等腰三角形和直角三角形(共83张PPT)

(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由. (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC. 【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定SAS可证明 △ABE≌△ACD,然后可得证.(2)根据(1)的结论和等腰三 角形的性质,可由线段垂直平分线的判定得证.
【自主解答】(1)∠ABE=∠ACD. 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD. 所以∠ABE=∠ACD.
_____3_____个．
图 4－2－27
6.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个 等腰三角形的周长为20或16. ( × ) 7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为5.
( √)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD, AB=BD,则∠B的度数为36°. ( √ )
图1
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图2
考点 2 直角三角形的性质和判定
5．(2011 年广东肇庆)在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°， BC＝12，AC＝9，则 AB＝1_5_______.
6．(2010 年广东汕头)如图 4－2－29，把等腰直角三角形 △ABC 沿 BD 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E 处．下面结论
【变式训练】 1.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上 一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( )
A.40° B.36° C.80° D.25°
【解析】选B.设∠C=x°,由于DA=DC,可得∠DAC=∠C =x°,由AB=AC可得∠B=∠C=x°.∴∠ADB=∠C+∠DAC =2x°,由于BD=BA,所以∠BAD=∠ADB=2x°,根据三角形 内角和定理,得x°+x°+3x°=180°,解得x=36.所以 ∠B=36°.
【变式】等腰三角形的一个内角是120°，则两外两个内角的度
数分别为
30°、30°；
方法：研究等腰三角形的角，分类讨论，用内角和验证
三、等腰三角形腰上的高问题
【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这条高与
底边的夹角的度数为+ 高在外部
A
D
A
A．10 B．
C5
D2.5
五、勾股定理及逆定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边长为c,那么_a_2_+_b_2=_c_2_. 2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满 足_a_2_+_b_2=_c_2_,那么这个三角形是直角三角形.
24．(2014·凉山中考)已知直角三角形的两边的长分别是 3和4，则第三边长为_5__或___7____.
2.(2017·黄冈中考)已知:如图,在正方形ABCD的外侧, 作等边三角形ADE,则∠BED=________度.
【解析】由题意得AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED= 60°.所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED= ∠AED∠AEB=60°-15°=45°. 答案:45
直角三角形
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD
=
.
【答案】3
【解析】∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB= 62 82 =10. ∴过D点作DE⊥AB，则DE=CD，AC=AE，
在Rt△DEB中，设DE=x，则BD=8－x，BE=AB－AE=4， 由勾股定理得(8－x)2=x2+42，解得x=3，即CD=3.
EF∥OB，EC⊥OB，若 EC＝1，则 EF＝____2__.
图 4－2－30
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边 上的中线,则CD的长是5. ( √ )
5.以4,5,6为边长,可以构成直角三角形. ( × )
9．(吉林长春中考)如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解 《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的 示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形， △ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角 形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为____10______.
错误的是( B ) A．AB＝BE
B．AD＝DC
C．AD＝DE D．AD＝EC
图 4－2－29
四川中考真题精练
命题点一 等腰三角形的性质及计算
1．(2017·雅安中考)如图所示，底边 BC 为 2 3，顶角 A 为 120°的等腰△ABC 中，
DE 垂直平分 AB 于点 D，则△ACE 的周长为( A )
7．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ C）
A．1,2,3
B．2,3,4 C．3,4,5 D．4,5,6
8．(2012 年广东广州)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，
BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是( A)
A.356
B.1225
C.94
D.3 4 3
9．(2012 年广东梅州)如图 4－2－30，∠AOE＝∠BOE＝15°，
(2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以 FB=FC. 又因为AB=AC, 所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上, 即直线AF垂直平分线段BC.
【答题关键指导】 1.判定等腰三角形的两种方法 (1)运用定义从边的角度去判断. (2)运用判定定理从角的角度判断.
3.(2017·内江中考)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足 为点D,DE∥AC. 求证:△BDE是等腰三角形.
【证明】∵DE∥AC,∴∠1=∠3. ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3. ∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°. ∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.
A．2＋2 3
B．2＋ 3
C．4
D．3 3
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六、命题、定理 1.互逆命题:如果两个命题的_题__设__和_结__论__正好相反, 我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一 个叫做原命题,那么另一个叫做它的_逆__命__题__. 2.互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就 是这个定理的逆定理,称这两个定理为_互__逆__定理.
【变式训练】
1.(2017·无锡中考)对于命题“若a2>b2,则a>b.”
下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题
的是 ( )
A.a=3,b=2
B.a=-3,b=2
C.a=3,b=-1
D.a=-1,b=3
考点一 等腰三角形的性质与判定 【示范题1】(2017·连云港中考)如图,已知等腰三角 形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连 接BE,CD,交于点F.
1．有一个内角是 60°的等腰三角形是(B )
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．以上都不是
2．如图 4－2－25，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，BD
为∠ABC 的平分线，则∠BDC 为( C )
图 4－2－25 A．55° B．65° C．75° D．85°
1．等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则
这个等腰三角形的周长为(C )
A．16
B．18
C．20 D．16 或 20
2．(2011 年广东茂名)如图 4－2－26，已知△ABC 是等边三
角形，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 CG＝CD，DF＝DE，
则∠E＝___1_5__°__.
图 4－2－26
3．(2010 年广东广州)如图 4－2－27，BD 是△ABC 的角平 分 线 ， ∠ ABD ＝ 36°， ∠ C ＝ 72°， 则 图 中 的 等 腰 三 角 形 有
考点二 等边三角形的性质与判定 【示范题2】(2017·淄博中考)在边长为4的等边三角 形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________.
【思路点拨】作AG⊥BC于点G,根据等边三角形的性 质得出∠B=60°,解直角三角形求得AG=2 3,根据 S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2 .3
3
_____4_____.
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四、直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的两个锐角_互__余__ (2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于 性质 斜边的_一__半__ (3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的 _一__半__ (1)定义法:有一个角是_直__角__的三角形 判定 (2)两个内角_互__余__的三角形
5. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得
AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（
）
A. 0.5 km B. 0.6 km C. 0.9 km D. 1.2 km
【答案】D
【解析】∵AC⊥BC，M是AB的中点，∴MC=1 AB=AM=1.2 km.
2
故选D.
定理 2.等腰三角形顶角_平__分__线__、底边上的中
线和底边上的_高__相互重合(简称“三线合
一”)
三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高互相____重__合___.如图2，如果AB＝AC，AD平分∠BAC， 那么可得AD___⊥_______BC，BD____＝_____CD；如果AB＝ AC，BD＝CD，那么可得AD______⊥___BC， ∠BAD____＝______∠CAD；如果AB＝AC，AD⊥BC，那么可 得BD______＝___CD，∠BAD______＝__∠CAD．