四年级奥数-抽屉原理与最不利原理(二)

一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。

它是组合数学中一个重要的原理。

（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x()()11xn -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．四、应用抽屉原理解题的具体步骤知识框架抽屉原理 发现不同第二步：构造抽屉。

这是个关键的一步，这一步就是如何设计抽屉，根据题目的结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的“苹果”及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用抽屉原理。

观察题设条件，结合第二步，恰当运用各个原则或综合几个原则，将问题解决。

例题精讲【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业．【例 2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【巩固】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。

原理1 把多于n 个的物体放到n 个抽屉中，则至少有一个抽屉中有2个或2个以上的物体。

原理2 把多于mn (m 乘以n )个的物体放到n 个抽屉中，则至少有一个抽屉中有1+m 个或多于1+m 个的物体。

✧ 构造“抽屉”、找出“物体”及物体的放法是应用抽屉原理解决问题的关键。

常见的构造抽屉的方法有：数的分组法；剩余类法；图形分割法；染色法。

✧ 当问题中出现“保证”二字，就要求我们必须利用“最不利”原则情况分析问题。

最不利原则就是从“极端倒霉”的情况考虑问题，将所有不利的情况都考虑进来。

我们可以用如下方法，解决简单抽屉原理的问题：将n 个物品放到m 个抽屉中，如果a m n =÷，那么一定有一个抽屉中至少有a 个物品；如果b a m n =÷（0>b ），那么一定有一个抽屉中至少有1+a 个物品。

四年（1）班一共有42名学生，那么一定有至少几名学生的属相相同？盒子中装有红、白、黑三种颜色的小球各20个，这些小球摸起来手感都一样。

14个小朋友闭着眼睛玩摸球游戏，每个小朋友一次只能摸出一个小球。

那么一次至少有几个小朋友摸出的小球颜色相同？有3个不同的自然数，至少有两个数的和是偶数，为什么？4个连续自然数分别被3除后，必有两个余数相同，为什么？布袋中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出多少块才能保证其中至少有3块颜色相同？一副扑克牌一共有54张，至少从中取出多少张才能保证：（1）至少有4张牌的花色相同；（2）4种花色的牌都有；（3）至少有4张牌是黑桃。

2012名冬令营营员去游览长城、颐和园、天坛，规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？某班组织全班45人进行体育比赛，项目有A、B、C三种，规定每人至少参加一项，最多参加三项，至少有几人参加的项目是相同的？从1、2、3、…，2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？从1至2011这2011个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两个数都不连续且差不等于4？某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组。

抽屉原理（二）这一讲我们讲抽屉原理的另一种状况。

先看一个例子：假如将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。

道理很简洁。

假如每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。

剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。

这个例子所表达的数学思想，就是下面的抽屉原理2。

抽屉原理2：将多于m×n件的物品随意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

说明这一原理是不难的。

假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件，这样，n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。

这与多于m×n件物品的假设相冲突。

这说明一开场的假定不能成立。

所以致少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。

从最不利原则也可以说明抽屉原理2。

为了使抽屉中的物品不少于（m＋1）件，最不利的状况就是n个抽屉中每个都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m＋1）件物品。

这就说明了抽屉原理2。

不难看出，当m＝1时，抽屉原理2就转化为抽屉原理1。

即抽屉原理2是抽屉原理1的推广。

例1某幼儿班有40名小挚友，现有各种玩具122件，把这些玩具全局部给小挚友，是否会有小挚友得到4件或4件以上的玩具？分析与解：将40名小挚友看成40个抽屉。

今有玩具122件，122=3×40＋2。

应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，马上知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。

也就是说，至少会有一个小挚友得到4件或4件以上的玩具。

例2一个布袋中有40块一样的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。

问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码一样的木块？分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。

要保证有一个抽屉中至少有3件物品，依据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。

简单抽屉原理与最不利原则（二）
本讲主线
1．最不利原则
2．最不利原则与抽屉
1. 最不利原则：
这是一种从反面考虑的思想，要保证能够在最坏的情况下都能保证事情肯定发生的思考方式
实例：盒子里，有
双完整的筷子
相同的点数？
相的点数
只兔子在埋头偷吃胡萝卜.
“砰”的一枪打死了一只兔子. 请问：菜园里还剩多少只兔子？
3．抽屉原理：
抽屉原理：
⑴10个苹果放到
个苹果
⑵本质：平均数思想，肯定有人要不低于平均数
⑶用途：证明题
知识大总结平均数思想，肯定有人要不低于平均数；。

⼩学奥数--抽屉原理⼩学奥数--抽屉原理抽屉原理(⼀)解题要点:要从最不利情况考虑，准确地建⽴抽屉和确定元素的总个数(如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，⾄少有⼀个抽屉中放的苹果不少于2个。

道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相⽭盾，因此⾄少有⼀个抽屉中放的苹果不少于2个。

同样，有5只鸽⼦飞进4个鸽笼⾥，那么⼀定有⼀个鸽笼⾄少飞进了2只鸽⼦。

以上两个简单的例⼦所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。

抽屉原理1:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么⾄少有⼀个抽屉中的物品不少于2件。

说明这个原理是不难的。

假定这n个抽屉中，每⼀个抽屉内的物品都不到2件，那么每⼀个抽屉中的物品或者是⼀件，或者没有。

这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相⽭盾，所以前⾯假定“这n 个抽屉中，每⼀个抽屉内的物品都不到2件”不能成⽴，从⽽抽屉原理1成⽴。

从最不利原则也可以说明抽屉原理1。

为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放⼊1件物品，共放⼊n 件物品，此时再放⼊1件物品，⽆论放⼊哪个抽屉，都⾄少有1个抽屉不少于2件物品。

这就说明了抽屉原理1。

例1 某幼⼉园有367名1996年出⽣的⼩朋友，是否有⽣⽇相同的⼩朋友,分析与解:1996年是闰年，这年应有366天。

把366天看作366个抽屉，将367名⼩朋友看作367个物品。

这样，把367个物品放进366个抽屉⾥，⾄少有⼀个抽屉⾥不⽌放⼀个物品。

因此⾄少有2名⼩朋友的⽣⽇相同。

例2在任意的四个⾃然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除, 分析与解:因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。

我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。

⼀个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”⾥。

一、 抽屉原理I ：把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．二、 抽屉原理II ：把m 个苹果放入n 个抽屉（m 大于n ），结果有两种可能：如果m n ÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷”个苹果．如果m n ÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷的商再加1”个苹果．三、 抽屉原理的基本思想就是最不利原则．所谓最不利原则，概括的讲，就是通过满足“最坏”的情况，来保证满足所有的情况．四、 某些时候，“抽屉”不太明显，需要构造抽屉来解决问题．知识精讲第四讲抽屉原理一例题解析【例1】 体育馆里有足球，篮球和排球3种球．一个班的50名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个．请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全一样？【例2】 把31个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过3个，那么至少有几只猴子得到的桃子一样多？【例3】 有37个数，每个数为0或1．要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周上时，总能找到6个1连排在一起．问：其中最少有多少个数是1？【例4】 有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上写着一个数字．其中写0的有1个，写1的有2个，写2的有3个，……，写9的有10个．如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球中必有3个，它们上面的数字恰好组成678？（考虑“9”倒过来看是“6”）【例5】一个袋子中有三种不同颜色的球共20个，其中红球7个，黄球5个，绿球8个．现在墨莫闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于4个，则至少要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于3个，则至少要取出多少个球？【例6】50个苹果分给8个小朋友，那么分到苹果最多的小朋友至少分到多少个？如果1号小朋友最多给2个，2号最多给4个，3号最多给6个，……，8号最多给16个，那么得到苹果最多的小朋友至少分到多少个？【例7】888名学生站成一个圆圈，如果任意连续32人中，至多有9名男生，那么男生的人数最多有多少人？【例8】新春佳节，商场举办抽奖活动．抽奖箱中有五种不同颜色的奖券，分别有32，30，28，26，24张．每次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付2元钱．奖励方式如下：用15张同色的奖券换一架相同颜色的飞机模型，用11张同色的奖券换一架相同颜色的坦克模型，用4张同色的奖券换一架相同颜色的摩托车模型．请问：至少要付多少钱，才能保证可以换到三种模型，且三种模型之间颜色互不相同？。

第十五讲抽屉原理与最不利原则
一、抽屉原理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。

原理1: 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

原理2: 把多于m×n+1(n不为0)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体。

原理3: 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

注意以下几点：
1、抽屉原理讨论的是苹果的数目与抽屉数目之间的关系，要求苹果数大于抽屉数；
2、抽屉原理用来解决存在性的问题，“必有一个”就是必然存在的意思；存在就行，不关心满足要求的抽屉到底是哪个、有多少个；常见的提示语“保证至少有一个”
3、解决问题的关键在于分辨苹果与抽屉，经常需要构造抽屉。

二、最不利原则
最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。

抽屉原理(二)导言：这里介绍除最不巧原则之外的另一种思维来解答抽屉原理问题。

先让我们来做个试验，把4个苹果放在3个抽屉里，会出现什么情况？我们把这几种情况分别表示出来：4=4+0+0；4=3+1+0；4=2+2+0；4=2+1+1。

观察上面放苹果的各种情况，我们发现，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个苹果。

像这种现象，我们称之为抽屉原理。

它是由德国数学家狄利克雷最早发现的，也称之为狄利克雷原理。

我们利用这一原理，可以解决生活中很多有趣但又觉得无从入手的问题。

抽屉原理一把n+1个苹果放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉至少放了两个苹果例1．任意13名同学中，必有2名同学出生在同一个月份，为什么？解析：把13名同学当作13个苹果，把一年12个月看作12个抽屉，13=12+1，根据抽屉原理一，至少有2名同学出生在同一个月份。

这题我们也可以用最不巧原理来解答。

出生月份只有1、2、、、、12月这12种情况，最不巧的是这13名同学中的12名同学的出生月份，分别是这12种情况，互不相同。

但第13名同学肯定是12种情况中的一种，这样，至少有2名同学出生在同一个月份中。

例2．有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里。

一次摸出8个小球，其中至少有几个小球的颜色是相同的。

解析：把红、黄、蓝、白4色小球看作成4个抽屉，8个小球看作8个苹果，因为8=4+4，根据抽屉原理一，至少有2个小球的颜色是相同的。

例3．在长度是10厘米的线段上任意取11个点，试说明至少有2个点间的距离不大于1厘米？解析：把长度10厘米的线段分成10等份，那么每段长都是1厘米，我们把这样的每段看成一个抽屉，共有10个抽屉。

把11个点放入10个抽屉中，根据抽屉原理一，必有2个点放在同一个抽屉中，所以，至少有2个点间的距离不大于1厘米。

例4．用红、黄两种颜色将下图中的小方块随意涂色，每个小方格涂一种颜色，那么，必有两列方格中所涂颜色完全相同。

第30周抽屉原理（二)王牌例题1幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。

把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？【思路导航】把120个小朋友看作120个抽屉，把玩具件数看作是元素，则364=120×3+4，4<120。

根据抽屉原理的第二条原理:如果把个元素放到×个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有(m+1)个或(m+1)个以上的元素。

可知至少有一个抽屉里有3 + 1 = 4(个)元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。

举一反三11. 一个幼儿园大班有40名小朋友，班里有各种玩具125件。

把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具？2. 把16支铅笔放人三个笔盒内，至少有一个笔盒里的笔不少于6支。

这是为什么？3. 把25个球最多放在几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球？王牌例题2布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。

最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？【思路导航】把4种不同的颜色看作4个抽屉，把布袋中的球看作元素。

根据抽屉原理第二条，要使其中一个抽屉里至少有3 个颜色一样的球，那么取出球的个数应比抽屉个数的2倍多1，SP 2×4+1 = 9(个)球。

列算式为：(3—1)×4+1 = 9(个）举一反三21. 布袋中有足够多的5种不同颜色的球。

最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？2. 一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。

当你被蒙上眼睛去取出容器中的木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？3. 一副扑克牌共54张，其中1〜13点各有4张,还有两张王。

至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同？王牌例题3某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。

活内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。