数值分析_第四版_李庆扬_课后答案[1-4章]_khdaw

0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j

j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk

x0

6 2 1 1 1 1
⑴ 2 3 1 ，求按模最大特征值和对应的特征向量，精确到小数三位。
解：由幂法公式有:
1i n
//P67 页
(1) | a r | max | a i | ,其中 ai 是uk −1 = (a1 , a2 , . . . , an )T 的各分量； (2) y k 1
∴ i t 为������ − ������������ 的特征值。 令 为 A 的特征向量，则有： A i 又∵ A tI A tI i t i t ∴ 也为������ − ������������ 的特征向量； ∴ i t 是 A tI 的特征值，且 A 和������ − ������������特征向量相同。
T
1
当计算到第 9 次时，λ 1 的小数点前三位精度开始稳定，满足题目要求，所以此时 A 矩阵的按模最大特 征值 1 =7.288，对应的特征向量为（1.000,0.523,0.242）T 5．若 A 的特征值为 1, 2 ,, n , t 是一实数，证明： i t 是 A tI 的特征值，且特征向量不变． 证明： ∵ A 的特征值为 ∴｜ i I A ｜=0 假设������是 A tI 的特征值，则有：
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ukT 1.000,1.000,1.000 9.000,6.000,3.000 7.6667,4.3333,2.000 7.3913,3.9565,1.8261 7.3177,3.8530,1.7824 7.2966,3.8231,1.7701 7.2906,3.8146,1.7666 7.2887,3.8119,1.7655 7.2882,3.9112,1.7652 7.2880,3.8109,1.7651 ykT 1.000,1.000,1.000 1.000,0.6667,0.3333 1.000,0.5653,0.2609 1.000,0.5353,0.2471 1.000,0.5265,0.2436 1.000,0.5240,0.2426 1.000,0.5232,0.2423 1.000,0.5230,0.2422 1.000,0.5229,0.2422 9.0000 7.6667 7.5913 7.3177 7.2966 7.2916 7.2887 7.2882 7.2880

14. 由于 x1 , x 2 , , x n 是 f ( x ) 的 n 个互异的零点，所以 f ( x) a 0 ( x x1 )( x x 2 ) ( x x n )
a 0 ( x xi ) a 0 ( x x j ) ( x xi ),
i 1 i 1 i j n n
4 7 h 3 时，取得最大值 max | l 2 ( x ) |
10 7 7 x 0 x x3 27 . k x , x , , x n 处进行 n 次拉格朗日插值，则有 6. i) 对 f ( x) x , (k 0,1, , n) 在 0 1 x k Pn ( x ) Rn ( x ) l j ( x) x k j
。
14．
1000000000 999999998 x1 1.000000, x2 1.000000 999999999 999999999 方程组的真解为 ，
x 1.00, x2 1.00 ， 而无论用方程一还是方程二代入消元均解得 1 结果十分可 靠。 s b sin ca a sin cb ab cos cc a b c tan c c s ab sin c a b c 15．
可 得
计
算
( f1 ) ln(1
( f 2 ) ln(1

x x 1
2
) )
1 ( x x 2 1) 60 104 3 103 2 x x 1 ，
2


x x 1
2

x x 1
2

1 1 104 8.33 107 60 2
。
(Y100 ) 100

令
f (x) = x ，则
0 = −1 + 2 x1 + 3 x2
令 f ( x ) = x 2 ，则
2 2 = 1 + 2 x12 + 3 x2
从而解得
⎧ x1 = −0.2899 ⎧ x1 = 0.6899 或⎨ ⎨ ⎩ x2 = 0.5266 ⎩ x2 = 0.1266
令 f ( x ) = x 3 ，则
∫
1
−1
f ( x)dx = ∫ x3 dx = 0
−1
1
[ f ( −1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3 ≠ 0
故
∫
1
−1
f ( x)dx = [ f (− 1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3不成立。
h
因此，原求积公式具有 2 次代数精度。 （4）若
7 h T8 = [ f ( a) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11140 2 k =1
复化辛普森公式为
7 7 h S8 = [ f ( a) + 4∑ f ( x 1 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11157 k+ 6 k=0 k =1 2 1
令 f ( x ) = x 2 ，则
b 1 3 3 2 f ( x ) dx = ∫a ∫a x dx = 3 (b − a ) b −a 1 3 3 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 )+ 32 f ( x (b − a ) 3 )+ 7 f ( x 4 )]= 90 3 b

第一章绪论设x>0,x 的相对误差为｛，求Inx 的误差.设x 的相对误差为2%,求x"的相对误差.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字：X ； = 1.1021, Xo = 0.031,%3 = 385.6, x ； = 56.430, x ； = 7x1.0.利用公式(3.3)求下列各近直的误差限：计算到Zoo .若取^783 ^27. 982 (五位有效数字),试问计算乙。

将有多大误差？ 求方程X 2-56X + 1 = 0的两个根，使它至少具有四位有效数字(^783 ~27. 982).当川充分大时，怎样求加1 + f ?正方形的边长大约为100 cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1 cm? ?设 2 假定&是准确的，而对r 的测量有±0.1秒的误差，证明当打曾加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.序列｝满足递推关系儿=1°儿-一1(n=l, 2,…)，若％ =血心141 (三位有效数字), 计算到X 。

时误差有多大?这个计算过程稳定吗？计算/ = (V2-1)6；取迈心1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？/•(x) = ln(x -二I),求并30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大?若 改用另一等价公式ln(%_ Jx 2 -1) = _ln(x + yjx 2 +1)计算.求对数时误差有多大？(x 1+101°^2=1010;已知三角形面积 2 其中c 为弧度，2，且测量a ,b ,c 的误差分别为△a,血Ac.证明面积的误差Av 满足S = -gt试用消元法解方程组假定只用三位数计算，问结果是否可靠?计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 设人=28,按递推公式第二章插值法根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令匕(X )*_i (Xo ，Xi ， ,X”_J(X_Xo ) (x_x”_i )当.¥= 1 , -1,2时,/(x)= 0 , -3,4 ,求/(>)的二次插值多项式. 给岀几t)=lnx 的数值表用线性插X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144求cos x 近似值时的总误差界.设Xj为互异节点(戶)，1,…，”),求证:工 X./. (x) = x k (k = 0,1,, “);i)切律任)三0伙= 1,2,ii) >° ，设畑乂2丽且/⑷=/(斫0,求证嘿声⑴叫(i)2嗨『创 在-4<%<4上给出/W =『的等距节点函数表.若用二次插值求『的近似值.要使截 断误差不超过10",问使用函数表的步长h 应取多少？若儿=2",求心及&儿.如果/(X )是加次多项式，记纣(劝=/任+〃) — /(*)，证明/(x)的£阶差分AV(x)((^ k< m 是m-k 次多项式，并且△ m+7w=o (/为正整数). 证明 ggk) = fASk + gk+Wk.〃一1〃一1^jfk^Sk =fnSn ~ foSo ~ 工 gp+lA/jr 证明7上=0n-1=Ay…-Ay ().证明若 /(.r) = «0 +^%+ + a n _x x n ~' + a n x n有”个不同实根斗,*2，证明15. 证明"阶均差有下列性质：1)若F(x) =(/(%)侧尸［兀,西，，暫］=</［兀，召，，兀”］；⑵若 F(x) = /(x) + g(x)侧 F ［x (),召，，£］ = /［毛,西，，x”］ + g|%o ，X ］, ,x…］16. /(劝"+八 3卄1,求/［2°2及/［2。

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实用教程》（第三版）清华（耿祥义张跃平）版课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6922&fromuid=9中文原版《编译原理》课后答案机械工业出版社李建中编/bbs/viewthread.php?tid=1847&fromuid=9计算机组成原理（教师用书）附带答案蒋本珊清华大学出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9254&fromuid=9《积分变换》张元林第四版东南大学答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5074&fromuid=9《马克思主义基本原理概论》课后答案（很全哦）（2008 年修订版）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6053&fromuid=9<计算机操作系统教程>清华大学第二版/第三版张尧学课后习题答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9091&fromuid=9<计算机网络教程> 谢希仁第二版人民邮电出版社课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=4862&fromuid=9/bbs/viewthread.php?tid=7785&fromuid=9vfp 数据库课后题答案/bbs/viewthread.php?tid=231&fromuid=9单片机基础第3 版李广第朱月秀冷祖祁编著北京航空航天大学出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=4271&fromuid=9电工学第六版 (秦曾煌著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_ricardo】/bbs/viewthread.php?tid=11241&fromuid=9《数据通信与计算机网络》高传善(第二版)高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6610&fromuid=9《计算机组成原理》唐朔飞第4，5 章课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1144&fromuid=9软件工程导论第五版 (张海藩著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=13716&fromuid=9初等数论第三版 (闵嗣鹤著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1508&fromuid=9《数据库系统概论》王珊萨师煊（第四版）高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5249&fromuid=9计算机数值方法 (施吉林著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=3903&fromuid=9离散数学耿素云屈婉玲课后答案/bbs/viewthread.php?tid=7839&fromuid=9数据结构---C 语言描述答案（耿国华）高教版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2094&fromuid=9软件工程导论课后答案/bbs/viewthread.php?tid=5172&fromuid=9数据结构(殷人昆主编)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3077&fromuid=9《c 程序设计语言》英文第2 版课后答案严蔚敏数据结构例题算法代码/bbs/viewthread.php?tid=1031&fromuid=9国防科学技术大学计算机学院离散数学课后习题答案/bbs/viewthread.php?tid=100&fromuid=9计算机网络-自顶向下方法与Internet 特色第三版英文课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2495&fromuid=9《计算机组成原理》白中英第三版课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=3423&fromuid=9数据结构（C++版）王红梅，胡明，王涛版课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=4426&fromuid=9清华版编译原理【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1027&fromuid=9微机原理与接口技术-基于IA-32 处理器和32 为汇编语言 (钱晓捷著) 机械工业出版社课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5668&fromuid=9《离散数学》左孝凌,刘永才上海科学技术文献出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5236&fromuid=9网络操作系统课后答案/bbs/viewthread.php?tid=430&fromuid=9《点集拓扑讲义》高教（熊金城）版课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6441&fromuid=9数学分析第二版 (陈传章著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2442&fromuid=9软件工程【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3072&fromuid=9操作系统教程第4 版 (张钟秀著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=7703&fromuid=9信息论与编码技术--冯桂林其伟陈东华--清华大学出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=3332&fromuid=9编译原理课程设计报告（词法，语法等）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2514&fromuid=9微机原理与接口技术楼顺天，周佳社科学出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5304&fromuid=9《单片机原理及接口技术》梅丽凤清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5538&fromuid=9数据库系统概论_王珊、萨师煊第四版（chm 格式）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=6403&fromuid=9数字逻辑答案第三版(华中科大欧阳星明)/bbs/viewthread.php?tid=6833&fromuid=9算法导论（英文版）答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2792&fromuid=9数学物理方法第三版 (梁昆淼著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=2398&fromuid=9微型计算机原理与接口技术 (周荷琴吴秀清著) 课后答案/bbs/viewthread.php?tid=4086&fromuid=9《工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=7219&fromuid=9复变函数答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6557&fromuid=9复变函数与积分变换 (马柏林著) 复旦大学课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=14749&fromuid=9计算机操作系统教程（第二版）左万历周长林【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1690&fromuid=9计算机组成原理（唐朔飞）答案高等教育出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8804&fromuid=9信息论与编码陈运电子工业出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2828&fromuid=9计算机网络英文原版（第4 版）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3239&fromuid=9《数据库系统概念》（第五版影印版）高级教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5283&fromuid=9离散数学 (王义和著) 哈尔滨工业大学出版社课后答案【khdaw_ricardo】/bbs/viewthread.php?tid=5724&fromuid=9IBM-PC 汇编语言程序设计（沈美明2 版）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5203&fromuid=9《C 程序设计解题与上机指导》谭浩强第二版清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1551&fromuid=9《组合数学》第四版机械工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=4346&fromuid=9《计算机英语（第2 版）》参考译文与习题解答【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=2963&fromuid=9C 语言程序设计教程杨路明北京邮电大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10074&fromuid=9《数据库系统及应用》崔魏（第二版）高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2482&fromuid=9编译原理第三板 (陈火旺刘春林著) 国防工业课后答案/bbs/viewthread.php?tid=7680&fromuid=9《SQL SERVER 2005 数据库开发与实现》微软公司课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1335&fromuid=9信号与线性系统管致中第4 版答案/bbs/viewthread.php?tid=6729&fromuid=9《计算机算法基础》（第三版）华中科技大4、5、6、8 章课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=4348&fromuid=9计算机系统结构第二版清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=5370&fromuid=9《visual basic》课后作业答案【khdaw_lxywyl】常微分方程（张禾瑞）第三版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1654&fromuid=9《数学分析》陈传璋课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2217&fromuid=9高等几何梅学明高教版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5698&fromuid=9数学分析高教出版社第二版复旦数学系主编/bbs/viewthread.php?tid=3025&fromuid=9编译原理第三版西北工业大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5614&fromuid=9数值分析数值计算方法曾金平湖南大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9628&fromuid=9C 语言程序设计 (何钦铭颜晖著) 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华东师范大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=13939&fromuid=9《复变函数论》张锦豪邱维元版高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5919&fromuid=9算法导论原书第二版 (潘金贵顾铁成李成法著) 机械工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=12100&fromuid=9张禾瑞的＜＜近世代数基础＞＞的答案/bbs/viewthread.php?tid=1540&fromuid=9c++程序设计/bbs/viewthread.php?tid=5608&fromuid=9《概率论与统计学》浙大出版社（复习指南）课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=4871&fromuid=9计算机基础课后答案(浙江科学出版社)/bbs/viewthread.php?tid=2014&fromuid=9《C 语言程序设计》张世禄，潘大志，冯天敏电子工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2568&fromuid=9C 语言程序设计(洪维恩)课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=1955&fromuid=9《计算机组成原理》白中英第四版科学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6433&fromuid=9微机原理与接口技术第 4 版 (周荷琴，吴秀清著) 中国科学技术大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=15151&fromuid=9数值计算课后答案（清华大学出版）/bbs/viewthread.php?tid=5246&fromuid=9java 程序设计【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7541&fromuid=9《高等数值分析》清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5692&fromuid=9数据与计算机通信（第七版） William Stallings 等【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5201&fromuid=9数值方法第二版 (金一庆陈越著) 机械工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=11539&fromuid=9高等代数北师大高教第三版张和瑞【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8607&fromuid=9微波技术与天线(第二版) 王新稳李萍李延平编电子工业出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6534&fromuid=9数据结构（陈慧南编 C＋＋描述）南京邮电大学课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9506&fromuid=9四川大学出版社编的离散数学教程答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7402&fromuid=9计算机组成原理（白中英版）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=3243&fromuid=9现代微型计算机与接口教程课后答案杨文显主编寿庆余副主编【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7964&fromuid=9C 语言程序设计 3-5 章部分程序题答案杨路明北京邮电大学出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8775&fromuid=9《操作系统》汤子赢西安电子科技大学答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6055&fromuid=9数据库原理与应用教程第二版陈志泊人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9933&fromuid=9数据结构与算法分析（C++ 第二版）Clifford A. 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第一章 绪论1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

第一章习题解答1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。

3.14,7/100)4(143.0,7/1)2(0031.0,1000/)3(1.3,)1(========x a x a x a x a ππ试估计x 的绝对误差和相对误差。

解：（1）0132.00416.01.3≈=≈−=−=aee x a e r π （2）0011.00143.0143.07/1≈=≈−=−=a ee x a e r （3）0127.000004.00031.01000/≈=≈−=−=aee x a e r π （4）001.00143.03.147/100≈=≈−=−=aee x a e r2、已知四个数：001.0,25.134,0250.0,3.264321====x x x x 。

试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算3211x x x =μ和1431/x x x =μ的相对误差限。

解：21111121101901.0,1021,3,10263.06.23−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ22214212102.0,1021,3,10250.00250.0−−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ 43332333103724.0,1021,5,1013425.025.134−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ 5.0,1021,1,101.0001.04443424==⨯==⨯==−−x x x x n x r δδδ 由相对误差限公式：i r ini n in ni i ir x x fx x f x x x f x x f u δδδ∂∂=∂∂=∑∑==1111),,(),,()(所以有：232123113211103938.0)(1)(−⨯≈++=x x x x x x x x x r δδδμμδ4971.0)(1)(4133141214311≈++−=x x x x x x x x x x r δδδμμδ 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。

课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

第一章1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x r δεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε， 相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x n r ==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k k εεεε；（3）*4*2/x x 。

第四版数值分析习题第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()nx ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii) (0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取r,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005. 16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数. 17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x=在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()nn x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.2y a bx =+.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

包含工大硕士生数值分析课上机试验所有试题及答案 实验一：非线性方程求解 程序1：二分法： syms f x;f=input('请输入f(x)=');A=input('请输入根的估计范围[a,b]='); e=input('请输入根的误差限e='); while (A(2)-A(1))>e c=(A(1)+A(2))/2; x=A(1); f1=eval(f); x=c;f2=eval(f); if (f1*f2)>0 A(1)=c; elseA(2)=c; end endc=(A(1)+A(2))/2;fprintf('c=%.6f\na=%.6f\nb=%.6f\n',c,A)用二分法计算方程：1．请输入f(x)=sin(x)-x^2/2请输入根的估计范围[a,b]=[1,2] 请输入根的误差限e=0.5e-005 c=1.404413 a=1.404411 b=1.4044152．请输入f(x)=x^3-x-1请输入根的估计范围[a,b]=[1,1.5] 请输入根的误差限e=0.5e-005 c=1.324717 a=1.324715 b=1.324718程序2：newton 法： syms f x;f=input('请输入f(x)=');w ww .k hd aw .c o m课后答案网df=diff(f);x0=input('请输入迭代初值x0='); e1=input('请输入奇异判断e1='); e2=input('请输入根的误差限e2='); N=input('请输入迭代次数限N='); k=1;while (k<N) x=x0; if abs(eval(f))<e1fprintf('奇异!\nx=%.6f\n 迭代次数为:%d\n',x0,k) break elsex1=x0-eval(f)/eval(df); if abs(x1-x0)<e2fprintf('x=%.6f\n 迭代次数为:%d\n',x1,k) break elsex0=x1; k=k+1; end end end if k>=Nfprintf('失败\n') end用newton 法计算方程： 1．请输入f(x)=x*exp(x)-1请输入迭代初值x0=0.5请输入奇异判断e1=0.1e-010 请输入根的误差限e2=0.5e-005 请输入迭代次数限N=10 x=0.567143 迭代次数为:42．请输入f(x)=x^3-x-1请输入迭代初值x0=1请输入奇异判断e1=0.1e-010 请输入根的误差限e2=0.5e-005 请输入迭代次数限N=10w ww .k hd aw .c o m课后答案网x=1.324718 迭代次数为:53.1：请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.45 请输入奇异判断e1=0.1e-010 请输入根的误差限e2=0.5e-005 请输入迭代次数限N=10 x=0.500000 迭代次数为:43.2：请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.65 请输入奇异判断e1=0.1e-010 请输入根的误差限e2=0.5e-005 请输入迭代次数限N=10 x=0.500000 迭代次数为:93.3：请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.55 请输入奇异判断e1=0.1e-010 请输入根的误差限e2=0.5e-005 请输入迭代次数限N=10 x=0.500000 迭代次数为:4程序3：改进的newton 法： syms f x;f=input('请输入f(x)='); df=diff(f);x0=input('请输入迭代初值x0='); e1=input('请输入奇异判断e1='); e2=input('请输入根的误差限e2='); N=input('请输入迭代次数限N='); k=1;while (k<N) x=x0; if abs(eval(f))<e1fprintf('奇异!\nx=%.6f\n 迭代次数为:%d\n',x0,k) break elsew ww .k hd aw .c o m课后答案网x1=x0-2*eval(f)/eval(df); if abs(x1-x0)<e2fprintf('x=%.6f\n 迭代次数为:%d\n',x1,k) break elsex0=x1; k=k+1; end end end if k>=Nfprintf('失败\n') end用改进的newton 法计算方程： 1．请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.55 请输入奇异判断e1=0.1e-010 请输入根的误差限e2=0.5e-005 请输入迭代次数限N=10 失败2．请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.55 请输入奇异判断e1=0.1e-010 请输入根的误差限e2=0.5e-005 请输入迭代次数限N=20 失败3．请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.55 请输入奇异判断e1=0.1e-010 请输入根的误差限e2=0.5e-005 请输入迭代次数限N=100 失败实验二：Gauss 列主元消去法 程序1：Gauss 列主元消去法A=input('请输入线性方程组的增广矩阵A='); n=length(A)-1; x=zeros(n,1);w ww .k hd aw .c o m课后答案网aa=zeros(n,1); for j=1:n for i=1:(n+1)AA(j,i)=abs(A(j,i)); end endfor k=1:(n-1) for i=k:naa(i-(k-1))=AA(i,k); end for i=k:nif AA(i,k)==max(aa) break end end if AA(i,k)==0 breakfprintf('方程组系数矩阵奇异\n'); else for j=k:(n+1) jh=A(i,j); A(i,j)=A(k,j); A(k,j)=jh; end endfenzi=A(k,k); for j=k:(n+1)A(k,j)=A(k,j)/fenzi; end for p=(k+1):n jj=A(p,k); for j=k:(n+1)A(p,j)=A(p,j)-jj*A(k,j); end end endif k==(n-1)x(n)=A(n,(n+1))/A(n,n); for i=(n-1):(-1):1w ww .k hd aw .c o m课后答案网he=0; for j=(i+1):nhe=he+A(i,j)*x(j); endx(i)=A(i,(n+1))-he; end end x用Gauss 列主元消去法解方程组：1．请输入线性方程组的增广矩阵A=[1e-008,2,3,1;-1,3.172,4.623,2;-2,1.072,5.643,3]x =-0.4653 -0.0700 0.38002．请输入线性方程组的增广矩阵A=[4,-2,4,10;-2,17,10,3;-4,10,9,-7];x =2.9464 0.6071 -0.14293．请输入线性方程组的增广矩阵A=[0.3e-020,1,0.7;1,1,0.9]x =0.20000.7000程序2：不选主元的高斯消去法A=input('请输入线性方程组的增广矩阵A='); n=length(A)-1; x=zeros(n,1); for k=1:(n-1) if A(k,k)==0 breakfprintf('方程组不能用普通的高斯消去法解\n'); elsefenzi=A(k,k); for j=k:(n+1)A(k,j)=A(k,j)/fenzi; endw ww .k hd aw .c o m课后答案网for p=(k+1):n jj=A(p,k); for j=k:(n+1)A(p,j)=A(p,j)-jj*A(k,j); end endx(n)=A(n,(n+1))/A(n,n); for i=(n-1):(-1):1 he=0;for j=(i+1):nhe=he+A(i,j)*x(j); endx(i)=A(i,(n+1))-he; end end end x用不选主元的Gauss 消去法解方程组：1．请输入线性方程组的增广矩阵A=[4,-2,4,10;-2,17,10,3;-4,10,9,-7];x =2.9464 0.6071 -0.14292．请输入线性方程组的增广矩阵A=[1e-008,2,3,1;-1,3.172,4.623,2;-2,1.072,5.643,3];x =-0.4653 -0.07000.38003．请输入线性方程组的增广矩阵A=[0.3e-020,1,0.7;1,1,0.9]x =0 0.7000实验三:Runge 现象的产生和克服 程序1：lagrange 多项式插值 syms f x p dp lx L; f=1/(1+25*x^2);N=input('请输入插值节点数N=');w ww .k hd aw .c o m课后答案网xx=-1:2/N:1; p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx)); for i=1:(N+1) x=xx(i); ff(i)=eval(f); syms x;p=p*(x-xx(i)); enddp=diff(p); for j=1:(N+1) x=xx(j); k=eval(dp); syms x;lx=p/((x-xx(j))*k); L=L+lx*ff(j); endaa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96]; for i=1:length(aa) x=aa(i);S(i)=eval(L); fff(i)=eval(f); end e=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2; ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e) ezplot(f,[-1,1]) hold onezplot(L,[-1,1]) hold onplot(xx,ff,'*') hold on plot(aa,S,'o') hold off程序2：分段线性插值 syms f x p lx; f=1/(1+25*x^2);N=input('请输入插值节点数N='); xx=-1:2/N:1; p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx)); for i=1:(N+1) x=xx(i); ff(i)=eval(f); end syms xw ww .k hd aw .c o m课后答案网for i=1:N for j=1:(N+1) if j==ilx(i,j)=(x-xx(i+1))/(xx(i)-xx(i+1)); else if j==i+1lx(i,j)=(x-xx(i))/(xx(i+1)-xx(i)); elselx(i,j)=0; end end end end p=lx*ff';aa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96]; for i=1:length(aa) x=aa(i); for j=1:N+1 if x<xx(j) break end endS(i)=eval(p(j-1)); fff(i)=eval(f); end e=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2; ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e) ezplot(f,[-1,1]) hold onxxx=(-1:0.01:1); for i=1:length(xxx) x=xxx(i); for j=1:N+1 if x<xx(j) break end endSS(i)=eval(p(j-1)); endplot(xxx,SS,'r') hold onplot(xx,ff,'*') hold on plot(aa,S,'o') hold off程序3：三转角插值法w ww .k hd aw .c o m课后答案网syms f x df s s1 s2 s3 s4; f=1/(1+25*x^2); df=diff(f);N=input('请输入插值节点数N='); h=2/N;xx=-1:2/N:1; p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx)); for i=1:(N+1) x=xx(i); ff(i)=eval(f); dff(i)=eval(df); end syms x for i=1:Ns1=(x-xx(i+1))^2*(h+2*(x-xx(i)))*ff(i)/h^3; s2=(x-xx(i))^3*(h+2*(xx(i+1)-x))*ff(i+1)/h^3; s3=(x-xx(i+1))^2*(x-xx(i))*dff(i)/h^2; s4=(x-xx(i))^2*(x-xx(i+1))*dff(i+1)/h^2; s(i)=s1+s2+s3+s4; endaa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96]; for i=1:length(aa) x=aa(i); for j=1:N+1 if x<xx(j) break end endS(i)=eval(s(j-1)); fff(i)=eval(f); end e=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2; ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e) ezplot(f,[-1,1]) hold onxxx=(-1:0.01:1); for i=1:length(xxx) x=xxx(i); for j=1:N+1 if x<xx(j) break end endSS(i)=eval(s(j-1)); endw ww .k hd aw .c o m课后答案网plot(xxx,SS,'r') hold onplot(xx,ff,'*') hold on plot(aa,S,'o') hold off程序4：三弯矩插值法： syms f x ddf s; f=1/(1+25*x^2); ddf=diff(diff(f));N=input('请输入插值节点数N='); h=2/N;xx=-1:2/N:1; p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx)); for i=1:(N+1) x=xx(i); ff(i)=eval(f);ddff(i)=eval(ddf); end syms x for i=1:NA=(ff(i+1)-ff(i))/h-h*(ddff(i+1)-ddff(i))/6; B=ff(i)-h^2*ddff(i)/6;s(i)=(xx(i+1)-x)^3*ddff(i)/(6*h)+(x-xx(i))^3*ddff(i+1)/(6*h)+A*(x-xx(i))+B; endaa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96]; for i=1:length(aa) x=aa(i); for j=1:N+1 if x<xx(j) break end endS(i)=eval(s(j-1)); fff(i)=eval(f); end e=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2; ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e) ezplot(f,[-1,1]) hold onxxx=(-1:0.01:1); for i=1:length(xxx) x=xxx(i);w ww .k hd aw .c o m课后答案网for j=1:N+1 if x<xx(j) break end endSS(i)=eval(s(j-1)); endplot(xxx,SS,'r') hold onplot(xx,ff,'*') hold on plot(aa,S,'o') hold off图1：观察Runge 现象图2：分段线性插值w ww .k hd aw .c o m课后答案网图3：三转角插值：w ww .k hd aw .c o m课后答案网图4：三弯矩插值：w ww .k hd aw .c o m课后答案网实验四：多项式最小二乘法程序1：要求给出插值次数的多项式最小二乘法 syms x f;xx=input('请输入插值节点 as [x1,x2...]\n'); ff=input('请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...]\n'); m=input('请输入要求的插值次数m='); n=length(xx); for i=1:(m+1) syms fai x; fai=x^(i-1); for j=1:n x=xx(j);H(i,j)=eval(fai); end endA=ff*(H)'*inv(H*(H)'); syms x; f=0; for i=1:(m+1)w ww .k hd aw .c o m课后答案网f=f+A(i)*x^(i-1); endplot(xx,ff,'*') hold onezplot(f,[xx(1),xx(n)])用此程序作出课本上的两道题： 1. 请输入插值节点 as [x1,x2...] [0 0.9 1.9 3 3.9 5.0]请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [0 10 30 50 80 110]请输入要求的插值次数m=2 图：2.请输入插值节点 as [x1,x2...] [0 0.9 1.9 33.9 5.0]请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [19.0 32.3 49.0 73.3 97.8] 请输入要求的插值次数m=2 图：w ww .k hd aw .c o m课后答案网程序2：自适应多项式最小二乘法 syms x f nihef nihe;xx=input('请输入插值节点 as [x1,x2...]\n'); ff=input('请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...]\n'); n=length(xx); for m=1:(n-1) for i=1:(m+1) syms fai x; fai=x^(i-1); for j=1:nx=xx(j);H(i,j)=eval(fai); end endA=ff*(H)'*inv(H*(H)'); syms x f; f=0; for i=1:(m+1)f=f+A(i)*x^(i-1);w ww .k hd aw .c o m课后答案网endnihef(m)=f; for i=1:n x=xx(i);niheff(i)=eval(f); ee(i)=ff(i)-niheff(i); end e(m)=0; for i=1:(n-1)e(m)=(ee(i))^2+e(m); ende(m)=sqrt(e(m)/(n*(n-1))); eee(m)=1/e(m); endfor k=1:n if eee(k)==max(eee); break end end syms x;nihe=nihef(k); emcino=e(k); plot(xx,ff,'*') hold onezplot(nihe,[xx(1),xx(n)])fprintf('插值误差为e=%.6f',emcino) 用此程序作实验中要求的题目： 3.请输入插值节点 as [x1,x2...] [3 4 5 6 7 8 9]请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [2.01 2.98 3.50 5.02 5.47 6.02 7.05] 插值误差为e=0.000010 图：w ww .k hd aw .c o m课后答案网实验五：龙贝格积分法 程序：龙贝格积分： syms f x;f=input('请输入积分函数f='); A=input('请输入积分区间[a,b]='); e=input('请输入误差限e='); x=A(1); fa=eval(f); x=A(2); fb=eval(f);T(1)=(A(2)-A(1))*(fa+fb)/2; m=1;x=(A(1)+A(2));t=T(1)/2+(A(2)-A(1))*eval(f)/2; while abs(t-T(1))>e t=T(1); new=0; for i=1:(2^m)x=A(1)+(2*i-1)*(A(2)-A(1))/(2^(m+1));w ww .k hd aw .c o m课后答案网new=new+eval(f); endT(m+1)=T(m)/2+(A(2)-A(1))*new/(2^(m+1)); for i=m:(-1):1 L(m,i)=T(i); end for p=m:(-1):1T(p)=((4^(m+1-p))*T(p+1)-T(p))/(4^(m+1-p)-1); endm=m+1; endfprintf('数值积分结果为T(1)=%.8f\n',T(1)); fprintf('经过了%d 次迭代\n',m);用龙贝格积分法计算积分的近似值： 1.1请输入积分函数f=x^3请输入积分区间[a,b]=[6,100] 请输入误差限e=1000数值积分结果为T(1)=25000289.75465907 经过了15次迭代1.2请输入积分函数f=x^3请输入积分区间[a,b]=[6,100] 请输入误差限e=500数值积分结果为T(1)=24999982.87732918 经过了16次迭代2.1请输入积分函数f=sin(x)/x请输入积分区间[a,b]=[0.1e-010,1] 请输入误差限e=0.1e-004数值积分结果为T(1)=0.94607740 经过了12次迭代2.2请输入积分函数f=sin(x)/x请输入积分区间[a,b]=[0.1e-010,1] 请输入误差限e=0.1e-005数值积分结果为T(1)=0.94608236 经过了15次迭代w ww .k hd aw .c o m课后答案网3.1请输入积分函数f=sin(x^2) 请输入积分区间[a,b]=[0 1] 请输入误差限e=0.0001数值积分结果为T(1)=0.31031986 经过了11次迭代3.2请输入积分函数f=sin(x^2) 请输入积分区间[a,b]=[0,1] 请输入误差限e=0.1e-005数值积分结果为T(1)=0.31026911 经过了17次迭代实验六：常微分方程初值问题的数值解法程序1：R-K 和 修正Adams 预测-校正法的组合 syms f x y;f=input('请输入f(x,y)=');jx=input('请输入计算区间[a,b]='); yy(1)=input('请输入初值y0='); h=0.1;xx=jx(1):0.1:jx(2); for n=1:3x=xx(n); y=yy(n); k1=eval(f); x=xx(n)+h/2; y=yy(n)+k1*h/2; k2=eval(f);y=yy(n)+k2*h/2; k3=eval(f); x=xx(n+1); y=yy(n)+h*k3; k4=eval(f);yy(n+1)=yy(n)+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6; endc(4)=yy(4); p(4)=yy(4); for i=1:4x=xx(i); y=yy(i); ff(i)=eval(f); endfor n=4:(length(xx)-1)p(n+1)=yy(n)+(55*ff(n)-59*ff(n-1)+37*ff(n-2)-9*ff(n-3))*h/24; m(n+1)=p(n+1)+251*(yy(n)-p(n))/270; x=xx(n+1); y=m(n+1);w ww .k hd aw .c o m课后答案网fff(n+1)=eval(f);c(n+1)=yy(n)+(9*fff(n+1)+19*ff(n)-5*ff(n-1)+ff(n-2))*h/24; yy(n+1)=c(n+1)-19*(c(n+1)-p(n+1))/270; y=yy(n+1); ff(n+1)=eval(f); endplot(xx,yy,'*') hold on程序2：Runge-Kutta 法 syms f x y;f=input('请输入f(x,y)=');jx=input('请输入计算区间[a,b]='); yy(1)=input('请输入初值y0='); h=0.1;xx=jx(1):0.1:jx(2); for n=1:(length(xx)-1) x=xx(n); y=yy(n); k1=eval(f); x=xx(n)+h/2; y=yy(n)+k1*h/2; k2=eval(f);y=yy(n)+k2*h/2; k3=eval(f); x=xx(n+1); y=yy(n)+h*k3; k4=eval(f);yy(n+1)=yy(n)+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6; endplot(xx,yy,'o')程序3：第一题的求解析解的程序 syms sv x jx=[-1,0];sv=dsolve('Dy=(x^2-y^2)','y(-1)=0','x'); xxx=jx(1):0.01:jx(2); for n=1:length(xxx) x=xxx(n);yyy(n)=eval(sv); endplot(xxx,yyy)w ww .k hd aw .c o m课后答案网程序4：第二题的求解析解的程序 syms sv x jx=[0,1.5];sv=dsolve('Dy=(y-2*x/y)','y(0)=1','x'); xxx=jx(1):0.01:jx(2); for n=1:length(xxx) x=xxx(n);yyy(n)=eval(sv); endplot(xxx,yyy)图1：第一题的计算图形结果图2：第二题的计算图形结果：w ww .k hd aw .c o m课后答案网w ww .k hd aw .c o m课后答案网。

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-===而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x =又1'()n f x nx-= , 1||n p nx nx C n x-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02nr x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.6101.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈ **24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C VRππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-（n=1,2,…）计算到100Y 。

数值分析课后习题答案数值分析课后习题答案数值分析是一门应用数学的学科，主要研究用数值方法解决数学问题的理论和方法。

在学习数值分析课程时，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对数值方法的理解和掌握。

下面将为大家提供一些数值分析课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法。

给定一组已知数据点，我们希望通过插值方法找到一个函数，使得该函数在已知数据点上的取值与给定数据点的值尽可能接近。

常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。

下面是一个使用拉格朗日插值法求解的习题：已知函数f(x)=sin(x)，求在区间[0, π/2]上的插值多项式P(x)，使得P(0)=0，P(π/2)=1。

解答：根据拉格朗日插值法的原理，我们需要构造一个满足条件的插值多项式。

首先，我们需要确定插值节点。

根据题目要求，我们取两个插值节点：x0=0，x1=π/2。

然后，我们需要确定插值多项式的系数。

设插值多项式为P(x)=a0+a1x，代入已知条件可得到两个方程：P(0)=a0=0P(π/2)=a0+a1(π/2)=1解方程组可得，a0=0，a1=2/π。

因此，插值多项式为P(x)=2x/π。

2. 数值积分是数值分析中的另一个重要内容。

它主要研究如何用数值方法计算函数的定积分。

常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。

下面是一个使用梯形法则求解的习题：计算定积分∫[0, 1] e^(-x^2) dx。

解答：根据梯形法则的原理，我们可以将定积分转化为离散的求和问题。

首先，我们将积分区间[0, 1]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=1/n。

然后，我们在每个小区间的两个端点上计算函数值，并将其加权求和。

根据梯形法则的公式，我们可以得到近似解为：∫[0, 1] e^(-x^2) dx ≈ h/2 * (f(0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(1))其中，f(x)表示函数e^(-x^2)在点x处的取值。

xy
一、病态问题与条件数
考虑计算函数值问题,
f (x*) f (x) f (x)
x x
xf ( x) f (x)
Cp,
C p称为计算函数值问题的条件数. 例如f (x) x10,C p 10, f (1) 1, f (1.02) 1.24,自变量相对 误差为2%,函数值相对误差为24%.
1、面向计算机
x x2 x3 , 23
ln1 x 1 x
1 (x x3 ), 23
2、可靠的理论分析,保证收敛性、稳定性
3、良好的计算复杂性
4、数值实验
四、如何学好数值分析
1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析 2、注重实际问题，练习、作业 3、积极动手上机实践
§2 数值计算的误差
一、误差来源、分类
一般Cp 10认为是病态. 其他计算问题也要考虑条件数, 考虑是否病态.
二、算法的数值稳定性
考虑初始数据误差在计算中的传播问题.
例5 计算In e101 xnexdx, n 0,1,, 并估计误差.
In 1 nIn1, n 1,2,, I0 1 e1.
( A)II0n
0.6321, 1 nIn1,
(2.2)
2
例1 42.195, 0.0375551, 8.00033, 2.71828,按四舍五
入写出上述各数具有四位有效数字的近似数.
例2 考察三位有效数字重力加速度g,
若以m/s2为单位, g≈9.80m/s2,
按(2.1)，m
g 9.80 0, n
3.
1 102, 2
绝对误差限1*
(x1* x2* ) (x1*) (x2* ),
(x1*x2* ) | x1* | (x2* ) | x2* | (x1*),

第四版数值分析习题答案第一章 绪论习题参考答案1． ε（lnx ）≈***()()r x x xεεδ==。

2．1******()()()()0.02n nnr nn n x x x n x x n xxxεεεε-=≈==。

3． *1x 有5位有效数字，*2x 有2位有效数字，*3x 有4位有效数字，*4x 有5位有效数字，*5x 有2位有效数字。

4．******4333124124()()()()0.5100.5100.510 1.0510x x x x x x εεεε----++≈++=⨯+⨯+⨯=⨯************123231132123()()()()0.214790825x x x x x x x x x x x x εεεε≈++=****62224***24441()()()8.85566810x x x x x x x εεε-≈-=⨯。

5．1()1()()()0.00333333r r r V R V V V εεεε=≈===。

6．33100111()100101010022Y ε--=⨯⨯⨯=⨯。

7．12855.982x =≈，21280.0178655.982x ==≈≈。

8． 21arc 12N dx tgN x π+∞=-+⎰9．121()()0.0052x S S εεε-=≈=。

10． ()()0.1S g t t g t εε≈=，2()2()0.2()12r g t t t S t t gt εεε≈==，故t 增加时S 的绝对误差增加，相对误差减小。

11． 1081001()10()102y y εε==⨯，计算过程不稳定。

12．61)0.005051f =≈，1.4=，则611)0.004096f ==，20.005233f ==，33(30.008f =-=，40.005125f ==，5991f =-=，4f 的结果最好。

13．(30) 4.094622f =-，开平方时用六位函数表计算所得的误差为41102ε-=⨯，分别代入等价公式)1x x (ln )x (f ),1x x (ln )x (f 2221++-=--=中计算可得411()ln(1(60103102f x εε--=+≈=+=⨯⨯=⨯，47211()ln(1108.3310602f ε--=+≈=⨯⨯=⨯。

第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1) h f (x)dx A 1f ( h) A0f (0) A1f(h);2h(2) 2h f(x)dx A1f ( h) A0 f (0) A1f(h);1(3) 1f(x)dx [f( 1) 2f(x1) 3 f ( x2)]/ 3; h2(4) 0f(x)dx h[ f (0) f(h)]/ 2 ah2[f (0) f (h)];解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

h(1)若(1) f(x)dx A 1f( h) A0 f (0) A1f(h)令f (x) 1 ，则2h A 1 A0 A1令f (x) x ，则0 A 1h A1h2令f (x) x2，则23 2 2h3 h2A 1h2A13从而解得A04h031A11h31A 1 h13令f (x) x3，则hhf (x)dx x3dx 0hhA1f ( h) A0 f (0) A1f(h) 0h故f (x)dx A1f ( h) A0 f (0) A1f ( h)成立。

令f (x) x4，则h h4 25 f (x)dxx 4dx h 5hh 525 A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f(h) h 53故此时，hf (x)dx A 1 f ( h) A 0 f(0) A 1 f(h)h故f (x)dx A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f (h) 具有 3 次代数精度。

2h(2)若 f ( x)dx A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f (h)令 f (x) 1 ，则4h A 1 A 0 A 1 令 f (x) x ，则 0A 1h A 1h令 f (x) x 2 ，则从而解得A 0 43hA 1 83h3令 f (x) x 3 ，则A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f(h) 0 2h故 2h f(x)dx A 1f( h) A 0f (0) A 1f(h) 成立。