【最新】2013年中考数学总复习学案：第5课时 二次根式

二次根式教案（实用7篇）二次根式教案第1篇一、教学目标1．理解分母有理化与除法的关系．2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想二、教学设计小结、归纳、提高三、重点、难点解决办法1．教学重点：分母有理化．2．教学难点：分母有理化的技巧．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程【复习提问】二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：（1）（先乘除，后加减）．（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．（3）辨别有理化因式：有理化因式：与，与，与…不是有理化因式：与，与…化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？引入新课题．【引入新课】化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．例2 把下列各式的分母有理化：（1）；（2）；（3）解：略．注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．二次根式教案第2篇1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数)，可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1)，也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解法2);(2)如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.教学过程设计1.复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。

第5课时：二次根式【课前预习】（一）知识梳理1、平方根与立方根：①平方根定义；②算术平方根定义；③立方根定义．2、二次根式的有关概念：①二次根式定义；②最简二次根式；③同类二次根式；④分母有理化．3、二次根式的性质：①；（a ≥0）；② ()=2a （a ≥0）；③ =2a ；④ =ab （0,0≥≥b a ）； ⑤ =ba （0,0>≥b a ）. 4、二次根式的运算：①二次根式的加减；②二次根式的乘除．（注意：计算结果必须是最简二次根式）（二）课前练习1、16的平方根是_ __，-27的立方根是__ _，36的算术平方根是_ _.2、当x ______x ______时，代数式x -21有意义．3、下列根式：①②③④中不是．．最简二次根式的是 ．4、在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A C 5、已知012=-++b a ，那么2007)(b a +=__________；=-+-x x 22 ．6、化简：2)2(-= ，24= ，= ，312= ，321-= .7= ；=÷⨯263_________．8、如图，在数轴上点A 和点B 之间的整数是 ．【解题指导】例1 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？①()22+x ； ② 53--x x ； ③ xx ---512； ④ 32-+x x ； ⑤ 231--x ．例2 计算：（1）24－32＋23－2 16 ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷3232292443.例3 已知b a a b a b ==-求的值．【巩固练习】 1、下列计算正确的是（ ）=B 4= D 3=-2、设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（ ）A ．．2＝a D3、对于实数a 、b b -a ，则（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b4、使2-x 有意义的x 的取值范围是 ．5、25的平方根是 ，()24-的算术平方根是 ，16的算术平方根是_______.6、16-= ，412-= ，24）（- ．7、若最简根式1+x 和y 3是同类根式，则 x y +＝______.834请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来______________________9、化简或计算：(1) -3018⨯752⨯ (2)【课后作业】 班级 姓名一、必做题：1、函数y =x 的取值范围是（ ）A ．12x -≥B ．12x ≥C ．12x -≤D ．12x ≤22()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．33、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A B ． C D 4、 16的平方根是 ；函数y =自变量x 的取值范围是 ．5= ；= ；= ．6、当x ≤0时，化简1x -的结果是 ．7、有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？ （只需填字母）.A ．．2E ．08小的整数 .9、对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b =b a b a -+，如3※2=52323=-+． 那么12※4=10、计算：（1）（2）24616323252⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷（3)2；11、先化简再求值：33)225(423-=---÷--a a a a a ，其中.o二、选做题：12的值( )A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间 D ．在4到5之间2、若x y=xy 的值是（ ）A ．B ．C ．m n + D．m n -3、实数,,a b ca －b │．4、若y ＝3x －6＋6－3x ＋x 3，则10x ＋2y 的平方根为________；5、已知||6－3m ＋(n －5)2＝3m －6－（m －3）n 2，则m －n ＝________．6、计算12121...571351131-+++++++++n n .7、已知：a ＝12＋3，求a 2－1a ＋1－a 2－2a ＋1a 2－a 的值．。

二次根式教案二次根式教案一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

下面是店铺整理的关于二次根式教案，希望大家认真阅读!【1】二次根式教案【学习目标】1、知识与技能：了解二次根式的概念，能求根号内字母范围，理解二次根式的双重非负性，并能应用它解决相关问题。

2、过程与方法：进一步体会分类讨论的数学思想。

3、情感、态度与价值观：通过小组合作学习，体验在合作探索中学习数学的乐趣。

【学习重难点】1、重点：准确理解二次根式的概念，并能进行简单的计算。

2、难点：准确理解二次根式的双重非负性。

【学习内容】课本第2— 3页【学习流程】一、课前准备(预习学案见附件1)学生在家中认真阅读理解课本中相关内容的知识，并根据自己的理解完成预习学案。

二、课堂教学(一)合作学习阶段。

教师出示课堂教学目标及引导材料，各学习小组结合本节课学习目标，根据课堂引导材料中得内容，以小组合作的形式，组内交流、总结，并记录合作学习中碰到的问题。

组内各成员根据课堂引导材料的要求在小组合作的前提下认真完成课堂引导材料。

教师在巡视中观察各小组合作学习的情况，并进行及时的引导、点拨，对普遍存在的问题做好记录。

(二)集体讲授阶段。

(15分钟左右)1. 各小组推选代表依次对课堂引导材料中的问题进行解答，不足的本组成员可以补充。

2. 教师对合作学习中存在的普遍的不能解决的问题进行集体讲解。

3. 各小组提出本组学习中存在的困惑，并请其他小组帮助解答，解答不了的由教师进行解答。

(三)当堂检测阶段为了及时了解本节课学生的学习效果，及对本节课进行及时的巩固，对学生进行当堂检测，测试完试卷上交。

(注：合作学习阶段与集体讲授阶段可以根据授课内容进行适当调整次序或交叉进行)三、课后作业(课后作业见附件2)教师发放根据本节课所学内容制定的针对性作业，以帮助学生进一步巩固提高课堂所学。

四、板书设计课题：二次根式(1)二次根式概念例题例题二次根式性质【2】二次根式教案教材分析:本节内容出自九年级数学上册第二十一章第三节的第一课时，本节在研究最简二次根式和二次根式的乘除的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。

初三复习教案课 题：二次根式 教案设计教学目标：使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简.教学重点：二次根式的化简与计算.教学难点：二次根式的化简与计算.教学过程：一、知识要点：1．平方根：若x 2=a(a>0)，则x 叫a 做的平方根，记为a ±.注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；2．算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；3．立方根：若x 3=a(a>0)，则x 叫a 做的立方根，记为3a .4．同类二次根式： 化简后被开方数相同的二次根式.5．二次根式的性质： ①)0(≥a a 是一个非负数； ②)0()(2≥=a a a ③⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||)(2a a a a a a a ④)0,0(>≥=b a ba b a ⑤)0,0(≥≥⋅=b a b a ab6．二次根式的运算：（1）加、减；（2）乘、除二、例题分析：例1．下列二次根式27，121，211，12，其中与3是同类二次根式的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4例2．若最简二次根式2431212-+-a a 与是同类二次根式，求a 的值。

例3．化简： (1)2)23(-； (2)当a≤|12|441,212-++-a a a 化简时（3）已知a 为实数,化简a a a 13---, (4)化简二次根式a 21aa +-, 例4．（1）若633-=a ，求36122+-x x 的值。

(2)已知：x=53-，求962++x x 的值。

（3） 已知:a=321+,求01222)1()211(12a a a a a a a a ++----+-- 例4：把根号外的因式移到根号内： (1)aa 1； (2)11)1(---x x ； (3)x x 1-； (4) 21)2(--x x 例5．观察下列各式及其验证过程 232232+=.验证:2322122)12(2122)22(3222233+=-+-=-+-= 3833133)13(3133)33(83833:..8338322233+=-+-=-+-==+=验证 (1) 根据上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4154的变形结果并进行验证.(2) 针对上述各式反映的规律,写出用n(n 为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明.例6．计算： ①（)5.043()4483181--- ②2392393322-++++++xx x x x x （0<x<3） ③)23(6)13()26(+÷--⋅+④)2131(15+÷ ⑤y x xyy x y x xyx --+-++2三、小 结：师生共同归纳解题思路与方法四、同步练习：1． 已知．a<0，化简22)1(4)1(4aa a a -+-+-= 2．化简二次根式22a a a +-的结果是（ ） A ．2--a B.2---a C.2-a D.2--a 32，则a 的取值范围是( )A ．a ≥4B ．a ≤2C ．2≤a ≤4D ．a ＝2或a ＝44.化简并求值：22111a a a a a ----+，其中a = 5. 已知01132=--++b b a ，求a 3+b 3和a 2-ab+b 2的值.6.已知x=23+,求（23212+---x x x x ）÷211x -的值. 7.已知:x>0,y>0,且x-xy -2y=0,求y xy x yxy x --++值. 8.若a=4+3,b=4-3,求ab a a--ab a b+的值.9. 已知x 、y 为实数，若规定x *y=4xy,(1)求2*4; (2)若x *x+2*x-2*4=0,求x 的值；(3)若不论x 是什么实数，总有a *x=x,求a 的值.10.已知：571-=x ，571+=y 求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值。

《二次根式》教学教案《二次根式》教学教案（精选6篇）《二次根式》教学教案篇1一、内容和内容解析1、内容二次根式的概念。

2、内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念。

它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础。

教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义。

再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解。

本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1、教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要。

（2）了解二次根式的概念。

2、教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性。

（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围。

三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“ 的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数。

教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断。

本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性。

四、教学过程设计1、创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______。

（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130?，则它的宽为______。

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____。

二次根式复习课教案教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计一、复习1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．解因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．解注意：所以在化简过程中，例6分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a≤2 B．a≥2C．a≠2 D．a＜2A．x+2 B．-x-2C．-x+2 D．x-2A．2x B．2aC．-2x D．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

【2013年中考攻略】专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。

在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac <0时，方程无实数根。

反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b2－4ac <0。

因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根的判别式。

根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。

使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。

一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。

锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。

一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：典型例题：例1：（2012广西河池3分）一元二次方程2x2x20++=的根的情况是【】A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根【答案】D。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵2x2x20++=中，a=1，b=2，c=2，∴△22b4ac=2412=40<=--⨯⨯-。

∴2x2x20++=无实数根。

故选D。

例2：（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是【】A．方程1x+=2x-有两个不相等的实数根B．方程1x+=1x有两个不相等的实数根C ．方程1x+=2x 有两个不相等的实数根D ．方程1x+=a x（其中a 为常数，且a 2>）有两个不相等的实数根【答案】D 。

第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。

2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。

3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。

二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。

2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作，读作：根号a 。

3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。

一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。

三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。

开平方运算是已知指数和幂求底数。

2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。

3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。

考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a 的立方根（或三次方根）。

2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。

3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。

5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。

实数的概念一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】1.实数的有关概念(1)有理数: 和 统称为有理数。

(2)有理数分类①按定义分: ②按符号分:有理数()()0()()()()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩；有理数()()()()()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。

若a 、b 互为相反数，则 。

（4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。

（5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。

若a （a≠0）的倒数为1a.则 。

（6）绝对值：（7）无理数： 小数叫做无理数。

（8）实数： 和 统称为实数。

（9）实数和 的点一一对应。

2.实数的分类:实数3.科学记数法、近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个数记成±a³10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。

取近似数的原则是“四舍五入”。

（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。

（二）：【课前练习】1．|－22|的值是（ ）A ．－2 B.2 C ．4 D ．－4 2．下列说法不正确的是（ ）A ．没有最大的有理数B ．没有最小的有理数C ．有最大的负数D ．有绝对值最小的有理数()()()()()()()()()()()()⎧⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩零3．在(22sin 4500.2020020002273π⋅⋅⋅、、、这七个数中，无理数有（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个 4．下列命题中正确的是（ ）A ．有限小数是有理数B ．数轴上的点与有理数一一对应C ．无限小数是无理数D ．数轴上的点与实数一一对应5．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万 二：【经典考题剖析】1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．： 2．下列各数中：-1，0，169，2π，1.1010016.0, ,12-, 45cos ,- 60cos , 722,2,π-722.有理数集合{ …}； 正数集合{ …}； 整数集合{ …}； 自然数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}； 绝对值最小的数的集合{ …}； 3. 已知(x-2)2=0，求xyz 的值．．4．已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2求32122()2()mm a b cd m-+-÷的值5. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a ＞b ，化简a a b b a -+-- 三：【课后训练】2、一个数的倒数的相反数是115则这个数是（）A ．65B ．56C ．-65D ．－563、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A ．非负数 B ．非正数 C ．负数 D ．正数4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是 2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A ．代人法B ．换元法C ．数形结合D ．分类讨论5. 若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b=___________．0ba6.已知x y y x -=-，4,3x y ==，则()3x y +=7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km ，用科学计数法表示 (保留三个有效数字)8.当a 为何值时有：①23a -=；②20a -=；③23a -=-9. 已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2的相反数的负倒数，y 不能作除数，求20022001200012()2()a b c d yx+-++的值．10. （1）阅读下面材料：点 A 、B 在数轴上分别表示实数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|，当A 上两点 中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a －b|；当A 、B 两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A 、B 都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b －a=|a －b|； ②如图1－2－6所示，点A 、B 都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b －(－a)=|a －b|；③如图1－2－7所示，点A 、B 在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a －b|综上，数轴上 A 、B 两点之间的距离|AB|=|a －b| （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______. ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是________，如果 |AB|=2，那么x 为_________． ③当代数式|x+1|+|x －2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________. 四：【课后小结】实数的运算一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则(1)有理数加法法则：①同号两数相加，取________的符号，并把__________ ②绝对值不相等的异号两数相加，取___________的符号，并用 ____________。

邵东创新学校2013年中考数学复习计划一、第一轮复习（3-4周）1、第一轮复习的形式：“梳理知识脉络，构建知识体系”----理解为主，做题为辅（1）目的：过三关①过记忆关必须做到：在准确理解的基础上，牢记所有的基本概念（定义）、公式、定理，推论（性质，法则）等。

②过基本方法关需要做到：以基本题型为纲，理解并掌握中学数学中的基本解题方法，例如：配方法，因式分解法，换元法，判别式法(韦达定理)，待定系数法，构造法，反证法等。

③过基本技能关。

应该做到：无论是对典型题、基本题，还是对综合题，应该很清楚地知道该题目所要考查的知识点，并能找到相应的解题方法。

（2）宗旨：知识系统化在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块，使之形成结构。

①数与代数分为3个大单元：数与式、方程与不等式、函数。

②空间和图形分为3个大单元：几何基本概念（线与角），平面图形，立体图形③统计与概率分为2个大单元：统计与概率2、第一轮复习应注意的问题（1）必须扎扎实实夯实基础中考试题按难：中：易=1：2：7的比例，基础分占总分的70%，因此必须对基础数学知识做到“准确理解”和“熟练掌握”，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。

（2）必须深钻教材，不能脱离课本按中考试卷的设计原则，基础题都是送分的题，有不少基础题都是课本上的原题或改造。

（3）掌握基础知识，一定要从理解角度出发数学知识的学习，必须要建立逻辑思维能力，基础知识只有理解透了，才可以举一反三、触类旁通。

相对而言，“题海战术”在这个阶段是不适用的。

1、第二轮复习的形式：“突出重点，综合提高”----练习专题化，专题规律化（1）目的：融会贯通考纲上的所有知识点①进行专题化训练将所有考纲上要求的知识点分为为多个专题，按专题进行复习，进行有针对性的、典型性、层次性、切中要害的强化练习。

②突出重点，难点和热点的内容在专题训练的基础上，要突出重点，抓住热点，突破难点。

按照中考的出题规律，每年的重点、难点和热点内容都大同小异，。

x-=1 B．x≥-1 C ．下列各等式成立的是（5=8 5BACQP教学重点 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学难点 讲清如何解答应用题既是本节课的难点. 教具准备教 学 过 程主要教学过程个人修改【课堂引入】上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．【探索新知】【例题讲解】例1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值． 解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=35x 2=35 x=35所以35秒后△PBQ 的面积为35平方厘米． PQ=2222245535PB BQ x x x +=+==⨯=57答：35秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为57厘米． 例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．解：由勾股定理，得AB=22224220AD BD +=+==25BC=222221BD CD +=+=5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材． 【随堂练习】教材P19 练习3 【应用拓展】例3．若最简根式343a b a b -+与根式23226ab b b -+是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式23226ab b b -+不是最简二次根式，因此把23226ab b b -+化简成|b|·26a b -+，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．解：首先把根式23226ab b b -+化为最简二次根式：23226ab b b -+=2(216)b a -+=|b|·26a b -+由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩∴a=1，b=1 【归纳小结】本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 【课后练习】一、选择题X|k |b| 1 . c|o |m。

中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误！未找到引用源。

±错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n=-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质 1.0(0)a a ≥≥； 2.()2(0)a a a =≥； 3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b=≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >. 要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义， 而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式； （3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c 互为有理化因式.【典型例题】类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于 ． 【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1，∴x =1，故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三： 【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 . 【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，∴x=-3或x=3，由x-3≠0，得x≠3． 综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3． 【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 ． 【答案】若分式m x x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0， 设22y x x m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b a b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 【答案与解析】设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+=所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-=即2k =或()0,a b c ++=当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-. 【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.举一反三：【变式】已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc ab bc ac ++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+= 各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++⎪⎝⎭ 所以11131180a b c ++=， 所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y z y z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 【答案与解析】因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++）即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y+++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三：【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 【答案】 由已知得1,y z a x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z a x +++=, 所以1a x a x y z=+++, 同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值． 【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式， ∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】 方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=-整理得(1)10a x -=-.当a = 1 时,方程无解.当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 . 所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x解得x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解．答：乙单独整理80分钟完工．（2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（ ）A ．00253010(18060x x -=+）B ．00253010(180x x -=+）C ．00302510(18060x x -=+）D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为 ． 【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x 的范围．类型六、二次根式的运算7．（2015春•泗阳县期末）已知m 是的小数部分． （1）求m 2+2m+1的值；（2）求的值． 【答案与解析】 解：依题意得21m =-， 则121m=+ （1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=|1m m -|=|﹣1﹣（21+）|=2．【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•苏州模拟）计算：．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．。

新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网2013 年梅州市中考数学第一轮总复习第（9）课二次根式学校： ___________________姓名：___________________一、学习目标1、理解二次根式存心义的条件；2、掌握二次根式的性质与化简。

二、学习指导（用约5分钟时间复习知识点，以后用约10 分钟达成思虑题和达标题）三、复习（时间：约5分钟）1、二次根式存心义的条件（1）二次根式的定义：一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式存心义的条件：a≥0．2、二次根式的性质与化简（ 1）二次根式的基天性质：①两重非负性：被开方数 a 是非负数， a≥0；√a 自己是非负数，√a≥0；222② √a =|a| ，即√a =a （ a≥0）；√a =-a （ a<0 ）；√121=11 ；√144=12 ；√169=13 ；√196=14 ；√225=15 ；√256=16 ；√289=17 ；√324=18 ；√361=19③ ( √a) 2 =a（ a≥0）．（ 2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．（ 3）二次根式的化简：√8= √2× 4= √2× √4=2 √2 ；√12= √3 × 4= √3 × √4=2 √3①利用二次根式的基天性质进行化简；最常用：√4=2 ，√9=3 ，√25=5 ，√100=10 ．②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．（4）积的算术平方根性质：√a?b=√a?b√（ a≥0， b≥0）二次根式的乘法法例：√a?√b= √a?b（ a≥0， b≥0）商的算术平方根的性质：√a/b=√a/√b（ a≥0，b＞ 0）推论：√1/a =√a/a，如√1/5 =√5/5．二次根式的除法法例：√a/√b=√a/b（ a≥0， b＞ 0）（5）最简二次根式的观点：（ 1 ）被开方数不含分母；（ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．（6）同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，假如它们的被开方数同样，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．归并同类二次根式的方法：只归并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．√2+2 √2=3 √2（7）二次根式的加减法法例：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再归并同类二次根式．3、二次根式的分母有理化（ 1）分母有理化：是指把分母中的根号化去．分母有理化经常是乘二次根式自己（分母只有一项）或与原分母构成平方差公式．比如：① 1/√a= √a/√a?√a= √a/a ；② 1/（√a+ √b ）=（√a- √b）（/ √a+√b ）（√a- √b ）=√a- √b/a-b ．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不只一个．比如：√2-3 的有理化因式能够是√2+3 ，也能够是 a（√2+3 ），这里的 a 能够是随意有理数．四、达标题（时间：约10 分钟）1．（ 2012?镇江）若式子在实数范围内存心义，则x 的取值范围是（）A．x≥B．x＞C．x≥D．x＞2．（ 2012?肇庆）要使式子存心义，则 x 的取值范围是（）A ．x＞0B．≥﹣2C． x≥2D． x≤2x3．（ 2012?铜仁地域）当x_________时，二次根式存心义．4．（ 2012?三明）以下计算错误的选项是（）A．B．C ．D．5．（ 2012?青岛）计算：（﹣ 3）=_________．+6．（ 2012?梧州）计算：= _________．7．（ 2009?南昌）计算：=_________．五、师生议论（时间：约10 分钟）学校： ___________________姓名： ___________________成绩：____________________六、反应（时间：约 20 分钟）<一 >、必做题1．（ 2012?潍坊）假如代数式存心义，则 x 的取值范围是（）A ． x≠3B．＜3C．＞3D． x≥3x x2．（ 2012?盐城）若二次根式存心义，则 x 的取值范围是_________．3．（ 2012?南京）使存心义的 x 的取值范围是_________．4．（ 2012?宜昌）以下计算正确的选项是（）A．B．C．D．5．（ 2012?黔东南州）以下等式必定建立的是（）A ．B．C．D．=9 6．（ 2012?衡阳）计算﹣× =_________．7．（ 2010?安徽）计算：×﹣=_____ ____．8．（ 2011?南京）计算（+1）（ 2﹣） =_________．9．（ 2011?威海）计算的结果是________ _．10．（ 2008?荆门）计算：=_________．11．（ 2004?三明）计算=_________．12．（ 2012?大庆）计算：= _________．学校： ___________________姓名： ___________________成绩：____________________<二 >、选做题1．（ 2012?广西）使式子存心义的 x 的取值范围是（）A． x≥﹣ 1B．﹣ 1≤x≤2C． x≤2 D ．﹣ 1＜ x＜ 22．（ 2002?达州）计算（5+3）（ 5﹣ 2 ） = _________ ．3．（ 2007?泸州）化简：= _________ ．4．（ 2011?包头）化简二次根式：=_________ ．5．（ 2006?重庆）化简：= _________ ．6（． 2002?重庆）计算=_________．7．（ 2007?芜湖）定义运算“@”的运算法例为： x@y=，则（ 2@6 ）@8= _________．8．（2012?杭州）已知（a﹣）＜ 0，若 b=2 ﹣a，则 b 的取值范围是_________．9．（ 2011?凉山州）已知a、b 为有理数， m、n 分别表示的整数部分和小数部分，且2amn+bn =1，则 2a+b=______ ___．。