七年级数学幂的运算及整体代入(法则的逆用二)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：幂的运算法则逆用：①观察已知及所求，对比确定幂的底数或指数之间的关系；②根据____________对已知或所求进行等价变形，使之成为_____________．问题2：幂的比较大小：①先化简为_______________________，再进行比较．②对于幂的比较大小，往往采用__________．当两式中________________时，考虑作商法比较大小．幂的运算及整体代入（法则的逆用二）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.已知，，则等于( )A.8B.9C.10D.16答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入2.已知，，则等于( )A. B.4C.8D.56答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入3.已知，，则等于( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入4.已知，则的值为( )A. B.1C.2D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的运算5.已知，则的值为( )A. B.1C.5D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的运算6.若，，，则的大小关系是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小7.若，，，则的大小关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小8.若，，则的大小关系为( )A. B.C. D.无法判断答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小9.若，，则的大小关系为( )A. B.C. D.无法判断答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小。

4=m ，85=n ，求328+m n的值．【变式】（﹣8）57×0.12555．【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．【巩固练习】 一.选择题1.计算的x 3×x 2结果是（ ） A ．x 6 B ．6xC ． x 5D ．5x2．2nn a a+⋅的值是( )． A. 3n a+B. ()2n n a+C. 22n a+D. 8a3．下列运算正确的是（ ） A ．a 2•a 3=a 6 B ．（ab ）2=a 2b 2C ．（a 2）3=a 5D ．a 2+a 2=a 44．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310 B. 1000×1010＝3010 C. 100×310＝510 D. 100×1000＝410 5．下列计算正确的是( )． A.()33xy xy =B.()222455xyx y -=- C.()22439xx -=-D.()323628xyx y -=-6．若()391528m n a ba b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题7.若a m =2，a n =8，则a m+n = ． 8. 若()319xaa a ⋅=，则x ＝_______． 9. 已知35na=，那么6n a =______．10．若38ma a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210na=，则3222()8()n n a a --＝__________.4443(3)(3)n n n ==．964．例5、 已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________． 【答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-．举一反三： 【变式】计算：（1）1232()a b c --； （2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； 【答案】解：（1）原式424626b a b c a c --==． （2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==． 类型三、科学记数法 例6、观察下列计算过程：（1）∵33÷53=332231333=⨯，33÷53=353-=23-，∴23-= （2）当a≠0时，∵2a ÷7a =27a a =225a a a ⨯=51a ，2a ÷7a =27a -=5a -，5a -=51a , 由此可归纳出规律是：p a -=1p a（a≠0，P 为正整数） 请运用上述规律解决下列问题： （1）填空：103-= ；259x x x ⨯÷= ．（2）用科学记数法：3×410-= ．（写成小数形式）（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法10na ⨯的形式是： ．D．0.3311.【答案】113.8410⨯；12.【答案】-32；【解析】解：()224m m aa ,==()3318n n a a ==-，23m n a -=4=﹣32. 三.解答题13.【解析】解：（1）2x y +=2x •2y =3×5=15；（2）32x =()32x =33=27； （3）212x y +-=()22x •2y ÷2=23×5÷2=．14.【解析】解：（1）8.5×310-＝0.0085（2）2.25×810-＝0.0000000225（3）9.03×510-＝0.000090315.【解析】解：原式4863482323444a b a b a b a b a b ------=-÷=-=- 当23a b ==-，时，原式23412(3)27=-=-.。

二.幂的乘方与积的乘方知识点1. 幂的乘方1.幂的乘方的运算性质:幂的乘方,底数不变,指数相乘.公式(a m)n=a mn(m,n都是正整数)注意:底数a可以是单项式或多项式指数相乘示例(x2)3=x2×3=x6底数不变例题(10)解析★103×5=1015计算-x)5]4 -y)3]6m-1)2 =(-x)20=(x-y)18=x2(m-1)=x20=x2m-2知识点2. 幂的乘方的运算性质的逆用1.幂的乘方的运算性质的逆用:a mn=(a m)n=(a n)m(m,n都是正整数)例题已知a n=3,a m=2,求a2n+3m解析★因为a n=3,a m=2所以a2n+3m=a2n·a3m=(a n)2·(a m)3=32×23=9×8=722.计算题:乘方与同底数幂的乘法的综合运算(易错).○1(-X3)2·(-X2)3 ○2(2×102)3×(-103)4=x6·(-x6) =8×106×1012=-x12=8×1018○3[(a2)3+(2a3)2]2○4(-3a3)2·a3+(-a2) ·a7-(5a3)3 =(a6+4a6)2=(-3)2·(a3)2·a3+(-a)9-53(a3)3 =(5a6)2=9a6·a3-a9-125a9=25a12=9a9-a9-125a9=-117a9知识点3. 积的乘方1. 积的乘方的意义:积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如(ab)3.(ab)n 等.2. 积的乘方的运算性质:积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.3. 公式中的a,b 可以是单项式,也可以是多项式.n4. 示例(2x)2=22×x 2=4x 2ab a n b n◎积的积方的运算性质也适用于三个或三个以上的因式的积的乘方，即 （abc ）n =a n ·b n ·c n (n 是正整数)例题 (-3x)3解析★(-3x)3＝(-3)3·x 3＝-2735. 计算:-xy 2)4 =(-1)4·x 4(y 2)4=x 4y 82)n =3n ·(a 2)n =3n a 2n3)2=42×(103)2=16×106=1.6×107知识点4 积的乘方的运算性质的逆用1.积的乘方的运算性质的逆用:a n b n =(ab)n◎由于积的乘方的运算性质可以推广到三个或三个以上因式的积的乘方,所以逆用时也可以进行推广,即a n ·b n ·c n =(abc)n (n 是正整数)示例 ○1(-9)3×(-2 3)6×(1−13)3 ○2 (-0.2)2020×(-5)2021解析★(-9)3×(- 23)6×(1- 13)3 =(-0.2)2020×(-5)2020×(-5) =(-9)3×[(- 23)2]3×(23)3 =[(-0.2) ×(-5)]2020×(-5) =-93×(49)3×(23)3 =12020×(-5)=-(9×49×22)3 =-5= - 8333=-51227题型练习解析题型1 幂的乘方与积的乘方的运算性质的逆用★★★x m·x2m=3 求X9m的值因为x m·x2m=3所以X3m=3所以X9m=(X3m)3=33=27题型2 逆用积的乘方的运算性质进行简便运算★★★2018×41010-(0.125)2020×82021 (解题秘诀:逆用积的乘方公式a n b n=(ab)n求解)=(-0.5)2018×41009×4-(0.125)2020×82020×8=(-0.5)2018×(22)1009×4-(-0.125)2020×82020×8=(-05)2018×22018×4-(-0.125)2020×82020×8=(-0.5×2)2018×4-(0.125×8)2020×8=1×4-1×8=-4题型3 综合利用幂的乘方和积的乘方的运算性质求代数式的值★★★★1已知n为正整数,且X2n=3,求(3X3n)2-4(X2)2n的值(解题秘诀:先运用积的乘方和幂的乘方的运算性质将待求式整理成含有已知条件的式子,然后整体代入求值)(3X3n)2-4(X2)2n=9X6n-4X4n→运用积的乘方和幂的乘方的运算性质=9(X2n)3-4(X2n)2 →逆用幂的乘方的运算性质=9×33-4×32→整体代入,因为:已知X2n=3=243-36=207题型4 幂的乘方和积的乘方在实际问题中的应用★★★★1000个棱长为2×103mm的正方体油箱,求这些油箱的容积共是多少(厚度忽略不计)(解释秘诀:利用正方体的体积公式和幂的乘方与积的乘方的运算性质即可求出1000个油箱的容积)解:正方体的体积V=a·a·a=a31000×(2×103)3=103×23×109=8×1012(mm3)答:这些油箱的容积共是8×1012(mm3)题型5 利用幂的乘方的性质比较大小◆底数比较法 ★★★★3555,4444,5333的大小(解题秘诀:化成同指数幂,比较底数大小即可)3555=(35)111=243111;4444=(44)111=256111;5333=(53)111=125111 →化为同指数幂 因为 125<243<256 →比较底数的大小 所以 125111<243111<256111结论 即5333<3555<4444a 3=2,b 5=3,试比较a.b 的大小.(解题秘诀:先将a 3和b 5分别乘方,化成同指数幂然后比较底数的大小)(a 3)5=a 15=25(b 5)3=b 15=33因为32>27,所以a 15>b 15-所以a>b◆指数比较法 ★★★★a=166, b=89,c=413 ,试比较a,b,c 的大小(解题秘诀:将这三个数化成同底数幂,比较指数大小即可)a=166=(24)6=224 b=89=(23)9=227 c=413=(22)13=226因为24<26<27所以224<226<227即a <c <b◆放缩比较法 ★★★★★245与511的大小(解题秘诀:底数24接近25.采用放缩法比较大小) 因为245<255 =(52)5=510<511所以245<511综合测试(含答案)(B)A.(-2)3=8B.(a2)3=a6C.a2·a3=a6D.4x2-2x=2x( A )A.(ab)2=a2b2B.a2+a2=a4C.(a2)3=a5D.a2·a3=a6(-2a)3的结果是( A )A.-8a3B.-6a3C.6a3D.8a3(C )A.(-x2)3=-x5B.x2+x3=x5C.x3·x4=x7D.2x3-x3=1:○1x5+x5=x10○2x5-x4=x ○3x5·x5=x10○4[(-m3)2]5=-m30○5(x5)2=x25○6(-x4)5=-x20其中计算结果正确的有 2 个X2n=3,则(3X3n)2=32·(X3n)2=9·(x2n)3=9×33=9×27=2432x+5y-3=0,则4x·32y的值为8 . 因为2x+5y-3=0.所以2x+5y=34x·32y =22x·25y=22x+5y=23=88.计算(1)(x3)4·x2(2)2(x2)n-(x n)2(3)a3·a4·a+(a2)4+2(a4)2 =x12·x2=2x2n-x2n=a8+a8+2a8=x12+2 =x2n=4a8=x14(4)x3y2 ·(-xy3)2(5)2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7=x3y2·x2y6=2x6·x3-27x9+25x2·x7=x3+2y2+6=2x9-27x9+25x9=x5y8=0(6)(x3)4·(-x2)3+2[(-x)2]4·(-x5)2=x12·(-x6)+2x8·x10=-x18+2x18=x18。

学生做题前请先回答以下问题问题1：同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．同底数幂相除，_________，_________．即_____________．问题2：幂的乘方，___________，___________．即_____________．积的乘方等于___________．即_____________．规定：a0=_______（___________）；a-p=______（_________________________）．问题3：根据幂的定义：，推导下列公式：①a m·a n=a m+n；②a m÷a n=a m-n；③(ab)n=a n b n；④(ab)n=a n b n．幂的运算法则（北师版）一、单选题(共19道，每道5分)1.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．故选A．试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘法2.已知：，则( )A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．∵∴∴解得故选C．试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘法3.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察式子，考虑把作为一个整体当作底数，首先，将它们化为同底数幂，然后根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘法4.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：积的乘方等于乘方的积，幂的乘方，底数不变指数相乘故选A试题难度：三颗星知识点：幂的乘方5.计算的结果是( )A. B.C.0D.答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘法6.若，则x的值是( )A.-3B.3C.1D.0答案：B解题思路：同底数幂相除，底数不变，指数相减．则∴∴解得故选B．试题难度：三颗星知识点：同底数幂的除法7.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方与积的乘方8.下列计算正确的有( )①；②；③；④．A.0个B.1个C.2个D.3个答案：A解题思路：①，①错误；②，②错误；③中：，③错误；④中：，④错误．所以正确的有0个．故选A．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方9.化简，当，时，代数式的值是( )A.4B.-4C.2D.-2答案：A解题思路：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．当，时故选A．试题难度：三颗星知识点：化简求值10.计算的结果是( )A. B.0C. D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方11.化简的结果是( )A. B.0C. D.答案：B解题思路：首先判断运算顺序，辨析运算类型，运用对应的法则解题．原式=，故选B．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方12.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方13.计算的结果是( )A.-2B.0C.2D.1答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：积的乘方14.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：积的乘方15.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的除法法则进行计算．故选B．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算16.计算的结果是( )A.2B.C.-2D.6答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方17.若，，则的值为( )A.5B.9C.18D.24答案：D解题思路：根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的逆用进行计算．∵，故选D．试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘法18.已知，则的值为( )A.-1B.1C.0D.2答案：C解题思路：，因为，所以，即，解得，故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方19.已知，那么的值为( )A.0B.1C.-1D.2答案：D解题思路：，∴，即，．故选D．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：对于第17题，首先观察式子，底数不同，先化成同底数幂，然后再进行运算，求出x的值．请进行计算，并说出用到的数学知识有什么．问题2：同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．同底数幂相除，_________，_________．即_____________．问题3：幂的乘方，___________，___________．即_____________．积的乘方等于___________．即_____________．规定：a0=_______（___________）；a-p=______（_________________________）．问题4：根据幂的定义：，推导下列公式：①a m·a n=a m+n；②a m÷a n=a m-n；③(ab)n=a n b n；④(ab)n=a n b n．。

学生做题前请先回答以下问题问题1：幂的运算法则逆用：①观察已知及所求，对比确定幂的底数或指数之间的关系；②根据____________对已知或所求进行等价变形，使之成为_____________．问题2：幂的比较大小：①先化简为_______________________，再进行比较．②对于幂的比较大小，往往采用__________．当两式中________________时，考虑作商法比较大小．问题3：降幂法整体代入：①对比已知及所求，将已知中__________或__________当作整体；②__________，找到整体，进行代入；③降幂化简，重复上述过程，直至最简．幂的运算及整体代入（综合测试）（北师版）一、单选题(共11道，每道9分)1.已知，，则的值为( )A.72B.1C. D.17答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入2.已知，则的值为( )A.12B.81C.6561D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入3.已知，则的值为( )A.833B.1225C.3283D.2891答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入4.已知，则的值为( )A.0B.1C.2D.任意数答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的运算5.数，的大小关系为( )A. B.C. D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小6.把，，这三个数按从大到小的顺序排列，正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小7.若，，则的大小关系为( )A. B.C. D.无法判断答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小8.若，则的值为( )A.-14B.-29C.4D.7答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入9.已知，则的值为( )A.14B.138C.12D.112答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入10.已知，则的值为( )A.9B.8C.10D.-10答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入11.已知，则的值为( )A.6B.8C.0D.-1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入。

学生做题前请先回答以下问题问题1：降幂法整体代入：①对比已知及所求，将已知中__________或__________当作整体；②__________，找到整体，进行代入；③降幂化简，重复上述过程，直至最简．问题2：单项式×单项式：_____乘以_____，______乘以_____．单项式÷单项式：_____除以_____，_____除以_____．问题3：单项式×多项式：根据________________，转化为_________．多项式×多项式：根据________________，转化为_________．问题4：多项式÷单项式：借用____________，转化为_________．问题5：已知，则的值为_________．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：降幂法整体代入：①对比已知及所求，将已知中或当作整体；②，找到整体，进行代入；③降幂化简，重复上述过程，直至最简．答：最高次项，含字母的项，对所求进行变形．问题2：单项式×单项式：乘以，乘以．单项式÷单项式：除以，除以．答：系数，系数，字母，字母．系数，系数，字母，字母．问题3：单项式×多项式：根据，转化为．多项式×多项式：根据，转化为．答：乘法分配律，单项式×单项式．握手原则，单项式×单项式．问题4：多项式÷单项式：借用，转化为．答：乘法分配律，单项式÷单项式．问题5：已知，则的值为．答：观察已知及所求，要求出x的值比较困难，因此考虑整体代入．将已知中最高次项当作整体，考虑把当成一个整体，由已知得，对所求进行变形，找到整体，进行代入．过程示范：∵∴幂的运算及整体代入(整体代入二)（人教版）一、单选题(共6道，每道16分)1.已知，则的值为( )A.5B.8C.11D.14答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入2.已知，则的值为( )A.10B.11C.-2D.2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入3.已知，则的值为( )A.20B.23C.14D.15答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入4.若，则的值为( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入5.已知，则的值为( )A.3B.1C.2D.-3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入6.已知，则的值为( )A.0B.4C.6D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入。

幂的运算及整体代入（二）（北师版）
一、单选题(共9道，每道11分)
1.若，则的值为( )
A.-64
B.-24
C.24
D.64
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：整体代入
2.若，，，则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小
3.若，，则的大小关系为( )
A. B.
C. D.无法判断
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂的比较大小
4.已知，则的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.任意数
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂的运算
5.已知，则的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：整体代入
6.若，则的值为( )
A.2013
B.2014
C.2015
D.2016
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：整体代入
7.已知，则的值为( )
A.3
B.1
C.2
D.-3
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：整体代入
8.已知，求的值为( )
A.0
B.4
C.6
D.8
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：整体代入
9.已知，，则的值为( )
A.2
B.3
C.6
D.8
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：整体代入。

《幂的乘方与积的乘方》典型例题例1 计算：（1）199********.08⨯；（2）3014225.01⨯-例2 计算题：（1）43)(b -； （2）n m 24)(； （3）5])[(m y x -；（4）3542)()(x x ⋅； （5）32)4(n m ⋅； （6）43)32(ab -．例3 计算题（1）33326)3()5(a a a ⋅-+-；（2）5335654)()2(a a a a a -+--⋅⋅；（3）1232332312)()(3)()(4--⋅+⋅-n n n n a b b a ；（4）))(2()3(24232xy y x xy --+-。

例4 计算题。

（1）20012001125.08⨯； （2）199910003)91(⨯-； （3）2010225.0⨯。

例5 比较5553，4444，3335的大小。

参考答案例1 解：（1）原式199********.088⨯⨯=8181997=⨯=；（2）原式15214)2(25.01⨯-= 1514425.01⨯-= 4425.011414⨯⨯-=4)425.0(114⨯⨯-=41114⨯-=41-= 说明：（1）逆用了积的乘方性质；n n n ab b a )(=；（2）先后逆用幂的乘方n m mn a a )(=和同底数幂的乘法n m n m a a a ⋅=+的运算性质。

例2 分析：运算中同底数幂相乘和幂的乘方要注意加以区分，同底数幂相乘指数相加 ，而幂的乘方是指数相乘。

在积的乘方运算中要注意以下的错误，如333)2()2(y a y a -=-。

解：（1）43)(b -;)()1(12434b b =⋅-=（2）n n n m m m 84242)(=⨯=；（3）m m y x y x 55)(])[(-=-；（4）231583542)()(x x x x x =⋅=⋅；（5）363264)4(n m n m =⋅；（6）1244344438116)()32()32(b a b a ab =⋅⋅-=-。

1、幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘． 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：()33---=-⎡⎤⎣⎦；()33-+-=⎡⎤⎣⎦． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．3、特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()nn a a -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 4、运算法则：（1）同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加． 用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）． （2）幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 用式子表示为：()nm mn a a =（,m n 都是正整数）．（3）积的乘方．积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 用式子表示为：()nn n ab a b =（n 是正整数）． （4）同底数幂相除．同底数幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷=（0a ≠，m ，n 都是正整数）．（5）规定()010a a =≠；1p p a a -=（0a ≠，p 是正整数）．幂的运算（二）一、选择题1. 化简()()23x x -⋅--⎡⎤⎣⎦，结果是（） A ．6x - B ．6xC ．5xD ．5x -【答案】D【解析】()()23325=x x x x x -⋅---⋅=-⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查同底数幂的运算，运算中注意式子符号．2. 下列各式计算过程正确的是（ ） A ．33336x x x x +==＋B ．333·2x x x = C ．350358··x x x x x ==＋＋D ．()32235x x x x +⋅-=-=-【答案】D【解析】A 的正确结果是32x ，B 的正确结果是6x ，C 的正确结果是159335··x x x x x ++==． 【总结】本题主要考查幂的运算的基本法则，熟练掌握相关法则．3. 下列计算：①()2525x x =；②()257x x ＝；③()5210x x ＝；④()752·x y xy =；⑤()1052·x y xy =；⑥()555x y xy =；其中错误的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】①②③本题主要考查幂的乘方运算，底数不变，指数相乘，①②错误；④⑤⑥主要考查积的乘方运算，底数相乘，指数不变，④⑤错误．【总结】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．4. 下列计算中，运算错误的式子有（ ）（1）33354a a a -=；（2）2m m m x x x =＋；（3）62·3n m n m =＋；（4）12·m m a a a =＋＋．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】本题主要考查幂的运算和合并同类项相关知识，一定注意运算中是乘号还是加号，分清楚是幂的运算还是合并同类项计算，故（2）（3）错误．【总结】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．5. 计算()()1009922-+-所得的结果是（）A ．－2B ．2C ．992-D ．992【答案】D【解析】原式=()1009999999999222222122-=⨯-=-⨯=． 【总结】本题在计算时要注意“奇负偶正”的运用．6. 计算()()()22b a a b b a ---的结果是（）A ．()5a b - B ．()5a b --C ．()6a b - D ．()6a b --【答案】B【解析】()()()()()()225252()()b a a b b a b a b c b a a b a b =---=-=-----． 【总结】本题在计算时要将底数全部化作相同，按照同底数幂的运算法则计算．7. 当n 是正整数时，下列等式成立的有（ ）（1）()22m m a a =（2）()22m m a a =（3）()22m m a a =- （4）()22mm a a =-A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】（1）（2）根据幂的乘方运算法则，正确；（3）正确，左侧式子确定为非负数；（4）不能确定正负．【总结】本题主要考查幂的乘方的运算及其逆用，注意法则的准确运用．8. 计算：()3211n n x x x -+⋅⋅的结果为（） A ．33n x + B ．63n x +C ．12n xD ．66n x +【答案】D【解析】()3211211322366()()n n n n n n x x x x x x -++-++++⋅⋅===【总结】本题主要考查同底数幂和幂的乘方的运算法则．9. 如果2339.48 1.5610=⨯，则20.3948=（ ）A ．1.56B ．0.156C ．0.0156D ．0.00156【答案】B【解析】()22220.394839.4810039.48100=÷=÷，由已知2339.48 1.5610=⨯，可知2320.3948 1.5610100 1.56100.156=⨯÷=÷=【总结】本题主要考查同底数幂相除的运算，但是要注意39.48与0.3948的关系．二、填空题（1）()()()()()235x x x x x -⋅-⋅-+-⋅-=________；（2）()()3223a b b a ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦=_________．【答案】（1）62x ；（2）0【解析】（1）原式()()666==2x x x -+-；（2）原式6666()()()()0a b b a a b a b =---=---=． 【总结】本题主要考查同底数幂的运算法则．10. 计算：()()2003200422______-+-=．【答案】20032．【解析】原式=()200420032003200320032003222222122-=⨯-=-⨯=． 【总结】本题主要考查同底数幂运算法则的逆用，m n m n a a a +=⋅． 11. 计算：()()20052004232-+⨯-=_______________．【答案】20042．【解析】原式=()20042005200420042004200432232223222⨯-=⨯-⨯=-⨯=．【总结】本题一方面考查同底数幂运算法则的运用，另一方面考查负底数幂的运算．12. 比较大小：（1）()()422_____4--；（2）()()355_____3--．【答案】（1）=；（2）>．【解析】（1）因为()()42216416-=-=，，因此()()4224-=-；（2）因为()()3551253243125243-=--=-->-，，，因此()()3553->-．【总结】本题主要考查负底数幂的运算，当底数为负数，但指数是偶数时，结果为正数；当 底数为负数，但指数是奇数时，结果为负数．13. 计算：()32122n m n m ⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭=_______________．【答案】5142m n ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】原式=23511124222m n m n m n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，但是要注意先要将底数化为相同．14. 长为32.210⨯米，宽是41.510⨯厘米，高是2410⨯米的长方体的体积为____________．【答案】831.3210m ⨯【解析】421.510 1.510b cm m =⨯=⨯，322832.210 1.510410=1.3210V abh m ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【总结】本题一方面考查长方体的体积公式，另一方面考查同底数幂相乘的法则． 15. 若25m =，26n =，则212m n ++=_______________．【答案】360．【解析】()221222222222562360m n m n m n ++=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则．16. 已知2m a =，3n a =，则32m n a +=__________．【答案】72【解析】()()323232322372m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅=⨯=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则，注意有时要对法则进行逆用．17. 若53022x y +-=，则432x y ⋅=_______________．【答案】8 【解析】由53022x y +-=，得253x y +=，故()()25252534322222228x y x y x y x y +⋅=⋅=⋅===． 【总结】本题一方面考查同底数幂的运算法则，另一方面考查整体代入思想的运用．18. 设503a =，404b =，305c =，比较a ，b ，c 的大小，用<号连接：________________．【答案】c a b <<．【解析】因为()105051033243a ===，()104041044256b ===，()103031055125c ===，所以c a b <<．【总结】本题主要考查如何运用幂的乘方将三个数字化作指数相同的幂的运算．19. 若111999a =，222111b =，则a 、b 的大小关系，用<号连接：_________________．【答案】a b <．【解析】因为()1112222111111b ==，又2999111<，所以a b <．【总结】本题主要考查如何运用幂的乘方将三个数字化作指数相同的幂的运算．20. 已知：227371998a b c ⋅⋅=，其中a 、b 、c 是自然数，则()2016a b c --=_________________．【答案】1【解析】因为3322737233719982337a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅==⨯⨯，又a 、b 、c 是自然数，故可得111a b c ===，，，代入可得()20161111--=．【总结】本题一方面考查幂的乘方的逆用，另一方面考查对1998的分解．21. 你能比较两个数20092008和20082009的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较1n n +与(1)n n +的大小(n 是自然数)，然后，我们分析1n =，2n =，3n =，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论． （1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“>”、“=”、“<”号)①21____12；②32____23；③43____34；④54____45；⑤65____56…（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出1n n +和()1nn +的大小关系是_______． （3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20092008____20082009．【答案】（1）①<；②<；③>；④>；⑤>； （2）()111(2)(1)(2)n n n n n n n n n n ++⎧<+≤⎪⎨>+>⎪⎩；（3）>．【解析】通过代入数值进行计算后，发现其中的大小关系，再进行比对．三、简答题22. 计算： （1）()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-；（2）()()()()()2345a a a a a -⋅-⋅-⋅-⋅-； （3）()()()()n a ba b a b a b a b +++++个；（4）()()66666-⨯⨯-⨯⨯-．【答案】（1）5135-⨯；（2）15a -；（3）()na b +；（4）56-．【解析】（1）原式()5511=3355⨯-=-⨯；（2）原式()1515a a =-=-；（3）原式()n a b =+；（4）原式56=-．【总结】本题主要考查乘方的概念．23. 计算：（1）()()32422393m n m n +-；（2）()()32242433a b ab a ⋅-⋅；（3）()()()()32232238a b a a b -+⋅-⋅-；（4）()()()33223733345a a a a a a -⋅+-⋅-⋅．【答案】（1）4618m n ；（2）6424a b ；（3）6335a b -；（4）91211125a a --【解析】（1）原式4646469918m n m n m n =+=； （2）原式64646427324a b a b a b =-=； （3）原式63636327835a b a b a b =--=-；（4）原式9912912271612511125a a a a a =-+-=--．【总结】本题主要考查幂的运算，并作合并同类项运算，注意运算符号．24. 计算：()()()3421332229m n n m n m ⎡⎤----⎣⎦【答案】()11144m n -．【解析】原式=()()()()()46111141132832814499m n m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤-----=⨯⨯⨯-=-⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭． 【总结】本题主要考查同底数幂的运算法则和积的乘方的运算法则，注意符号的变化．25. 计算：()()43242142x y x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦．【答案】()20256x y -+．【解析】原式=()()()()48122020661144256216x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+⋅-+=-⨯+=-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查积的乘方和同底数幂相乘的运算法则，注意符号的变化．26. 当n 是正整数时，求()()212222n n+-+⋅-.的值．【答案】0【解析】因为n 是正整数，所以2n 是偶数，21n +是奇数，所以()()2122122222n nn n ++-=--=，；所以原式=2212220n n +⋅-=．【总结】本题主要考查负底数幂的乘方，注意指数是奇数和偶数时的区别．27. 比较大小：20.4a =-，214b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()24c =-，214d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【答案】c d b a >>>．【解析】因为()2222114444c d ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以0c d >>；又因为2220.45a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，214b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以0a b <<，所以c d b a >>>．【总结】本题主要考查幂的乘方，计算时先确定正负，再根据有理数大小比较法则判断大小．28. 已知()432a =，()342b =，()423c =，()234d =，()324e =，试比较a 、b 、c 、d 、e的大小关系．【答案】c a b d e >===．【解析】根据幂的乘方运算法则，可得122a b d e ====；又()()4434242839a c ====，，可得c a >；由此c a b d e >===．【总结】本题主要是考查幂的乘方的运算法则，底数不变，指数相乘．29. 计算：（1）1011000.254⨯；（2）()()200220030.1258-⨯-．【答案】（1）0.25；（2）8-．【解析】（1）原式=()1001001000.250.2540.2540.250.25⨯⨯=⨯⨯=；（2）原式=()()()()2002200220020.125880.125888⨯-⨯-=⨯-⨯-=-⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法和积的乘方运算的逆用．30. 计算：()()25331133223a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】()111312a b -． 【解析】原式=()()()()2231151113(3)3332312a b b a a b b a a b ⎛⎫⋅-⋅-⋅-⋅-=- ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意将底数化作相同．31. 已知：5n a =，3n b =，求()2nab -．【答案】225．【解析】()()()()()2222253225n n n n n ab ab ab a b ⎡⎤-===⋅=⨯=⎣⎦． 【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．32. 已知3m a =，2n a =，m 、n 是正整数且m n >．求下列各式的值：（1）()4m a ；（2）()3m n a +．【答案】（1）81；（2）216．【解析】（1）()44381m a ==； （2）()()()33332216m n m n a a a +=⋅=⨯=． 【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．33. 若15m x =，3n x =，求()42m n x +-的值． 【答案】9625． 【解析】原式=()()442424221935625m n m n m n x x x x x +⎛⎫=⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用．34. 已知4m a =，3n a =，22p a =，求324m n p a ++的值．【答案】2304【解析】()()()32232432423224322304m n p m n p m n p a a a a a a a ++=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=． 【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用以及整体思想的应用．35. 已知5x a =，25x y a +=，求x y a a +的值．【答案】10【解析】因为25x y x y a a a +=⋅=，由5x a =，可得5y a =，所以10x y a a +=．【总结】本题主要考查同底数相乘法则的逆用．36. 若2340x y +-=，求927x y ⋅的值．【答案】，【解析】由2340x y +-=，得234x y +=；所以()()232323492733333381x yx y x y x y +⋅=⋅=⋅===． 【总结】本题主要考查幂的乘方以及整体思想的应用．37. 已知：13205x y +-=，12305x y --=，求832x y ⋅．【答案】64． 【解析】由方程组1320512305x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可解得135x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以()()331535353565832222222264x y x y x y x y ⨯+⨯+⋅=⋅=⋅====．【总结】本题主要考查幂的乘方法则的运用．38. 已知22n a =，求()()223223nn a a -的值．【答案】20．【解析】原式=()()326422324343423220n n n n a a a a -=-=⨯-⨯=． 【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．39. 已知：232122192x x ++-=，求x ．【答案】52x =． 【解析】22121222192x x ++⋅-=2162642x +==52x = 【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的逆用在解方程中的运用．40. 解方程：313333648x x ++-=-．【答案】1x =．【解析】31312333648x x ++-⋅=-3183648x +-⋅=- 3143813x +==1x =【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的逆用在解方程中的运用．41. 已知742521052m n ⋅⋅=⋅，求m n ，的值．【答案】23m n ==，．【解析】因为()()221742521052255252m n m n m n n ++⋅⋅=⋅⋅⨯=⋅=⋅，所以2714m n n +=⎧⎨+=⎩，则23m n =⎧⎨=⎩． 【总结】本题一方面考查同底数幂的相乘，另一方面考查积的乘方的逆用．42. 如果()2323k a b c+比()24582ka a a a bc ⎡⎤⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦的次数大1，那么k 的值是多少？【答案】1k =．【解析】因为第一个单项式次数为()()3232816k k +++=+，第二个单项式次数为 ()4582211617k k +++⨯++=+，依题意有()()8166171k k +-+=，解得1k =． 【总结】本题一方面考查单项式的次数的概念，另一方面考查同底数幂相乘的运算法则．43. 比较552，443，335，226这4个数的大小关系．【答案】334422555362>>>．【解析】因为()()()()111111115551144411333112221122323381551256636========，，，， 又125813632>>>，所以11111111125813632>>>，即334422555362>>>．【总结】本题主要是利用幂的乘方运算法则，将这些幂化作指数相同，比较底数大小即可．44. 比较1615与1333的大小关系．【答案】13163315>．【解析】因为16166415162<=，131********>=，又656422>，所以13163315>．【总结】本题主要考查两个数的大小比较方法，选取合适的中间量进行大小比较．45. 比较5553、4444、3335的大小．【答案】444555333435>>．【解析】因为()()()1111111115555111444411133331113=3=2434=4=2565=5=125，，，又256243125>>， 所以111111111256243125>>，即444555333435>>．【总结】本题主要考查几个数的大小比较，常用的方法是将它们化为底数相同或者是指数相同再进行比较．46. 已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小．【答案】a b c >>．【解析】因为()()()31416131412441312361212281332733933======，，，所以31416181279>>． 【总结】本题主要考查利用幂的乘方运算法则，将这些幂化作底数相同，比较指数大小即可．47. 若n 为不等式2003006n >的解，求n 的最小正整数值．【答案】n 的最小正整数值是15．【解析】因为2003006n >，即()()100100231006216n >=，故2216n >． 所以n 的最小正整数值是15．【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用．48. 已知：123n a ++++=，求代数式()()()()()122321n n n n nx y x y x y x y xy ---的值．【答案】a a x y ．【解析】原式=()()13211231n n n n a a x y x y +-+⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+-+⋅=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则以及整体代入思想的运用．49. 已知：22737471998a b c d ⋅⋅⋅=，其中a 、b 、c 、d 为自然数，求a b c d --+的值．【答案】1-．【解析】因为2273747199822737a b c d ⋅⋅⋅==⨯⨯，又a 、b 、c 、d 为自然数，所以 1110a b c d ====，，，，故11101a b c d --+=--+=-．【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用，另外注意01a =的运用．50. 已知2001200367M =+，2003200167N =+，试比较M 、N 的大小关系．【答案】M N >．【解析】因为()()()()20012003200320012001200122001220016767666777M N -=+-+=-⋅+⋅-20012001487356=⨯-⨯，又20012001483576>>，，所以20012001487356⨯>⨯．即200120014873560⨯-⨯>． 所以M N >．【总结】本题主要考查利用直接作差法来比较两个数的大小．。

学生做题前请先回答以下问题问题1：同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．同底数幂相除，_________，_________．即_____________．问题2：幂的乘方，___________，___________．即_____________．积的乘方等于___________．即_____________．规定：_______（___________）；______（_________________________）．问题3：根据幂的定义：，推导下列公式：①a m·a n=a m+n；②a m÷a n=a m-n；③(ab)n=a n b n；④(ab)n=a n b n．幂的运算法则（北师版）一、单选题(共19道，每道5分)1.已知：，则n=( )A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘法2.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘法3.计算的结果是( )A. B.C.0D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘法4.若，则x的值是( )A.-3B.3C.1D.0答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：同底数幂的除法5.化简，当，时，代数式的值是( )A.4B.-4C.2D.-2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：化简求值6.下列计算正确的有( )①；②；③；④．A.0个B.1个C.2个D.3个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的乘方7.计算，．( )A.；B.；C.；D.；答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的乘方8.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的乘方与积的乘方9.计算的结果是( )A. B.0C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的乘方10.化简的结果是( )A. B.0C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的乘方11.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的乘方12.计算的结果是( )A.-2B.0C.2D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：积的乘方13.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：积的乘方14.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算15.计算的结果是( )A.2B.C.-2D.6答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的乘方16.若，，则的值为( )A.5B.9C.18D.24答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘法17.已知，则的值为( )A.-1B.1C.0D.2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的乘方18.已知，那么的值为( )A.0B.1C.-1D.2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂的乘方19.已知，那么的值为( )A.5B.4C.1D.0答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：积的乘方、幂的乘方学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：对于第17题，观察式子，首先化成同底数幂，然后再进行运算，求出x的值．请进行计算，并说出用到的数学知识有什么．问题2：同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．同底数幂相除，_________，_________．即_____________．问题3：幂的乘方，___________，___________．即_____________．积的乘方等于___________．即_____________．规定：_______（___________）；______（_________________________）．问题4：根据幂的定义：，推导下列公式：①a m·a n=a m+n；②a m÷a n=a m-n；③(ab)n=a n b n；④(ab)n=a n b n．。