2017各地中考数学模拟试题分类汇编56网格专题

XX★ 启用前2017 年中考题数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题卡内相应的位置上）1、计算2( 1) 的结果是（）1B、2C、1D、 22、若∠α的余角是30°，则 cosα的值是（）A 、213C、2D、3A 、B 、23223、下列运算正确的是（）A 、2a a 1 B、a a2a2C、a a a2 D 、( a)2a24、下列图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A、4 个B、3 个5、如图，在平行四边形∠1=（）C、2 个D、1 个ABCD 中，∠ B=80 °， AE平分∠BAD交 BC于点E， CF∥ AE交 AE于点F，则A、 40°B、 50°C、 60°D、80°6、已知二次函数y ax2的图象开口向上，则直线y ax 1 经过的象限是（）A 、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限7、如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（C、第一、二、四象限）D、第一、三、四象限A B C D8、如图，是我市 5 月份某一周的最高气温统计图，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（）A 、 28℃， 29℃B 、 28℃， 29.5℃C、 28℃， 30℃D 、 29℃， 29℃9、已知拋物线 y1 x2 2，当 1 x 5 时， y 的最大值是（）2 35 7 A 、 2C 、B 、3D 、3 310、小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为 1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、 大小与原来一致的镜面， 则这个镜面的半径是 （ ）A 、 2B 、 5C 、22D 、311、如图，是反比例函数yk 1x和 yk 2 x（ k 1k 2 ）在第一象限的图象，直线AB ∥ x轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S AOB2 ，则k 2k 1 的值是（）A 、 1B 、 2C 、 4D 、 812、一个容器装有1 升水，按照如下要求把水倒出：第1 次倒出1升水，第2 次倒出的水量是1升的1 ，223第 3 次倒出的水量是1 升的314，第4 次倒出的水量是14升的1 ，⋯按照这种倒水的方法，倒了5 10 次后容器内剩余的水量是（）A 、10 升11B 、1 升9C 、110升D 、111升二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分 .把答案填在答题卡中的横线上）13、 2011的相反数是 __________14、近似数 0.618 有__________个有效数字．15、分解因式：a 3= __________16、如图，是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，则九年级学生人数所占扇形的圆心角的度数为 __________C 'D 17、如图，等边△ ABC 绕点 B 逆时针旋转30°时，点 C 转到 C ′的位置， 且 BC ′与 AC 交于点 D ，则CD的值为 __________16 题图17 题图18 题图18、如图， AB 是半圆 O 的直径，以 0A 为直径的半圆O ′与弦 AC 交于点 D ，O ′ E ∥ AC ，并交 OC 于点E ．则下列四个结论：①点 D 为 AC 的中点；② S O 'OE1S AOC ；③ AC 2AD；④四边形 O'DEO 是菱形．其中正确的结2论是 __________．（把所有正确的结论的序号都填上）三、解答题（本大题共 8 小题，满分共 66 分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） .19、计算： (1) 1(5) 034 ．220、假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为 60°，已知风筝线 BC 的长为 10 米，小强的身高 AB 为 1.55 米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到 1 米，参考数据2 ≈ 1.41 ， 3≈ 1.73 ）21、如图， △ OAB 的底边经过⊙ O 上的点 C ，且 OA=OB ，CA=CB ，⊙O 与 OA 、OB 分别交于 D 、E 两点．（ 1）求证： AB 是⊙ O 的切线；（ 2）若 D 为 OA 的中点，阴影部分的面积为33，求⊙ O 的半径 r ．22、一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子 3 个（分别用白 A 、白 B 、白 C 表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为3 ．4（ 1）求纸盒中黑色棋子的个数；（ 2）第一次任意摸出一个棋子（不放回） ，第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．23、上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了 2000 元，第二批用了 5500 元，第二批购进水果的重量是第一批的 2.5 倍，且进价比第一批每千克多 1 元．（ 1）求两批水果共购进了多少千克？（ 2）在这两批水果总重量正常损耗 10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于 26%，那么售价至少定为每千克多少元？利润（利润率 =100%）进价AG为边作一个正方形AEFG ，24、如图，点G 是正方形ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段线段 EB 和 GD 相交于点 H．（ 1）求证： EB=GD ；（ 2）判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由；（ 3）若AB=2 ， AG=2，求EB的长．25、已知抛物线y ax22ax 3a ( a 0) 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点 D 为抛物线的顶点．（1）求 A 、 B 的坐标；（2）过点 D 作 DH 丄 y 轴于点 H，若 DH=HC ，求 a 的值和直线 CD 的解析式；（3）在第（ 2）小题的条件下，直线 CD 与 x 轴交于点 E，过线段 OB 的中点 N 作 NF 丄 x 轴，并交直线CD 于点 F，则直线 NF 上是否存在点 M ，使得点 M 到直线 CD 的距离等于点 M 到原点 O 的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．中考数学试题答案一、选择题题号123456789101112答案B A C C B D B A C B C D二、填空题13. 201114. 315.a(3 a)(3 a)°17.2318.①③④16. 144三、解答题19. 解：原式 =2-1-3+2 ，=0 ．故答案为： 0 ．20.解：∵一元二次方程 x2-4x+1=0 的两个实数根是 x1、 x2，∴ x1 +x 2=4 ， x1?x2=1 ，∴（ x1+x 2）2÷（）=4 2÷2=4 ÷421.解：在 Rt △ CEB 中，sin60 °=，∴CE=BC?sin60°=10×≈8.65m，∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.≈210m，答：风筝离地面的高度为 10m ．22.（ 1）证明：连 OC ，如图，∵ OA=OB ， CA=CB ，∴OC ⊥AB，∴AB 是⊙ O 的切线；（2）解：∵ D 为 OA 的中点， OD=OC=r ，∴ OA=2OC=2r ，∴∠ A=30°，∠ AOC=60°， AC=r，∴∠ AOB=120°， AB=2r，∴ S 阴影部分 =S △OAB -S 扇形ODE = ?OC?AB-=-，∴?r?2r- r2=-，∴ r=1 ，即⊙ O 的半径 r 为 1 ．23. 解：（ 1） 3÷-3=1 ．答：黑色棋子有 1 个；（ 2）共12 种情况，有 6 种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为．24. 解：（ 1）设第一批购进水果x 千克，则第二批购进水果 2.5 千克，依据题意得：，解得 x=200 ，经检验 x=200 是原方程的解，∴x+2.5x=700 ，答：这两批水果功够进 700 千克；（ 2）设售价为每千克 a 元，则：，630a≥ 7500× 1.26，∴，∴a≥15，答：售价至少为每千克 15 元．25.（ 1 ）证明：在△ GAD 和△ EAB 中，∠ GAD=90° +∠ EAD ，∠ EAB=90° +∠ EAD ，∴∠ GAD= ∠ EAB ，又∵ AG=AE ， AB=AD ，∴△ GAD ≌△ EAB ，∴EB=GD ；（ 2） EB ⊥ GD ，理由如下：连接BD ，由（ 1 ）得：∠ ADG= ∠ ABE ，则在△ BDH 中，∠DHB=180° - （∠ HDB+ ∠ HBD ）=180°-90 °=90°，∴EB⊥GD ；（ 3）设BD与AC交于点O，∵ AB=AD=2在 Rt △ABD中， DB=，∴ EB=GD=．26. 解：（ 1）由y=0得， ax 2-2ax-3a=0，∵ a≠0，∴ x2 -2x-3=0，解得1=-1，x2=3，∴点 A 的坐标（ -1， 0），点 B 的坐标（ 3，0）；（2）由 y=ax 2 -2ax-3a ，令 x=0 ，得 y=-3a ，∴ C （ 0， -3a ），又∵ y=ax 2 -2ax-3a=a （ x-1 ）2-4a ，得 D （1 ， -4a ），∴ DH=1 ， CH=-4a- （ -3a ） =-a ，∴ -a=1 ，∴ a=-1 ，∴C（0， 3），D（1，4），设直线 CD 的解析式为y=kx+b ，把 C、 D 两点的坐标代入得，，解得，∴直线 CD 的解析式为y=x+3 ；（ 3）存在．由（ 2）得， E（-3，0），N（-，0）∴F（，），EN= ，作 MQ⊥CD 于 Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM=-m ，EF==，MQ=OM=由题意得： Rt △ FQM ∽ Rt △ FNE ，∴=，整理得 4m 2+36m-63=0 ，∴m2+9m=，m 2+9m+=+（m+ ）2=m+ =±∴ m1=，m2=-，∴点 M 的坐标为M1（，），M2（，-）．”可见，一个人的心胸和眼光，决定了他志向的短浅或高远；一个清代“红顶商人”胡雪岩说：“做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。

2023年江苏省中考数学模拟题（二模）精选按题型分层分类汇编-04填空题（基础题）一．数轴（共1小题）1．（2022•丰县二模）数轴上的点A、B分别表示﹣2、3，则点离原点的距离较近（填“A”或“B”）．二．有理数大小比较（共1小题）2．（2022•姜堰区二模）最接近﹣2π的整数是．三．科学记数法—表示较大的数（共1小题）3．（2022•宜兴市二模）光速是每秒30万公里，每小时1080000000公里．用科学记数法表示1080000000是．四．代数式求值（共1小题）4．（2022•灌南县二模）已知当x＝1时，代数式ax3+bx+2022的值为2023；则当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+2022的值为．五．幂的乘方与积的乘方（共1小题）5．（2022•丰县二模）计算：（x2）3•x﹣2＝．六．完全平方公式（共1小题）6．（2022•武进区二模）计算：m•m﹣（m﹣1）2＝．七．分式有意义的条件（共2小题）7．（2022•鼓楼区校级二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2022•姜堰区二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．八．分式的值为零的条件（共1小题）9．（2022•建湖县二模）当x为时，分式的值为0．九．负整数指数幂（共1小题）10．（2022•金坛区二模）计算：＝．一十．二次根式的混合运算（共1小题）11．（2022•鼓楼区校级二模）计算÷（+）的结果是．一十一．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题）12．（2022•广陵区校级二模）我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”假设经过x天相逢，则可列方程为．一十二．二元一次方程组的解（共1小题）13．（2022•鼓楼区校级二模）已知x、y满足方程组，则|x|+y的值为．一十三．解二元一次方程组（共1小题）14．（2022•建湖县二模）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为．一十四．根与系数的关系（共1小题）15．（2022•建湖县二模）若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为．一十五．高次方程（共1小题）16．（2022•广陵区校级二模）方程m3＝4m的解为．一十六．解一元一次不等式（共1小题）17．（2022•广陵区校级二模）已知关于x的不等式＜7的解也是不等式＞﹣1的解，则常数a的取值范围是．一十七．动点问题的函数图象（共1小题）18．（2022•姜堰区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC，D为AB的中点，P为线段AC上一动点，设PC＝x，PB+PD＝y，图2是y关于x的函数图象，且最低点E的横坐标是2，则AB＝．一十八．一次函数图象与系数的关系（共1小题）19．（2022•金坛区二模）若一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是．一十九．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）20．（2022•金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，BC∥x轴，则菱形ABCD的周长是．二十．一次函数图象与几何变换（共1小题）21．（2022•海陵区二模）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移，平移后的直线经过点（﹣1，6），则直线向右平移个单位长度．二十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）22．（2022•丰县二模）如图，点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x 轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E．若OE＝1，OC＝2CD，则AC的长为．23．（2022•鼓楼区校级二模）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）都在y＝的图象上．若x1•x2＝﹣2，则y1•y2的值为．二十二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）24．（2022•仪征市二模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，若（m+1）a+b＞0，则m的取值范围是．二十三．抛物线与x轴的交点（共1小题）25．（2022•鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x ≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：①图象与x轴有两个交点；②图象关于原点中心对称；③最大值是3，最小值是﹣3；④当x＞1时，y随x的增大而减小．其中，所有正确说法的序号是．二十四．认识立体图形（共1小题）26．（2022•宜兴市二模）若一个常见几何体模型共有8条棱，则该几何体的名称是．二十五．垂线段最短（共1小题）27．（2022•海陵区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E是△ABC 内部一点（不包括三条边），点F、G分别在AC、AB边上，且EF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为F、G．点D是AB边的中点，连接ED，若EF＜EG，则ED长的取值范围是．二十六．平行线的性质（共2小题）28．（2022•丰县二模）如图，直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，顶点A 在l2上，边BC与l2交于点D，如果∠1＝30°，AD＝4，那么点D到AB的距离为．29．（2022•武进区二模）将一副直角三角板按如图所示的方法摆放，∠A＝45°，∠E＝60°，点D在BC上．若它们的斜边AB∥EF，则∠BDF的度数是．二十七．三角形内角和定理（共1小题）30．（2022•仪征市二模）已知△ABC是直角三角形，∠A＝2∠B，则∠B＝°．二十八．等腰三角形的性质（共1小题）31．（2022•金坛区二模）如图，在△ABD中，C是边BD上一点．若AB＝AC＝CD，∠BAC ＝40°，则∠D＝°．二十九．多边形内角与外角（共2小题）32．（2022•广陵区校级二模）多边形的每个内角的度数都等于140°，则这个多边形的边数为．33．（2022•建湖县二模）一个正多边形的一个内角是与其相邻的一个外角的3倍，则这个正多边形的边数是．三十．矩形的性质（共2小题）34．（2022•丰县二模）如图，两张完全相同的矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝1，BC ＝FG＝4．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα＝．35．（2022•广陵区校级二模）如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG ＝3：1，AB：BC＝2：1，则tan∠AHE的值为．三十一．正方形的性质（共1小题）36．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BA，BC的中点．若BD＝2，则EF的长是．三十二．圆周角定理（共2小题）37．（2022•鼓楼区校级二模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB＝34°，则∠BAC＝．38．（2022•建湖县二模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若弧BE＝弧DE，设∠ABC＝α，则α为．三十三．三角形的外接圆与外心（共1小题）39．（2022•海陵区二模）如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C 的度数为°．三十四．扇形面积的计算（共1小题）40．（2022•灌南县二模）扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为．三十五．圆锥的计算（共3小题）41．（2022•丰县二模）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则此圆的侧面积是cm2．42．（2022•武进区二模）已知圆锥的底面半径为9，高为12，则这个圆锥的侧面积为．43．（2022•金坛区二模）已知圆锥的母线长是6，底面圆的半径长是4，则它的侧面展开图的面积是．三十六．命题与定理（共4小题）44．（2022•宜兴市二模）用一个a的值说明命题“如果a2≥1，那么a≥1”是错误的，这个值可以是a＝．45．（2022•宜兴市二模）下列命题的逆命题成立的是．①同旁内角互补，两直线平行②等边三角形是锐角三角形③如果两个实数相等，那么它们的平方相等④全等三角形的三条对应边相等46．（2022•姜堰区二模）命题“对顶角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．47．（2022•金坛区二模）“三角形的任意两边之和大于第三边”是命题．（填写“真”或“假”）三十七．推理与论证（共1小题）48．（2022•建湖县二模）“4.15国家安全日”之际，某校组织了一次安全知识竞赛，该校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是．三十八．轴对称的性质（共1小题）49．（2022•姜堰区二模）如图，在等边△ABC外侧作直线AD，点C关于直线AD的对称点为M，连接CM，BM．其中BM交直线AD于点E．若60°＜∠CAD＜120°，当BE＝3，ME＝4时，则等边△ABC的边长为．三十九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）50．（2022•仪征市二模）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC 的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为．四十．图形的剪拼（共1小题）51．（2022•建湖县二模）如图，有一张面积为30的△ABC纸片，AB＝AC，把它剪三刀拼成一个矩形（无缝隙、无重叠），且矩形的一边与AB平行，剪得矩形的周长为22，则sin ∠A的值为．四十一．旋转的性质（共1小题）52．（2022•广陵区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，若以点C为旋转中心，将△ABC旋转θ°到△DEC的位置，使点B恰好落在边DE上，则θ值等于．四十二．比例的性质（共1小题）53．（2022•仪征市二模）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的栗，可换得30单位的粝米．……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“栗米之法”，则可以换得的粝米为升．四十三．解直角三角形（共2小题）54．（2022•姜堰区二模）如图，5×6的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD 相交于点E，则tan∠AEC的值是．55．（2022•灌南县二模）如图．在边长为1的3×5正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，则tan∠1是．四十四．频数与频率（共1小题）56．（2022•武进区二模）已知一组数据有60个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5，10，6，7，第五组的频率是0.2，故第六组的频数是．四十五．中位数（共1小题）57．（2022•鼓楼区校级二模）如表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员人．年龄13141516频数□282223四十六．方差（共1小题）58．（2022•建湖县二模）甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如表：甲164164165165166166167167乙163163165165166166168168两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是．（填“甲”或“乙”）四十七．几何概率（共2小题）59．（2022•丰县二模）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是．60．（2022•姜堰区二模）如图，一块飞镖游戏板是3×3的正方形网格，假设飞镖击中每块小正方形是等可能的（若没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是．2022年江苏省中考数学模拟题（二模）精选按题型分层分类汇编-04填空题（基础题）参考答案与试题解析一．数轴（共1小题）1．（2022•丰县二模）数轴上的点A、B分别表示﹣2、3，则点A离原点的距离较近（填“A”或“B”）．【解答】解：∵|﹣2|＝2，|3|＝3，∴点A离原点的距离较近，故答案为：A．二．有理数大小比较（共1小题）2．（2022•姜堰区二模）最接近﹣2π的整数是﹣6．【解答】解：∵3＜π＜3.2，∴6＜2π＜6.4，∴﹣6.4＜﹣2π＜﹣6，∴最接近﹣2π的整数是﹣6．故答案为：﹣6．三．科学记数法—表示较大的数（共1小题）3．（2022•宜兴市二模）光速是每秒30万公里，每小时1080000000公里．用科学记数法表示1080000000是 1.08×109．【解答】解：1080000000＝1.08×109．故答案为：1.08×109．四．代数式求值（共1小题）4．（2022•灌南县二模）已知当x＝1时，代数式ax3+bx+2022的值为2023；则当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+2022的值为2021．【解答】解：由题意得，当x＝1时，代数式ax3+bx+2022的值为2023，∴a+b+2022＝2023，∴a+b＝1，当x＝﹣1时，代数式﹣a﹣b+2022＝﹣（a+b）+2022＝﹣1+2022＝2021．故答案为：2021．五．幂的乘方与积的乘方（共1小题）5．（2022•丰县二模）计算：（x2）3•x﹣2＝x4．【解答】解：（x2）3•x﹣2＝x6•＝x4，故答案为：x4．六．完全平方公式（共1小题）6．（2022•武进区二模）计算：m•m﹣（m﹣1）2＝2m﹣1．【解答】解：原式＝m2﹣（m2﹣2m+1）＝m2﹣m2+2m﹣1＝2m﹣1．故答案为：2m﹣1．七．分式有意义的条件（共2小题）7．（2022•鼓楼区校级二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠﹣1．【解答】解：∵x+1≠0，∴x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．8．（2022•姜堰区二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠3．【解答】解：∵x﹣3≠0，∴x≠3．故答案为：x≠3．八．分式的值为零的条件（共1小题）9．（2022•建湖县二模）当x为﹣2时，分式的值为0．【解答】解：∵2x+4＝0且x﹣5≠0，∴x＝﹣2．故答案为：﹣2．九．负整数指数幂（共1小题）10．（2022•金坛区二模）计算：＝1．【解答】解：原式＝+1＝1．故答案为：1．一十．二次根式的混合运算（共1小题）11．（2022•鼓楼区校级二模）计算÷（+）的结果是．【解答】解：÷（+）＝÷（+）＝÷＝×＝，故答案为：．一十一．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题）12．（2022•广陵区校级二模）我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”假设经过x天相逢，则可列方程为+＝1．【解答】解：设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，根据题意得：．故答案为：．一十二．二元一次方程组的解（共1小题）13．（2022•鼓楼区校级二模）已知x、y满足方程组，则|x|+y的值为3．【解答】解：，①+②得：3|x|+3y＝9，∴|x|+y＝3．故答案为：3．一十三．解二元一次方程组（共1小题）14．（2022•建湖县二模）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为﹣24．【解答】解：∵x，y满足方程组，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝8×（﹣3）＝﹣24故答案为：﹣24．一十四．根与系数的关系（共1小题）15．（2022•建湖县二模）若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为2．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，则原式＝x1+x1x2+x2＝（x1+x2）+x1x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．一十五．高次方程（共1小题）16．（2022•广陵区校级二模）方程m3＝4m的解为0，﹣2，2．【解答】解：m3＝4m，移项，得m3﹣4m＝0，则m（m+2）（m﹣2）＝0，∴m＝0或m+2＝0或m﹣2＝0，∴m1＝0，m2＝﹣2，m3＝2，故答案为：0，﹣2，2．一十六．解一元一次不等式（共1小题）17．（2022•广陵区校级二模）已知关于x的不等式＜7的解也是不等式＞﹣1的解，则常数a的取值范围是﹣≤a＜0．【解答】解：关于x的不等式＞﹣1，解得，x＞a﹣，∵关于x的不等式＜7的解也是不等式＞﹣1的解，故a＜0，所以不等式＜7的解集是x＞7a．所以7a≥a﹣，解得，a≥﹣，∵a＜0，∴﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0．一十七．动点问题的函数图象（共1小题）18．（2022•姜堰区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC，D为AB的中点，P为线段AC上一动点，设PC＝x，PB+PD＝y，图2是y关于x的函数图象，且最低点E的横坐标是2，则AB＝3．【解答】解：作点D关于AC的对称点D′，连接BD′，BD′与AC的交点为点P，此时y最小．根据题意可知，CP＝，AD＝BD＝AB＝BC，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵DD′⊥AC，∴△AMD为等腰直角三角形，由对称性可知，△AMD′为等腰直角三角形，AD＝AD′，∴∠D′AC＝∠DAC＝45°，∴∠DAD′＝90°，∴AD′∥BC，∴AD′：BC＝AP：PC，即1：2＝AP：2，解得AP＝，∴AC＝3．∴AB＝BC＝AC＝3．故答案为：3．一十八．一次函数图象与系数的关系（共1小题）19．（2022•金坛区二模）若一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是k＜0．【解答】解：∵一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，故答案为：k＜0．一十九．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）20．（2022•金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，BC∥x轴，则菱形ABCD的周长是20．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）∴OB＝4；当y＝0时，﹣x+4＝0，解得：x＝3，∴点A的坐标为（3，0），∴OA＝3．在Rt△OAB中，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝5．又∵四边形ABCD为菱形，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×5＝20．故答案为：20．二十．一次函数图象与几何变换（共1小题）21．（2022•海陵区二模）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移，平移后的直线经过点（﹣1，6），则直线向右平移2个单位长度．【解答】解：将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移m个单位，得到直线y＝﹣2（x﹣m），把点（﹣1，6）代入，得6＝﹣2（﹣1﹣m），解得m＝2．故答案为：2．二十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）22．（2022•丰县二模）如图，点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x 轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E．若OE＝1，OC＝2CD，则AC的长为．【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，∴四边形BDOE是矩形，∴BD＝OE＝1，把y＝1代入y＝，求得x＝k，∴B（k，1），∴OD＝k，∵OC＝2CD，∴OC＝k，∵AC⊥x轴于点C，把x＝k代入y＝得，y＝，∴AC＝，故答案为：．23．（2022•鼓楼区校级二模）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）都在y＝的图象上．若x1•x2＝﹣2，则y1•y2的值为﹣18．【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在y＝的图象上．∴x1y1＝6，x2y2＝6，∴x1y1•x2y2＝36，∵x1•x2＝﹣2，∴y1•y2＝﹣18，故答案为：﹣18．二十二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）24．（2022•仪征市二模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，若（m+1）a+b＞0，则m的取值范围是m＜1．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a．∴（m+1）a+b＝（m+1）a﹣2a＝a（m﹣1），∵（m+1）a+b＞0，∴a（m﹣1）＞0．∵a＜0∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：m＜1．二十三．抛物线与x轴的交点（共1小题）25．（2022•鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x ≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：①图象与x轴有两个交点；②图象关于原点中心对称；③最大值是3，最小值是﹣3；④当x＞1时，y随x的增大而减小．其中，所有正确说法的序号是②③④．【解答】解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；②图象关于原点中心对称，故②正确；③当x＝﹣2时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣3，∴函数的最大值是3，最小值是﹣3，故③正确；④当x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确．故答案为：②③④．二十四．认识立体图形（共1小题）26．（2022•宜兴市二模）若一个常见几何体模型共有8条棱，则该几何体的名称是四棱锥．【解答】解：这个几何体共有8条棱，这个几何体是四棱锥，故答案为：四棱锥．二十五．垂线段最短（共1小题）27．（2022•海陵区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E是△ABC 内部一点（不包括三条边），点F、G分别在AC、AB边上，且EF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为F、G．点D是AB边的中点，连接ED，若EF＜EG，则ED长的取值范围是＜DE＜5．【解答】解：如图，当点E与点C重合时，DE的值是最大的，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵点D是AB边的中点，∠C＝90°，∴CD＝AB＝5，∵点E是△ABC内部一点，∴DE＜5；如图，当点E在∠CAB的平分线上时，EF＝EG，此时DE⊥AE时，DE最小，过点H作HM⊥AB于M，∵AH平分∠CAB，HC⊥AC，HM⊥AB，∴CH＝HM，∠CAH＝∠MAH，在△ACH和△AMH中，，∴AC＝AM，在Rt△HMB中，HM2+BM2＝BH2，CH2+（10﹣AC）2＝（8﹣CH）2，即CH2+（10﹣6）2＝（8﹣CH）2，∴CH＝3，在Rt△ACH中，AH＝，∵∠EAD＝∠MAH，∠AED＝∠AMH，∴△ADE∽△AHM，∴，DE＝，∵EF＝EG，∴点E在AH的上方，∴DE＞，∴ED长的取值范围是：，故答案为：．二十六．平行线的性质（共2小题）28．（2022•丰县二模）如图，直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，顶点A 在l2上，边BC与l2交于点D，如果∠1＝30°，AD＝4，那么点D到AB的距离为2．【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，∵l1∥l2，∠1＝30°，∴∠DAC＝30°，∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∵∠ACD＝90°，AD＝4，∴CD＝AD＝2，∴DE＝DC＝2．故点D到AB的距离为2．故答案为：2．29．（2022•武进区二模）将一副直角三角板按如图所示的方法摆放，∠A＝45°，∠E＝60°，点D在BC上．若它们的斜边AB∥EF，则∠BDF的度数是15°．【解答】解：DE与AB相交于点O，∵AB∥EF，∴∠DOB＝∠E＝60°，∵∠B＝45°，∴∠EDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠BDF＝90°﹣∠EDB＝90°﹣75°＝15°，故答案为：15°．二十七．三角形内角和定理（共1小题）30．（2022•仪征市二模）已知△ABC是直角三角形，∠A＝2∠B，则∠B＝45或30°．【解答】解：（1）∠A＝90°时，∵∠A＝2∠B，∴2∠B＝90°，∴∠B＝45°．（2）∠A≠90°时，∵∠A＝2∠B，∴∠B≠90°，∵△ABC是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∴2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝30°．故答案为：45或30．二十八．等腰三角形的性质（共1小题）31．（2022•金坛区二模）如图，在△ABD中，C是边BD上一点．若AB＝AC＝CD，∠BAC ＝40°，则∠D＝35°．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠B＝∠ACB＝70°，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠D+∠CAD＝70°，∵AC＝CD，∴∠D＝∠CAD＝35°．故答案为：35°．二十九．多边形内角与外角（共2小题）32．（2022•广陵区校级二模）多边形的每个内角的度数都等于140°，则这个多边形的边数为9．【解答】解：∵多边形的每个内角的度数都等于140°，∴这个多边形的每个外角为180°﹣140°＝40°．又∵多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数为360°÷40°＝9．∴这个多边形的边数为9．故答案为：9．33．（2022•建湖县二模）一个正多边形的一个内角是与其相邻的一个外角的3倍，则这个正多边形的边数是8．【解答】解：设正多边形的一个外角等于x°，∵一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的3倍，∴这个正多边形的一个内角为：3x°，∴x+3x＝180，解得：x＝45，∴这个正多边形的边数是：360°÷45°＝8．故答案为：8．三十．矩形的性质（共2小题）34．（2022•丰县二模）如图，两张完全相同的矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝1，BC ＝FG＝4．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα＝．【解答】解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，∴∠ADC＝∠HDF＝90°，CD＝AB＝2cm，∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°，∴△CDM≌△HDN（ASA），∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形，∴四边形DNKM是菱形，∴KM＝MD，∵sinα＝sin∠DMC＝，∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MD＝KM＝acm，则CM＝（8﹣a）cm，∵MD2＝CD2+MC2，∴a2＝1+（4﹣a）2，∴a＝（cm），∴sinα＝sin∠DMC＝，故答案为：．35．（2022•广陵区校级二模）如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG ＝3：1，AB：BC＝2：1，则tan∠AHE的值为．【解答】解：∵四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，EF：FG＝3：1，AB：BC＝2：1，∴∠HEA+∠FEB＝90°，∵∠FEB+∠EFB＝90°，∴∠HEA＝∠EFB，∵∠HAE＝∠B，∴Rt△HAE∽Rt△EBF，∴＝＝＝，同理可得，∠GHD＝∠EFB，HG＝EF，∴△GDH≌△EBF，DH＝BF，DG＝EB，设AB＝2x，BC＝x，AE＝a，BF＝3a，则AH＝x﹣3a，AE＝a，∴tan∠AHE＝tan∠BEF，即＝，解得：x＝8a，∴tan∠AHE＝＝＝，故答案为：．三十一．正方形的性质（共1小题）36．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BA，BC的中点．若BD＝2，则EF的长是1．【解答】解：连接AC，如图所示，∵四边形ABCD是正方形．∴AC＝BD＝2．∵E，F分别是BA，BC的中点．∴EF是△ABC的中位线．∴EF＝AC＝×2＝1．故答案为：1．三十二．圆周角定理（共2小题）37．（2022•鼓楼区校级二模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB＝34°，则∠BAC＝68°．【解答】解：∵∠BOD与∠DCB为所对的圆心角和圆周角，∠DCB＝34°，∴∠BOD＝2∠DCB＝68°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，∴∠BAC＝∠BOD＝68°，故答案为：68°．38．（2022•建湖县二模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若弧BE＝弧DE，设∠ABC＝α，则α为22.5°．【解答】解：如图，连接AC，∵∠ABC＝∠DBC＝∠DBE，∴，∵，∴＝，∴，∴∠ABC＝，∴∠ABC＝α，∠BAC＝3α，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴90°+3α+α＝180°，∴α＝22.5°．故答案为22.5°．三十三．三角形的外接圆与外心（共1小题）39．（2022•海陵区二模）如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C 的度数为73°．【解答】解：连接OA，作△ABC的外接圆⊙O，∵点O是△ABC的外心，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝17°，∴∠AOB＝180°﹣2×17°＝146°，∴∠C＝∠AOB＝73°，故答案为：73．三十四．扇形面积的计算（共1小题）40．（2022•灌南县二模）扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为2π．【解答】解：设半径为r，∵扇形的圆心角为72°，面积为5π，∴5π＝，解得，r＝5，∴扇形的弧长为：＝2π，故答案为：2π．三十五．圆锥的计算（共3小题）41．（2022•丰县二模）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则此圆的侧面积是60πcm2．【解答】解：∵h＝8cm，r＝6cm，可设圆锥母线长为lcm，由勾股定理，l＝＝10（cm），圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60πcm2，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故答案为：60π．42．（2022•武进区二模）已知圆锥的底面半径为9，高为12，则这个圆锥的侧面积为135π．【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝9，高h＝12，∴圆锥的母线长为＝15，∴圆锥的侧面积为π×15×9＝135π，故答案为：135π．43．（2022•金坛区二模）已知圆锥的母线长是6，底面圆的半径长是4，则它的侧面展开图的面积是24π．【解答】解：它的侧面展开图的面积＝×2π×24×6＝24π．故答案为：24π．三十六．命题与定理（共4小题）44．（2022•宜兴市二模）用一个a的值说明命题“如果a2≥1，那么a≥1”是错误的，这个值可以是a＝﹣2（答案不唯一）．【解答】解：当a＝﹣2时，a2＝4＞1，而﹣2＜1，∴命题“若a2≥1，那么a≥1”是假命题，故答案为：﹣2（答案不唯一）．45．（2022•宜兴市二模）下列命题的逆命题成立的是①④．①同旁内角互补，两直线平行②等边三角形是锐角三角形③如果两个实数相等，那么它们的平方相等④全等三角形的三条对应边相等【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意；②等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为平方相等的两个实数相等，不成立，不符合题意；④全等三角形的三条边对应相等的逆命题为三条边相等的三角形全等，成立，符合题意，故答案为：①④．46．（2022•姜堰区二模）命题“对顶角相等”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．47．（2022•金坛区二模）“三角形的任意两边之和大于第三边”是真命题．（填写“真”或“假”）【解答】解：三角形的任意两边之和大于第三边”是真命题，故答案为：真．三十七．推理与论证（共1小题）48．（2022•建湖县二模）“4.15国家安全日”之际，某校组织了一次安全知识竞赛，该校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是①③．【解答】解：∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%，∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率，故①正确，符合题意；∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在50%与70%之间，∴不能确定哪个年级的优秀率大，故②错误，不合题意；∵七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在60%与70%之间，∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率，故③正确，符合题意；故合理推断的序号为：①③，故答案为：①③．三十八．轴对称的性质（共1小题）49．（2022•姜堰区二模）如图，在等边△ABC外侧作直线AD，点C关于直线AD的对称点为M，连接CM，BM．其中BM交直线AD于点E．若60°＜∠CAD＜120°，当BE＝3，ME＝4时，则等边△ABC的边长为．【解答】解：连接AM，过A作AF⊥BM于F，如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵点C关于直线AD的对称点为M，∴AM＝AC，∠CAD＝∠MAD，∴AM＝AB，∵AF⊥BM，∴∠MAF＝∠BAF，BF＝MF＝＝＝，∵∠BAC＝60°，∴∠CAD+∠MAD+∠MAF+∠BAF＝300°，∴2∠MAD+2∠MAF＝300°，∴∠MAD+∠MAF＝150°，∴∠F AE＝180°﹣（∠MAD+∠MAF）＝30°，∵EF＝BF﹣BE＝﹣3＝，∴AF＝EF＝，∴AB＝＝＝，∴等边△ABC的边长为，故答案为：．三十九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）50．（2022•仪征市二模）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC 的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为18．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝CD＝3，∵将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，∴AE＝AD，CD＝CE＝3，∠D＝∠E＝60°，∴△AED是等边三角形，∴AD＝AE＝DE＝CE+CD＝6，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝18，故答案为：18．四十．图形的剪拼（共1小题）51．（2022•建湖县二模）如图，有一张面积为30的△ABC纸片，AB＝AC，把它剪三刀拼成一个矩形（无缝隙、无重叠），且矩形的一边与AB平行，剪得矩形的周长为22，则sin ∠A的值为或．【解答】解：由题意知，CM＝EG，EF＝AB，设AB＝a，CM＝b，∴＝30，a+2b＝22，解得a＝12，b＝5或a＝10，b＝6，当AB＝AC＝12，CM＝5时，sin A＝，当AB＝AC＝10，CM＝6时，sin A＝，故答案为：或．四十一．旋转的性质（共1小题）52．（2022•广陵区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，若以点C为旋转中心，将△ABC旋转θ°到△DEC的位置，使点B恰好落在边DE上，则θ值等于70．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°，∵以点C为旋转中心，将△ABC旋转θ°到△DEC的位置，使点B恰好落在边DE上，∴∠DEC＝∠ABC＝55°，∠ACD＝∠BCE＝θ°，CB＝CE，∴∠CBE＝∠BEC＝55°，∴∠BCE＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC＝70°，∴θ值为70．故答案为：70．四十二．比例的性质（共1小题）53．（2022•仪征市二模）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的栗，可换得30单位的粝米．……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“栗米之法”，则可以换得的粝米为18升．【解答】解：根据题意得：3×10÷（50÷30）。

（•广安）将点A（﹣1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′的坐标为（2，﹣2）．考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变即可解的答案．解答：解：∵点A（﹣1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，∴A′的坐标是（﹣1+3，2﹣4），即：（2，﹣2）．故答案为：（2，﹣2）．点评：此题主要考查了点的平移规律，正确掌握规律是解题的关键．（•湘西州）如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，6）C．（1，3）D．（﹣2，1）考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．解答：解：根据题意，从点A平移到点A′，点A′的纵坐标不变，横坐标是﹣2+3=1，故点A′的坐标是（1，3）．故选C．点评： 此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”．（•绵阳）如图，把“QQ ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A 的坐标是（-2，3），嘴唇C 点的坐标为（-1，1），则将此“QQ ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B 的坐标是 。

（•遂宁）将点A （3，2）沿x 轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ． （﹣3，2）B ． （﹣1，2）C ． （1，2）D ． （1，﹣2）考点：坐标与图形变化-平移；关于x 轴、y 轴对称的点的坐标． 分析： 先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y 轴对称的点的坐标特征即可求解．解答： 解：∵将点A （3，2）沿x 轴向左平移4个单位长度得到点A′，∴点A′的坐标为（﹣1，2），∴点A′关于y 轴对称的点的坐标是（1，2）．故选C ．点评： 本题考查坐标与图形变化﹣平移及对称的性质；用到的知识点为：两点关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；左右平移只改变点的横坐标，右加左减． （•沈阳）在平面直角坐标系中，点M （-3,2）关于原点的对称点的坐标是 _________. （•晋江）如图7,在方格纸中（小正方形的边长为１），ABC ∆的三个顶点均为格点，将ABC ∆沿x 轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系(O 是坐标原点)，解答下列问题：(1)画．出平移后的'''C B A ∆，并直接写．出点'A 、'B 、'C 的坐标； (2)求出在整个平移过程中，ABC ∆扫过的面积.解：(1)平移后的'C B A ''∆如图所示；…………………2分15题图点'A 、'B 、'C 的坐标分别为)5,1(-、)0,4(-、)0,1(-；…………………………………………………………5分(2)由平移的性质可知，四边形B B AA ''是平行四边形， ∴ABC ∆扫过的面积ABC B B AA S S ∆+=''四边形 AC BC AC B B ⋅+⋅=21' 265532155=⨯⨯+⨯=． （•漳州）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．（1）画出将Rt△ABC 向右平移5个单位长度后的Rt△A 1B 1C 1；（2）再将Rt△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A 2B 2C 1，并求出旋转过程中线段A 1C 1所扫过的面积(结果保留π)．（•厦门）在平面直角坐标系中，将线段OA 向左平移2个单位，平移后，点O ，A 的对应点分别为点O 1，A 1.若点O （0，0），A （1，4），则点O 1，A 1的坐标分别是 DA ．（0，0），（1，4）．B ．（0，0），（3，4）．C ．（－2，0），（1，4）．D ．（－2，0），（－1，4）． （•常州）已知点P （3，2），则点P 关于y 轴的对称点P 1的坐标是 （﹣3，2） ，点P 关于原点O 的对称点P 2的坐标是 （﹣3，﹣2） ．考点：关于原点对称的点的坐标；关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．分析： 根据关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同； 关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．解答： 解：点P （3，2）关于y 轴的对称点P 1的坐标是（﹣3，2），点P 关于原点O 的对称点P 2的坐标是（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，2）；（﹣3，﹣2）．点本题考查了关于原点对称点点的坐标，关于y 轴对称的点的坐标，熟记对称点的坐y O x B C A （图7）第20题图评：标特征是解题的关键．（•淮安）点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是（3，0）．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接写出答案．解答：解：点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是（3，0），故答案为：（3，0）．点评：此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．（•淮安）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．分析：（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出△A1B1C1；（2）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△A2B2C2．解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．点评：此题主要考查了图形的平移和旋转，根据已知得出对应点坐标是解题关键．（•南通）在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M（－4，－1）、N（0，1），将线段MN平移后得到线段M ′N ′（点M、N分别平移到点M ′、N ′的位置），若点M ′的坐标为（－2，2），则点N ′的坐标为▲．（•钦州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．3718684分析：（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A 点坐标；（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．解答：解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．点评：本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．（•遵义）已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则a b的值为25 ．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a+b=﹣3，1﹣b=﹣1，再解方程可得a、b的值，进而算出a b的值．解答：解：∵点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），∴a+b=﹣3，1﹣b=﹣1，解得：b=2，a=﹣5，a b=25，故答案为：25．点评：此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．（泰安）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（）A ．（1.4，﹣1）B ．（1.5，2）C ．（1.6，1）D ．（2.4，1）考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．分析：根据平移的性质得出，△ABC 的平移方向以及平移距离，即可得出P 1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P 2点的坐标．解答：解：∵A 点坐标为：（2，4），A 1（﹣2，1），∴点P （2.4，2）平移后的对应点P 1为：（﹣1.6，﹣1），∵点P 1绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点P 2，∴P 2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C ．点评：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键． （• 台州）设点M （1,2）关于原点的对称点为M ′，则M ′的坐标为（•温州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为（-2，0），（-1，0），BC ⊥x 轴，将△ABC 以y 轴为对称轴作轴对称变换，得到△A ’B ’C ’（A 和A ’，B 和B ’，C 和C ’分别是对应顶点），直线b x y +=经过点A ，C ’，则点C ’的坐标是__________（•珠海）点（3，2）关于x 轴的对称点为（ ）A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．解答：解：点（3，2）关于x轴的对称点为（3，﹣2），故选：A．点评：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．（•牡丹江）如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，）或（﹣2，0）C．（，﹣1）或（0，﹣2）D．（，﹣1）考点：坐标与图形变化-旋转．分析：需要分类讨论：在把△ABO绕点O顺时针旋转150°和逆时针旋转150°后得到△A1B1O时点A1的坐标．解答：解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，∴tan∠AOB==，∴∠AOB=30°．如图1，当△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，则易求A1（﹣1，﹣）；如图2，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，则易求A1（0，﹣2）；综上所述，点A1的坐标为（，﹣1）或（﹣2，0）；故选B．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣﹣旋转．解题时，注意分类讨论，以防错解．（•牡丹江）如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC= 3米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：在Rt△BDC中，根据∠BDC=45°，求出DC=BC=3米，在Rt△ADC中，根据∠ADC=60°即可求出AC的高度．解答：解：在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，∴DC=BC=3米，在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，∴AC=DCtan60°=3×=3（米）．故答案为：3．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一般．（•铜仁）点P（2， -1）关于x轴对称的点P′的坐标是 .（•红河）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（-1，-2），则点P关于原点对称的点的坐标是（C）A．（-1，2）B．（1，-2）C．（1，2）D．（2，1）。

2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之二次函数一．选择题（共2小题）1．（2019•河南）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4 2．（2017•河南）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜1B．﹣3＜x＜﹣1C．x＜1D．﹣3＜x＜1二．填空题（共1小题）3．（2018•河南）已知二次函数y＝x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．三．解答题（共8小题）4．（2020•河南）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．5．（2017•河南）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．（1）求m，n的值及抛物线的解析式；（2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度；（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021•河南）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围．7．（2018•河南）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：销售单价x（元）8595105115日销售量y（个）17512575m87518751875875日销售利润w（元）（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x＝元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？8．（2018•河南）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x ﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．9．（2019•河南）如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y ＝﹣x﹣2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b 的解析式．（k，b可用含m的式子表示）10．（2018•河南）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，3），顶点F的坐标为（1，4），对称轴交x轴于点H，直线y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线的对称轴于点G．（1）求出a，b，c的值．（2）点M为抛物线对称轴上一个动点，若△DGM是以DG为腰的等腰三角形时，请求出点M的坐标．（3）点P为抛物线上一个动点，当点P关于直线y＝x+1的对称点恰好落在x轴上时，请直接写出此时点P的坐标．11．（2017•河南）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2019•河南）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．2．（2017•河南）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜1B．﹣3＜x＜﹣1C．x＜1D．﹣3＜x＜1【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合；二次函数图象及其性质．【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一交点坐标，然后结合函数图象可以直接得到答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了“数形结合”的数学思想．二．填空题（共1小题）3．（2018•河南）已知二次函数y＝x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝±4．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数顶点在x轴上得出Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×2×2＝0，即可得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+4的顶点在x轴上，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4×1×4＝0，∴b2＝16，∴b＝±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数顶点在x轴上的特点，根据题意得出Δ＝b2﹣4ac＝0是解决问题的关键．三．解答题（共8小题）4．（2020•河南）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】（1）先求出点B，点A坐标，利用待定系数法代入解析式求出c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，利用函数的图象即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴交于点B，∴点B（0，c），c＞0．∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G的坐标为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，顶点（1，4）．∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴当M，N在对称轴的同侧时，﹣21≤y Q≤﹣5；当M，N在对称轴的两侧时，﹣21≤y Q≤4．∴点Q的纵坐标y Q的取值范围为﹣21≤y Q≤﹣5或﹣21≤y Q≤4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．5．（2017•河南）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．（1）求m，n的值及抛物线的解析式；（2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度；（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】开放型．【分析】（1）把点A（m，0）和点B（2，n）代入直线y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5，A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐标代入抛物线方程即可求解；（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，设：平移后点P（t，t2+2t﹣3），则N（t+3，t2+2t﹣3），M（t+3，t2+2t﹣6），根据点M在直线y＝x+3上，即可求解；（3）存在．设：直线AB交y轴于D（0，3），点C关于点D的对称点为C′（0，9）按照△QAB和△Q′AB和△ABC的面积相同即可求解．【解答】解：（1）把点A（m，0）和点B（2，n）代入直线y＝x+3，解得：m＝﹣3，n ＝5，∴A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐标代入抛物线方程，解得：a＝1，b＝2，∴抛物线方程为：y＝x2+2x﹣3…①，则C（0，﹣3）；（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，设：平移后点P（t，t2+2t﹣3），则N（t+3，t2+2t﹣3），∴M（t+3，t2+2t﹣6），∵点M在直线y＝x+3上，∴t2+2t﹣6＝t+3+3，解得：t＝3或﹣4，∴P点坐标为（3，12）或（﹣4，5），则线段OP的长度为：3或；（3）存在．设：直线AB交y轴于D（0，3），点C关于点D的对称点为C′（0，9）过点C和C′分别做AB的平行线，交抛物线于点Q、Q′，则：△QAB和△Q′AB和△ABC的面积相同，直线QC和Q′C的方程分别为：y＝x﹣3和y＝x+9…②，将①、②联立，解得：x＝﹣1或x＝3或x＝﹣4，∴Q点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．（2021•河南）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；分类讨论；一元一次不等式（组）及应用；数据分析观念．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）求出点B的坐标为（﹣1，3），再观察函数图象即可求解；（3）分类求解确定MN的位置，进而求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4+2m，解得：m＝﹣2，将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣2+b，解得b＝2；故m＝﹣2，b＝2；（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+2，y＝x2﹣2x，联立上述两个函数表达式并解得或（不符合题意，舍去），即点B的坐标为（﹣1，3），从图象看，不等式x2+mx＞﹣x+b的解集为x＜﹣1或x＞2；（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，∵M，N的距离为3，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤x M＜2；当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点A的右侧时，当x M＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即x M＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，综上所述，﹣1≤x M＜2 或x M＝3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中（3），分类求解确定MN的位置是解题的关键．7．（2018•河南）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：销售单价x（元）8595105115日销售量y（个）17512575m87518751875875日销售利润w（元）（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是80元，当销售单价x＝100元时，日销售利润w最大，最大值是2000元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】应用题．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式；（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值；（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本．【解答】解；（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，，得，即y关于x的函数解析式是y＝﹣5x+600，当x＝115时，y＝﹣5×115+600＝25，即m的值是25；（2）设成本为a元/个，当x＝85时，875＝175×（85﹣a），得a＝80，w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，故答案为：80，100，2000；（3）设科技创新后成本为b元，当x＝90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答．8．（2018•河南）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x ﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程﹣x2+6x﹣5＝0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC＝∠OCB＝45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM＝2，接着根据平行四边形的性质得到PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ＝45°得到PD＝PQ＝4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4；当P点在直线BC下方时，PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B＝2∠ACB，再确定N（3，﹣2），AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（，﹣），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y＝﹣x+b，把E（，﹣）代入求出b得到直线EM1的解析式为y＝﹣x ﹣，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，设M2（x，x﹣5），根据中点坐标公式得到3＝，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×4＝2，∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，∴PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ＝45°，∴PD＝PQ＝×2＝4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上方时，PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1（舍去），m2＝4，当P点在直线BC下方时，PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1＝，m2＝，综上所述，P点的横坐标为4或或；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1，∴∠AM1B＝2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH＝BH＝NH＝2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（，﹣），设直线EM1的解析式为y＝﹣x+b，把E（，﹣）代入得﹣+b＝﹣，解得b＝﹣，∴直线EM1的解析式为y＝﹣x﹣，解方程组得，则M1（，﹣）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3＝，∴x＝，∴M2（，﹣），综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．9．（2019•河南）如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y ＝﹣x﹣2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b 的解析式．（k，b可用含m的式子表示）【考点】二次函数综合题．【专题】函数的综合应用．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2）①由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°两种情况考虑：（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D，易证△AOC∽△COD，利用相似三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．综上，此问得解；②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，M的坐标，结合点C的坐标可得出点B′的坐标，根据点M，B，B′的坐标，利用待定系数法可分别求出直线BM，B′M和BB′的解析式，利用平行线的性质可求出直线l的解析式．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣2）；当y＝0时，﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，0）．将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2．（2）①∵PM⊥x轴，∴∠PMC≠90°，∴分两种情况考虑，如图1所示．（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，∴点P的纵坐标为﹣2．当y＝﹣2时，x2+x﹣2＝﹣2，解得：x1＝﹣2，x2＝0，∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D．∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，∴∠OAC＝∠OCD．又∵∠AOC＝∠COD＝90°，∴△AOC∽△COD，∴＝，即＝，∴OD＝1，∴点D的坐标为（1，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，点P的坐标为（6，10）．综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．②当y＝0时，x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴点B的坐标为（2，0）．∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称，∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），∴点M的坐标为（m，﹣m﹣2）．利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y＝﹣x+，直线B′M的解析式为y＝x﹣，直线BB′的解析式为y＝x﹣2．分三种情况考虑，如图2所示：当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y＝﹣x﹣2；当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y＝x﹣2；当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，﹣m﹣2）时，直线l的解析式为y＝x﹣m﹣2．综上所述：直线l的解析式为y＝﹣x﹣2，y＝x﹣2或y＝x﹣m﹣2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°两种情况求出点P的坐标；②利用待定系数法及平行线的性质，求出直线l的解析式．10．（2018•河南）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，3），顶点F的坐标为（1，4），对称轴交x轴于点H，直线y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线的对称轴于点G．（1）求出a，b，c的值．（2）点M为抛物线对称轴上一个动点，若△DGM是以DG为腰的等腰三角形时，请求出点M的坐标．（3）点P为抛物线上一个动点，当点P关于直线y＝x+1的对称点恰好落在x轴上时，请直接写出此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】函数的综合应用．【分析】（1）由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，由点C的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而可得出a，b，c的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D，G的坐标，进而可求出DG的长度，分DG＝DM，GD＝GM两种情况考虑：①当DG＝DM时，由等腰三角形的性质可得出HG＝HM1，进而可得出点M1的坐标；②当GD＝GM时，由等腰三角形的性质可得出GM2＝GM3＝，结合点G的坐标可得出点M2，M3的坐标．综上，此问得解；（3）过点E作EN⊥直线DE，交x轴于点N，则△DOE∽△DEN，利用相似三角形的性质可求出点N的坐标，由点E，N的坐标利用待定系数法可求出直线EN的解析式，设点P关于直线y＝x+1的对称点落在x轴上Q点处，连接PQ交DE于点R，设直线PQ 的解析式为y＝﹣2x+m，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点Q的坐标，联立直线PQ和直线DE的解析式成方程组，通过解方程组可得出点R的坐标，进而可得出点P 的坐标，由点P的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再将其代入点P的坐标中即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线顶点F的坐标为（1，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4．将C（0，3）代入y＝a（x﹣1）2+4，得：a+4＝3，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，∴a＝﹣1，b＝2，c＝3．（2）当y＝0时，x+1＝0，解得：x＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣2，0）．当x＝1时，y＝x+1＝，∴点G的坐标为（1，），∴DH＝1﹣（﹣2）＝3，GH＝，∴DG＝＝．分两种情况考虑（如图1）：①当DG＝DM时，HG＝HM1，∴点M1的坐标为（1，﹣）；②当GD＝GM时，GM2＝GM3＝，∴点M2的坐标为（1，），点M3的坐标为（1，）．综上所述：点M的坐标为（1，﹣），（1，）或（1，）．（3）过点E作EN⊥直线DE，交x轴于点N，如图2所示．当x＝0时，y＝x+1＝1，∴点E的坐标为（0，1），∴OE＝1，DE＝＝．∵∠DOE＝∠DEN＝90°，∠ODE＝∠EDN，∴△DOE∽△DEN，∴＝，即＝，∴DN＝，∴点N的坐标为（，0）．∵点E（0，1），点N（，0），∴线段EN所在直线的解析式为y＝﹣2x+1（可利用待定系数法求出）．设点P关于直线y＝x+1的对称点落在x轴上Q点处，连接PQ交DE于点R．设直线PQ的解析式为y＝﹣2x+m，当y＝0时，﹣2x+m＝0，解得：x＝，∴点Q的坐标为（，0）．联立直线PQ和直线DE的解析式成方程组，得：，解得：，∴点R的坐标为（，）．∵点R为线段PQ的中点，∴点P的坐标为（，）．∵点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象上，∴﹣（）2+2×+3＝，整理，得：9m2﹣68m+84＝0，解得：m1＝6，m2＝，∴点P的坐标为（1，4）或（﹣，）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、中点坐标公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）巧设二次函数解析式，利用待定系数法求出a值；（2）分DG＝DM，GD＝GM两种情况，利用等腰三角形的性质求出点M的坐标；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m的一元二次方程．11．（2017•河南）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN 的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（舍去）或m＝0.5；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为0.5或﹣1或﹣．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．考点卡片1．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．2．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．。

随机事件与概率一、选择题1．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）A．B．C．D．2．有一副扑克牌，共52张（不包括大、小王），其中梅花、方块、红心、黑桃四种花色各有13张，把扑克牌充分洗匀后，随意抽取一张，抽得红心的概率是（）A．B．C．D．3．甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的球，已知甲箱内的红球占甲箱内球数的，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内球数的．小蓉将乙、丙两箱内的球全倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每球被取出的机会相等，则小蓉取出的球是红球的机率为何？（）A．B．C．D．4．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A．B．C．D．5．如图，在边长为1的正方形网格中，从A1，A2，A3中任选一点A n（n=1，2，3），从B1，B2，B3，B4中任选一点B m（m=1，2，3，4），与点O组成Rt△A n B m O，则tan∠A n B m O=1的概率是（）A．B．C．D．6．如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是（）A．B．C．D．二、填空题7．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球个．8．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是．9．同时掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率为．10．任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于．11．如图，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向红色的概率为．12．100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．13．若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是．14．如图，是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌，将它们洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，则抽出的牌点数小于9的概率为．15．三张扑克牌中只有一张黑桃，三位同学依次抽取，第一位同学抽到黑桃的概率为．16．任意掷一枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的面的数字大于2的概率是．17．如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是．18．五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．19．一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出红球的概率为．20．在一个不透明的盒子里装有白球和红球共14个，其中红球比白球多4个，所有球除颜色不同外，其它方面均相同，摇匀后，从中摸出一个球为红球的概率为．21．有6张背面完全相同的卡片，每张正面分别有三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形和圆，现将其全部正面朝下搅匀，从中任取一张卡片，抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为．22．桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球，小红不慎遗失了其中2个红球，现在从桶里随机摸出一个球，则摸到白球的概率为．23．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是．24．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为．25．如图，有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数：6，，，﹣2，．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数比3小的概率是．26．给出下列函数：①y=2x﹣1；②y=；③y=﹣x2．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当x＞1时，函数值y随x增大而减小”的概率是．27．若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“V”数，如756，326，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为．28．在一个不透明的盒子中放入标号分别为1，2，…，9的形状、大小、质地完全相同的9个球，充分混合后，从中取出一个球，标号能被3整除的概率是．三、解答题29．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．30．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？。

山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（提升题）一．分式的混合运算（共1小题）1．（2023•市南区二模）计算（1）化简：；（2）解不等式组：，并在数轴上表示出解集．二．分式方程的应用（共1小题）2．（2023•莱西市二模）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购进A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，那么本次进货商店花费成本最低为多少元？三．一元一次不等式的应用（共1小题）3．（2023•市南区二模）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？（2）该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？四．一次函数综合题（共1小题）4．（2023•莱西市二模）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：，两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（8，2）的“倾斜系数”k的值；（2）若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝6，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD 上任意一点，且点P的“倾斜系数”，请直接写出a的取值范围．五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）5．（2023•市南区二模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣1，n）和B，与y轴交于点C，过C作CD∥x轴，交反比例函数图象于D，连接AD，BD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求．六．二次函数的应用（共2小题）6．（2023•莱西市二模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据：x（米）01234y（米）0.5 1.25 1.5 1.250.5（1）在如图网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示y 与x函数关系的图象；（2）水柱最高点与水管的水平距离为m米，则m＝ ，并求y与x函数表达式；（3）公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由．7．（2023•市南区二模）某商场准备购进A、B两种商品进行销售，已知一件A种商品的进价比一件B种商品的进价多10元，且用16000元采购A种商品件数是用7500元采购B 种商品件数的2倍．（1）每件A种和B种商品的进价分别为多少元？（2）该商场预购进A，B两种商品共250件进行销售．其中A种商品件数不小于20件，且不大于B种商品件数．若B种商品的售价定为210元/件．A种商品的售价与A种商品销量之间的关系如下表所示：05101520⋯A种商品的销量240230220210200⋯A种商品的售价商场购进这两种商品能全部售出的前提下，请求出该商场销售这两种商品能获得的最大利润，并求出此时的进货方案．七．二次函数综合题（共1小题）8．（2023•市南区二模）如图1，在菱形ABCD中，AC、BD交于点E，BD＝16厘米，点F 在CE上，EF＝3厘米．点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿AE向点E匀速运动，用时8秒到达点E；点Q以m厘米/秒的速度沿EB向点B匀速运动．设运动的时间为x秒（0≤x≤8），△EFQ的面积为y1平方厘米，△PEQ的面积为y2平方厘米．（1）图2中的线段OH是y1与x的函数图象，则y1与x的函数关系式为 ，m的值为 ；（2）图2中的抛物线是y2与x的函数图象，其顶点坐标是（4．﹣12），求点P的速度及对角线AC的长；（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（O＜OG＜6，过G作MN垂直于x轴，分别交抛物线和线段OH于点M、N．①直接写出线段MN的长在图1中所表示的意义；②当0＜x＜6时，求线段MN长的最大值．八．三角形的重心（共1小题）9．（2023•市北区二模）如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，称△ABC这样的三角形为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝ ，b ＝ ；如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b ＝ ．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对a2，b2，c2三者之间关系的猜想，并利用图3证明a2，b2，c2三者之间的关系．九．全等三角形的判定与性质（共1小题）10．（2023•市南区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，∠CDA的角平分线交AC于E，交BC于F．AG∥BC交DE于G，连接AF，CG．（1）求证：AF＝BF．（2）若AC＝AB，判断四边形AGCF的形状，并说明理由．一十．菱形的性质（共1小题）11．（2023•市南区二模）《九章第术》勾股章[一五]问“勾股容方“描述了关于图形之间关系的问题：如图1，知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”）其文如下：题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？等：方三步，十七分步之九．术：并勾、股为法，勾、股相乘为实，实如法而一，得方一步．“题”、“答”、“术”的意思大致如下：问题：一个直角三角形两直角边的长分别为5和12，它的“所容正方形”的边长是多少？答案：．解法：（1）已知：如图在△ACB中，∠C＝90°，若AC＝b，BC＝a，则“所容正方形”DEFC 的边长为 ．请说明理由：（2）应用（1）中的结论解决问题：如图2，中山公园有一块菱形场地，其面积为19200m2，两条对角线长度之和为400m，现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为 ．一十一．菱形的判定（共1小题）12．（2023•青岛二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH∥BC交BE的延长线于H，连接CH与DH．（1）求证：△BCE≌△HOE；（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．一十二．四边形综合题（共1小题）13．（2023•莱西市二模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD，连接EM、EN、EF，EN交BD于点K，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：（1）证明：K是BD上的不动点，并确定其位置；（2）设五边形CDEFN的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得点E在MF的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．一十三．圆的综合题（共1小题）14．（2023•青岛二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm，点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC 于Q，连接PM，设运动时间为t（s），0＜t 5．（1）当四边形PQCM是平行四边形时，求t的值；（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在时刻t，使以PM为直径的圆与△ABC的边相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．一十四．作图—应用与设计作图（共1小题）15．（2023•青岛二模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图是一块木板下脚料，小明想用这块木板做一个菱形学具；请你帮他在木板上画出以∠A为一个内角且面积最大的菱形．一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）16．（2023•莱西市二模）某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，市政规定广告牌的高度不得大于8.5米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参照数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）17．（2023•市南区二模）如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处．某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东27°方向，B处在博物馆C的东南方向．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈2.45．）（1）请计算博物馆C到B处的距离；（结果保留根号）（2）博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）一十七．频数（率）分布直方图（共1小题）18．（2023•青岛二模）某校举办以“疫情中的距离与联系”主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）b：七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七年级76.5m八年级78.279请结合以上信息完成下列问题：（1）七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是 ，并补全频数分布直方图；（2）表中m的值为 ；（3）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．一十八．列表法与树状图法（共2小题）19．（2023•青岛二模）从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，用树状图或列表法求这2个数互质的概率．（互质是公约数只有1的两个整数）20．（2023•市南区二模）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为0.25．（1）直接写出袋中黄球的个数；（2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率．山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（提升题）参考答案与试题解析一．分式的混合运算（共1小题）1．（2023•市南区二模）计算（1）化简：；（2）解不等式组：，并在数轴上表示出解集．【答案】（1）；（2）﹣4≤x＜3．【解答】解：（1）原式＝÷（﹣）＝•＝；（2）解不等式（2﹣x）+x≤5，得：x≥﹣4，解不等式+1＞2x，得：x＜3，则不等式组的解集为﹣4≤x＜3，将解集表示在数轴上如下：二．分式方程的应用（共1小题）2．（2023•莱西市二模）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购进A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，那么本次进货商店花费成本最低为多少元？【答案】（1）购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元；（2）本次进货商店花费成本最低为1040元．【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝15，答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元；（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，依题意得：80﹣m≥4m，解得：m≤16，设进货成本为y元，由题意得：y＝15（80﹣m）+5m＝﹣10m+1200，∵﹣10＜0，∴y随m的增大而减小，∴当m＝16时，y有最小值＝﹣10×16+1200＝1040，答：本次进货商店花费成本最低为1040元．三．一元一次不等式的应用（共1小题）3．（2023•市南区二模）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？（2）该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？【答案】（1）小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元；（2）大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．【解答】解：（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：，解得：，答：小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元；（2）设大樱桃的售价为a元/千克，（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥（200×40+200×16﹣8000）×90%，解得：a≥41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．四．一次函数综合题（共1小题）4．（2023•莱西市二模）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：，两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（8，2）的“倾斜系数”k的值；（2）若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝6，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD 上任意一点，且点P的“倾斜系数”，请直接写出a的取值范围．【答案】（1）k＝4；（2）2；（3）＜a＜．【解答】解：（1）由题意得：k1＝＝4，k2＝＜k1，故k＝4；（2）k＝2＝，则a＝2b或b＝2a，当a＝2b时，由a+b＝6，则3b＝6，解得：b＝2，则a＝4，即点P（4，2）；当b＝2a时，同理可得，点P（2，4），则OP＝＝2；（3）设点A（m，m），则点B、C、D的坐标分别为（m+2，m）、（m+2，m+2）、（m，m+1），当P的“倾斜系数”时，临界点为点B、D，当点P和点B重合时，即k＝＝，则m＝，此时，a＝m+2＝；当点P和点D重合时，即k＝＝，则m＝，此时，a＝m＝；故＜a＜．五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）5．（2023•市南区二模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣1，n）和B，与y轴交于点C，过C作CD∥x轴，交反比例函数图象于D，连接AD，BD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求．【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝﹣；一次函数的解析式为y＝﹣x+；（2）．【解答】解：（1）把B代入，得：m＝﹣4，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；把A（﹣1，n）代入y＝﹣，得：n＝4，∴A（﹣1，4），把A（﹣1，4）、B代入y＝kx+b得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+；（2）作AE⊥y轴于E，BF⊥y轴于F，∵y＝﹣x+，∴C（0，），∵A（﹣1，4）、B，∴E（0，4），F（0，﹣），∴EC＝，CF＝4，∴＝＝＝．六．二次函数的应用（共2小题）6．（2023•莱西市二模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据：x（米）01234y（米）0.5 1.25 1.5 1.250.5（1）在如图网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示y 与x函数关系的图象；（2）水柱最高点与水管的水平距离为m米，则m＝　1.5　，并求y与x函数表达式；（3）公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由．【答案】（1）图象见解答；（2）1.5；抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+0.5；（3）公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求．【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：（2）由图1可得函数顶点为（2，1.5），∴水柱最高点距离湖面的高度为1.5米，∴m＝1.5，故答案为：1.5；根据图象可设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.5，将（0，0.5）代入y＝a（x﹣2）2+1.5，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1.5＝﹣x2+x+0.5；（3）设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+0.5+n，由题意可知，当横坐标为时2+＝3时，纵坐标的值不小于1.8+0.5＝2.3，∴﹣×（3）2+3+0.5+n≥2.3，解得n≥1.05，∴水管高度至少向上调节1.05米，∴1.05+0.5＝1.55（米），∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求．7．（2023•市南区二模）某商场准备购进A 、B 两种商品进行销售，已知一件A 种商品的进价比一件B 种商品的进价多10元，且用16000元采购A 种商品件数是用7500元采购B 种商品件数的2倍．（1）每件A 种和B 种商品的进价分别为多少元？（2）该商场预购进A ，B 两种商品共250件进行销售．其中A 种商品件数不小于20件，且不大于B 种商品件数．若B 种商品的售价定为210元/件．A 种商品的售价与A 种商品销量之间的关系如下表所示：A 种商品的销量05101520⋯A 种商品的售价240230220210200⋯商场购进这两种商品能全部售出的前提下，请求出该商场销售这两种商品能获得的最大利润，并求出此时的进货方案．【答案】（1）一件A 型商品的进价为160元，一件B 型商品的进价为150元；（2）该商场销售这两种商品能获得的最大利润为14600元，此时的进货方案是A 种商品进20件，B 种商品230件．【解答】解：（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x +10）元．由题意得：＝2×，解得x ＝150，经检验x ＝150是分式方程的解，∴x +10＝160，答：一件A 型商品的进价为160元，一件B 型商品的进价为150元；（2）设销售A 种商品销量m 件，则销售B 种商品（250﹣m ）件，根据题意可得：20≤m ≤250﹣m ，解得20≤m ≤125，由表格数据可知，A种商品的售价y与A种商品销量m之间的关系是一次函数，设A种商品的售价与A种商品销量之间的关系为y＝km+b，把m＝0，y＝240；m＝5，y＝230代入解析式得：，解得，∴y＝﹣2m+240，当m＝10时，y＝﹣2×10+240＝220；当m＝15时，y＝﹣2×15+240＝210；当m＝20时，y＝﹣2×20+240＝200；∴A种商品的售价与A种商品销量之间的关系为y＝﹣2m+240；设商场销售这批商品的利润为w元，根据题意得：w＝m（﹣2m+240﹣160）+（210﹣150）（250﹣m）＝﹣2m2+20m+15000＝﹣2（m﹣5）2+15050，∵﹣2＜0，∴当m＞5时，w随m的增大而减小，∵20≤m≤125，∴当m＝20时，w有最大值为w＝﹣2×（20﹣5）2+15050＝14600元；此时进货方案为：A种商品进20件，B种商品进230件；答：该商场销售这两种商品能获得的最大利润为14600元，此时的进货方案是A种商品进20件，B种商品230件．七．二次函数综合题（共1小题）8．（2023•市南区二模）如图1，在菱形ABCD中，AC、BD交于点E，BD＝16厘米，点F 在CE上，EF＝3厘米．点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿AE向点E匀速运动，用时8秒到达点E；点Q以m厘米/秒的速度沿EB向点B匀速运动．设运动的时间为x秒（0≤x≤8），△EFQ的面积为y1平方厘米，△PEQ的面积为y2平方厘米．（1）图2中的线段OH是y1与x的函数图象，则y1与x的函数关系式为　y1＝x　，m 的值为　1　；（2）图2中的抛物线是y2与x的函数图象，其顶点坐标是（4．﹣12），求点P的速度及对角线AC的长；（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（O＜OG＜6，过G作MN垂直于x轴，分别交抛物线和线段OH于点M、N．①直接写出线段MN的长在图1中所表示的意义；②当0＜x＜6时，求线段MN长的最大值．【答案】（1）y1＝x，1；（2）点P的速度为厘米/秒，AC的长为24厘米；（3）①线段MN的长的意义在图1中所表示S△PEQ﹣S△FEQ；②MN的最大值为．【解答】解：（1）由题意得：EQ＝mx厘米，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴y1＝EF•EQ＝×3mx＝mx，由图2知：H（8，12），∴×8m＝12，解得：m＝1，∴y1＝x，故答案为：y1＝x，1；（2）设y2＝a（x﹣4）2+12，把（0，0）代入得：16a+12＝0，解得：a＝﹣，∴y2＝﹣（x﹣4）2+12＝﹣x2+6x，由题意得：AP＝kx厘米，AE＝8k厘米，EQ＝x厘米，∴EP＝AE﹣AP＝（8﹣x）k厘米，∴y2＝EQ•EP＝kx（8﹣x）＝﹣kx2+4kx，∴4k＝6，解得：k＝，即点P的速度为厘米/秒．∴AE＝8k＝8×＝12（厘米），∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AE＝24厘米；（3）①由（1）（2）得：y1＝x，y2＝﹣x2+6x，设OG＝x，则0＜x＜6，则M（x，y2），N（x，y1），∴MN＝y2﹣y1，其中y1、y2分别表示△FEQ与△PEQ的面积，即图2中线段的长的意义在图1中表示△PEQ与△FEQ的面积差；②由①知：MN＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，0＜x＜6，∵﹣＜0，∴当x＝3时，MN的最大值为．八．三角形的重心（共1小题）9．（2023•市北区二模）如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，称△ABC这样的三角形为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　2　，b＝　2　；如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　2　，b＝　2　．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对a2，b2，c2三者之间关系的猜想，并利用图3证明a2，b2，c2三者之间的关系．【答案】（1）2，2，2，2；（2）a2+b2＝5c2，理由见解答．【解答】解：（1）如图1．连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝90°，当∠ABE＝45°，c＝2时，AP＝PB＝2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF＝AB＝，∴＝＝＝，∴PE＝PF＝1，由勾股定理得：AE＝＝＝，BF＝＝＝，∴b＝2AE＝2，a＝2BF＝2；如图2，连接EF，当∠ABE＝30°，c＝4时，在Rt△APB中，AB＝c＝4，∠ABE＝30°，∴AP＝AB＝2，PB＝2，∵EF∥BC，∴＝＝＝，∴PE＝，PF＝1，由勾股定理得：AE＝＝＝，BF＝＝＝，∴b＝2AE＝2，a＝2BF＝2；故答案为：2，2，2，2；（2）猜想：a2+b2＝5c2，理由如下：如图3，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，且EF＝AB＝c，∴＝＝＝，设PF＝m，PE＝n，∴AP＝2m，PB＝2n，在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝c2，在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（b）2，在Rt△FPB中，m2+（2n）2＝（a）2，∴a2+b2＝5c2．九．全等三角形的判定与性质（共1小题）10．（2023•市南区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，∠CDA的角平分线交AC于E，交BC于F．AG∥BC交DE于G，连接AF，CG．（1）求证：AF＝BF．（2）若AC＝AB，判断四边形AGCF的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解答；（2）四边形AGCF是正方形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，∠CDA的角平分线交AC于E，交BC于F，∴DE⊥AC，AE＝CE，∴AF＝CF，∴∠FCA＝∠FAC，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠FCA＝90°，∠FAB+∠FAC＝90°，∴∠B＝∠FAB，∴AF＝BF．（2）解：四边形AGCF是正方形，理由如下：∵AG∥BC，∴∠EAG＝∠ECF，在△EAG和△ECF中，，∴△EAG≌△ECF（ASA），∴AG＝CF，∴四边形AGCF是平行四边形，∵GF⊥AC，∴四边形AGCF是菱形，∵AF＝CF，AF＝BF，∴CF＝BF，∵AC＝AB，∴AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴四边形AGCF是正方形．一十．菱形的性质（共1小题）11．（2023•市南区二模）《九章第术》勾股章[一五]问“勾股容方“描述了关于图形之间关系的问题：如图1，知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”）其文如下：题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？等：方三步，十七分步之九．术：并勾、股为法，勾、股相乘为实，实如法而一，得方一步．“题”、“答”、“术”的意思大致如下：问题：一个直角三角形两直角边的长分别为5和12，它的“所容正方形”的边长是多少？答案：．解法：（1）已知：如图在△ACB中，∠C＝90°，若AC＝b，BC＝a，则“所容正方形”DEFC 的边长为 ．请说明理由：（2）应用（1）中的结论解决问题：如图2，中山公园有一块菱形场地，其面积为19200m2，两条对角线长度之和为400m，现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为　48　．【答案】（1）；（2）48．【解答】解：（1）连接CE，设正方形DEFC的边长为x，则DE＝EF＝x，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，∴S△ABC＝AC，∴x＝，故答案为：；（2）设菱形CDEF的两条对角线分别为CE＝2a，DF＝2b，则CE⊥DF，CO＝EO＝a，FO＝DO＝b，根据题意可得：，整理得：，若正方形MNGH为在这个菱形场地上修建的正方形花圃，则根据菱形和正方形的对称性可得GN⊥DF，GH⊥CE，则四边形OPGQ也为正方形，且这个正方形为直角三角形COF 的“所容正方形”，则由（1）的结论可得，这个正方形的边长＝＝48m，故答案为：48．一十一．菱形的判定（共1小题）12．（2023•青岛二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH∥BC交BE的延长线于H，连接CH与DH．（1）求证：△BCE≌△HOE；（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）矩形，理由见解析．【解答】（1）证明：∵OH∥BC，∴∠BCE＝∠HOE，∵E是OC的中点，∴CE＝OE，在△BCE和△HOE中，，∴△BCE≌△HOE（ASA）；（2）解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形，理由如下：由（1）可知，△BCE≌△HOE，∴BE＝HE，∵CE＝OE，∴四边形BCHO是平行四边形，∴CH＝OB，CH∥OB，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴CH＝OD，OC＝OD，∴四边形OCHD是平行四边形，又∵OC＝OD，∴平行四边形OCHD是菱形．一十二．四边形综合题（共1小题）13．（2023•莱西市二模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD，连接EM、EN、EF，EN交BD于点K，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：（1）证明：K是BD上的不动点，并确定其位置；（2）设五边形CDEFN的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得点E在MF的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）S＝24+6t﹣；（3）不存在，理由见解析．【解答】（1）证明：由题意可知：DE＝2t，BF＝t，在矩形ABCD中，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm，AD∥BC，在Rt△BCD中，BD＝＝10cm，∴cos∠DBC＝＝＝，又∵MN⊥BD，在Rt△FBN中，cos∠NBF＝cos∠DBC＝，∴，即BN＝＝，∴AD∥BC，∴∠DEK＝∠BNK，又∵∠EKD＝∠NKB，∴△DEK∽△BNK，∴，∵BD＝10cm，∴DK＝cm，BK＝cm，∴K位置与t无关，且K与D距离为cm．（2）解：过点K作PQ⊥AD，交AD于点P，交BC于点Q，∴PQ＝AB＝6cm，∵△DEK∽△BNK，且相似比为8：5，∴，∴PK＝cm，KQ＝cm，∵BF＝t，则FK＝BK﹣BF＝﹣t，∴DK：FK＝，∴S△DKE：S△FKE＝，∵S△DKE＝DE×PK＝2t×t，∴S△FKE＝，∵，∴S△FKE：S△FKN＝8：5，∵S△FNE＝S△FKE+S△FKN，∴S△FNE＝S△FKE＝，∵DE＝2t，BN＝t，则CN＝BC﹣BN＝8﹣t，∴S梯形CDEN＝（DE+CN）×CD＝，∴S＝S梯形CDEN+S△FNE＝（24+）+（），∴S＝24+6t﹣．（3）解：当ME＝NE时，点E在MF的垂直平分线上，过点E作EG⊥BD，垂足为G，∵DE＝2t，。

全国181套中考数学试题分类汇编33⽹格问题33⽹格问题⼀、选择题1.（浙江⾈⼭、嘉兴3分）如图，点A、B、C、D、O都在⽅格纸的格点上，若△COD是由△AOB 绕点O按逆时针⽅向旋转⽽得，则旋转的⾓度为（A）30°（B）45°（C）90°（D）135°【答案】C。

【考点】旋转的性质，勾股定理的逆定理。

【分析】△COD是由△AOB绕点O按逆时针⽅向旋转⽽得，由图可知，∠AOC为旋转⾓，可利⽤△AOC的三边关系解答：设⼩⽅格的边长为1，从图知，=AC=4。

从⽽OA，OC，AC满⾜OC2+OA2=AC2，∴△A OC是直⾓三⾓形，∴∠AOC=90°。

故选C。

2.（浙江⾦华、丽⽔3分）如图，在平⾯直⾓坐标系中，过格点A，B，C作⼀圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是A、点（0，3）B、点（2，3）C、点（5，1）D、点（6，1）【答案】 C。

【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理。

【分析】如图，根据垂径定理的性质得出圆⼼所在位置O（2，0），再根据切线的性质得出∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1）。

故选C。

3.（⼴西贺州3分）如图，在⽅格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格，B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针⽅向90o旋转，再右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针⽅向90o旋转，再右平移6格【答案】D。

【考点】平移和旋转变换。

【分析】根据平移和旋转变换的特点，直接得出结果。

故选D。

4.（⼴西南宁3分）在边长为1的⼩正⽅形组成的⽹格中，有如图所⽰的A 、B 两点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△A BC 的⾯积为1的概率为A ．3 25 B ．4 25 C ． 1 5 D ． 625【答案】D 。

一、选择题目1．（2017四川省南充市）如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A ．（1，1）B ．1） C ．D ．（1）2．（2017四川省广安市）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB =45，BD =5，则OH 的长度为（ ）A ．23B ．56C ．1D ．763．（2017四川省眉山市）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）A ．1.25尺B ．57.5尺C ．6.25尺D ．56.5尺4．（2017四川省绵阳市）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E ，标记好脚掌中心位置为B ，测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是50cm ，镜面中心C 距离旗杆底部D 的距离为4m ，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m ，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4cm ，则旗杆DE 的高度等于（ ）A ．10mB ．12mC ．12.4mD ．12.32m5．（2017四川省绵阳市）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC=AEO =120°，则FC 的长度为（ ）A ．1B ．2 CD6．（2017四川省绵阳市）如图，直角△ABC 中，∠B =30°，点O 是△ABC 的重心，连接CO 并延长交AB于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点M ，则MOMF 的值为（ ）A ．12 BC ．23 D7．（2017山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2017山东省枣庄市）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =4，AB =15，则△ABD 的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．609．（2017山东省枣庄市）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（ ）A．r << Br << C5r << D．5r <<10．（2017山东省济宁市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，将Rt △ABC 绕点A逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）A ． 6πB ． 3πC ．122π-D ． 1211．（2017广西四市）如图，△ABC 中，∠A =60°，∠B =40°，则∠C 等于（ ）A ．100°B ．80°C ．60°D ．40°12．（2017广西四市）如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠CAD 为△ABC 的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）A ．∠DAE =∠B B ．∠EAC =∠C C ．AE ∥BCD ．∠DAE =∠EAC 13．（2017广西四市）如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile 的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为（ ）A ．60√3nmileB ．60√2nmileC ． 30√3nmileD ．30√2nmile14．（2017江苏省连云港市）如图，已知△ABC ∽△DEF ，DE =1：2，则下列等式一定成立的是（ ）A．12BCDF B．12AD∠的度数∠的度数C．12ABCDEF△的面积△的面积D．12ABCDEF△的周长△的周长15．（2017河北省）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B 的度数相比（）A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%）D．没有改变16．（2017河北省）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的（）A． B． C． D．17．（2017浙江省台州市）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．2B．3C D．418．（2017浙江省台州市）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A ．AE =ECB ．AE =BEC ．∠EBC =∠BACD ．∠EBC =∠ABE 19．（2017浙江省绍兴市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米20．（2017浙江省绍兴市）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，∠ACF =∠AFC ，∠F AE =∠FEA ．若∠ACB =21°，则∠ECD 的度数是（ ）A ．7°B ．21°C ．23°D ．24°21．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =4，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交AB 于点F ，则AF 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．822．（2017湖北省襄阳市）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()221a b +=，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．623．（2017重庆市B 卷）已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A ．1：4 B ．4：1 C ．1：2 D ．2：124．（2017重庆市B 卷）如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米（点C 与点B 在同一水平面上），某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度（或坡比）i =1：2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米 二、填空题目25．（2017四川省南充市）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C旋转，给出下列结论：①BE =DG ；②BE ⊥DG ；③222222DE BG a b +=+，其中正确结论是（填序号）26．（2017四川省广安市）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，连接DE ，则△ADE 的面积是 ．27．（2017四川省眉山市）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB =8cm ，DC =2cm ，则OC = cm ．28．（2017四川省绵阳市）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA =5，AB =6，AB =1：3，则MD +12MA DN 的最小值为 ．29．（2017四川省绵阳市）如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM=13AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ．若AC =2，△AMH 的面积是112，则1tan ∠ACH的值是 ．30．（2017四川省达州市）△ABC 中，AB =5，AC =3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是 ．31．（2017山东省枣庄市）在矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，若AB =9，DF =2FC ，则BC = ．（结果保留根号）32．（2017山西省）如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，4），B （-1，1），C （-2，2）．将△ABC 向右平移4个单位，得到A B C '''∆，点A 、B 、C 的对应点分别为,,A B C '''，再将A B C '''∆绕点B '顺时针旋转90，得到A B C ''''''∆，点,,A B C '''的对应点分别为,,A B C ''''''，则点A ''的坐标为 ．33．（2017山西省）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB ，其中一名小组成员站在距离树10米的点E 处，测得树顶A 的仰角为54°．已知测角仪的架高CE =1.5米，则这颗树的高度为米（结果保留一位小数．参考数据：sin 540.8090=，cos540.5878=，tan 54 1.3764=）．34．（2017江苏省盐城市）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．35．（2017江苏省连云港市）如图，已知等边三角形OAB 与反比例函数ky x（k ＞0，x ＞0）的图象交于A 、B 两点，将△OAB 沿直线OB 翻折，得到△OCB ，点A 的对应点为点C ，线段CB 交x 轴于点D ，则BDDC 的值为 ．（已知sin15624）36．（2017河北省）如图，A ，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C ，连接CA ，CB ，分别延长到点M ，N ，使AM =AC ，BN =BC ，测得MN =200m ，则A ，B 间的距离为 m ．37．（2017浙江省丽水市）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ．38．（2017浙江省丽水市）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形I J KL 的边长为2，且I J ∥AB ，则正方形EFGH 的边长为．39．（2017浙江省绍兴市）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为m．40．（2017浙江省绍兴市）以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB、AC各相交于一点，再分别以两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D．若∠ADB=60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为．41．（2017湖北省襄阳市）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1，则∠BAC的度数为．42．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD的长为．三、解答题43．（2017四川省南充市）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．44．（2017四川省广安市）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．45．（2017四川省广安市）如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．46．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．47．（2017四川省眉山市）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．48．（2017四川省眉山市）如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．49．（2017四川省眉山市）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G 为CD 的中点，求HGGF 的值．50．（2017四川省绵阳市）如图，已知AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，与AC 平行的圆O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N ． （1）求证：CA =CN ；（2）连接DF ，若cos ∠DF A =45，AN=，求圆O 的直径的长度．51．（2017四川省达州市）如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB 、外角∠ACD 的平分线于点E 、F ． （1）若CE =8，CF =6，求OC 的长；（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．52．（2017四川省达州市）如图，信号塔PQ 座落在坡度i =1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ 落在斜坡上的影子QN 长为25米，落在警示牌上的影子MN 长为3米，求信号塔PQ 的高．（结果不取近似值）53．（2017四川省达州市）如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D ，过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 延长线于P 、Q ，连接BD ． （1）求证：PQ 是⊙O 的切线； （2）求证：BD 2=AC •BQ ；（3）若AC 、BQ 的长是关于x 的方程4x mx +=的两实根，且tan ∠PCD =13，求⊙O 的半径．54．（2017山东省枣庄市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．55．（2017山东省济宁市）如图，已知⊙O 的直径AB =12，弦AC =10，D 是BC 的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求AE的长．56．（2017山西省）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°．E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD=4cm，则EF的长为cm．57．（2017山西省）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C 的⊙O的切线交于点D．（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．58．（2017广东省）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．59．（2017广东省）如图，在平面直角坐标系中，抛物线b ax x y ++-=2交x 轴于A （1，0），B （3，0）两点，点P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP 与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线b ax x y ++-=2的解析式； （2）当点P 是线段BC 的中点时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，求sin ∠OCB 的值．60．（2017广东省）如图，AB 是⊙O 的直径，AB=E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：CB 是∠ECP 的平分线； （2）求证：CF =CE ；（3）当34CF CP =时，求劣弧BC 的长度（结果保留π）61．（2017广东省）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO 是矩形，点A ，C 的坐标分别是A （0，2）和C（0），点D 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连结BD ，作DE ⊥DB ，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ． （1）填空：点B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点D ，使得△DEC 是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：DEDB②设AD =x ，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．62．（2017广西四市）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE =DF ． （1）求证：AE =CF ；（2）若AB =6，∠COD =60°，求矩形AB CD 的面积．63．（2017江苏省连云港市）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB ．AC 上，且AD =AE ，连接BE 、CD ，交于点F ．（1）判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC ．64．（2017江苏省连云港市）如图，湿地景区岸边有三个观景台A 、B 、C ，已知AB =1400米，AC =1000米，B 点位于A 点的南偏西60.7°方向，C 点位于A 点的南偏东66.1°方向． （1）求△ABC 的面积；（2）景区规划在线段BC 的中点D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD ，试求A 、D 间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，c os60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41≈1.414）．65．（2017河北省）平面内，如图，在ABCD 中，AB =10，AD =15，tan A=43．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．（1）当∠DPQ =10°时，求∠APB 的大小；（2）当tan ∠A tan A =3：2时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留）．66．（2017浙江省丽水市）如图是某小区的一个健身器材，已知BC =0.15m ，AB =2.70m ，∠BOD =70°，求端点A 到地面CD 的距离（精确到0.1m ）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）67．（2017浙江省丽水市）如图，在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =16，DE =10，求BC 的长．68．（2017浙江省丽水市）如图1，在△ABC 中，∠A =30°，点P 从点A 出发以2c m /s 的速度沿折线A ﹣C ﹣B 运动，点Q 从点A 出发以a （c m /s ）的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示．（1）求a 的值；（2）求图2中图象C 2段的函数表达式；（3）当点P 运动到线段BC 上某一段时△APQ 的面积，大于当点P 在线段AC 上任意一点时△APQ 的面积，求x 的取值范围．69．（2017浙江省丽水市）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连接BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部，连接AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设ADn AE ．（1）求证：AE =GE ；（2）当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示ADAB 的值；（3）若AD =4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．70．（2017浙江省台州市）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84）71．（2017浙江省台州市）如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径． （1）求证：△APE 是等腰直角三角形； （2）若⊙O 的直径为2，求22PC PB +的值．72．（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程2520x x -+=，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A （0，1），B （5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D （请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹）； （2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程2520x x -+=的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程20ax bx c ++= （a ≠0，24b ac -≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P （m 1，n 1），Q （m 2，n 2）就是符合要求的一对固定点？73．（2017浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C 测得教学楼顶部D 的仰角为18°，教学楼底部B 的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB =30m ． （1）求∠BCD 的度数．（2）求教学楼的高BD ．（结果精确到0.1m ，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）74．（2017浙江省绍兴市）已知△ABC ，AB =AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD =AE ，设∠BAD =α，∠CDE =β．（1）如图，若点D 在线段BC 上，点E 在线段AC 上．①如果∠ABC =60°，∠ADE =70°， 那么α=_______，β=_______． ②求α、β之间的关系式．（2）是否存在不同于以上②中的α、β之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由．75．（2017重庆市B 卷）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数ky x（k ≠0）的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，点O 是线段CH 的中点，AC=cos ∠ACH，点B 的坐标为（4，n ）（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△BCH 的面积．76．（2017重庆市B 卷）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点E 是AC 上一点，连接BE ． （1）如图1，若AB =42，BE =5，求AE 的长；（2）如图2，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD 、CF ，当AF =DF 时，求证：DC =BC ．祝你考试成功!祝你考试成功!。

2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数一．选择题（共8小题）1．（2018•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根5．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 6．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5 7．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p ＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（）A．B．4C．2D．5 8．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．1二．填空题（共4小题）9．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．10．（2017•广州）当x＝时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值．11．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．12．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．三．解答题（共8小题）13．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？14．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．15．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2017•广州）已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．17．（2017•深圳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．18．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．19．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．20．（2018•广州）已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2018•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】函数及其图象．【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，进而解答即可．【解答】解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，A、abc＜0，错误；B、2a+b＝0，不是2a+b＜0，错误；C、当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴3a+c＝a﹣b+c＜0，所以C正确；D、由图可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3有一个交点，可得：ax2+bx+c﹣3＝0，此方程有一个实数根，错误；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y ＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．3．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．4．（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x＝1时，y＜0，可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对D进行判断．【解答】解：A．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故A正确；B．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故B正确；C．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，∵b＝2a，∴3a+c＜0，故C错误；D．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），∴函数有最大值n，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，故D正确．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．5．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．6．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y＝﹣5．【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可画出上图，∵抛物线对称轴x＝＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．7．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p ＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（）A．B．4C．2D．5【考点】二次函数的最值；代数式求值．【专题】二次根式；运算能力．【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝，当b＝3时，S有最大值为＝2．故选：C．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．8．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．1【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即．可得m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO＝1．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大．【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，则AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），∵DG∥BH，∴△ADG∽△ABH，∴，即．化简得：m＝ab．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，又∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠EAO，又∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB．∴，即，化简得ab＝1．则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．∵∠DCO＝90°，DO＝1，∴点C是在以DO为直径的圆上运动，∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴的距离最大．故选：A．【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值．二．填空题（共4小题）9．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大（填“增大”或“减小”）．【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．【解答】解：∵二次函数y＝x2，开口向上，对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y 轴，开口向上，此题难度不大．10．（2017•广州）当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值5．【考点】二次函数的最值．【专题】推理填空题．【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是多少．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，∴当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值5．故答案为：1、5．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．11．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+4x．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x故答案为y＝2x2+4x．【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．12．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝10.0mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，∵a＝3＞0，∴当x＝﹣＝10.0时，y有最小值，设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+x n）x+（x12+x22+…+x n2），∵n＞0，∴当x＝﹣＝时，w有最小值．故答案为10.0，．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．三．解答题（共8小题）13．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）通过表格数据可以判断y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设出函数解析式用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；（2）设该产品的销售利润为w，由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，∵﹣5＜0，∴当x＝13时，w最大，最大值为125（万元），答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．【点评】本题考查一次函数的性质及待定系数法求函数解析式，关键是根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积，列出函数关系式．14．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．【考点】二次函数的应用；分式方程的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x 元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，则，解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵x＜70时，y随x的增大而增大，∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．15．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】函数及其图象．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：，解得：，所以二次函数的解析式为：y＝x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°＝，设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，∴∠OCE＝60°，∴OE＝OC•tan60°＝3，设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M2（，﹣2），综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．16．（2017•广州）已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点（0，0）或（﹣2，0），y2经过（﹣2，0）和A，符合题意；当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），∴﹣＝﹣1，＝1或9，解得m＝﹣2，n＝0或8，∴y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x或y1＝﹣x2﹣2x+8；（2）①当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0，0）和（﹣2，0），∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，解得，∴y2＝5x+10．②当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0得x＝﹣4或2，∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，解得；∴y2＝x+．【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．17．（2017•深圳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF＝BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，OC＝2，∴S△ABC＝AB•OC＝×5×2＝5，∵S△ABC＝S△ABD，∴S△ABD＝×5＝，设D（x，y），∴AB•|y|＝×5|y|＝，解得|y|＝3，当y＝3时，由﹣x2+x+2＝3，解得x＝1或x＝2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；当y＝﹣3时，由﹣x2+x+2＝﹣3，解得x＝﹣2（舍去）或x＝5，此时D点坐标为（5，﹣3）；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝2，∴＝，即＝，解得OM＝2，＝，即＝，解得FM＝6，∴F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y＝kx+m，则可得，解得，∴直线BE解析式为y＝﹣3x+12，联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，∴E（5，﹣3），∴BE＝＝．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．18．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；函数思想；待定系数法；函数的综合应用；运算能力；应用意识．【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝1．【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为：（2，5）；（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x+1，由得：或，∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段EF上，∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m的代数式表示抛物线与直线交点的坐标．19．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE＝，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD＝30°，∠ADB＝45°，分∠ABP＝30°或∠ABP＝45°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，。

中考试题分类汇编—网格1．一青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为5，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点A，则所构成的封闭图形的面积的最大值是________.122.如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（C ）A．P1处B．P2处C．P3处D．P4处3．在下图的正方形网格中有一个直角梯形ABCD，请你在该图中分别按下列要求画出图形（不要求写出画法）：（1）把直角梯形ABCD向下平移3个单位得到直角梯形A1B1C1D1；（2）将直角梯形ABCD绕点D逆时针旋转180°后得到直角梯形A2B2C2D.4．如图，在网格中有一个四边形图案．(1)请你画出此图案绕点D顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；(2)若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形AA1A2A3的面积；(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论． 5． 解：(1)如图，正确画出图案(2)如图，123AA A A S 四边形=123AB B B S 四边形-43BAA S #=(3+5)2-4×12×3×5 =34 .故四边形似AA 1A 2A 3的面积为34．(3)结论：AB 2+BC 2=AC 2或勾股定理的文字叙述. 6．如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF 、MN 相交于中心点O ，对△ABC 分别作下列变换：①先以点A 为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A 的对应点为中心逆时针方向旋转90°；③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A 的对应点为中心顺时针方向旋转90°． 其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是（ D ）（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③7．请在如图方格纸中，画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后的图形. 如图8．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.(添加所有符合要求的正方形,添加的正方形用阴影表示.)AB COP QREFMN第10题A B CPoyx9.如图，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“马”的位置在图中的点P ．⑴写出下一步“马”可能到达的点的坐标 ； ⑵顺次连接⑴中的所有点，得到的图形是 图形（填“中心对称”、“旋转对称”、“轴对称”）； ⑶指出⑴中关于点P 成中心对称的点 ．解：（1）（0，0），（0，2），（1，3），（3，3），（4，2），（4，0） （2）轴对称（3）（0，0）点和（4，2）点；（0，2）点和（4，0）点10．如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后 组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动（ B ） Ａ．8格Ｂ．9格Ｃ．11格Ｄ．12格11．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于y 轴对称，那么点A 的对应（第7题图）点A'的坐标为（ D ）．A．(－4，2) B．(－4，－2)C．(4，－2) D．(4，2)12.在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是（ C ）A. 先向下移动1格，再向左移动1格;B. 先向下移动1格，再向左移动2格C. 先向下移动2格，再向左移动1格;D. 先向下移动2格，再向左移动2格13. 如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。