2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(七)(湖北省专用)

专题限时集训(五)[第5讲 导数在研究函数中的应用](时间：45分钟)1．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x3＋ax ＋1相切于点(2，3)，则b 的值为( )A ．－3B ．9C ．－15D ．72．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.13，＋∞ B ．－∞，13C.13，＋∞ D ．－∞，133．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．44．若函数f(x)＝(x －2)(x2＋c)在x ＝2处有极值，则函数f(x)的图象在x ＝1处的切线的斜率为( )A ．－5B ．－8C ．－10D ．－125．设P 点是曲线f(x)＝x3－3x ＋23上的任意一点，若P 点处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πB.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎭⎫π2，5π6 6．有一机器人运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝t2＋3t，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为( )A.194 m/sB.174 m/sC.154 m/sD.134m/s图5－17．定义在区间[0，a]上的函数f(x)的图象如图5－1所示，记以A(0，f(0))，B(a ，f(a))，C(x ，f(x))为顶点的三角形面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的图象大致是( )图5－28．函数f(x)＝lnx －12x2的大致图象是( )图5－3图5－49．如图5－4是二次函数f(x)＝x2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝2lnx ＋f(x)在点(b ，g(b))处切线的斜率的最小值是( )A ．1 B. 3C ．2D ．2 210．已知直线y ＝ex 与函数f(x)＝ex 的图象相切，则切点坐标为________．11．已知函数f(x)＝kx3＋3(k －1)x2－k2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)，则k 的值是________．12．已知函数f′(x)、g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图5－5所示：①若f(1)＝1，则f(－1)＝________；②设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为________．(用“<”连接)图5－513．已知函数f(x)＝ax ＋lnx(a ∈R)，(1)若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在x ＝12处切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调增区间；(3)设g(x)＝2x ，若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈[0，1]，使f(x1)<g(x2)，求实数a 的取值范围．14．已知a>0，函数f(x)＝a x＋lnx －1(其中e 为自然对数的底数)． (1)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值；(2)设g(x)＝x2－2bx ＋4，当a ＝1时，若对任意x1∈(0，e)，存在x2∈[1，3]，使得f(x1)>g(x2)，求实数b 的取值范围．15．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋ax2＋bx （x<1），clnx （x≥1）的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为16x ＋y ＋20＝0.(1)求实数a 、b 的值；(2)求函数f(x)在区间[－1，2]上的最大值；(3)曲线y ＝f(x)上存在两点M 、N ，使得△MON 是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边MN 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖北卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共５0分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，文1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩＝( )．A．{2} B．{3,4}C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}【答案】B【考点】本题主要考查集合的补集和交集运算。

【解析】∵＝{3,4,5}，B＝{2,3,4}，故B∩＝{3,4}．故选B.2．(2013湖北，文2)已知0＜θ＜π4，则双曲线C1：2222=1sin cosx yθθ-与C2：22221cos siny xθθ-=的( )．A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等【答案】D【考点】本题主要考查双曲线的标准方程及其几何意义，考查考生对双曲线方程的理解认知水平。

【解析】对于θ∈π0,4⎛⎫⎪⎝⎭，sin2θ＋cos2θ＝1，因而两条双曲线的焦距相等，故选D.3．(2013湖北，文3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A．(⌝p)∨(⌝q) B．p∨(⌝q) C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨q【答案】A【考点】本题主要考查逻辑联结词和复合命题。

【解析】至少有一位学员没有降落在指定范围，即p∧q的对立面，即⌝(p∧q)＝(⌝p)∨(⌝q)，故选A. 4．(2013湖北，文4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且 y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且 y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且 y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且 y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是( )．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【考点】本题主要考查两个变量的相关性，并能判断正相关和负相关。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖北，文1，5分】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =ð（ ）（A ）{2} （B ）{3,4} （C ）{1,4,5} （D ）{2,3,4,5} 【答案】B 【解析】U B A =ð{2,3,4}{3,4,5}{3,4}=，故选B ．（2）【2013年湖北，文2，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的（ ） （A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有222sin cos 1c θθ=+=，即焦距相等，故选D ．（3）【2013年湖北，文3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝ （C ）()p ⌝∧()q ⌝ （D ）p ∨q【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，文4，5分】四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-；② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+；④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--．其中一定不正确．．．的结论的序 号是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 【答案】D【解析】在①中，y 与x 不是负相关；①一定不正确；同理④也一定不正确，故选D ． （5）【2013年湖北，文5，5分】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】C【解析】可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B ，故选C ．（6）【2013年湖北，文6，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）（A ）π12 （B ）π6 （C ）π3 （D ）5π6【答案】B【解析】因为sin ()y x x x +∈R 可化为2cos()6y x π=-（x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称，故选B ．（7）【2013年湖北，文7，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）（A（B（C） （D）【答案】A【解析】2,1AB =（），5,5CD =（），则向量AB 在向量CD方向上的射影为cos AB CD ABCD θ⋅==2==，故选A ． （8）【2013年湖北，文8，5分】x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）增函数 （D ）周期函数 【答案】D【解析】函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有(1)1[1][]()f x x x x x f x +=+-+=-=，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数，故选D ．（9）【2013年湖北，文9，5分】某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ）（A ）31200元 （B ）36000元 （C ）36800元 （D ）38400元 【答案】C【解析】根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有2170,03660900x y y x x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨>>⎪⎪+=⎩， 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为4(7)1A ,，2(5)1B ,，6(15C ,），目标函数 （租金）为16002400k x y =+，如图所示．将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为：1600524001236k =⨯+⨯=（元），故选C ． （10）【2013年湖北，文10，5分】已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,0)-∞ （B ）1(0,)2（C ）(0,1) （D ）(0,)+∞【答案】B【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点． 过点01（,-）作ln y x =的切线，设切点为00x y （,），则切线的斜率01k x =，切线方程为011y x x =-． 切点在切线上，则00010x y x =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =⇒=，即切点为10（,）．切线方程为1y x =-． 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a<<，故选B ．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2013年湖北，文11，5分】i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = ． 【答案】23i -+【解析】复数123i z =-在复平面内的对应点123Z -（,），它关于原点的对称点2Z 为2,3-（），所对应的复数为223i z =-+．（12）【2013年湖北，文12，5分】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（1）平均命中环数为 ；（2）命中环数的标准差为 ．【答案】（1）7；（2）2【解析】（1）()178795491074710+++++++++=；（2）2s ==． （13）【2013年湖北，文13，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i = ． 【答案】4【解析】初始值2110m A B i ====，，，，第一次执行程序，得121i A B ===，，，因为A B <不成立，则第二次执行程序，得2224122i A B ==⨯==⨯=，，，还是A B <不成立，第三次执行程序， 得3428236i A B ==⨯==⨯=，，，仍是A B <不成立，第四次执行程序，得48216i A ==⨯=，，424B =⨯=，有A B <成立，输出4i =．（14）【2013年湖北，文14，5分】已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设 圆O 上 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =_________． 【答案】4【解析】这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 1=，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示．（15）【2013年湖北，文15，5分】在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = ．【答案】3 【解析】因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[-m ，m ] ，其区间长度为2m ． 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间[2,4]-分为[]2m -，和[m ，4]，且两区间的长度比为5:1，所以3m =．（16）【2013年湖北，文16，5分】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水． 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸． 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【答案】3【解析】如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()22961061031963V ππ=⨯++⨯=⨯（立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为323196()3196⨯=寸（寸）（寸）． （17）【2013年湖北，文17，5分】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点． 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形． 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ． 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =．（1）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（2）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c=++，其中a ，b ，c 为常数． 若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）． 【答案】（1）3, 1, 6；（2）79【解析】（1）S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6．（2）根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 41b c += ①由（1）有63a b c ++= ② 再由格点DEF ∆中，S=2，N=0，L=6，得62b c += ③联立①②③，解得1,1, 1.2b c a ==-=所以当71N =，18L =时，171181792S =+⨯-=．三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2013年湖北，文18，12分】在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ． 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值． 解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．因为0πA <<，所以π3A =．（2）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =． 又5b =，知4c =．由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．（19）【2013年湖北，文19，13分】已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由． 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠．由题意得243223418S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩，即23211121(1)18a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩， 解得132a q =⎧⎨=-⎩，故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-．（2）由（1）有3[1(2)]1(2)1(2)nn n S ⋅--==----．若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤-当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥．综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N ．（20）【2013年湖北，文20，13分】如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<． 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （1）证明：中截面DEFG 是梯形；（2）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S ． 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算．已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．解：（1）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2．又121A A d =， 122B B d =，123C C d =，且123d d d <<．因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形．由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ．同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG ．又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线．因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形． （2）V V <估． 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥．而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥．由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高，因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中．又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++．于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估．由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估．（21）【2013年湖北，文21，13分】设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+． （1）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数．（i ）判断(1)f , f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G ． 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H ． 若()H f x G ≤≤，求x的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++． 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减．（2）（i ）(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =>．故22(1)()[)]2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+，即2(1)()[b f f f a =．① 所以(1),()bf f f a 成等比数列．因2a b +≥(1)f f ≥． 由①得()b f f a ≤．（ii ）由（i ）知()bf H a =，f G =．故由()H f x G ≤≤，得()()(b f f xf a ≤≤．② 当a b =时，()()b f f x f a a ===．这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤即x 的取值范围为,b a ⎡⎢⎣；当a b <时，1ba>，从而b a >由()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤，即x 的取值范围为b a ⎤⎥⎦． （22）【2013年湖北，文22，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=． 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（1）解法一：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．解法二：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+．（2）解法一：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d =12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x = 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ②1(1)λλλ+=-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解 得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >． 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<． 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ> 轴不重合的直线l 使得12S S λ=．解法二：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d =12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1， C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0A B x x >>，所以22AB x x >． 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<．从而111λλλ+<<-，解得1λ>所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题及参考答案（湖北文1）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U BA =ðA ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5} 【湖北文1解答】B U BA =ð}.4,3{}5,4,3{}4,3,2{= （湖北文2）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【湖北文2解答】D 在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有1cos sin 222=+=θθc ，即焦距相等. 甲（湖北文3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q【湖北文3解答】A 因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ .（湖北文4）四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．③④D ． ①④【湖北文4解答】D 在○1中，y 与x 不是负相关；○1一定不正确；同理○4也一定不正确.（湖北文5）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是【湖北文5解答】C 可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B. 故选C.（湖北文6）将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【湖北文6解答】B因为sin ()y x x x =+∈R 可化为)6cos(2π-=x y （x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称. （湖北文7）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC． D． 【湖北文7解答】A =（2,1），=（5,5），则向量在向量方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==θ. （湖北文8）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数【湖北文8解答】D 函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有)(][]1[1)1(x f x x x x x f =-=+-+=+ ，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数.（湖北文9）某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元 【湖北文9解答】C 根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>>≤-≤+,9006036,0,0,7,21y x y x x y y x 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为A(7，14)，B(5，12)，C(15，6），目标函数（租金）为y x k 24001600+=，如图所示. 将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为： 3680012240051600=⨯+⨯=k （元）. （湖北文10）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞【湖北文10解答】B ax x x f 21ln )('-+=，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得0)('=x f 有两个不等的实数解，即12ln -=ax x 有两个实数解，从而直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点. 过点（0，－1）作x y ln =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为110-=x x y . 切点在切线上，则01000=-=x x y ，又切点在曲线x y ln =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1-=x y . 再由直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点.，知直线12-=ax y 位于两直线0=y 和1-=x y 之间，如图所示，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得0＜a ＜21. 二、填空题：（湖北文11） i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .【湖北文11解答】23i -+ 复数123i z =-在复平面内的对应点Z 1（2，－3），它关于原点的对称点Z 2为（－2,3），所对应的复数为322+-=z i.（湖北文12） 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 . 【湖北文12解答】（Ⅰ）7 ()747109459787101=+++++++++； （Ⅱ）2 []222222)74(2)75()77(3)78()79(2)710(101-+-+-+-+-+-=s =21040=. （湖北文13）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = .【湖北文13解答】4 初始值m =2，A =1，B=1,i =0，第一次执行程序，得 i=1，A=2，B=1，因为A <B 不成立，则第二次执行程序，得i=2，A =2×2=4，B =1×2=2，还是A <B 不成立，第三次执行程序，得 i=3，A=4×2=8，B=2×3=6，仍是A<B 不成立，第四次执行程序，得i =4，A =8×2=16，B =×4=24，有A <B 成立，输出i=4.（湖北文14）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = . 【湖北文14解答】4 这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 的距离为1sin cos 122=+θθ，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示.（湖北文15）在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56， 则m = .【湖北文15解答】3 因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[－m ，m ] ，其区间长度为2m. 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间 [2,4]-分为[－2，m]和[m ，4] ，且两区间的长度比为5:1，所以m =3.（湖北文16）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【湖北文16解答】3 如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()ππ19631061069322⨯=⨯++⨯=V （立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为=⨯）（寸寸23196)(19633（寸）.第13题图（湖北文17）在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =. （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.【湖北文17解答】（Ⅰ）3, 1, 6 S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6； （Ⅱ）79 根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 14=+c b ， ○1由（Ⅰ）有36=++c b a ， ○2再由格点△DEF 中，S=2，N=0，L=6，得26=+c b ， ○3 联立○1○2○3，解得.1,1,21=-==a cb 所以当71N =，18L =时， S =791182171=-⨯+. （湖北文18）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.【湖北文18解得】（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）.因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ===得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.（湖北文19）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．【湖北文19解答】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有 3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----.若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N . （湖北文20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222ABC A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.【湖北文20解得】（Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B B d =，123C C d =，且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B 平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG .又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点， 即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形. （Ⅱ）V V <估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥. 而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥.第20题图由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高， 因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形， 即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估. （湖北文21）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f , f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.【湖北文21解答】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++. 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减.（Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =>.故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+, 即2(1)())]b f f f a =. ①所以(1),()bf f f a成等比数列.因2a b+(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.（ii ）由（i ）知()bf H a =，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤. ②当a b =时，()()b f f x f a a ===.这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式， 得b x a ≤≤x 的取值范围为,b a ⎡⎢⎣； 当a b <时，1ba>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式， bx a ≤，即x 的取值范围为b a ⎤⎥⎦. （湖北文22）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由． 【湖北文22解答】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ.第22题图（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d =12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x = ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d =12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.。

2013届湖北省黄冈市二轮复习交流卷文科数学重组试题一．选择题:本大题共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.已知集合},1|{},lg |{2+=∈==∈=x y R y N x y R x M 则集合M ∩N=（ ） A ．),0(+∞ B ．[)+∞,1 C ．),(+∞-∞ D ．(]1,0 2.已知i 是虚数单位，复数ii i z -+++-=12221，则=z （ ） A.1 B. 2 C. 5 D. 223.若命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是（ A ）A []012,3,3-0200>++∈∀x x xB ()()2000-,-33,,210x U x x ∀∈∞+∞++>C.()()2000-,-33,,210x U x x ∃∈∞+∞++≤ D.[]012,3,3-0200<++∈∃x x x4..已知E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD -棱BB 1、AD 的中点，则直线EF 和平面11D BDB 所成的角的正弦值是（ ）A.62 B. 63 C. 31D. 66 5.已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()3,2，点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥+62623y x y x y x 所确定的区域内（包括边界）上运动，则OP OA ⋅的范围是（ ）A.[]10,4B. []9,6C. []10,6D. []10,9 6.右边的程序运行后，输出的结果（ )A. 13，7B. 7，4C. 9，7D. 9，57.．若F 1、F 2为双曲线C ：42x -y 2=1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上∠F 1P F 2=60°，则P到x 轴的距离为( ) A ．55 B ．515 C ．5152 D ．2015 A 1B 1C 1D 1A B C D FE8．函数f(x)=)(sin 2R x x x ∈-π的部分图象是（ ）A. B. C. D.9.如图，已知直角三角形ABC ∆的三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，且AC AD λ=，若BD CE ⊥，则=λ（ ）A.177 B. 178 C. 179 D. 1710 10. 对于函数f (x )和g (x )，其定义域为[a , b ]，若对任意的x ∈[a , b ]总 有 |1－()()g x f x |≤110， 则称f (x )可被g (x )置换，那么下列给出的函数中能置换f (x )=x x ∈[4，16]的是( ) A. g (x )=2x +6 x ∈[4，16] B. g (x )=x 2+9 x ∈[4，16] C. g (x )= 13(x +8) x ∈[4，16] D. g (x )=15(x +6) x ∈[4，16]二．填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把答案填在答题卡相应位置上. 11.不等式|2x-1-log 3(x-1)|＜|2x-1|+|log 3(x-1)|的解集是 .12．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h ．CABED5.5 66.5 77.5时间∕h频率0.50.4 0.3 0.2 0.113．函数f(x)=A sin(ωx+ϕ)+k(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜2π)的图象如图所示，则f(x)的表达式是_____________.14.直线440kx y k --=（k R ∈）与抛物线2y x =交于A 、B 两点，若||4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于______ 15若函数()2ln 12x f x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围_____________.16. 某三棱柱侧棱和底面垂直，底面边长均为a ，侧棱长为2a ，其体积为43，若它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________17．如图所示，一个粒子在第一象限及坐标轴上运动，在第一秒内它从原点运动到点(0，1)，然后它接着按图所示在x 轴、y 轴的平行方向来回运动， 即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→… 且每秒移动一个单位长度,则可得：（1）粒子运动到（4，4）点时经过了 秒； （2）第2009秒时，粒子所处的位置为 ．三．解答题: 本大题共5小题, 共65分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18.（本题12分）某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生的概率是32，是35岁以下的研究生概率是61. ⑴求出表格中的x 和的值；⑵设“从此科研所研究人员中选出两人，本科一名，研究生一名，50岁以上本科生和35以下的研究生不全选中” 的事件为A ，求事件A 概率()A P本科（单位：名） 研究生（单位：名）35岁以下 3 y35—50岁32yx12341 2 3 OF OEC ABDP19如图．在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD, PD = DC = 2，E 是PC 的中点．(1)证明：PA ／／平面EDB ； （2）证明：平面PAC ⊥平面PDB ； （3)求三梭锥D 一ECB 的体积。

专题限时集训(一)B[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：30分钟)1．已知全集U ＝Z ，集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，3}，则(∁UM )∩N ＝( )A ．{－1}B ．{3}C ．{0，1}D ．{－1，3}2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|x ＋a≥0}，N ＝{x|log2(x －1)<1}，若M∩(∁UN)＝{x|x ＝1，或x≥3}，那么( )A ．a ＝－1B ．a ≤1C ．a ＝1D ．a ≥13．设a ∈R ，则“a －1a2－a ＋1<0”是“|a|<1”成立的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x0∈R ，使得x20＋x0－1<0”的否定是：“∀x ∈R ，使得x2＋x －1>0”D ．命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”的逆否命题为真命题5．已知集合A ＝{x|x2－x －6＜0}，B ＝{－3，－2，－1，1，2，3}，则A∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．已知命题p ：∀x ∈R ，2x2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x0∈R ，sinx0－cosx0＝ 2.则下列命题判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题图1－17．如图1－1，有四个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(0，2)，O4(2，2)．记集合M ＝{⊙Oi|i ＝1，2，3，4}，若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称(A ，B)为一个“有序集合对”(当A≠B 时，(A ，B)和(B ，A)为不同的有序集合对)，那么M 中“有序集合对”(A ，B)的个数是( )A ．2B ．4C ．6D ．88．命题p ：m ＞7，命题q ：f(x)＝x2＋mx ＋9(m ∈R)有零点，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设O 为△ABC 所在平面内一点．若实数x ，y ，z 满足xOA →＋yOB →＋zOC →＝0(x2＋y2＋z2≠0)，则“xyz ＝0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知x ，y ∈R ，集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2＝1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪x a －y b ＝1，a>0，b>0，当A∩B 只有一个元素时，a ，b 的关系式是________．11．已知向量a ，b 均为非零向量，p ：a·b>0，q ：a 与b 的夹角为锐角，则p 是q 成立的________条件．(填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要条件”)12．若命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，文1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B ∩＝( )．A．{2} B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}2．(2013湖北，文2)已知0＜θ＜π4，则双曲线C1：2222=1sin cosx yθθ-与C2：22221cos siny xθθ-=的( )．A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等3．(2013湖北，文3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A．(⌝p)∨(⌝q) B．p∨(⌝q) C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨q4．(2013湖北，文4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是( )．A．①② B．②③ C．③④ D．①④5．(2013湖北，文5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )．6．(2013湖北，文6)将函数yx＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )．A．π12 B．π6 C．π3 D．5π67．(2013湖北，文7)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为( )．A．2 B．2 C．2-D．2-8．(2013湖北，文8)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )．A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数9．(2013湖北，文9)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )．A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元10．(2013湖北，文10)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )．A ．(－∞，0)B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(0,1) D ．(0，＋∞)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．(2013湖北，文11)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝__________.12．(2013湖北，文12)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为__________； (2)命中环数的标准差为__________．13．(2013湖北，文13)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝__________.14．(2013湖北，文14)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1π02θ⎛⎫<<⎪⎝⎭.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝__________. 15．(2013湖北，文15)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝__________. 16．(2013湖北，文16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是__________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)17．(2013湖北，文17)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是__________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝__________(用数值作答)．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(2013湖北，文18)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S＝，b ＝5，求sin B sin C 的值．19．(2013湖北，文19)(本小题满分13分)已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得S n≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．20．(2013湖北，文20)(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2＝d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1＜d2＜d3.过AB，AC的中点M，N 且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1­A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在△ABC中，记BC＝a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1­A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估＝S中·h来估算．已知V＝13(d1＋d2＋d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．21．(2013湖北，文21)(本小题满分13分)设a ＞0，b ＞0，已知函数f (x )＝1ax bx ++. (1)当a ≠b 时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ＞0时，称f (x )为a ，b 关于x 的加权平均数．①判断f (1)，f ，b f a ⎛⎫⎪⎝⎭是否成等比数列，并证明b f f a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭； ②a ，b 的几何平均数记为G .称2aba b+为a ，b 的调和平均数，记为H .若H ≤f (x )≤G ，求x 的取值范围．22．(2013湖北，文22)(本小题满分14分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记mnλ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 答案：B 解析：∵＝{3,4,5}，B ＝{2,3,4}，故B ∩＝{3,4}．故选B.2． 答案：D解析：对于θ∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin 2θ＋cos 2θ＝1，因而两条双曲线的焦距相等，故选D. 3． 答案：A解析：至少有一位学员没有降落在指定范围，即p ∧q 的对立面，即⌝(p ∧q )＝(⌝p )∨(⌝q )，故选A. 4． 答案：D解析：正相关指的是y 随x 的增大而增大，负相关指的是y 随x 的增大而减小，故不正确的为①④，故选D.5．答案：C解析：根据题意，刚开始距离随时间匀速减小，中间有一段时间距离不再变化，最后随时间变化距离变化增大，故选C. 6． 答案：B解析：y cos x ＋sin x ＝2πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向左平移m 个单位长度后得y ＝2πsin 3x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象．又平移后的图象关于y 轴对称，即y ＝2πsin 3x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为偶函数，根据诱导公式m 的最小正值为π6，故选B. 7． 答案：A解析：因为AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos 〈AB ，CD 〉＝AB CD AB CD AB AB CDCD⋅⋅⋅===故选A. 8．答案：D 解析：由题意f (1.1)＝1.1－[1.1]＝0.1，f (－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a ，有f (a ＋x )＝a ＋x －[a ＋x ]＝x －[x ]＝f (x )，故f (x )在R 上为周期函数．故选D. 9． 答案：C解析：设需A ，B 型车分别为x ，y 辆(x ，y ∈N )，则x ，y 需满足3660900,7,,,x y y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪∈∈⎩N N 设租金为z ，则z ＝1 600x ＋2 400y ，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x ＝5，y ＝12，此时z 最小等于36 800，故选C.10． 答案：B解析：f ′(x )＝ln x －ax ＋1x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝ln x －2ax ＋1，函数f (x )有两个极值点，即ln x －2ax ＋1＝0有两个不同的根(在正实数集上)，即函数g (x )＝ln 1x x +与函数y ＝2a在(0，＋∞)上有两个不同交点．因为g ′(x )＝2ln xx -，所以g (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以g (x )max ＝g (1)＝1，如图．若g (x )与y ＝2a 有两个不同交点，须0＜2a ＜1.即0＜a ＜12，故选B.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．答案：－2＋3i解析：z 1在复平面上的对应点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)，故z 2＝－2＋3i. 12．答案：(1)7 (2)2 解析：平均数为78795491074710+++++++++=，标准差为＝2.13．(2013湖北，文13)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝__________. 答案：4解析：由程序框图，i ＝1后：A ＝1×2，B ＝1×1，A ＜B ？否；i ＝2后：A ＝2×2，B ＝1×2，A ＜B ？否；i ＝3后：A ＝4×2，B ＝2×3，A ＜B ？否；i ＝4后：A ＝8×2，B ＝6×4，A ＜B ？是，输出i ＝4. 14．解析：由题意圆心到该直线的距离为12，故圆上有4个点到该直线的距离为1. 15．答案：3解析：由题意[－2,4]的区间长度为6，而满足条件的x 取值范围的区间长度为5，故m 取3，x ∈[－2,3]． 16．答案：3解析：由题意盆内所盛水的上底面直径为28122+＝20(寸)，下底面半径为6寸，高为9寸，故体积为V ＝13·9·(π·102＋π·62＋π·10·6)＝588π，而盆上口面积为π·142＝196π，故平地降雨量为588π196π＝3(寸)． 17．答案：(1)3,1,6 (2)79 解析：由图形可得四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是3,1,6.再取两相邻正方形可计算S ，N ，L 的值为2,0,6.加上已知S ＝1时N ＝0，L ＝4，代入S ＝aN ＋bL ＋c 可计算求出a ＝1，b ＝12，c ＝－1，故当N ＝71，L ＝18时，S ＝71＋12×18－1＝79. 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0＜A ＜π，所以π3A =. (2)由S ＝12bc sin A ＝12bc，24bc ==bc ＝20. 又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =. 又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝2bc asin 2A ＝20352147⨯=.19．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩即23211121,118,a q a q a q a q q q ⎧--=⎨(++)=-⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[12]12n ⋅-(-)-(-)＝1－(－2)n.若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 20．(1)证明：依题意，A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ， 所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2.又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3. 因此四边形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形．由AA 2∥平面MEFN ，AA 2⊂平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ， 可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE .同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M ，N 分别为AB ，AC 的中点，则D ，E ，F ，G 分别为A 1B 1，A 2B 2，A 2C 2，A 1C 1的中点，即DE ，FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线． 因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)， 而d 1＜d 2＜d 3，故DE ＜FG ，所以中截面DEFG 是梯形．(2)解：V 估＜V .证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN . 而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ， 同理可得FN ⊥MN .由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝1122BC a =即为梯形DEFG 的高， 因此S 中＝S 梯形DEFG ＝13121231(2)22228d d d d a ad d d ++⎛⎫+⋅=++ ⎪⎝⎭，即V 估＝S 中·h ＝8ah(2d 1＋d 2＋d 3)．又12S ah =，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝6ah (d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝6ah (d 1＋d 2＋d 3)－8ah (2d 1＋d 2＋d 3)＝24ah[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．由d 1＜d 2＜d 3，得d 2－d 1＞0，d 3－d 1＞0，故V 估＜V .21．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x )＝22111a x ax b a bx x (+)-(+)-=(+)(+).当a ＞b 时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜b 时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)①计算得f (1)＝2a b+＞0，20b ab f a a b ⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，0f =>，故22(1)2b a b abf f ab fa ab ⎡⎤+⎛⎫=⋅==⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2(1)b f f f a ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，(*)所以f (1)，f ，b f a ⎛⎫⎪⎝⎭成等比数列．因2a b+≥(1)f f ≥，由(*)得b f f a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.②由①知b f H a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f G =.故由H ≤f (x )≤G ，得()b f f x f a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭.(**)当a ＝b时，()b f f x f a a ⎛⎫===⎪⎝⎭. 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)； 当a ＞b 时，0<<1ba，从而b a <由f (x )在(0，＋∞)上单调递增与(**)式，得bx a ≤≤ 即x的取值范围为b a ⎡⎢⎣；当a ＜b 时，>1ba，从而b a >由f (x )在(0，＋∞)上单调递减与(**)式，bx a ≤≤，即x的取值范围为b a ⎤⎥⎦. 22．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m +，C 2：2222=1x y a n+.其中a ＞m ＞n ＞0，mnλ=＞1.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，所以12||||S BD S AB =.在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12=S S λ，则11λλλ+=-， 化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.图1解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12=S S λ，则11λλλ+=-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.图2根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为1d ==，2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2， 所以12||||S BD S AB =＝λ，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |，|AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |， 于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③ 令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0. 于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)， 等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1， 即11<11λλλλ+<(-)， 由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为1d ==，2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2， 所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-， 所以11A B x x λλ+=-. 由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得 22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+， 两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a mλ-(-)+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >. 所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-). 因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A B x x λ<. 从而11<<1λλλ+-，解得λ＞ 当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞l 使得S 1＝λS 2.。

2013届湖北省黄冈市二轮复习交流卷文科数学重组试题一．选择题:本大题共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.已知集合},1|{},lg |{2+=∈==∈=x y R y N x y R x M 则集合M ∩N =（ ） A ．),0(+∞ B ．[)+∞,1 C ．),(+∞-∞ D ．(]1,0 2.已知i 是虚数单位，复数ii i z -+++-=12221，则=z （ ） A .1 B . 2 C . 5 D . 223.若命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是（ A ）A []012,3,3-0200>++∈∀x x x B ()()2000-,-33,,210x U x x ∀∈∞+∞++>C .()()2000-,-33,,210x U x x ∃∈∞+∞++≤ D.[]012,3,3-020<++∈∃x x x 4..已知E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD -棱BB 1、AD 的中点，则直线EF 和平面11D BDB 所成的角的正弦值是（ ）A .62 B . 63 C . 31 D . 665.已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()3,2，点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥+62623y x y x y x 所确定的区域内（包括边界）上运动，则⋅的范围是（ ）A .[]10,4B . []9,6C . []10,6D . []10,9 6.右边的程序运行后，输出的结果（ )A. 13，7B. 7，4C. 9，7D. 9，57.．若F 1、F 2为双曲线C ：42x -y 2=1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上∠F 1P F 2=60°，则P到x 轴的距离为( ) A ．55 B ．515 C ．5152 D ．2015 A 1B 1C 1D 1A B C D FE8．函数f(x)=)(sin 2R x x x ∈-π的部分图象是（ ）A. B. C. D.9.如图，已知直角三角形ABC ∆的三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，且λ=，若BD CE ⊥，则=λ（ ）A .177 B . 178 C . 179 D . 1710 10. 对于函数f (x )和g (x )，其定义域为[a , b ]，若对任意的x ∈[a , b ]总 有 |1－()()g x f x |≤110，则称f (x )可被g (x )置换，那么下列给出的函数中能置换f (xx ∈[4，16]的是( ) A. g (x )=2x +6 x ∈[4，16] B. g (x )=x 2+9 x ∈[4，16]C. g (x )= 13(x +8) x ∈[4，16]D. g (x )=15(x +6) x ∈[4，16]二．填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把答案填在答题卡相应位置上.11.不等式|2x -1-log 3(x-1)|＜|2x -1|+|log 3(x-1)|的解集是 .12．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h ．13．函数f(x)=A sin(ωx+ϕ)+k(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜2π)的图象如图所示，则f(x)的表达式是_____________.CABED间∕h14.直线440kx y k --=（k R ∈）与抛物线2y x =交于A 、B 两点，若||4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于______ 15若函数()2ln 12x f x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围_____________.16. 某三棱柱侧棱和底面垂直，底面边长均为a ，侧棱长为2a，其体积为视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________17．如图所示，一个粒子在第一象限及坐标轴上运动，在第一秒内它从原点运动到点(0，1)，然后它接着按图所示在x 轴、y 轴的平行方向来回运动， 即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→… 且每秒移动一个单位长度,则可得：（1）粒子运动到（4，4）点时经过了 秒； （2）第2009秒时，粒子所处的位置为 ．三．解答题: 本大题共5小题, 共65分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18.（本题12分）某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生的概率是32，是35岁以下的研究生概率是61. ⑴求出表格中的x 和的值；⑵设“从此科研所研究人员中选出两人，本科一名，研究生一名，50岁以上本科生和35以下的研究生不全选中” 的事件为A ，求事件A 概率()A Pyx12341 2 3 OBP19如图．在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD, PD = DC = 2，E 是PC 的中点．(1)证明：PA ／／平面EDB ； （2）证明：平面PAC ⊥平面PDB ； （3)求三梭锥D 一ECB 的体积。

专题限时集训(六)A[第6讲 三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟)1．sin15°＋cos165°的值为( ) A.22 B ．－22 C.62 D ．－622．设0≤x<2π，且1－sin2x ＝sinx －cosx ，则( ) A ．0≤x ≤π B.π4≤x ≤7π4 C.π4≤x ≤5π4 D.π2≤x ≤3π2 3．设cos(x ＋y)sinx －sin(x ＋y)cosx ＝1213，且y 是第四象限的角，则tan y 2的值是( ) A ．±23 B ．±32 C ．－32 D ．－234．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位5．若sin θ＋cos θ＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π3的值是( ) A ．－2－ 3 B ．2－ 3C ．2＋ 3D ．－2＋ 36．设f(x)是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧cosx －π2≤x<0，sinx （0≤x<π），则f －15π4等于( )A ．0B ．1 C.22 D ．－227．已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，设a ＝f π7，b ＝f π6，c ＝f π3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a8．已知函数f(x)＝Asin(2x ＋φ)的部分图象如图6－1所示，则f(0)＝( )图6－1A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3 9．设函数f(x)＝cosx ，把f(x)的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为y ＝f′(x)的图象，则m 可以为( ) A.π2 B.3π4 C ．π D.3π210．已知sinx ＝13，sin(x ＋y)＝1，则sin(2y ＋x)＝________． 11．若将函数y ＝sin ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．12．已知函数f(x)＝cosxsinx(x ∈R)，给出下列四个命题：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f(x)的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题是________．(把你认为正确的答案都填上)13．已知三点：A(4，0)，B(0，4)，C(3cos α，3sin α)．(1)若α∈(－π，0)，且|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →²BC →＝0，求2sin2α＋sin2α1＋tan α的值．14．已知函数f(x)＝sinx ＋π6sinx －π6＋cosx ＋a(a ∈R ，a 为常数)． (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若函数f(x)在－π2，π2上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值．15．设x ∈R ，函数f(x)＝cos (ωx ＋φ)ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在如图6－2所示的坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3)若f(x)>22，求x的取值范围．图6－2。