数学思想方法构造法

构造法在初中数学中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。

构造法是一种富有创造性的数学思想方法。

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。

充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。

下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

◆数学方法具有三个基本特征：
（1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：
（1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
二. 中学数学中常用的数学方法
一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、
函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。
☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人
文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲
学理论体系---解决客观世界的现实问题）。
3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、×
带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
3. 归纳法（逻辑学中的方法）
与数学归纳法（数学中的一般方法）
☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22 +1, Fermat素数：3，5， 17，257，65537)； 2)Goldbach猜想（1742年）。
《数学思想与数学文化》
数学思想方法介绍
内 容
一.前言
二.中学数学中常用的数学方法
三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法

答案 ： 选Ｂ 。
例４ ： （ ０ ６ 年福建高考题 ） 已知数列 ｔ ａ ） ｝ 茼足 ＝１ ， 口 ： ＝３ ，
口 ＝ ３ ａ ＋ Ｉ 一 ２ Ｄ ． （ ｎ Ｅ Ｎ’ ） 求数 列的 ｛ 口 ． 】 通 项公 式。 分析 ： 二阶线性 递归 数列求通 项 可通过 其 对 应 的特 征方 程 的 根 位， 构造新 数列 ： Ｄ ＋ ２ 一 ｐ ＋ ｌ ＝ａ （ 口 ． １ 一 口 ） 构造 特征方 程 。 ＝ ３ ｘ 一 ２ ＝ 批Ｉ ＝ １ ， ２ ＝ ２ 口 ＋ ２ － Ｏ ， ＋ ｌ ＝ ２ （ 口 ＋ Ｉ 一 口 ） 令６ ＝ 口 ＋ 。 一 口 ， 则 数列 ｛ ｂ 】 是以ｂ 。 ＝ 口 ２ 一ｏ 。 ＝ ２为首 项 ， 公
（ Ａ ） ００ ２ ８ （ Ｂ ） ２ ｏ １ ７ （ Ｃ ） ０１ ２ ３ （ Ｄ ） ００ ２ ８ 分析 ： 联想到等差数列的通项公式 ｔ １ ． ＝口 ＋ ｄ 则（ ｍ＋１ ） 圆ｎ ＝ｍ ＠ｎ 一１ 可等价构 造数 列 － ０ ． ． ． Ｉ ． 一口 ＝一１ 令， ｌ ＝ １ ， 则数列 ｌ 口 ＿ ． 。 ｝ 是首项为 ８ Ｉ ． １ ＝１ ０１＝ ２ ， 公差 ｄ＝一１
话数外学 习
Ｎｏ ． Ｏ ９ ． ２ Ｏ ｌ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ９期
富 有 创 新 思 想 的数 学解 题 方 法—— 构造 法
马新 明
（ 慈溪市 慈中书院， 浙江 慈溪 ３ １ ５ ３ ０ ０ ）
摘 要： 所谓 的构造 法是 指 某些数 学 问题 用常规 方法一 时难 以解 决 （ 或者 解 决起 来很 复 杂 ） 的情 况下 ， 我 们根 据 命题 的条件 和 结

十、构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。

在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。

历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。

数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。

近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。

构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。

但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。

再现性题组 1、求证： 31091022≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则42511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a（构造图形、复数） 4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。

（构造向量）5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当ca b 111+=时取等号。

活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法
立体几何是数学的一大分支，可以涵盖各方面的概念，以及许多数学思想方法。

在解决立体几何问题时，运用的概念包括分类、证明、概念、规划、构造、确定等等。

以下是活跃于立体几何问题的几种数学思想方法：
1. 构造法：构造法是在立体几何问题中采用的非常有效的数学思想。

构造法
允许以特定的形式和结构来构造几何图形，可以帮助我们处理和理解立体几何里复杂的问题。

2. 命题证明法：在数学中，证明是一个十分重要的集合。

在立体几何问题中，利用蕴含关系进行命题证明是一种有效而又基础的方法。

有助于识别更复杂的立体表达式，从而更清楚地理解其内容。

3. 向量分析法：向量的分析是一种非常有利的思想方法，在立体几何问题中，它可以用于提取平面与立体几何图形的特征，从而更为清晰地判断立体几何中的平面位置，有助于解决几何形状间相互运动的状态等问题。

4. 理论结构法：结构理论是一种对象、数据和过程之间的关系的描述性方法。

在立体几何问题中，结构理论主要是用来研究特定几何形状的性质，比如形状的对称性、四边形的角度和根据特定关系来画出平行线的思路等。

以上是活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法。

有助于学习者更深入地理
解和掌握立体几何知识，有效地运用这些思想方法，可以推动学习者解决更复杂的立体几何问题。

1.构造法概述1.1 一个简单例子证明存在两个无理数y x ,，使y x z =是有理数[1]传统证明方法是，假设对于任何两个无理数y x ,，都有y x z =是无理数。

那么就有()22一定是无理数，进而()222⎥⎦⎤⎢⎣⎡也是无理数，而()2)2(2222==⎥⎦⎤⎢⎣⎡是有理数，所以假设不成立 而我们如果令9log ,22==y x ，我们已知2和9log 2都是无理数，此时 32)2(3log 9log 22===y x 是有理数，问题得证。

上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。

1.2构造法的发展历史到底什么是构造法呢？构造法就是按照固定方式，经过有限步骤能够实现的方法。

引用韦尔（H.Weyl ）在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情，那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。

”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在，因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。

除此之外，数学最初的定义有很多都是构造性的定义，比如：将线段绕其一个端点在平面内旋转一周，它的另一端点所画出的图形叫圆。

构造法起源于数学之初，但它的发展是在19世纪末。

19世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在必须是被构造的”观点，创立了早期的直观数学学派。

但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性数学内容，搞得数学复杂难懂。

随后马尔科夫提出算法数学，把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。

但是算法数学以递归函数为基础，大部分人同样难以理解。

直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书，摆脱了算法数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形成。

时至今日，构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域，而且在数值分析，拓扑学领域也大有用武之地。

[3]1.3 中学数学需要数学构造法除了高等数学，现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。

构造法在中学数学中的运用1. 引言1.1 构造法的概念构造法是数学中一种重要的方法，它主要利用具体的图像或实例来解决问题。

通过构造法，我们可以通过建立几何图形、代数方程或概率模型等手段，来找到问题的解决方案或证明定理的方法。

构造法的核心思想是通过构建某种结构或模型，来揭示问题的本质或得到问题的答案。

在运用构造法时，我们需要具有一定的数学基础和逻辑思维能力，能够将抽象的概念具体化，通过各种图形、符号或模型来进行推理和证明。

构造法既可以用于解决几何问题，也可以用于证明数学定理，甚至可以在代数方程求解和概率统计中发挥作用。

通过构造法，我们可以更直观地理解和解决数学问题，提高数学思维和解题能力。

构造法的灵活性和实用性使其在数学教学中具有重要意义。

教师可以通过引导学生运用构造法来解决问题，培养学生的逻辑思维能力和创造力。

构造法在某些复杂的问题上可能存在局限性，需要结合其他数学方法进行分析和求解。

构造法是数学中一种重要的思维工具，对学生和教师都具有积极的意义。

1.2 构造法的重要性构造法是一种数学问题解决方法，其重要性不容忽视。

构造法在数学教学中能够培养学生的逻辑思维能力和创造力。

通过学习构造法，学生可以培养问题解决的能力，锻炼他们的思维方式。

构造法在解决实际问题中能够提供一种直观的解决思路。

许多数学问题或者实际生活中的问题可以通过构造法找到解决方法，这种方法更符合直觉，让人易于理解。

构造法在证明数学定理的过程中也有重要作用。

通过构造法，可以更清晰地展示问题的解决过程，从而使得数学定理的证明更加严谨和易懂。

构造法对于数学教学和解决数学及实际问题具有重要意义，不容忽视。

2. 正文2.1 构造法在解决几何问题中的运用构造法在解决几何问题中的运用是数学中一个重要且常用的方法。

它通过几何图形的方式来解决问题，通常通过画图、构造辅助线等方式来找到问题的解决方法。

构造法在几何问题中的运用可以帮助学生更直观地理解问题，并且提高他们的解题能力。

１、配方法:所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法.其中,用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式.因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法:换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化，使问题易于解决。

４、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，ａ≠0)根的判别式△=ｂ２-4aｃ,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法，在代数式变形,解方程(组)，解不等式,研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用.5、待定系数法：在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

它是中学数学中常用的重要方法之一。

6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法.运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

数学四大思想八大方法数学是一门古老而又深邃的学科，它的发展离不开一系列重要的思想和方法。

在数学的发展史上，有四大思想和八大方法被认为是至关重要的。

本文将围绕这一主题展开讨论，希望能够为读者们带来一些启发和思考。

首先，我们来谈谈数学的四大思想。

这四大思想分别是数学归纳法、递归思想、抽象思维和逻辑推理。

数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，通过证明一个基本情况成立，并假设n=k时成立，推导出n=k+1时也成立，从而得出结论。

递归思想则是将一个问题分解成若干个同类的子问题，通过解决子问题来解决原问题。

抽象思维是数学家们常用的一种思考方式，通过抽象出一般规律来解决具体问题。

逻辑推理则是数学证明中不可或缺的一环，通过合理的推理来得出结论。

接下来，我们来讨论数学的八大方法。

这八大方法分别是数学归纳法、递归法、反证法、构造法、逼近法、分类讨论法、数学建模法和数学实验法。

数学归纳法和递归法在四大思想中已经有所涉及，这里不再赘述。

反证法是通过假设命题的否定，推导出矛盾，从而证明原命题成立。

构造法是通过构造出满足条件的对象来解决问题。

逼近法是通过逐步逼近一个数值，得到一个足够精确的结果。

分类讨论法是将问题分成若干类别进行讨论，从而得出结论。

数学建模法是将实际问题抽象成数学模型，通过模型来解决问题。

数学实验法则是通过实验的方法来研究数学问题。

综上所述，数学的四大思想和八大方法贯穿于整个数学发展的历程中，它们不仅是数学家们解决问题的重要工具，也是培养数学思维和逻辑思维的重要途径。

希望通过本文的介绍，读者们能够对数学的思想和方法有更深入的了解，从而在学习和研究数学的过程中能够更加得心应手。

构造法在初中数学解题中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。

构造法是一种富有创造性的数学思想方法。

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。

充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。

下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

构造法证明高中数学
构造法是一种证明方法，它通常用于证明某种对象的存在性。

这种方法的思想是通过
构造出一个符合要求的对象来证明其存在性。

在高中数学中，构造法常用于证明某些几何
命题，例如如下命题：
命题1：三角形有三条中线，且三条中线交于一个点。

证明：我们可以通过构造来证明这个命题。

构造一个三角形 ABC，连接线段 AD、BE、CF，其中 D、E、F 分别是边 BC、AC、AB 的中点。

因为 D 是边 BC 的中点，所以 BD=DC；同理，AE=EC，BF=FA。

因此，在三角形 AEF 中，BE 和 CF 互相平分对方的边，所以
BE=CF，即三角形 AEF 的两条中线相等。

同理，我们可以证明三角形 BED 和三角形 CFD
的两条中线也相等。

因此，由于这三条中线相等，它们必须交于一个点，即所要证明的命
题成立。

命题2：正方形的对角线相等。

以上两个例子展示了如何使用构造法证明几何命题。

在构造证明时，我们需要注意以
下几点：
1. 需要清楚说明构造的对象符合证明所需的条件；
2. 构造过程需要严密，不能有任何遗漏；
3. 需要证明所构造的对象唯一，不能存在其他符合条件的对象；
4. 对于一些涉及测量的问题，需要说明测量单位和测量精度，以保证结果正确。

构造法虽然直观易懂，但也有其局限性。

有些问题即使使用构造法也难以解决，需要
使用其他方法。

例如，有些数学问题需要证明某个数不存在，这时常常需要采用反证法。

在学习数学证明方法时，需要灵活应用各种方法，以便更好地理解和掌握数学知识。

第57讲 整体处理法整体思维就是将问题看成一个完整的整体,把留意力和着眼点放在问题的整体上,全面地收集和获得信息,达到顺当而又简捷地解决问题的目的.典型例题【例1】已知53()sin 8(,,f x a x bx cx a b c =+++为常数),(2)10f =,求(2)f -的值. 【分析】所给函数解析式前三项均为奇次幂,最终一项是常数8,明显可以构造53()sin g x a x bx cx =++这一奇函数,则()(),(2)(2)g x g x g g -=--=-,这种视前三项为一个整体的方法称之为整体处理,而相对于()f x 而言是取了其中的一部分,这也是一种以特别性处理问题的方法.【解析】设53sin ()a x bx cx g x ++=,则()()8f x g x =+,而()g x 明显是R 上的奇函数,故有()()g x g x -=-,本题中(2)(2)g g -=-.由(2)(2)810f g =+=,得(2)2g =,故(2)(2)8(2)8286f g g -=-+=-+=-+=. 【例2】已知sin 3cos 2αα+=,求sin cos sin cos αααα-+的值.【分析】若用解方程组22sin 3cos 2,sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩的方法运算量太大，故可设sin cos sin cos αααα-=+ k ,原问题转化为求k 的值.【解析】设sin cos sin cos k αααα-=+,结合已知式sin 3cos 2αα+=可得11sin ,cos (2)22k kk k kαα+-==≠--，则2211122k k k k +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,整理得2420k k +-=,解得2k =-±故sin cos2sin cos αααα-=-+【例3】(1)设,x y 为实数,若2241x y xy ++=,则2x y +的最大值是___________.(2)已知,x y R +∈,满意21x y +=,则x .A.45B.25C.1【分析】本例两小题若由条件实行消元法转化为一元问题再求其最值,理论上讲得通,但操作不易.第(1)问,由于条件较困难,消元无法实现;第(2)问,消元虽然易于办到,但得到的是无理式,求其最小值仍旧困难很大(当然,运用三角换元可以实现化无理为有理的目标).假如我们留意数学问题中式的结构特征,实行整体换元,则解题思路忽然清晣起来.第(1)问,将2x y +视为一个整体,与题设条件联立,可把问题转化为x 的一元二次方程,利用判别式法轻松得到答案;第(2)问,可把x 看作一个整体,也可把1用2x y +这个整体代入,都能得到极其奇妙的解法.【解析】(1)令2x y t +=,则2y t x =-,代人2241x y xy ++=中,得226310x tx t -+-=,将它看作一个关于x 的二次方程,t 为参数,则由其判别式大于等于0,可得2Δ(3)4t =-⨯()2610t ⨯-,解得21010.25tx y ∴+(2)解法－（以x t=为整体,转化为求t 的最小值)令t x =移项得t x -=则222(),x t x y -=+由222(),21x t x y x y ⎧-=+⎨+=⎩得220,y ty t t -+-=此方程有解的必要条件Δ0，即()2240,t t t --解得0t 或4,5t而40,,5t x t=>∴又当45t =时，得32,105x y ==符合题意. x ∴小值45.故选A. 解法二（设,x t +=视2x y +为整体，构造新元xy运用判别式求解 由,21x tx y⎧⎪+=⎨+=⎪⎩得(2),xt x y =+(21)t x ty =-+. 两边平方并整理得()2224(1)2(21)10,t t x t t xy t y -+-+-=即()224(1)2(21)10,x x t t t t t y y ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222Δ4(21)44(1)14(54)0,t t t t t t t =--⨯--=-留意到40,.5t t>∴又当45t =时，2(21)34(1).,2443x t t y x y t -+-=-=∴=⨯结合21,x y +=得当且仅当21x y +=时，x 取最小值45，故选A. 解法三（构造以yx为新元的函数，换元可利用三角函数的有界性求解） 21,0,0.x y x y ＞＞.2y x t x x其中⎫∴====⎪⎝⎭+0,10,.(0,),120,2x x t x ∞>⎧⎛⎫∴∈∴∈+⎨ ⎪->⎝⎭⎩令tan 02t πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则x cos 12cos sin θθθ+==+记cos 1,2cos sin u θθθ+=+则sin (21)cos 1.) 1.u u θθθϕ+-=+=（其中21tan u u ϕ-=），sin() 1.θϕ∴+=22(21)1,u u ∴+-整理得24540,0,.5u u u u->∴ 当45u =时，34tan ,4,tan tan cot ,4223ππϕθθϕϕ⎛⎫=+=∴=-== ⎪⎝⎭43y x ∴=,结合21x y +=,得当且仅当32,105x y ==时,x 4.5故选A . 【例4】(1)过圆22:10O x y +=外一点()3,4P 向圆O 作两条切线,切点分别为,A B ,求直线AB 的方程,并对此命题进行推广；(2)过圆222x y R +=内部一点(),M a b 作动弦AB ,过,A B 分别作圆的切线,设两条切线的交点为P ,求证:点P 恒在一条定直线上运动.【分析】第()1问,已知圆方程222x y R +=及圆上一点()11,A x y ,则过点A 且与圆222x y R +=相切的方程是211x x y y R +=,若圆上另一点()22,B x y ,则过点B 且与圆222x y R +=相切的方程是222x x y y R +=,而本题要求的是直线AB 的方程,假如说上述两条切线相交于(),P m n ,则此点必同时满意两条切线方程,就可得221122,mx ny R mx ny R +=+=,从而说明白()11,A x y 及点()22,B x y 均在直线2mx ny R +=上,这就是圆的氻点弦AB 的方程.上述解题思路就是典型的整体处理法,有效地避开了大量困难的运算,依据这种整体处理法我们不仅可将圆推广到更为一般的情形,还可以得到椭圆、双曲线及扰物线氻点弦的方程.第(2)问,求证圆内部一点作动弦AB ,过,A B 分别作圆的切线且两切线交点为P ,则点P 恒在肯定直线上运动,其证法仍旧是整体处理法,同时也说明白题中的点所担当的运动与静止的角色是相对的,同一个点,依据须要,可随时敏捷选择和变换其角色,常得妙解.【解析】(1)设切点()()1122,,,A x y B x y ,则过点,A B 的圆2210x y +=的切线方程分别为112210,10.x x y y x x y y +=+=又两切线均过点()3,4P ,故有11223410,3410x y x y +=+=.这就说明点()11,A x y 及点()22,B x y 均在直线3410x y +=上.不同两点确定唯一的直线,∴直线AB 的方程为3410x y +=. 依据上述整体处理法,可得下面一系列推广性命题：推广一过圆222()()x a y b R -+-=外一点(,)P m n 向圆作两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 所在的直线方程为2()()()().m a x a n b y b R --+--=推广二过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点(,)P m n 向椭圆作两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 所在的直线方程为22 1.mx nya b+= 推广三过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点(,)P m n 向双曲线作两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 所在的直线方程为22 1.mx nya b-= 推广四过拋物线22(0)y px p =>外一点(,)P m n 向拋物线作两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 所在的直线方程为()ny p x m =+.(2)设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ,不妨将,,A B P 都视为定点(视动为静),先求直线AB 的方程.切线PA 的方程为211x x y y R +=,切线PB 的方程为222x x y y R +=,P 点在切线上2210102020,,.x x y y R x x y y R ∴+=+=这表明点,A B 都在直线200x x y y R +=上,故直线AB 的方程为200x x y y R +=,又点M 在直线AB 上,200x a y b R ①∴+=对随意点()00,P x y 都满意式(1),故动点P 必在直线2ax by R +=上(换静为动).第58讲构造整体法在解题过程中,有时可将局部的问题通过适当的增加补形得出某一整体或通过构造出若干整体表示,使问题简单解决,这种方法称为构造整体的思想方法.典型例题【例1】不查表,求sin1sin3sin5sin89A =⋅的值.【分析】本题要干脆求A 的值是困难的,可以将A 看作局部,构造整体sin1sin2sin3sin89B =,把原问题转化为求整体B ,可奇妙地得到A 的值.【解析】设sin1sin2sin3sin89B =⋅()()()sin1sin89sin2sin88sin44sin46sin45= ()()()sin1cos1sin2cos2sin44cos44sin45=111sin2sin4sin8822⎛⎫= ⎪⎝⎭152B A =⋅,从而152A =.【例2】设,,x y z 均为非负数,且满意关系式142x y z y z =+-=--,求222u x y z =--的最值.【分析】若将x 与y 表示为关于z 的式子,并代入u 得关于z 的二次函数,只能求得最小值而无法求得最大值,思维受阻,若将x y z ++作为整体设元,结合题设等式（留意是3个等式),可获得一种简便的解法.【解析】设,x y z k 结合原条件，有整体124x y z x y z x y z k，解得123724k xkyz k.代人u 可得21(3)12u k =--.由于,,x y z 均为非负数,则10,23770, 4.2340,k k k k 解得-⎧⎪⎪-⎪⎨⎪-⎪⎪⎩当73,43k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,即1x y z ===时,1u 最直=-;当4k =,即35,,022x y z ===时,12u 最值=-. 【例3】(1)求棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体的表面积和体积;(2)已知四面体ABCD 中,8,10,12AB CD AC BD AD BC ======,求四面体ABCD 的体积V .【分析】第(1)问,多面体的表面积是各个面的面积之和,求几何体的体积的基：本方法有公式法、割补法和等积更换法,把四面体补成一个正方体,使原四面体是由正方体的六条面对角线构成,就是构造整体法的思路,当然由于本例所给的几何体是正四面体,这种方法的优势不明显.第(2)问,实质上是第(1)问的推广,给出的四面体的对棱相等,若用公式法则操作实属不易,割补法也难入手.这时侯通过等积变换整体构造法的优势就体现出来了,明显这个呬面体是由长方体的6条面对角线构成的,一般地,若四面体的三组对棱长分别为,,a b c ，则设长方体的三度为,,x y z ，则由222222222x y a y zb z xc ，可得2222222222221()21()21()2x a b c y a b c z a b c ，则,,x y z 的值可求得（必需满意2220.0,0x y z ），*114,,,.63V V xyz xyz x y z V 方体代入的值即得所求的∴=-⋅=【解析】(1)四面体(S ABC -如图所示)的表面积4ABCS S=,取AB 的中点D ,联结CD ,则CD ==,于是21422S a a =⋅⋅=.对四面体S ABC -的体积V ,一般有以下3种解法,其中解法三将四面体补成一个正方体的方法就是运用整体思想的一个范例,实质上,分割与补形是相互转化的两个方面.解法一(公式法)如图所示,过S 作SO ⊥平面ABC ,联结SD ,则在Rt SOD 中,可得SO =.=则由锥体的体积公式可得23113312ABC V S SO a ∧=⋅==.解法二（分割法)不难证明AB ⊥平面SDC .又211224SDC S CD SO a a ∧=⋅==.311().3312A SDCB SDC SDC SDC V V V S AD DB S AB a --∧∧∴=+=⋅+=⋅=解法三(补形法)如图所示,将题中正四面体补成一个正方体(正四面体实质上是由正方体的6条面对角线构成),正方体的棱长为2a ,于是所求正四面体的体积3114432V V V 正方体三遫篧=-=-⨯⨯3.=(2)可知,,,,AB CD AC BD AD BC 、分别是异面直线,故分别过,AB CD 作两平行平面,过,AC BD 作两平行平面,可得一平行六面体AEBF NCMD -,由AB CD =,可得AEBF 对角线相等,故AEBF 为矩形;同理,平行六面体的6个面均为矩形,故它是长方体(如图106-所示).设,AF x AE y ==,AN z =,则22222264,100,144,x y yz z x 解得36,10,310.x yz V xyz 长方体∴==16A CDN BCDM C ABE D ABF VV V V xyz ---∴====. 11463V V xyz xyz 长方体∴=-⋅==留意:还须要指出的是运用补体法求四面体的体积是有条件的,四面体的每个面是锐角三角形才可能存在3组对棱相等的四面体.【例4】(1)设()()1122,,,A x y B x y 两点在拋物线22y x =上,直线l 是AB 的垂直平分线,当直线l 的斜率为2时,求l 在y 轴上截距的取值范围;(2)已知双曲线2212y x -=,经过点(1,1)M 能否作一条直线l ,使l 与双曲线交于点,A B ,且点M 是线段AB 的中点?若存在这样的直线l ,求出它的方程;若不存在,说明理由.【分析】在解析几何中为了求出某个量或探究存在性问题,经常须要借助其他量,对于这些协助量,只需表示而不必求出,谓之“设而不求”.比如本例两个小题,都须要设出()()1122,,,A x y B x y ,但这两点的坐标是不须要求出的,而且1122,,,x y x y 经常构成如12121212,,y y x x x x x x -+⋅-等表示,可以将其视作整体结果加入解题过程,这本质上也是一种整体代换,通常用于解决直线与圆锥曲线相交中涉及弦的中点问题.运用“设而不求”一要留意弦所在直线的斜率是否存在,二要留意运用判别式检验弦所在直线与曲线是否相交.第(1)问的解法中利用了“弦的中点在曲线内部”,对于封闭曲线和扏物线是可以的,但双曲线比较特别,故第(2)问只能运用判别式探讨直线l 的存在与否.【解析】(1)设()()1122,,,A x y B x y 两点在拋物线22y x =上,直线l 是AB 的垂直平分线,设直线l 在y 轴上的截距为b ,依题意直线l 的方程为2y x b =+,又设AB 的中点为()00,P x y ,则有2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减可得()()()12121212121212,2.2y y y y x x x x x x x x --=+-∴=+=-- 1212011,428x x x x x +∴+=-∴==-.代人直线方程2y x b =+,得014y b =-. 线段AB 的中点()00,P x y 在拋物线(含焦点)的内部,211248b ⎛⎫∴->⨯- ⎪⎝⎭,解得932b >. 即直线l 在y 轴上截距b 的取值范围为9,32∞⎛⎫+⎪⎝⎭. （2）设存在被点M 平分的弦AB ,且()()1122,,,A x y B x y ,则221122221212121222y xy x x x y y ①②③④， ①②两式相减,得()()()()12121212102x x x x y y y y ⑤+--+-= 把③④代人⑤得12122AB y y k x x -==-,故直线AB 的方程为12(1)y x -=-,由2212(1),1.2y x y x 消去y ,得22430x x -+=,而2Δ(4)2480=--=-<.这说明直线AB 与双曲线不相交,故被点M 平分的弦不存在,即不存在这样的直线l .11。

构造法在中学数学解题中的应用研究摘要：构造法是一种重要的划归手段，学生通过观察、分析、抓住特征、联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当的构造新的数学模型来达到解题的目的，在中学数学解题中具有重要的作用，主要涉及函数，图形，方程，数列等内容。

构造法是一种富有创造性的方法，属于非常规思维，运用构造法解题有利于培养学生的创造性思维，提高学生观察、分析、解决问题的能力。

关键词：构造法，观察，分析，创造性，解题一、构造法研究背景构造法是数学解题中一种十分重要的基本方法，是根据题目中所给的条件或者结论，通过观察、分析、联想与综合，利用各种知识间的内在联系，有目的的构造一个特定的数学模型，从而将一个命题转化成一个与之等价的命题。

构造法同样是一种创新的思维方法，解题过程中要打破常规思维，另辟蹊径，巧妙的解决。

构造法历史发展过程：从数学产生的那天起，数学中的构造性方法就伴随着产生了。

但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直观派有关。

直观派出于对数学的“可行性”的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造。

”这就是构造主义。

构造法的发展历史主要包括以下几个过程：（一）直观数学阶段，先驱者是19世纪末德国的克隆尼克。

他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。

”曾计划把数学算术化并在数学领域中清除一切非构造性的成分及其根源。

后续代表人物包括彭加勒，其主张所有的定义和证明都必须是构造性的。

以及近代构造法的系统创立者布劳威，其主张存在必须被构造的观点。

（二）算法数学阶段，由于直觉数学难以为人读懂，同时直觉数学对排斥非构造数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性，所以产生了另外几种构造性倾向，主要是算法数学。

算法数学是马尔科夫及其合作者创立的，并将此定义为：一种把数学的一切概念归约为一个基本概念——算法的构造性方法。

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( 初中物 理 第 一 册 第 1 2 3
地 球对空气 也有 吸引作 用 因 此 空气
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也受 到 重 力
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所 以 象 液 体对浸 在 它 里 面的 的
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中师 物理
,
自由落体运 动的 加速度 是 由重 力 产 生 的 因此这 个加速度 又 叫做重力加速度 通 常用 秒
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物 体要 产 生 压 强 一 样 空 气 对 浸 在 它 里 面 的 物体也要产生 压强
”
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用
这就
是简单的构造 思 想
。
所谓 构造 思 想 就是构 造
一 种事物并借 助 它认识与之相
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下面举几个简单例子 例
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1
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一
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关 的其他事物的 思 想方 法 在数学上 就是要构造“
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”
务
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的证 明 间题 证 明方法就是 甲 从 衣 兜 里 拿 出 一 支小手枪
构 成 的事实证 明了 结论
。
“
把构造 思 想 应用 到 解 ( 证 ) 题 之 中就称 为构 造 法 这种方法就是针对题 目的特点 先构造一个数学 对象 然后借助它来解题 使解题过 程 简捷 明快 深 入浅出
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、 、 、 、 、

子集构造法子集构造法是一种常见的数学思想，通常用于解决一些组合问题和概率问题，具有广泛的实际应用价值。

本文将主要介绍子集构造法的基本概念、特点、应用以及算法实现等方面。

一、子集构造法的基本概念子集构造法是一种从某个集合中构造出特定子集的思想，通常基于以下两个基本概念：（1）子集：指一个集合中的一部分元素所组成的集合。

（2）构造：指根据某种规律或方法将一个集合中的元素选取出来，组成一个子集。

基于以上两个基本概念，我们可以将子集构造法归纳为两种基本类型：顺序构造法和非顺序构造法。

顺序构造法：指按照某种规律依次枚举集合中的元素，依次将其选入或排出子集中，直到得到所需的子集。

非顺序构造法：指通过某种方法构造出所有可能的组合，然后从中选取满足条件的子集。

二、子集构造法的特点子集构造法具有以下几个特点：（1）自主性：通过自主选择子集元素的方式，实现了对子集构造过程的精细控制和管理。

（2）适应性：通过选择不同的子集元素或组合方式，实现了对不同复杂问题的建模和解决。

（3）简便性：通过简单易行的构造方法，实现了在大规模问题上高效地进行子集构造。

三、子集构造法的应用子集构造法主要应用于以下领域：（1）组合：包括组合数学、离散数学、概率论等领域。

如组合数学中的组合问题，离散数学中的二元关系问题等。

（2）算法优化：通过构造不同的子集来寻找最优解。

如贪心算法、动态规划算法等。

（3）数据分析：通过构造不同的子集来分析数据，并提高分析的精度和准确性。

如数据挖掘、数据分析等。

四、子集构造法的算法实现实现子集构造法算法的关键在于如何选择和管理子集元素。

一般来说，可以采用以下两种算法实现：（1）逐步选择：按照某种规律依次依次注入或排出集合中的元素，直到得到所需的子集。

这个方法一般用于简单的子集构造问题。

（2）递归选择：通过递归地选择和抛弃元素，实现复杂问题的子集构造。

这种方法适用于在选定元素后的子集中进行递归操作，实现更为复杂的构造过程。

谈核心素养下构造法在初中数学解题中的应用策略摘要:《初中数学新课程标准》提出：“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。

” 构造性思想方法作为一种极富创造性的数学思想方法，对于培养学生的数学能力和数学素质有很大的作用，本文结合数学实际,通过一些实例阐述"构造法"在数学教学中的应用。

关键词:构造法:概念;应用构造性思想方法含义很广，通常认为，根据待解问题的特殊性，设计并构造一个新的关系系统，即构造一个新的数学模式（比较熟悉并易于研究和解决的模式），通过对这个数学模式的研究实现原问题的解决。

构造性思想方法具有很大的灵活性，根据待解问题的特征，既可以构造方程、恒等式、不等式、函数等，利用“数”的模式解决有关数或形的问题；也可以通过构造图形、图象等，利用“形”的模式解决有关数或形的问题。

构造性思想方法在初中数学的解题中还是比较常见的，下面，我根据构造性思想方法经常应用的几种形式并结合自己的教学实践，用具体的例子谈谈这一思想方法在初中数学解题中的应用。

一、构造方程方程是中学数学中解决问题的一个重要工具，很多问题若用一般的方法去解决比较繁琐困难，但如果通过构造方程来解决，往往能够化繁为简，化难为易。

在构造方程的解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

例1、如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数。

分析：由题中的已知发现角与角之间要么相等，要么有倍分的关系，因此可设出其中一个角为x，把其他角都表示出来，再找出等量关系，构造一元一次方程来解决。

解：设∠ABD为x，因为DE=EB，则∠EDB=∠ABD=x，∠AED=∠EDB+∠ABD=2x，因为AD=DE，所以∠A=∠AED=2x，∠BDC=∠A+∠ABD=3x，因为BC=BD，所以∠BDC=∠C=3x，因为AB=AC，所以∠ABC=∠C=3x，根据∠A+∠ABC+∠C=180°得8x=180°，所以∠A=2x=45°。

浅谈构造法在数学分析中的应用【摘要】本文将详细探讨构造法在数学分析中的应用。

首先介绍构造法的基本概念，然后分别讨论构造法在集合论、实数分析、微积分以及极限理论中的具体应用。

通过分析这些应用案例，读者将更深入地理解构造法在数学分析中的重要性和实用性。

通过结论部分对构造法的优势和局限性进行总结，展示构造法在数学分析领域的价值和未来发展方向。

本文旨在为数学分析领域的研究者和学习者提供一份系统而全面的参考资料。

【关键词】构造法、数学分析、集合论、实数分析、微积分、极限理论、应用、构造方法、概念、结论1. 引言1.1 引言构造法是数学分析领域中一种重要的方法论，它通过构建对象或证明过程来解决问题。

在数学分析中，构造法被广泛应用于集合论、实数分析、微积分以及极限理论等各个方面。

在本文中，我们将探讨构造法在数学分析中的应用，并深入研究其基本概念和具体方法。

我们将介绍构造法的基本概念，包括其定义、特点以及相关理论基础。

然后，我们将重点讨论构造法在集合论中的具体应用，探讨如何通过构造法解决集合论中的问题和证明集合论中的结论。

通过本文的研究，我们希望能够深入理解构造法在数学分析中的应用，并掌握其具体方法和技巧，从而更好地应用构造法解决数学分析中的问题并推动数学分析领域的发展。

2. 正文2.1 构造法的基本概念构造法是数学分析中一种重要的方法论，它通过具体的建立对象或结构来解决问题，而不是仅仅依靠抽象的推理或推导。

构造法的基本概念包括：1. 利用已知对象构造新对象：构造法的核心思想是通过已知对象的性质，构造出一个新的对象，从而解决问题。

在实数分析中，我们可以通过已知的有理数构造出无理数，从而完善数系的结构。

2. 递归构造：构造法常常采用递归的方式来建立对象或结构。

通过不断重复某种规则或操作，逐步生成新的对象。

这种方法在集合论中尤为常见，如构造自然数、整数、有理数或实数的方法就是递归的。

3. 构造的唯一性与存在性：构造法不仅要考虑如何建立新的对象，还要确保这种构造的唯一性与存在性。