九年级数学华师大版下册课件：专题训练2 二次函数与几何图形的综合 (共36张PPT)

y
O
x
抛物线
向 上 平移 1 个单位长度
向 右 平移
2 个单位长度
顶点坐标 对称轴
（0，0） y轴（直线x=0）
（0，1） y轴（直线x=0）
位置
在x轴(直线y=0)的上方 （除顶点外）
开口方向
向上
增减性 最值
X<0 ,x ↗ y ↘ X>0, x↗ y ↗
当x=0 时，最小值为 0。
在x轴(直线y=1)的上方 （除顶点(0,1) 外）
当x=0 时，最小值为0。
在x轴(直线y=0)的上方 （除(2,0)点外）
向上
X<1, x ↗ y ↘ X>1, x↗ y ↗
当x=2 时，最小值为0。
（2，1）
直线x=2
在x轴(直线y=1)的上方 （除(2,1)点外）
向上
X<1, x ↗ y ↘ X>1, x↗ y ↗
当x=2 时，最小值为1 。
a的符号 开口方向 对称轴 顶点坐标
性质
a＞0
向上
y轴
X<0, x ↗ （0，0） X>0, x↗
y↘ y↗
当X=0时 y最小＝
a＜0
向下
y轴
（0，0）
X<0 ,x ↗ X>0, x↗
8．教学反思
返回
９．板书设计
1、教具、学具准备
教具：多媒体演示课件.
学具：方格纸。
2．温故知新，导入新课
①用多媒体课件在同一直角坐标系内，画出函数 y 1 x2 、y 1 x2
与
y 1 (x 2)2 和
2
y
1 2
x2
、y

.
当x=h时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小
当x=h时,最. 大值为0.
开口大小 a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
1、说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：
（1）y=(x+1)2 （2）y=-(x-5)2
（3）y=2(x-3)2 （4）y=- 2(x-1)2
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
2.当a>0时,抛物线在x轴的上方(除顶点 外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线在x轴的下方(除顶点 外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
直线x=h
3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随 着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧 ,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的 值最小(是0). 当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x 的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y 随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值 最大(是0).
16
2
12
观察函数 y 1 x 2与2 y 1 x2的
2
2
图象,它们有什么关系?
8
y 1 x2 2
4
2
x
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -2
பைடு நூலகம்
描点,连线 y
20
函数 与 的 y 1 x 22 2
y 1 x2 2
图象有什么关系?说出它
26.2 二次函数的图象与性质（3）
y x2
二次函数y=ax2的性质
y x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.

7．独立作业（2分钟）
8．教学反思
返回
９．板书设计
1、教具、学具准备 教具：多媒体演示课件. 学具：方格纸。
2．温故知新，导入新课
①用多媒体课件在同一直角坐标系内，画出函数 y 1 x2 、y 1 x2
与
y
1 (x 2)2 和
2
y 1 x2 、y 1 x2 1
2
2
与
y
1
(x
2
2)2
1
2 个单位长度
y1(x2 2
顶点坐标 （0，0）
（0，1）
（2，1）
对称轴 位置 开口方向
y轴（直线x=0）
在x轴(直线y=0)的下方 （除顶点外）
向下
y轴（直线x=0）
在直线y=1的下方
（除顶点(0,1) 外） 向下
直线x=2
在直线y=1的下方 （除顶点(2,1) 外）
向下
增减性 最值
X<0 ,x ↗ y↗ X>0, x↗ y↘
2
图象，你能发现这个函数有哪 问题3： 些性质？
问题4：
几何画板
（3）探究活动
问题1：
问题2：
问题3： 你能找到在同一直角坐标系中找到
二次函数 y 1 x2 、y 1 x2 1 、y 1 (x
2
2
2
与 y 1 (x 2)2 1 图象的关系吗？
2
问题4：
几何画板
抛物线
y
1 x2 2
向 右 平移
2 个单位长度y
1 2
(x
2)21向个上单平位移长度
y1(x2)2 1 2
顶点坐标 （0，0）
（2，0）
（2，1）

a＝3(舍去)或
a
7 ＝3，
2
2
∴a 的值是7. 3
3．(2018·资阳)已知：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于点 A(0，6)、B(6，0)、C(－2，0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式； (2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E， 连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的
m1＝12 (舍去)，m2 ＝32，
此时 P 点坐标为(3，1)，∵PN＝ （1－3）2＋（3－1）2＝ 5，∴PN≠MN，∴平行四边形
2
22
MNPD 不为菱形，∴不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形．
(2)存在，理由如下：如图②，OB＝4，OA＝2，则 AB＝ 22＋42＝2 5，当 x＝1 时，y＝－2x
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．
解：(1)把 A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－5)代入 y＝ax2＋bx＋c，得
a－b＋c＝0，
a＝1，
25a＋5b＋c＝பைடு நூலகம்，解得 b＝－4，
c＝－5，
c＝－5，
∴y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，
D．－1 2
13．(2018·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋ bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝
表达式为 y＝－x＋6，设 P(t，－1t2＋2t＋6)，其中 0＜t＜6，则 N(t，－t＋6)，∴PN＝PM 2

2
22
四
边形
ABMC ＝
S
△
AOC
＋S
△
COM ＋
S
△ MOB
＝1 2
OA·OC ＋ 1 2
O
C
·xM
＋1 2OB·yM＝1 2
×1× 3 2
＋
1 ×3 ×1＋1 ×3×2＝9
22
2
2
(3)设 Q(0，n)，①当 AB 为平行四边形的边时，有 AB∥PQ，AB＝PQ，P 点在 Q 点左
2
2
2
22
－1
m＋1
)，则 N(m，－m2－2m＋3)，∴MN＝－m2－2m＋3－
－1m＋1 22
＝－m2－3 m＋
22
2
5
＝－
m＋3 4
2 ＋49 ，易得 D(－5 ，7 ).∵N 在 BD 上方，则－5 ＜m＜1，∴当 m＝－3 时，
2
16
24
2
4
MN 有最大值，最大值为49 16
2．(2020·烟台)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋2 与 x 轴交于 A，B 两点，且 OA＝2OB，与 y 轴交于点 C，连结 BC，抛物线对称轴为直线 x＝1 ，D 为第一象限内抛物线上一动点，过
∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD.∵在△AOB 与△CDA 中，
∠O AB＝∠ACD，AB＝CA，∠O BA＝∠CAD ，∴△AO B≌△CDA(A.S .A .).∴CD ＝O A＝1，
AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1).∵点 C(3，1)在抛物线上，∴1＝1 ×9＋3b 2
数学
九年级下册
第26章 二次函数

(1) y 2x2 x 3 (2) y 3x2 4x 1
2.抛物线y = 2x2 + bx + c的顶点坐标 为(- 1,2),则b = ______，c = ______.
例：指出抛物线y x2 5x 4 的开口方向，求出它的对称轴、顶 点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它 的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交 点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。
1.指出下列抛物线的开口方向、求出它的对称轴、顶点坐标、与 y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
y x2 5x 6
2.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在
（C）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的 （B） 顶点都在
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
D.y轴上
4.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最 小值是2,则a的值是 A
()
A. 4
B. -1
C. 3
大致图象可能是
（ C）
y
y
y
y
ox
ox
ox
ox
A
B
C
D
A.b=2
B.b=-6,c=6
C.b=-8
D.b=-8,c=18
7.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是

a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
小结：
b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
知识点二：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号：
由x=1时抛物线上的点的位置确定
(1) (m 1)2 4 2(m 1) (m 3)2,
无论m为何值时， 0.
抛物线与x轴总有交点，且当＝0时，即m＝3时
抛物线与x轴只有一个交点.
(2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限
小结 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定 （3）b的符号： 由对称轴的位置确定 （4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定 （5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定
•4、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2022/2/132022/2/132022/2/132022/2/13
谢谢观赏
You made my day!
倍
பைடு நூலகம்
速
课
时
学
练
我们，还在路上……
（0，1）
O
驶向胜利 的彼岸
x
二次函数y=ax² y = a(x+m)2 y = a(x+m)2 +k
对于二次函数y=ax²+bx+c （ a≠0 ）的

表达式为 y＝－x＋6，设 P(t，－1t2＋2t＋6)，其中 0＜t＜6，则 N(t，－t＋6)，∴PN＝PM 2
－M
N＝－
1t2 2
＋
2t＋6
－(
－t
＋6)
＝－1 2
t2＋3
t，∴
S△P
AB＝
S△
PA
N＋S
△P B
N＝12
PN·
AG＋
1P 2
N·B
M＝
1PN·(AG＋BM)＝1PN·OB＝1×(－1t2＋3t)×6＝－3t2＋9t＝－3(t－3)2＋27，∴当 t＝3 时，
最大，这个最大面积为_7_2__m2.
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋4x与x轴交于点A，点M是x 轴上方抛物线上任意一点，过点M作MP⊥x轴于点P，以MP为对角线作矩形 MNPQ，连结NQ，则对角线NQ的取值范围为_____0＜__N_Q_≤_4____.
∵PF∥DE，∴当 PF＝DE，即－m2＋5m＝6 时，四边形 PEDF 为平行四边形．解－m2＋5m＝6，
得 m1＝3，m2＝2(不合题意，舍去)，∴存在点 P(3，－2)，使四边形 PEDF 为平行四边形．②
∵OB＝OC＝5，∴BC＝5 2，∴C△BOC＝10＋5 2.∵PF∥DE∥y 轴，∴∠FPE＝∠DEC＝∠OCB.
2
2
22
2
2
2
即 P 为(3，15)，△PAB 的面积有最大值． 2
(3)如图②，若△PDE 为等腰直角三角形，则 PD＝PE，设 P 的横坐标为 a，∴PD＝－1a2＋2a 2
＋6－(－a＋6)＝－1a2＋3a，PE＝2|2－a|，∴－1a2＋3a＝2|2－a|，解得 a＝4 或 a＝5－ 17，

6请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
y=ax 顶点 对称 开 图象
2
轴口
(0,0)
a＞0
最低 点
y轴
向 上
62
a＜0
(0,0)
最高 点
向 y轴 下
左侧 右侧 x yx y
10增大
减 小
增 大
增 大
增 大
增 大
增 大
减 小
二次函数y=ax2的图象的性质
(1)、顶点是原点，对称轴是y轴。
y
1. 抛物线y=x2的图象开口向上, 抛物线y=-x2的图象开口向下.
2. 图象的顶点都在原点. y=x2的顶点是图象的最低点, y=-x2的顶点是图象的最高点.
y 8
6 4 2
o-2
-4 -6 -8
5
X
结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质
1. 顶点都在原点;
2. 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下．
学科网
2
o-2
-4
5
x
-6
答:这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形。 -8
两个图象关于x轴对称。
定义:函数y=x2,y=-x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条 曲线叫做抛物线.
y轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.
探究３,观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点 坐标及其规律.
∴ 当 x=0 时, y最大值=o.
a＞0 a<0
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口
，对称轴
是
，顶点是
；在对称轴的左
侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，

27.2.1二次函数 y ax2
的图像与性质
二次函数的定义：
函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
叫做x的二次函数 思考：你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是 ：看二次项的系数是否为0．
练习：
若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数， 则m______
当 x=0 时, y最大值=o.
a＞0 a<0
1、观察右图， 并完成填空。
2、练习2 3、想一想
4、练习4
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
y x2
y x2
抛物线
y= -xy2的=在x位2同置一有坐什标么系关内系，？抛如物果线y在=y同=-xx一22与坐抛标物系线内
的面积。
y
O x
y=-2
A
B
例3、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程
组
y=4x2 y=3x+1
O
x
1、二次函数 y x2 的顶点坐标是（0,0），对称轴是Y轴 ，
图像在 x 轴的 上方 （顶点除外），开口方向向 上 ，当x
x＜0 时，y 随着 x 的增大而减小，当 x＞0 时，y 随着x
求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化 规律
例2、函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点(1,b).求：
(1)a与b的值； 先代入直线，得到交点再代入二次函数 (2)求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；