726y x =+．12分 21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）易求()f x 的定义域(0,)+∞，当3a =时，1()23ln f x x x x =--，213'()2f x x x=+-22231x x x -+=，…………2分令'()0f x >得，102x <<或1x >， 故()f x 的单调递增区间是1(0,)2和(1,)+∞，单调递减区间是1(,1)2；………………4分（Ⅱ）由已知得1()ln g x x a x x=-+，(0,)x ∈+∞，22211()1a x ax g x x x x ++'=++=，………………………………………………………6分令'()0g x =，得210x ax ++=，∵()g x 有两个极值点12,x x ，∴2121240010a x x a x x ⎧->⎪+=->⎨⎪⋅=>⎩，∴211221()a x x a x x ⎧<-⎪⎪=⎨⎪⎪=-+⎩，又∵12x x <，∴1(0,1)x ∈，………………………………………………………………8分 ∴12()()g x g x -111()()g x g x =-111111111ln (ln )x a x x a x x x =-+--+ 11112()2ln x a x x =-+11111112()2()ln x x x x x =--+ 设11()2()2()ln h x x x x x x =--+，(0,1)x ∈……………………………………………9分∵221111'()2(1)2[(1)ln ()]h x x x x x x x =+--++22(1)(1)ln x x xx +-=，当(0,1)x ∈时，恒有'()0h x <，∴()h x 在(0,1)x ∈上单调递减，∴()(1)0h x h >=， 故12()()0g x g x ->，又∵12()()g x g x t ->恒成立，∴0t ≤，……………………12分 请从下面所给的22、23三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）∵'3'2x x yy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴3'2'x x y y =⎧⎨=⎩，代入33cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，得'1cos 'sin x y αα=+⎧⎨=⎩，∴2C 的普通方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，……………………………2分∵222x y ρ+=，cos x ρθ=，∴22cos 0ρρθ-=，∴2C 的极坐标方程为2cos ρθ=；…………………………………………………………5分（Ⅱ）由sin()16πρθ-=，得1cos cos 12ρθθ-=，∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴3C 的普通方程为10x -=，…………………………………7分圆心2C 到3C 的距离为：12d ==，∴||PQ ===10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当1,2a b ==时，不等式()4f x <化为|1||2|4x x ++-<，即123x x ≤-⎧⎨-<⎩或1234x -<<⎧⎨<⎩或225x x ≥⎧⎨<⎩，…………………………………………………3分解得312x -<≤-或12x -<<或522x ≤<，∴不等式()4f x <的解集为35{|}22x x -<<；…………………………………………5分（Ⅱ）()f x ||||x a x b =++-|()()|x a x b ≥+--||a b =+…………………………………7分a b =+12()()2a b a b =++5222b aa b=++52≥+92=………………………………………………………………9分 当且仅当22b aa b =，即2b a =时“=”成立， 又∵1212a b +=，解得32a =，3b =．…………………………………………………10分。

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.2514. 1 15. 8 16. 062=++y x 三、解答题17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题设，4122a a a =， …………………2分 即d d 31)1(2+=+，解得01d d ==或 …………………4分 又∵0≠d ，∴1d =，可以求得n a n =. …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n n b 2+=123(12)(22)(32)(2)n n T n =++++++++2=(123222)nn ++++++++ ）（ …………………8分222)1(1-++=+n n n . …………………12分 （分别求和每步给2分） 18. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）635.65.12225302020303005030202030)33636(50222>==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯=χ …………………2分 ∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关. …………………4分 （Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为202505p == ……………6分 X 的可能取值为3,2,1,0，由题意，得)52,3(~B X)3,2,1,0(,)53()52()(33===-k C k X P k k k10分∴随机变量X 的数学期望56=）（X E . …………………12分 19. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）证明:因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1，…………………2分 又∵侧面11AA CC ⊥底面ABC ,交线为AC ,且⊂OA 1平面C C AA 11，∴⊥O A 1平面ABC . …………………4分（Ⅱ）如图,以O为原点,1,,OA OC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，1A ，1C ，B∴,0)AB =，1A B = ，11(0,2,0)AC = …………………6分设平面1AA B 的一个法向量为),,(111z y x=，则有111110000m AB y m A B ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⋅==⎪⎩令11=x ，得1y =，11z =∴)1,3,1(-=. …………………8分 设平面11BC A 的法向量为),,(222z y x n =，则有21122120000y m AC m A B ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨=⋅=⎪⎩令12=x，则20y =，21z =，∴)1,0,1(=n ………………………10分 ∴510102,cos =>=<n m 1∴所求二面角的大小为)510arccos(-. ………………………12分 20. (本小题满分12分) 解:（Ⅰ）由题意得，22,6==e c ，解得32=a ， ………………1分 ∴椭圆方程为161222=+y x . ………………3分 （Ⅱ）由已知，直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，且与圆R 相切， ∴2121001=+-ky x k ，化简得()0424201002120=-+--y k y x k x同理()0424202002220=-+--y k y x k x ， ………………5分∴12,k k 是方程22000240k x y k y -+-=的两个不相等的实数根∴2040x -≠，0∆>，44202021--=x y k k ………………7分∵点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以16122020=+y x ，即2020216x y -=∴21421220221-=--=x x k k ． …………………8分 （Ⅲ）22OP OQ +是定值18．设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=1612,221y x x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212121212121122112k k y k x ∴()2121212121112k k y x ++=+ 同理，得()2222222221112k k y x ++=+． …………………10分由1212k k =-，∴2222221122OP OQ x y x y +=+++()()222221212111221112k k k k +++++= ()1821361821212111221112212121212121=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=k k k k k k综上：1822=+OQ OP ． …………………12分 21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）0a =时，'()1,()1x xf x e x f x e =--=-. …………………1分当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. …………………2分 故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，00)(min ==）（f x f ，∴()0f x ≥ …………………3分 （Ⅱ）方法一：'()12xf x e ax =--.由（Ⅰ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立. 故'()2(12)f x x ax a x ≥-=- 从而当120a -≥，即12a ≤时，在区间[0,)+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，()(0)f x f ≥，即()0f x ≥，符合题意. …………………5分 又由1(0)xe x x >+≠，可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x xf x e a e e e e a --<-+-=-- 在区间(0,ln 2)a 上，'()0f x <，()f x 单调递减，()(0)f x f <，即()0f x <，不合题意. …………………7分 综上得实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. …………………8分方法二：()12x f x e ax '=--，令ax e x h x 21)(--=，则a e x h x2)(-='.1）当21a ≤时，在[)+∞,0上，()0h x '≥，)(x h 递增，)0()(h x h ≥，即0)0()(='≥'f x f)(x f ∴在[)+∞,0为增函数，0)0()(=≥∴f x f ，21≤∴a 时满足条件； …………………5分 2）当12>a 时，令0)(='x h ，解得a x 2ln =，在当[)0,ln 2a 上，,0)(<'x h )(x h 单调递减，()a x 2ln ,0∈∴时，有0)0()(=<h x h ，即0)0()(='<'f x f ，∴)(x f 在区间)2ln ,0(a 为减函数，∴0)0()(=<f x f ，不合题意. …………………7分综上得实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. …………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当21=a 时，0>x ，212x x e x ++>，即212x x e x+>-欲证不等式2)1ln()1(x x e x >+-，只需证22)1ln(+>+x xx .…………………10分 设22)1ln()(+-+=x x x x F ，则222)2)(1()2(411)(++=+-+=x x x x x x F ’0>x 时，0)('>x F 恒成立，且0)0(=F ，0)(>∴x F 恒成立.所以原不等式得证. …………………12分 22. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为1)2()1(22=+++y x ， …………………1分cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的极坐标方程为4πθ=（∈ρR ）， …………………3分圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. …………………5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ+++=，得04232=++ρρ解得1ρ=-，2ρ=，|MN |=1|ρ－2|ρ …………………8分因为圆C 的半径为1，则C MN ∆的面积o 11sin 452⨯=12. …………………10分（用直角坐标求解酌情给分） 23. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f 21|3|)(--=，即021|3|<--x x ， …………………1分原不等式等价于x x x 2132<-<-， …………………3分 解得62<<x ，不等式的解集为}62|{<<x x . …………………5分 （Ⅱ）2||||)()(ax a x a x f x f +--=+-，原问题等价于2||||a x a x <--， ………6分 由三角绝对值不等式的性质，得|||)(|||||a x a x x a x =--≤-- …………………8分原问题等价于2||a a <，又0>a ，2a a <∴，解得1>a . …………………10分。

沈阳市重点高中2016--2017学年度（上）3月质量检测高三数学满分：150分。

考试时间：120分钟。

第一卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝ （ ）A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2} 2. 函数y ＝1－1x －1( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(－1，＋∞)上单调递减C ．在(1，＋∞)上单调递增D ．在(1，＋∞)上单调递减 3．若函数)(x f 的定义域是]1,1[-，则函数)(log 21x f 的定义域（ ）A. ]2,21[B. ]2,0(C. ),2[+∞D. ]21,0(4. 函数y ＝x 39-的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,3]C ．[0,3)D ．(0,3)5. 若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满 足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(4)＝ ( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 6．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( )- 2 -A ．不存在x 0∈R,2x 0>0B ．存在x 0∈R,2x 0≥0C ．对任意的x ∈R,2x ≤0D ．对任意的x ∈R,2x >07．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(－1，＋∞) (－∞，1)8. 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则其图象可能是( )9. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2 x ，x ≥2， 12x－1，x <2是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138] C ．(0,2) D ．[138，2) 10.已知a ＝3153-⎪⎭⎫ ⎝⎛，b ＝4153-⎪⎭⎫ ⎝⎛，c ＝4323-⎪⎭⎫⎝⎛，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <b <a11. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,-2)⋃(2,+∞)D. (-2,2)12．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ， q ：a >b 且c >dB ．p ：a >1，b >1， q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限C ．p ：x ＋y ≠2011, q ：x ≠2000且y ≠11D ．p ：x >2，q ： 1x <12- 3 -第二卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．函数y ＝()3log20121-x 的定义域为________．14. 设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(0)0()0(1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f _________。

2017年辽宁省数学试题(理科数学)Word版高考真题试卷含答案2017年普通高等学校招生全国统一考试，辽宁省理科数学考试注意事项如下：1.在答题前，考生必须填写自己的姓名和准考证号，并将条形码粘贴在指定区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹清晰。

3.考生必须按照题号顺序在答题卡相应的区域内作答，超出答题区域的答案无效。

草稿纸和试卷上的答案也无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.考生必须保持答题卡的清洁，不要折叠、弄皱或弄破，也不得使用涂改液、修正带或刮纸刀。

1.解题思路：将分数的分子和分母分别进行有理化，然后进行化简即可。

最终结果为2-i，选项D。

2.解题思路：由题意得到方程x^2-4x+m=0，因为1∈B，所以1是x^2-4x+m=0的一个解，带入得到m=3，因此B是集合B的解。

选项B。

3.解题思路：设7层塔顶层有x盏灯，则第6层有2x盏灯，第5层有4x盏灯，以此类推，得到第1层有64x盏灯。

因为共有381盏灯，所以x=3，因此顶层有5盏灯。

选项C。

4.解题思路：该几何体为一个半球和一个高为2的圆柱相交所得，因此体积为(2/3)πr^3+2πr^2=42π，选项C。

5.解题思路：约束条件表示为2x-3y+3≥0，y+3≥0，2x+3y-3≤0，将其转化为标准形式，得到y≤(2/3)x+1，y≥-3，y≤(-2/3)x+1，因此可得到可行域，最小值为-15.选项A。

6.解题思路：将4项工作分配给3名志愿者，每人至少完成1项，因此可以先将1项工作分配给每个人，然后将剩下的1项工作分配给其中两个人，因此共有3×C(3,2)=9种不同的安排方式，但是每种安排方式可以由不同的人完成，因此实际的安排方式为9×4=36种。

选项D。

7.解题思路：假设甲乙丙丁的成绩依次为A、B、C、D，则根据老师的提示，可以得到以下信息：A、B至少有一人优秀，C、D至少有一人良好，B、C至少有一人优秀，A、D至少有一人良好。

辽宁省沈阳市大东区2017届高三质量监测（一模）数学理试题第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

设集合{}2|M x x x ==，{}|lg 0N x x =≤，则MN =（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞2。

复数z 满足()22z i i -=+（i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.以下四个命题中，真命题是（ ） A ．()0,x π∃∈,sin tan x x =B ．“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，20010x x ++<” C ．R θ∀∈，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数 D ．条件p ：44x y xy +>⎧⎨>⎩，条件q ：22x y >⎧⎨>⎩则p 是q 的必要不充分条件4.()52x x -的展开式中，含3x 项的系数是（ ）A ．—10B ．—5C 。

5D ．105.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A ．60 B ．75 C.90 D ．1056.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个棱柱的三视图，则此棱柱的侧面积为（ )A ．1645+．2045+1685+．8125+7.我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。

"设计程序框图是计算圆周率率不足近似值的算法，其中圆的半径为1。

请问程序中输出的S 是圆的内接正（ )边形的面积.A ．1024B ．2048 C.3072 D ．15368.已知,x y 满足约束条件102020x y x y a y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,若目标函数2z x y =-的最大值是—2，则实数a =（ )A ．—6B ．-1 C.1 D ．69。

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合(){}03<-=x x x A ，{}32101，，，，-=B ，则=B A （ ） A ．{}1- B ．{}21， C ．{}30， D ．{}3211，，，- 2.已知i 是虚数单位，复数i z i 21-=⋅，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知平面向量()3,4a =，1(,)2b x =，若→→b a //，则实数x 为（ ）A ． 32-B ．32C ．83D ．83- 4.命题”：“21)21(,N ≤∈∀+x x P 的否定为（ ）A ．+∈∀N x ，2121>x ）（B ．+∉∀N x ，2121>x ）（C.+∉∃N x ，2121>x ）（ D ．+∈∃N x ，2121>x ）（5.已知直线)3(:+=x k y l 和圆1)1(:22=-+y x C ，若直线l 与圆C 相切，则=k （ ） A ．0 B ．3 C. 33或0D ．3或06.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（ ）A ．10636+B ． 10336+ C. 54 D ．277.将D C B A 、、、这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是（ ） A ．21 B ．41 C. 61 D ．81 8.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)mod (m n N ≡，例如mod3)211（=.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于 （ ）A ．21B ．22 C.23 D ．24 9.将函数0)ω)(4πsin(ω2)(>+=x x f 的图象向右平移ω4π个单位，得到函数)(x g y =的图象，若)(x g y =在]3π6π[，-上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C.23 D ．45 10.已知C B A S 、、、是球O 表面上的不同点，⊥SA 平面ABC ，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，若球O 的表面积为π4，则=SA （ ）A ．22B ．1 C. 2D ．2311.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21F F 、，点M 与双曲线C的焦点不重合，点M 关于21F F 、的对称点分别为B A 、，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若12=-BN AN ，则=a（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．612.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=1,)1(log 1,222)(2x x x x f x ，则函数()()[]()232--=x f x f f x F 的零点个数是（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题纸上）13. 二项式6)21xx +（的展开式中的常数项为 ． 14. 若实数y x 、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥03010y x y x x ，则目标函数y x z -=3的最大值为 ．15. 已知ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，面积为S ，且满足22)(4c b a S --=，8=+c b ，则S 的最大值为 ．16. 设函数2)2()(x xg x f +=，曲线)(x g y =在点))1(1g ，（处的切线方程为019=-+y x ，则曲线)(x f y =在点))2(2f ，（处的切线方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421a a a 、、成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足n an n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下22⨯列联表：（单位：人）.报考“经济类”不报“经济类”合计 男 6 24 30 女 14 6 20 合计203050（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？ （Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布及数学期望. 附：参考数据：)(2k P ≥χ0.05 0.010 k3.8416.635（参考公式：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ）19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥C C AA 11底面ABC ，211=====BC AB AC C A AA ，且点O 为AC 中点.（Ⅰ）证明：⊥O A 1平面ABC ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小. 20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左焦点为)0,6(1-F ，22+e .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，设),(00y x R 是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆4)()(2020=-+-y y x x 引两条切线，分别交椭圆于点Q P 、，若直线OQ OP 、的斜率存在，并记为21k k 、，求证：21k k 为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问22OQ OP +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.21. （本小题满分12分） 已知函数21)(ax x e x f x ---=. （Ⅰ）当0=a 时，求证：0)(≥x f ；（Ⅱ）当0≥x 时，若不等式()0≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若0>x ，证明2)1n(1)1x x e x >+-（.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线x y l =:，圆⎩⎨⎧+-=+-=ϕϕsin 2y cos 1:x C ，(ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线l 与圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 的交点为N M 、，求CMN ∆的面积. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数x a x x f 21)(--=，)0>a （. （Ⅰ）若3=a ，解关于x 的不等式0)(<x f ；（Ⅱ）若对于任意的实数x ，不等式2)()(2aa a x f x f +<+-恒成立，求实数a 的取值范围.2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1-5: BCCDD 6-10: ABCCB 11、12：AA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.2514. 1 15. 8 16.062=++y x 三、解答题17. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d，由题设，4122a a a =， .................2分即dd 31)1(2+=+，解得01d d ==或 .................4分又∵≠d ，∴1d =，可以求得n a n =. .................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n n b 2+=123(12)(22)(32)(2)n n T n =++++++++2=(123222)n n ++++++++）（.................8分222)1(1-++=+n n n . .................12分 （分别求和每步给2分） 18. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）635.65.12225302020303005030202030)33636(50222>==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯=χ .................2分∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关. .................4分（Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为202505p == .............6分 X 的可能取值为3,2,1,0，由题意，得)52,3(~B X)3,2,1,0(,)53()52()(33===-k C k X P k k k∴随机变量X 的分布列为.................10分 ∴随机变量X 的数学期望56=）（X E . .................12分 19.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）证明:因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1， .................2分又∵侧面11AAC C ⊥底面ABC ,交线为AC ,且⊂O A 1平面C C AA 11， ∴⊥O A 1平面ABC . (4)分（Ⅱ）如图,以O 为原点,1,,OA OC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，1A ，1(0,C ，B∴(3,1,0)AB =，1(3,0,A B =，11设平面1AA B 的一个法向量为),,(111z y x m =，则有111110300330m AB x y m A B x z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩ 令11=x ，得13y =-，11z =∴)1,3,1(-=m . .................8分设平面11BC A 的法向量为),,(222z y x n =，则有2112212003300y m AC x z m A B ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩ 令12=x ，则20y =，21z =，∴)1,0,1(=n .................10分 ∴510102,cos =>=<n m ∴所求二面角的大小为)510arccos(-. .................12分20. (本小题满分12分) 解:（Ⅰ）由题意得，22,6==e c ，解得∴椭圆方程为161222=+y x . .................3分（Ⅱ）由已知，直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，且与圆R 相切， ∴2121001=+-k y x k ，化简得()0424201002120=-+--y k y x k x同理()042420200222=-+--y k y x k x ， .................5分∴12,k k 是方程22000240k x y k y -+-=的两个不相等的实数根∴2040x -≠，∆>，44202021--=x y k k .................7分 ∵点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以16122020=+y x ，即2020216x y -= ∴21421220221-=--=x x k k ． .................8分（Ⅲ）22OP OQ +是定值18．设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=1612,221y x x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212121212121122112k k y k x ∴()2121212121112k k y x ++=+ 同理，得()2222222221112k k y x ++=+． .................10分由1212k k =-，∴2222221122OP OQ x y x y +=+++()()222221212111221112k k k k +++++= ()1821361821212111221112212121212121=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=k k k k k k 综上：1822=+OQ OP ． .................12分21. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）a =时，'()1,()1x x f x e x f x e =--=-. .................1分当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. .................2分故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，00)(min ==）（f x f ，∴()0f x ≥ .................3分（Ⅱ）方法一：'()12xf x e ax =--.由（Ⅰ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立. 故'()2(12)f x x ax a x ≥-=- 从而当120a -≥，即12a ≤时，在区间[0,)+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，()(0)f x f ≥，即()0f x ≥，符合题意. .................5分又由1(0)xe x x >+≠，可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x xf x e a e e e e a --<-+-=-- 在区间(0,ln 2)a 上，'()0f x <，()f x 单调递减，()(0)f x f <， 即()0f x <，不合题意..................7分综上得实数a的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. .................8分 方法二：()12xf x e ax '=--，令ax e x h x 21)(--=，则a e x h x2)(-='.1）当21a ≤时，在[)+∞,0上，()0h x '≥，)(x h 递增，)0()(h x h ≥，即0)0()(='≥'f x f)(x f ∴在[)+∞,0为增函数，0)0()(=≥∴f x f ，21≤∴a 时满足条件； .................5分2）当12>a 时，令0)(='x h ，解得a x 2ln =，在当[)0,ln 2a 上，,0)(<'x h )(x h 单调递减，()a x 2ln ,0∈∴时，有0)0()(=<h x h ，即0)0()(='<'f x f ，∴)(x f 在区间)2ln ,0(a 为减函数，∴0)0()(=<f x f ，不合题意. .................7分 综上得实数a的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. .................8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当21=a 时，0>x ，212x x e x ++>，即212x x e x+>-欲证不等式2)1ln()1(x x e x >+-，只需证22)1ln(+>+x xx ..................10分 设22)1ln()(+-+=x x x x F ，则222)2)(1()2(411)(++=+-+=x x x x x x F ’0>x 时，0)('>x F 恒成立，且0)0(=F ，0)(>∴x F 恒成立.所以原不等式得证. .................12分 22. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为1)2()1(22=+++y x ， .................1分cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的极坐标方程为4πθ=（∈ρR ）， .................3分 圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. .................5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ+++=，得04232=++ρρ解得1ρ=-，2ρ=，|MN |=1|ρ－2|ρ， .................8分因为圆C 的半径为1，则CMN ∆的面积o 11sin 452⨯=12. .................10分（用直角坐标求解酌情给分）23. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f 21|3|)(--=，即021|3|<--x x ， .................1分原不等式等价于x x x 2132<-<-， .................3分 解得62<<x ，不等式的解集为}62|{<<x x . .................5分（Ⅱ）2||||)()(ax a x a x f x f +--=+-，原问题等价于2||||a x a x <--， .................6分由三角绝对值不等式的性质，得|||)(|||||a x a x x a x =--≤-- .................8分原问题等价于2||a a <，又>a ，2a a <∴，解得1>a . .................10分。

2016-2017学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．B．C．D．2．已知集合A={x|x|﹣2≤x≤3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}3．已知向量=（1，2），=（﹣4，m），若2+与垂直，则m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．84．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．若数列{a n}满足，则称{a n}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1+b2+b3=2，则b6+b7+b8=（）A．4 B．16 C．32 D．646．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+127．设函数（）的最小正周期为π，且f（x）为奇函数，则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递增8．已知直线l：与圆x2+y2=16交于A，B两点，则在x轴正方向上投影的绝对值为（）A．B．4 C．D．29．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx（0≤x≤π）与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使，则的值为（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣211．已知球的半径为4，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为4，则两圆的圆心距等于（）A．2 B．C．D．412．若关于x的不等式xe x﹣ax+a＜0的解集为（m，n）（n＜0），且（m，n）中只有一个整数，则实数a的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．设x，y满足约束条件则z=x﹣3y的取值范围为．14．从混有4张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．15．已知数列{a n}满足：a n+1=a n（1﹣2a n+1），a1=1，数列{b n}满足：b n=a n•a n+1，则数列{b n}的前2017项的和S2017=．16．f（x）是定义在R上函数，满足f（x）=f（﹣x）且x≥0时，f（x）=x3，若对任意的x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）sinA=ab （sinC+2sinB），a=1．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的周长的取值范围．18．为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）．规定：当食品中的有害微量元素的含量在[0，10]时为一等品，在[10，20]为二等品，20以上为劣质品．（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N 时，能在直线上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2，（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≥4；（2）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．2016-2017学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是．故选：B．2．已知集合A={x|x|﹣2≤x≤3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x|x|﹣2≤x≤3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={1，2，3，4}则集合A∩B={1，2，3}．故选：C．3．已知向量=（1，2），=（﹣4，m），若2+与垂直，则m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出（）的坐标，根据（）⊥得出（）•=0，列方程解出m．【解答】解：=（﹣2，4+m），∵（）⊥，∴（）•=0，即﹣2+2（4+m）=0，解得m=﹣3．故选：A．4．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出i，从而到结论．【解答】解：当输入的值为n=6时，n不满足上判断框中的条件，n=3，i=2，n不满足下判断框中的条件，n=3，n满足上判断框中的条件，n=4，i=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n不满足上判断框中的条件，n=2，i=4，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为i=4，故选C．5．若数列{a n}满足，则称{a n}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1+b2+b3=2，则b6+b7+b8=（）A．4 B．16 C．32 D．64【考点】数列递推式．【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，由已知b1+b2+b3结合等比数列的性质得到b6+b7+b8 ．=2b n，则数列{b n}为等比数列，且公比为2．【解答】解：依题意可得b n+1∵b1+b2+b3=2，∴b6+b7+b8=25•（b1+b2+b3）=26=64．故选：D．6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选A．7．设函数（）的最小正周期为π，且f（x）为奇函数，则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递增【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性、奇偶性求得ω和φ，再利用正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数=2sin（ωx+φ﹣）（）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．∵f（x）为奇函数，∴φ﹣=0，∴φ=，∴f（x）=2sin2x．在上，2x∈（0，π），f（x）=2sin2x 不具有单调性，故排除A、C．在上，2x∈（，），f（x）=2sin2x 单调递减，故排除D，故选：B．8．已知直线l：与圆x2+y2=16交于A，B两点，则在x轴正方向上投影的绝对值为（）A．B．4 C．D．2【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出|AB|，利用直线l的倾斜角为60°，可得在x轴正方向上投影的绝对值．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==2，∴|AB|=2=4，∵直线l的倾斜角为60°，∴在x轴正方向上投影的绝对值为2，故选C．9．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx（0≤x≤π）与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率．π（sinx）dx=2，【解答】解：阴影部分面积S阴影=∫0矩形部分面积S矩形=2π，∴所投的点落在阴影部分的概率P==，故选A．10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使，则的值为（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，e，运用三角形的正弦定理和双曲线的定义，求得|PF1|=4，|PF2|=2．再由余弦定理求得cos∠PF2F1，运用向量数量积的定义计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=，c==2，可得==2，F1（﹣2，0），F2（2，0），P为右支上一点，由正弦定理可得|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=2，解得|PF1|=4，|PF2|=2．在△PF2F1中，由余弦定理得cos∠PF2F1==，则=||•||•cos∠PF2F1=2×4×=2．故选：B．11．已知球的半径为4，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为4，则两圆的圆心距等于（）A．2 B．C．D．4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==2，∴O1O2=2．故选：C．12．若关于x的不等式xe x﹣ax+a＜0的解集为（m，n）（n＜0），且（m，n）中只有一个整数，则实数a的取值范围是（）A． B． C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】由题意设g（x）=xe x，y=ax﹣a，将条件转化为：g（x）=xe x在直线y=ax ﹣a下方，有一个交点，求出g′（x）后，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，画出两个函数的图象，结合函数图象和斜率公式求出K PA、K PB，可得a的取值范围．【解答】解：由题意设g（x）=xe x，y=ax﹣a，∵原不等式有唯一整数解，∴g（x）=xe x在直线y=ax﹣a下方，有一个交点，∵g′（x）=（x+1）e x，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴g（x）min=g（﹣1）=﹣，∵y=ax﹣a恒过定点P（1，0），∴结合函数图象得，K PA≤a＜K PB，又A（﹣2，），B（﹣1，），∴K PA=，K PB=，即≤a＜，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．设x，y满足约束条件则z=x﹣3y的取值范围为[﹣2，4] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），联立，解得B（4，0），由图可知，当目标函数z=x﹣3y过A时，z有最小值为﹣2；当目标函数z=x﹣3y过B时，z有最大值为：4．故答案为：[﹣2，4]．14．从混有4张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即P（A/B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P （A/B）=，运算求得结果．【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P（A/B）．又P（AB）=P（A）=，P（B）=，由公式P（A/B）===．故答案为：．15．已知数列{a n}满足：a n+1=a n（1﹣2a n+1），a1=1，数列{b n}满足：b n=a n•a n+1，则数列{b n}的前2017项的和S2017=．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得数列{}是以1为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，代入b n=a n•a n+1，再由裂项相消法求S2017 ．【解答】解：由a n+1=a n（1﹣2a n+1），得a n+1=a n﹣2a n a n+1，∴a n﹣a n+1=2a n a n+1，即．又a1=1，∴数列{}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则．∴b n=a n•a n+1=．则S2017==．故答案为：．16．f（x）是定义在R上函数，满足f（x）=f（﹣x）且x≥0时，f（x）=x3，若对任意的x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是t≤﹣3或t≥1或t=0．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由题意f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数知|3x ﹣t|≥|2x|，转化为对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，5x2﹣6xt+t2≥0 恒成立问题．【解答】解：f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数，f（3x﹣t）≥8f（x）=f（2x）；|3x﹣t|≥|2x|；∴（3x﹣t）2≥（2x）2；化简后：5x2﹣6xt+t2≥0 ①；（1）当t＞0时，①式解为：x≤或x≥t；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：t≤2t﹣1故t≥1；（2）当t＜0时，①是解为：x≤t 或x≥；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：2t+3≤t故t≤﹣3；（3）当t=0时，①式恒成立；综上所述，t≤﹣3或t≥1或t=0．故答案为t≤﹣3或t≥1或t=0．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）sinA=ab （sinC+2sinB），a=1．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的周长的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，可得sinC（1+2cosA）=0，结合sinC≠0，可得cosA=﹣，结合范围A∈（0，π），即可求A的值．（2）由正弦定理可得：b=，c=，利用三角函数恒等变换的应用可得△ABC的周长l=1+sin（B+），由范围B∈（0，），可求范围B+∈（，），利用正弦函数的图象和性质即可得解周长的求值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（a2+b2﹣c2）sinA=ab（sinC+2sinB），∴由余弦定理可得：2abcosCsinA=ab（sinC+2sinB），∴2cosCsinA=sinC+2sin（A+C），化简可得：sinC（1+2cosA）=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣，又∵A∈（0，π），∴A=…（2）∵A=，a=1，∴由正弦定理可得：b=，c=，∴△ABC的周长l=a+b+c=1+sinB+sinC=1+ [sinB+sin（﹣B）]=1+（）=1+sin（B+），∵B∈（0，），∴B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1]，∴△ABC的周长l=1+sin（B+）∈（2，1+]…18．为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）．规定：当食品中的有害微量元素的含量在[0，10]时为一等品，在[10，20]为二等品，20以上为劣质品．（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）从甲中抽取的5个数据中，一等品有个，非一等品有3个，从乙中抽取5个数据中，一等品有个，非一等品有2个，利用互斥事件与相互对立事件的概率计算公式可得：甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率．（2）X可取﹣40，0，30，40，70，100．利用互斥事件与相互对立事件的概率计算公式、数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）从甲中抽取的5个数据中，一等品有个，非一等品有3个，从乙中抽取5个数据中，一等品有个，非一等品有2个，∴甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率为：．（2）X可取﹣40，0，30，40，70，100.，，，，，．∴X的分布列为X﹣400304070100P．19．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取BC中点M，连接B1M，证明B1M⊥AC，AC⊥BC，AC⊥平面B1C1CB，然后证明平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，设B1M=t，求出相关点的坐标，求出平面AB1B法向量，平面AB1C1法向量，利用二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，转化求解斜三棱柱的高即可．【解答】解：（1）取BC中点M，连接B1M，则B1M⊥平面ACB，∴B1M⊥AC又AC⊥BC，且B1M∩BC=M，∴AC⊥平面B1C1CB因为AC⊂平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系CA=BC=2，设B1M=t，则A（2，0，0），B（0，2，0），M（0，1，0），B1（0，1，t），C1（0，﹣1，t）即设面AB1B法向量，∴，同理面AB1C1法向量因为二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，∴，∴t4+29t2﹣96=0∴t2=3，所以斜三棱柱的高为．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N 时，能在直线上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的焦距为2c，则c=1，利用在椭圆上，得a2=2，然后求解椭圆方程．（2）假设存在这样的直线设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由，利用韦达定理以及△＞0，提出﹣3＜t＜3，判断四边形PMQN为平行四边形，说明D 是线段PQ的中点，推出，然后推出点Q不在椭圆上．推出结论．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因此椭圆方程为∵在椭圆上，∴解得a2=2故椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由得9x2+8tx+2t2﹣2=0，所以，且△=（8t）2﹣36（2t2﹣2）＞0，则﹣3＜t＜3，∴由知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也是线段PQ的中点，所以，可得，又﹣3＜t＜3，所以，因此点Q不在椭圆上．所以这样的直线l不存在．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2，（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g（x）的导数，由x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，得到，求出，根据函数的单调性求出函数的最小值即可．【解答】解：（1），当m≤0时，1﹣mx＞0故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＞0时，由1﹣mx＞0解得，即当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，由1﹣mx＜0，解得，即当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间减区间为（2）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，所以g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根．因为，所以△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1，又因为x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，所以，两式相减得，得，而，==，令，由得因为x1x2=1，两边同时除以x1+x2，得，因为，故，解得或t≥2，所以，设，所以，则y=G（t）在上是减函数，所以，即的最小值为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求弦长|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的互化方法，求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）将直线l的方程y=x﹣4代入曲线C的普通方程y2=2x，得x2﹣10x+16=0，利用韦达定理及弦长公式求弦长|AB|．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程是：，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程，得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程y=x﹣4代入曲线C的普通方程y2=2x，得x2﹣10x+16=0，所以x1+x2=10，x1x2=16，∴，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≥4；（2）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）将a的值带入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，根据绝对值不等式成立条件得到当且仅当（2x﹣1）（x﹣a）≤0，通过讨论a的范围求出x的范围即可．【解答】解：（1）当a=﹣1时，，当x≤﹣1时，﹣3x≥4，此时，当时，﹣x+2≥4，x无解当时，3x≥4，此时，综上：或不等式解集为（2）因为|2x﹣1|+|x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（x﹣a）|=|x﹣1+a|由绝对值不等式成立条件可知：当且仅当（2x﹣1）（x﹣a）≤0时成立当时，当时，当时，．2017年3月15日。