第一

定义3 称三元总体(triple)(, , P)为概率空间 (probability space)。 在概率空间(, , P)中，是随机试验研究的范围， 是所研究的对象-事件域，P是事件发生可能性的度 量。
例5 设是一个样本空间，A是的一个非空真子集， 事件域 ={, , A, A}，0<p<1, 记q=1-p，规定 P(A)=p, P(A)=1-p, P()=1, P()=0， 显然如此定义的集合函数P满足概率测度的定义，从 而(, , P)就是一个概率空间。称为Bernoulli空间。
【注】设为给定随机试验的样本空间， 为事件域， 则 (i) 。
(ii)
A
i 1

i
。
(iii) Ai 。
i 1nn(iv Nhomakorabea Ai 。
i 1
(v) A1-A2。 可以在同一样本空间上构造出许多不同的事件域。
例1 对任意给定的样本空间，若A, B, AB, 记 0={, }; 1={, , A, A,}； 2={, , A, A, B, B, AB, AB, AB, AB, A∪B A∪B, A∪B, A∪B, AB∪AB, AB∪AB}； 可验证0, 1, 2均为的事件域，并且0是中的最 小事件域，1是中包含A的最小事件域，2是中包 含A, B的最小事件域，且 012 A, B是的真子集，
i 1
A
i 1

i

A
i 1

i
。
。
A A A A
i 1 2 i 1
n i 1 2 n i 1
n
n
A A A A
A1-A2=A1A2 。
。
如上说明，只要满足条件(i),(ii),(iii)，则包含了在通 常意义上的所有事件。
【注】 1中包含了所有开(闭)集和有限(可列)点集等。
二、概率与概率空间 定义2 设为一给定的样本空间, 为中的一事件域， 如果定义在上的实值集函数 P: [0, 1] 满足(1)非负性：对任一A，P(A)0； (2)规范性：P()=1； (3)可列可加性：若A1, A2, …是中互斥的事件，则
引言 概率的统计定义、古典定义及几何定义给出了三 种计算概率的方法，各有一定的适用范围，但又都有局 限性。 为了深入研究概率的基本性质并加以应用，需要在上述 使它包含上述三种情况，又更具有广泛性。 19世纪末以来，数学的各个分支盛行着一股公理化 潮流，即主张引入尽可能少的基本概念，并把最基本的 假定公理化(只规定所定义的概念应满足的性质，而不 具体给出它的计算公式或计算方法)。
设Q为实数点集R 的有理点集，对于R中的点x, y， 规定: 若x-yQ，则记为xy，即x与y等价， 根据这一等价关系，将R中的一切点分类： 凡有等价关系者均属一类，例如 Q本身为其中一类，此外还有
{x 2 x Q}; { y 3 y Q}; {z z Q}, 等等

{x1 , x2 , x3 ,} {xi } 1
i 1
[ x, ) [ x, x n) 1
n 1

( x, ) [ x, ) {x}1 (, ) (, x] ( x, ) 1
[ x, y] (x, y ] {x} 1 (, y ) (, y] { y}1
k 1 k 1
P(A k ) 0
k 1
n
=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
性质3 设概率空间(, , P)，若A1, A2, …, An且 构成一完备事件组，即
n
A
k 1 n
k
, A i A j
i, j=1, 2, …, n, ij，
性质6 设概率空间(, , P)，对任意事件A, B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 【证】因A∪B=A∪(B-AB) P(A∪B)=P(A)+P(B-AB) =P(A)+P(B)-P(AB) 同理 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC) +P(ABC)。
由概率的非负性知，P()0，故由上式知 P()=0。
性质2 设概率空间(, , P)，若A1, A2, …, An且 互斥，则满足有限可加性： P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 【证】令An+1=An+2=…=，即有 AiAj=, ij， i, j=1, 2, … P(A1∪A2∪…∪An) P( A k ) P(A k )
P( A n ) P(A n )

则称P为上的一个概率测度(probability measure)，
n 1
n 1
简称概率(probability)，称P(A)为事件A的概率 (probability of event A)。 【注】下面将证明概率P将具有有限可加性，因此古典 概率、统计概率和几何概率都满足它，故由此推出的 任何结论对它们均适用。
定义1 设为一给定随机试验的样本空间， 为的某 些子集构成的集合类，如果满足 (i) ； (ii) 若A，则A (iii) Ai, i=1, 2, 3, …，则 Ai 。
i 1
则称为的一个事件域(field of events)，而称中的 元素为事件(event)。 【注】依测度论的观点，(, )是一个可测空间。
B A
【注】对任意事件A，P(A)1。 因为AS，得P(A)P(S)=1，即 0P(A)1。
性质5 设概率空间(, , P)，对任意两个事件A与B， 有 P(A-B)=P(A)-P(AB)。 【证】因为A-B=A-AB，其中ABA，所以 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)。
一、 事件域 引言 在古典概型中，只要分别算出随机事件A和样本 空间的样本点的样本点数，再取其比值，就可以计 算出事件A的概率了。 由于在中一共只有有限个样本点，所以对的任何子 集都可以求出概率。
在几何概型中，则要用到事件A和的Lebesgure测度 L(A)与L()取其比值。 对于线段， Lebesgure测度是长度，对于平面或空间 中规则的几何图形，它的Lebesgure测度就是面积或 体积。但是即使是平面上的一个规则的几何图形， 其子集也会是各种各样的，有些形状十分古怪的平面 图形，其面积是无法计算的，叫做Lebesgure不可测集。 甚至在实轴上也存在Lebesgure不可测集。例如
例4 设=R，称包含一切形如{(-, x]xR}的最小的 事件域称为一维博雷尔事件域(Borel, 1871-1956, 法国 数学家)，记为1，其中的元素(集合)称为一维博雷尔 集。 【注】由测度论知， 1中的元素(集合)都是可测的，称 称为Borel可测集，简称Borel集。
若x, y, x1, x2, …表示任意实数，因1是事件域，则
§1.5 概率的公理化定义及概率的性质
教学纲目 一 事件域 二 概率与概率空间 三 概率的性质
教学目标 10 理解事件域、概率及概率空间的定义； 20 理解和掌握概率的基本性质； 30 能够利用概率的性质求解相关问题； 教学重点 10 事件域、概率及概率空间的定义； 20 概率的基本性质； 30 利用概率的性质求解相关问题；
1 如果对每i，有 P (i ) n
则称(, , P)为古典概率空间。
例7 设样本空间 ={1, 2, …}为无限集，取为的 所有子集构成的集类，设p1, p2, …为一列非负实数， 满足p1+ p2+ …=1，对的每一个子集A，令
P (A)
i: i A

pi
可验证集合函数P满足概率测度的定义，从而(, , P) 是一个概率空间，称为离散概率空间。
定义的基础上，加以抽象、概括，给出严格的概率定义，
正是在这样的背景下，1900年，德国数学家希尔伯特 (Hibert, 1862-1943)提出要建立概率的公理化定义。 柯尔莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov, 1903-1987, 前苏 联数学家)综合前人的成果，抓住了概率三种具体定义 都具有非负性，规范性，可加性(有限或可列)这三条特 征作为公理，于1933年给出了概率的公理化定义，从而 使概率论有了坚实的基础，并为其蓬勃发展和广泛应 用开辟了道路。
在每一类中取出一元且只取出一元构成点集W，则 W是Lebesgure不可测集。
因此，就只能把随机事件限定为中的可以算出测度 的子集。 所以要来划定随机事件的范围，即明确中哪些子集 算为随机事件。要建立一些准则，且这些准则要少而 少而精，便于运用。
第一，可以算作事件，因为它一定发生，即P()=1, 第二，若A可以算作事件，则A表示A不发生，应作 事件。A是事件，所以P(A)可计算，而P(A)=1-P(A)。 第三，若A1, A2, A3……可以算作事件，则 至少有一个发生，所以它也应算作事件。
例6 设样本空间 ={1, 2,…, n}为有限集，取为 的所有子集构成的集类，设p1, p2, …, pn为n个非负实 数，满足p1+ p2+ …+ pn=1，对的每一个子集A，令
P (A)
i: i A

pi
显然如此定义的集合函数P满足概率测度的定义，从而 (, , P)就是一个概率空间。称为有限概率空间。
( x, y] （ , y ] （-,x]1 {x1 , x2 , , xn } {xi } 1
i 1 n
1 {x} ( x , x]1 n n 1
( x, y ) ( x, y ] { y} 1 [ x, y）（ x, y ) {x} 1
则有
P(A ) 1
i 1 i
【证】由有限可加性， 1=P()=P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。 特别地，对任意事件A，A与A构成一完备事件组， P(A)=1-P(A)。