初一数学多边形及镶嵌

初中数学——多边形与平面镶嵌一、选择题。

1.只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形2.一个四边形截去一个角后内角个数是（）A.3个B.4个C.5个D.3个或4个或5个3.已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（）A.3B.4C.5D.64.如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2√3，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）A.4√2B.4√3C.4D.65.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等且相互平分6.如果一个多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍，那么这个多边形的边数为（）A.4B.5C.6D.87.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )A. 4B. 5C. 6D. 78.一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数为 ( )A. 19B. 10C. 11D. 129.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 810.如图，一束平行太阳光线FA 、GB 照射到正五边形ABCDE 上，50ABG ∠=︒，则FAE ∠的度数是（ ）A.22︒B.32︒C.50︒D.130︒11.若一个五边形有三个内角都是直角，另两个内角的度数都等于α，则α等于( )A. 30B. 120C. 135D. 10812.已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）A.9B.10C.11D.12二、填空题。

13.若将多边形边数增加1倍，则它的外角和是__________度.14.一个多边形的每一个内角都是108°，你们这个多边形的边数是 ．15.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A ．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．B ．用计算器计算：sin15°32' （精确到0.01）16.若一个多边形的每个外角都是 72° ，则这个多边形是 边形.三、解答题。

七年级数学多边形的内（外）角和定理、平面图形的密铺与中心对称图形鲁教版【本讲教育信息】一. 教学内容：多边形的内（外）角和定理、平面图形的密铺与中心对称图形二. 学习重难点：多边形的内外角定理及应用是重点，而平面图形的密铺既是重点也是难点。

三. 知识要点讲解：想一想：你还记得三角形的内角和等于多少度吗？——（三角形的内角和等于180°）【探索多边形的内角和与外角和】1. 多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形（如图（2）），图（1）的多边形是凹多边形。

我们探讨的一般都是凸多边形.2、多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.3、多边形的命名与表示方法：（1）多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形如：三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.（2）多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图（3），可表示为五边形ABCDE，也可表示为五边形EDCBA。

4、多边形的内角和：探讨：（1）一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？（2）小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和。

你知道他们是怎么做的吗？思考：求五边形的内角和还有其他的方法吗？方法总结：在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形，进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.想一想：①从n边形的一个顶点出发可以作出几条对角线？________（n－3）条。

沪科版数学八年级下册19.4多边形的镶嵌教学设计课题19.4多边形的镶嵌单元第19章= 学科数学年级八年级下学习目标【知识与技能】了解镶嵌的数学思想及其应用．【过程与方法】经历探究利用一种正多边形以及任意多边形镶嵌的过程，增进应用数学的自信心；【情感态度与价值观】通过研究多边形镶嵌获得成功的体验和克服困难的经历，体会数学之美，认识数学的应用价值．重点镶嵌的含义及平面镶嵌条件的探究．难点怎样进行镶嵌．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课师：请同学们观看课件，这是生活中常见的镶嵌图案，体会数学的生活化。

师：请问拼接点处是否被瓷砖完全覆盖，有空隙吗？是否重叠？师：通过观察上面的地面及墙面，你发现它们有哪些共同特点？认真观察，积极思考并回答问题，通过生活场景到新课，讲授新课师：下面我们来描述一下平面镶嵌的定义：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，这在几何里叫做平面镶嵌。

平面镶嵌也叫密铺。

师：同学们注意各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠师：接下来我们来探索一下如何利用正多边形以及任意多边形进行平面镶嵌，探究一：师：请同学们拿出准备好的正多边形纸片，以小组为单位，试一试，用同一种正多边形（如正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）能否镶嵌成平面图案?（1）正三角形能平面镶嵌吗？师：请问在拼接点处角度之和为多少？正三角形能平面镶嵌（2）正方形能平面镶嵌吗？认真思考以及描述定义，在老师的引导下认真思考，积极探索平面镶嵌的有关内容学生拿手中正三边形进行实验并得出结论学生拿手中正方形进行实验并得出结论引出课题（板书）明确镶嵌含义通过分类讨论培养学生的逻辑思维能力学生通过拿手中的多边形进行实验探究得出结论，能够给学生加深印象，掌握知识点师：请问在拼接点处角度之和为多少？正方形能平面镶嵌（3）正五边形能平面镶嵌吗？正五边形不能平面镶嵌（4）正六边形能平面镶嵌吗？师：请问在拼接点处角度之和为多少？正六边形能平面镶嵌师：思考为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？师：由以上可得出结论：如果用一种正多边形可以进行镶嵌，那么每个内角学生拿手中正五边形进行实验并得出结论学生拿手中正六边形进行实验并得出结论都是360°的约数.所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能镶嵌．探究二：小明搬新家了,他的房间要自己设计,地板想用两种正多边形来镶嵌，帮忙设计一个方案吧？活动1：师：用边长相等的正三角形和正方形，能否镶嵌成平面图案？请你试一试！你知道正三角形及正方形各需要多少吗？解：设在一个拼接点周围有m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，则有m·60°+n·90°=360°2m+3n=12∵m,n 为正整数∴解为m=3.n=2需要三个正三角形及两个正方形镶嵌。

中考数学中的镶嵌问题解答镶嵌问题的关键是判断围绕一个点拼在一起的几个多边形的内角加在一起是否恰好是一个周角．如果能构成一个周角，则能镶嵌成一个平面，否则不能镶嵌．现以中考题为例加以说明．一、用同一种正多边形镶嵌例 1 某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）（A ）4种；（B ）3种 ；（C ）2种；（D ）1种．分析：解答此类问题的关键是求出各正多边形的内角度数，若内角度数是360°的约数，则这个正多边形能够进行平面镶嵌，否则不能进行平面镶嵌．解：由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数分别为60°、90°、108°、120°．显然，108°不是360°的约数，所以正五边形不能进行平面镶嵌．故应选C ． 评注：只用同一种正多边形进行平面镶嵌的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．二、用两种或两种以上正多边形组合镶嵌例2 一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．分析：本题是用三种正多边形平面镶嵌，并且一个顶点处每种正多边形只有一个的情形，不妨设所用的三种正多边形的边数分别为n 1、n 2、n 3，则有()111802n n ︒⋅-＋()221802n n ︒⋅-＋()331802n n ︒⋅-=360°，整理得，11n ＋21n ＋31n =21． 解：根据分析可知，11n ＋21n ＋31n =21，即41＋61＋31n =21．解得，n 3=12．所以第三个正多边形的边数是12．评注：（1）用两种正多边形组合镶嵌：通过计算会发现，正三角形分别与正四边形、正六边形、正十二边形等组合进行镶嵌；正四边形分别与正三角形、正八边形等组合进行镶嵌．（2）用三种正多边形组合镶嵌，且一个顶点处每种正多边形只有一个，则所用正多边形的边数应满足11n ＋21n ＋31n =21． 三、运用镶嵌探索规律例3 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个．分析：本题可从每次铺设地面中完整的圆的个数进行分析，按照由特殊到一般的数学解题方法来寻找规律．解：把如图所示的四个图案中完整的圆的个数列表如下，并对这些数据进行分析：完整圆的个数 第1个1=12＋（1－1）2 第2个5=22＋（2－1）2 第3个13=32＋（3－1）2 第4个25=42＋（4－1）2 …… n 个 n 2＋（n －1）2所以，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆的个数为：n 2＋（n －1）2= 102＋（10－1）2=181．评注：解决此类问题要把握住图案及图案中所反映出的数据之间的对应关系，通过观察、对比、归纳、猜想等方法，研究图案的变化规律，从而探索出数字的变化规律，进而找到问题的解决方法．。

中考数学知识点：多边形的定义及性质（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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第11章课题学习：镶嵌
平邑兴蒙学校刘兆伟【教学任务分析】
【教学环节安排】
1）由正三角形拼成的图案中,每个拼接点有6
教后反思：
1、数学来源于生活，反过来数学又有利于我们的生活。

因此，课堂气氛较好，学生学习的很认真，有兴趣.
2、用地砖铺地，用瓷砖贴墙都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖。

从数学角度看，这种问题就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题也称为用多边形覆盖平面或平面镶嵌的问题.单一的正多边形只有正三角形、正四边形或正六边形能进行平面镶嵌，六个相同的三角形、四个相同的四边形也能进行平面镶嵌。

3、本节课一开始学生学得轻松，愉快，后来学的有困难，主要是设计时，又顺手牵羊，进行了拓展，两种多边形进行镶嵌问题，三种多边形镶嵌问题；上升了难度，同时告诉学生，用数学的方法解决问题，把能不能镶嵌问题，转化为二元一次方程、三元一次方程有无正整数解得问题，并且用穷举法解出它的的正整数解。

4、数学老师的功夫体现在，能把复杂的课上的轻松，能把简单的课设计的有思想、有方法、有深度和广度.。

初一数学用正多边形铺设地面试题1.（2014•河北区一模）在正三角系，正方形，正五边形，正六边形这几个图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【解析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．解：A、∵正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，不合题意；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺，不合题意；C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，符合题意；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，不合题意．故选：C．点评：此题主要考查了平面镶嵌，根据镶嵌的条件，判断一种正多边形能否镶嵌，要看周角360°能否被一个内角度数整除：若能整除，则能进行平面镶嵌；若不能整除，则不能进行平面镶嵌．2.（2014•曲靖三模）若用同一种正多边形瓷砖铺地面，不能密铺地面的正多边形是（）A．正八边形B．正六边形C．正四边形D．正三边形【答案】A【解析】看哪个正多边形的一个内角的度数不是360°的约数，就不能密铺平面．解：A、正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°，不是360°的约数，不能密铺平面，符合题意；B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；C、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；D、正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意故选：A．点评：此题主要考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能密铺平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180﹣360÷边数．3.（2013•呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形【答案】C【解析】根据密铺的知识，找到一个内角能整除周角360°的正多边形即可．解：A、正十边形每个内角是180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；B、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；D、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；故选：C．点评：本题考查了平面密铺的知识，注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．4.（2013•花都区一模）只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【解析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．故选C．点评：考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．5.（2013•六盘水）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．正六边形C．正方形D．正五边形【答案】D【解析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．解：A、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C、正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D、正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．故选：D．点评：本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．6.（2013•漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是（）A．正方形B．正十边形C．正六边形D．等边三角形【答案】B【解析】根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正方形，正六边形，等边三角形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．∴不能铺满地面的是正十边形；故选B．点评：此题考查了平面镶嵌，用到的知识点是只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．7.（2012•新区二模）某同学设计如下四种正多边形的瓷砖图案，其中不能铺满地面的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】能够铺满地面的图形是看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．解：∵能够铺满地面的图形是内角能凑成360°，∵A正三角形一个内角60°，B正方形一个内角90°，C正五边形一个内角108°，D正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．故选：C．点评：本题考查了几何图形平面镶嵌（密铺）的基本性质，根据一种图形能平面镶嵌的性质得出是解题关键．8.（2012•隆昌县二模）能和正八边形一起铺满地面的是（）A．正十边形B．正六边形C．正四边形D．正三角形【答案】C【解析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解：∵正四边形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，90°+2×135°=360°，∴能铺满地面；故选：C．点评：此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．9.（2012•宜昌二模）只用一种完全相同的正多边形地板砖镶嵌地面，该地板砖的形状不能是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形【答案】D【解析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能镶嵌地面；B、正方形的每个内角是90°，4个能镶嵌地面；C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能镶嵌地面；D、正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能镶嵌地面．故选：D．点评：此题主要考查了能作为镶嵌的条件，判断一种正多边形能否镶嵌，要看周角360°能否被一个内角度数整除，若能整除，则能进行平面镶嵌，若不能整除，则不能进行平面镶嵌．10.用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x，y，z，则++的值为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为：++=360，两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，两边都除以2得，++=．故选C．点评：解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．。

初一数学课题学习镶嵌试题1.形状、大小完全相同的任意三角形、四边形能否单独作镶嵌_______(填“能”或“不能”)【答案】能【解析】本题考查了平面镶嵌的条件由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为360°时，就能镶嵌．任意三角形内角和为180°，用6个同一种三角形就可以在同一顶点镶嵌．而任意四边形的内角和是360°，只要放在同一顶点的4个内角和为360°，故能密铺．因为任意三角形的内角和为180°，所以，即拼接点处有6个角，能镶嵌；任意四边形的内角和是360°，只要放在同一顶点的4个内角和为360°，能镶嵌。

2.只用同一种正多边形铺满地面，请你写出一种这样的正多边形；___________.【答案】正边三角形（或正四边形，正六边形）【解析】本题考查了平面镶嵌的条件求出正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能密铺；正方形的每个内角是90°，能整除360°，4个能密铺；正六边形每个内角为120度，能整除360度，3个能密铺．3.图中几个图形都是由同一个长方形变化而来的，只用其中一种图形来铺地板，不能选用的个数为________ .【答案】【解析】本题考查了平面镶嵌的条件根据每个图形的特征即可判断得到结果。

观察图形可知每一个图形的缺口部分均恰好可以由本图上的部分补足，故不能选用的个数为4.某生产厂家因工作失误，使一批正方形瓷砖的一个角都受到了同样的损坏如图所示，在有人决定将这批瓷砖全部报废时，一位技术员设计了一个合理的方案，使这批瓷砖经过简单加工后又能铺地用了，请画图表示这位技术员的设计方案.【答案】如图所示：【解析】本题考查了平面镶嵌的条件可截去一部分变成一个有规律得图形，且边长正好能相互补足即可。

如图所示(提供两种设计方案)：5.不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为( )A．正八边形和正方形B．正五边形和正十边形C．正六边形和正三角形D．正六边形和正八边形【答案】D【解析】本题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否构成平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌．A、正方形和正八边形内角分别为90°、135°，由于90°+135°×2=360°，故能镶嵌；B、B、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，由于108°×2+144°=360°，故能镶嵌．C、C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60°×2+120°×2=360°，故能镶嵌；D、D、正六边形和正八边形内角分别为120°、135°，由于120m+135n=360，得，显然n取任何正整数时，m均不能取得正整数，故不能镶嵌．E、故选D．6.用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有个正三角形、个正六边形，则满足的关系式是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】本题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为，而正三角形和正六边形的每一个内角分别为、，根据题意可知，化简得到．故选D．7.用正三角形和正六边形镶嵌，在每个顶点处有_______个正三角形和_____ 个正六边形，或在每个顶点处有______个正三角形和________个正六边形.【答案】2，2；4，1【解析】本题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．∵正三边形和正六边形内角分别为、，又∵，或，∴在每个顶点处有2个正三角形和2个正六边形，或在每个顶点处有4个正三角形和1个正六边形.8.用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图3所示的规律，拼成若干个图案.（1）第四个图案中有白色地砖_______块；（2）第个图案中有白色地砖_______块.【答案】（1）；（2）【解析】本题考查了图形的规律性问题易得第一个图形中有6块白色地砖，找到其余图形中白色地砖的块数是在6的基础上增加几个4即可．第一个图形中有6块白色地砖；第二个图形中有块白色地砖；第三个图形中有块白色地砖；第4个图形中有块白色地砖；…第n个图形中有块白色地砖．9.为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【解析】本题主要考查了平面镶嵌（密铺）．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能镶嵌；B、正方形的每个内角是90°，4个能镶嵌；C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能镶嵌．故选C．10.列举几个你所见到的能够密铺的“基本单位”：_____、_____、_____．（至少写出三种）【答案】正三角形，正方形，正六边形【解析】本题主要考查了平面镶嵌（密铺）．用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．。

第14讲多边形和圆的初步认识1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；2.在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；3.能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.知识点1：多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：2.正多边形1.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形2.正多边形的每个内角n 1802(︒⨯-）n3.正多边形每个外角的度数：n360︒（3）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

3．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．多边形公式1.n边形一个顶点的对角线数：n-32.n边形的对角线总数：23-n）（n3.n边形的外角和：360°4.补充拓展：n边形截去一个角后得到n/n-1/n-2边形知识点2：圆及扇形1.圆的定义如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.注意：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作»AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”.如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.注意：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.考点1：多边形与正多边形的定义例 1.（2022春•肥城市期中）如图所示的图形中，属于多边形的有（）个．A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．故选：A．【变式1-1】（2022秋•朝阳区校级月考）下列平面图形中，属于八边形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、是六边形，故此选项不符合题意；B、是四边形，故此选项不符合题意；C、是八边形，故此选项符合题意；D、是圆，故此选项不符合题意．故选：C．【变式1-2】（河北）下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D．【变式1-3】（2019春•厦门期末）在四边形ABCD中，边AB的对边是（）A．BC B．AC C．BD D．CD【答案】D【解答】解：在四边形ABCD中，边AB的对边是CD．故选：D．考点2：多边形的对角线例2.（2022秋•大兴区期中）若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】D【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣3＝4，解得n＝7，故选：D．【变式2-1】（2022秋•江津区校级月考）若一个n边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则n是（）A．5B．8C．9D．10【答案】B【解答】解：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，∴n﹣3＝5，解得n＝8．故选：B．【变式2-2】（2022秋•昭阳区校级月考）过凸十边形的一个顶点发出的对角线有（）A．10条B．9条C．8条D．7条【答案】D【解答】解：由题意得10﹣3＝7，过凸十边形的一个顶点发出的对角线有7条．故选：D．【变式2-3】（2022秋•思明区校级期中）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】D【解答】解：如图，故选：D．考点3：多边形截去一个角的变形例3.（2021秋•驿城区校级期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（）A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8【答案】C【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选：C．【变式3-1】（2021秋•回民区校级月考）将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．3个或4个或5个【答案】D【解答】解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：因而还剩下3个或4个或5个角．故选：D ．【变式3-2】（2021秋•郧阳区期中）若一个多边形截去一个角后，变成十六边形，那么原来的多边形的边数为（）A ．15或16或17B ．16或17C ．15或17D ．16或17或18【答案】A【解答】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是15或16或17．故选：A ．考点4：圆的有关概念例4.（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解答】解：根据题意得，A 图象为圆．故答案为：A ．【变式4-1】（2022秋•涪城区期中）下列结论正确的是（）A ．半径相等的两条弧是等弧B ．半圆是弧C ．半径是弦D ．弧是半圆【答案】B【解答】解：A 、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；B 、半圆是弧，原结论正确；C 、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；D 、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；故选：B ．【变式4-2】（2022秋•启东市校级月考）下列说法中，不正确的是（）A ．过圆心的弦是圆的直径B ．等弧的长度一定相等C．周长相等的两个圆是等圆D．直径是弦，半圆不是弧【答案】D【解答】解：A．直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确；B．能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确；C．周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确．D．直径是弦，半圆是弧，故错误．故选：D．考点5：扇形的面积例5.（2022•温州模拟）若扇形的圆心角为60°，半径为4，则该扇形的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：扇形的面积＝＝，故选：C．【变式5-1】（2021秋•河西区期末）已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的面积是（）A．B．3πC．5πD．12π【答案】D＝＝12π，【解答】解：S扇形故选：D．【变式5-2】（2021秋•临漳县期末）如图，⊙O的半径为2，∠AOB＝90°，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．2πC．πD．【答案】C【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴S＝＝π，扇形故选：C．【变式5-3】（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是（）A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm2【答案】C【解答】解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，∴AD＝AB﹣BD＝15cm，∵∠BAC＝120°，﹣S扇形DAE∴扇面的面积S＝S扇形BAC＝﹣＝600π（cm2），故选：C．1．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（）A．12πB．6πC．4πD．2π【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∴，故选：B．2．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（）A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2【答案】D【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC＝﹣＝2.25πm2．故选：D．3．（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）A．9B．6C．3D．12【答案】A【解答】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCE＝45°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，∴，故选：A．4．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣3B．3π﹣C．2π﹣3D．6π﹣【答案】B【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO＝BO，∴四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AC＝3，∴OC＝3，AD＝AC＝，∴AB＝2AD＝3，﹣S菱形AOBC＝﹣3×3＝3π﹣，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB故选：B．5．（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm【答案】D【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，∴AF约为4mm，故选：D．6．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为60度．【答案】60．【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，则＝6π，解得：n＝60，即扇形圆心角的度数为60°，故答案为：60．7．（2022•河南）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为+．【答案】+．【解答】解：如图，设O′A′交于点T，连接OT．∵OT＝OB，OO′＝O′B，∴OT＝2OO′，∵∠OO′T＝90°，∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）＝﹣（﹣×1×）＝+．故答案为：+1．（2022春•博山区校级期中）下列图形中，是正八边形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由正八边形的定义可知，C选项中的图形是正八边形，故选：C．2．（2022秋•黄骅市校级期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．4或5B．3或4C．3或4或5D．4或5或6【答案】C【解答】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．故选：C．3．（2022春•龙胜县期中）在学习“平行四边形”一章时，小王的书上有一图因不小心被滴上了墨水，如图所示，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是（）A．等边三角形B．四边形C．多边形D．正方形【答案】D【解答】解：∵正方形具有矩形和菱形所有的性质，∴正方形既是矩形也是菱形．故选：D．4．（2022秋•夏津县期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（）A．30°B．35°C．36°D．45°【答案】C【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠E＝∠CDE＝＝108°，AE＝DE，所以，所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．故选：C．5．（2022秋•大荔县期末）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm【答案】B【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．6．（2023•杭州二模）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．2，2，2B．1，1，8C．1，2，2D．1，1，1【答案】A【解答】解：A、∵2+2+2＝6＞5，∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故此选项符合题意；B、∵1+1+5＝7＜8，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；C、∵1+2+2＝5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；D、∵1+1+1＝3＜5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；故选：A．7．（2022秋•天桥区期末）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣3＝5，解得n＝8，故选：B．8．（2023春•宝安区期末）过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】C【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，∴n﹣2＝5，即n＝7．故选：C．9．（2023•酒泉三模）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．πm2B．πm2C．πm2D．πm2【答案】D【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积＝＝πm2；小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，则面积＝＝（m2），则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．故选：D．10．（2023•平房区一模）扇形的圆心角为120°，半径为4，则扇形的面积为π．【答案】π．＝＝＝π．【解答】解：S扇形故答案为：π11．（2023•卧龙区一模）如图，以A为圆心AB为半径作扇形ABC，线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，若AB＝6，则阴影部分的面积是．（结果保留π）【答案】．【解答】解：连接DO，∵线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，AB＝6，∴∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，DO＝AO＝3，∴阴影部分的面积是：＝，故答案为：．12．（2023•盘龙区二模）已知扇形的半径是2cm，面积是cm2，那么扇形的圆心角是120度．【答案】120°．【解答】解：根据S＝＝πcm2，即＝解得n＝120°．所以扇形的圆心角为n＝120°．故答案为：120°．13．（2023•兴隆台区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB，如果OC ∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是2π．【答案】2π．【解答】解：连接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，＝S△OBD，∴S△OBC∵OC∥DB，＝S△CBD，∴S△OBD＝S△DBC，∴S△OBC∴图中阴影部分的面积＝＝2π，故答案为2π．14．（2023•临江市一模）⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为cm2．【答案】见试题解答内容＝＝cm2．【解答】解：S阴影故答案为cm2．15．（2023•孝感一模）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为9．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长＝BC+CD＝6，＝lr＝×6×3＝9．∴S扇形DAB故答案为：9．16．（2022秋•薛城区期末）探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条对角线；经过C点可以做1条对角线；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有2条对角线（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线；（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有条对角线．（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有35对角线．【答案】（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35．【解答】解：经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条；经过C点可以做1条；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线；（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有条对角线．（4）特例验证：十边形有＝35对角线．故答案为：（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35．。