角的比较与和差

《方向角、仰角、俯角的定义，角的比较，角的和差》教学设计一、教学内容分析角的比较、角的和与差是本章重要的基础知识，也是后续学习几何图形必备的基础知识.角的大小比较方法有两种：度量法和叠合法. 其中，叠合法是本课重点讲解的一种方法，叠合时使两个角的顶点及一边重合，另一边落在第一条边的同旁，保证了可比性；度量法中量角器起到了移角作用，其实质是将两个角移动后叠合在一起. 比较两角的大小是本节知识产生、发展的起点，不论是图形还是数量，除角的大小外，自然会产生角的和与角的差的问题，再将角的和与差特殊化，自然又会产生等分问题.与线段的比较、线段的和与差、线段的中点一样，角的比较、角的和与差、角平分线也是从数和形两方面来研究的. 研究方法：一是数与形结合，角的度数通过测量或计算得到，再比较数量大小，通过数量大小关系得到图形的关系；二是仅从形出发，利用几何元素的位置来比较或推理. 从知识内容上看，角的比较、角的和与差是类比线段的比较、线段的和与差；从叙述方式上看，它们都是采用图形语言、文字语言和符号语言综合描述所研究的对象；从学习过程看，二者都注意从具体到抽象（模型→图形→文字→符号），同时也重视逆向思维的训练.基于以上分析，确定本节课的教学重点：角的大小、角的和与差的意义及数量关系；感受类比的思想.数学初始阶段，离不开实际生活，这里我们仍然会考虑实际生活中的角的研究，引入实际生活中方位角、仰角、俯角的定义，培养学生的几何抽象能力.角是由两条共端点的射线构成，在图形上比较于线段而言略显复杂，学生识图、分析图形会增加一些难度.总之，本节课将类比线段的学习过程，螺旋上升学生的几何抽象能力和推理论述水平.二、学生分析学生在前面知识的学习中已经积累了一些几何学习方法，对于几何抽象、几何作图、几何三种语言的转化有了一定的基础，但是学生的接受能力是有差异的，这一点在初学者身上会有明显地体现，特别是分类讨论的时候，有些同学往往不知道如何画图、如何表述，没有推理，只有计算的现象仍然会出现，对于这种正常的现象，教师要保持耐心，搭台阶，不要急于求成.三、目标确定1. 掌握仰角、俯角、方向角的定义，并会画图，测量、计算.2. 会利用测量法、叠合法进行两个角的大小比较.3. 会根据图形用符号语言表示角的和与差，会简单的推理计算.4. 会根据已知条件，分类画图、推理、计算.5. 培养几何抽象能力，建立类比的学习方法，培养分类讨论思想和推理能力.四、重点难点重点：会根据图形用符号语言表示角的和差，并会简单的推理计算；难点：会根据已知条件，分类画图、推理、计算.五、评价设计“方向角、仰角、俯角的定义，角的比较，角的和差”学习评价量表标准等级掌握仰角、俯角、方向角的定义和画法. A掌握测量法、叠合法比较角的大小. A会用符号语言表示角的和差. A会用符号语言对角进行简单的推理和计算. B会根据条件，画出位置不同的图形并对其进行分类解答问题. C六、活动设计教学环节教学活动设计意图教师活动学生活动情境导入问题1：小明同学站在三楼教室里向窗外平视时，发现树上有一只鸟，向上看时，看见树接近顶端有一个鸟窝，向下看时，发现树根处有一块石头，请问这个情境里面有什么几何图形？你能将它们抽象出来吗？学生尝试画图. 仰角、俯角概念出现在“锐角三角函数”中，方向角没有作为一个严格的概念出现过，但是从角的概念来看，它们是结合实际生活抽象出来的数学问题，这也是教材的一根主线. 相比角教师定义：仰角：当观察者抬头望一物时，其视线与水平线的夹角称为仰角.俯角：当观察者低头望一物时，其视线与水平线的夹角称为俯角.小明同学用自制测角仪，测得看鸟窝时，仰角为30°，看石头时俯角为40°，那么小明看鸟窝的视线与看石头的视线夹角是多少？请画图后说明理由.教师巡视，订正.问题2：小明在灯塔O上观察，发现货轮A在它北偏东60°的方向上，货轮B 在它南偏东45°的方向上，货轮C在它北偏东45°的方向上，请你面出图形，并计算∠AOB，∠AOC，∠BOC的度数.教师巡视，指导.教师定义：方向角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.规定：北偏东45°的方向，简称为东北方向；南偏东45的方向为东南方向. 学生在刚才画图基础上，标上字母或数字表示角，并进行简单推理.学生尝试根据实际情境作图，讨论，并进行简单推理. 根据教师指导完善画图和推理.的计算和比较，这些内容让学生觉得有些枯燥，因此适当将这两个易懂的概念迁移，插入角的计算，激发学生的兴趣，也使知识螺旋上升.巩固练习：利用直尺和量角器画出表示下列方向的射线：（1）在铅垂线同侧，仰角为68°，俯角为42°.（2）在同一地点观测，北偏西30°，南偏东60°，北偏东15°，西南方向. （3）根据（1）或（2）的图形，自拟一道角的计算题并完成解答. 学生根据实际情境作图，命题，进行简单推理，根据教师指导完善画图和推理.思考探究1.下发小条.提出问题：你可以比较图中三个角的大小吗？说说你的办法.类似线段比较大小的方法，比较角的大小也有如下两种方法：度量法——先用测量工具（如量角器）测量出每个角的度数，再通过测量结果的数据比较它们的大小；叠合法——将要比较的角的顶点和一条边重合，并使另一边落在同旁，看另一条边的相互位置来比较它们的大小.2.角的和差.（下发题目小条）学生思考，利用测量法，或者是裁剪下来使用叠合法比较三个角的大小.学生思考，识图，填空.这个环节会使学生类比线段的和差倍分的研究方法来分析解决问题，学生可以在此处复习巩固几何基本量的计算方法以及分类绘图等思想方法，在温故中进一步提高，虽然几何元素不确定，但是不确定的后面却又有一定的确定性，这是将来学生把握几何分类的思考突破口，虽然对称性还没有严格定义过，但是在小学中，学生已经感受过各种对称，此时教师应点明这种性质，为将来复杂的分类做好铺垫.（1）根据图1填空：∠AOC=______+______；∠BOD=______+______；∠AOC-∠BOC=______；∠AOD-∠BOC=______+______.（2）如图2，∠AOC=∠BOD=78°，∠BOC=35°，求∠AOD的度数.分析：可以根据等量减等量差相等，先求出∠AOB，∠COD的度数，再求∠AOD.解：方法一：∵∠AOC=∠BOD=78°，∠BOC=35°，∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=78°-35°=43°，∠COD=∠BOD-∠BOC=78°-35°=43°.∴∠AOB=∠COD.∴AOD=∠AOC+∠COD=78°+43°=121°.方法二：∵∠AOC=∠BOD=78°，∠BOC=35°，∴∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC=2∠AOC-∠BOC=78°×2-43°=121°.（3）如图3，∠AOB=90°，∠AOC：∠学生思考，分析图形，设参数，进行推理，完善解题过程.COD：∠BOD=1：3：5，求∠COD的度数.解：∵AOC：∠COD：∠BOD=1：3：5，∴设∠AOC=k，则∠COD=3k，∠BOD=5k.∴∠AOC+∠COD+∠BOD=9k.∵∠AOC+∠COD+∠BOD=∠AOB，∠AOB=90°，∴k=10°.∴∠COD=3k=30°.（4）若∠AOB：∠BOC=2：3，∠AOB=30°，求∠AOC的度数.分析：当射线OC在射线OB上方时，如图4.当射线OC在射线OB下方时，如图5. 学生思考，分类画出图形，设参数，进行推理，完善解题过程.教师总结：在直线、射线、线段的时候我们也遇到了分类讨论的问题，学生说，如果不给图就应该考虑到分类讨论，这个意识是对的，但是几何图形产生分类的根本原因是几何元素位置的不确定性造成的，其实这种不确定的背后也有一定的确定性，也就是对称性. 此题中，射线OC关于射线OB 对称. 注意“点在直线上”的条件往往存在着关于某点中心对称.练习巩固发诊断小条.1.根据下图填空：AOC=_______+_______；∠AOD ∠DOC=______；若∠AOB=30°，∠COD=40°，∠AOB=∠COB，则∠AOD=________.2.如图，∠AOC=90°，∠COD比∠DOA大22°，∠COB=∠DOA，求∠BOD的度数.学生做练习.课堂的复习巩固是对所学知识方法的重新温习，这个环节通过设计活动再次激发学生兴趣，并提高课堂效率.3.如图，将一副三角尺的两个直角顶点重合于点O.（1）若∠AOD=127°，求∠BOC的度数；（2）若∠AOD=2∠BOC，求∠BOC 的度数.（请画出抽象的几何图形解答，留下必要的线和角即可.）教师巡视指导.抽象图形如下：追问：若去掉上图条件，其他条件不变，请你画出抽象图形.（提示分类讨论）课堂小结教师点评，确定本节课的教学重点，演示测量法，叠合法比较两个角的大小.小结仰角、俯角、方向角概念，角的和差计算注意事项.本课知识点比较琐碎，通过“课堂小结”帮助学生梳理相关知识，加深他们对概念的理解.七、板书设计仰角、俯角定义例1（3）分类讨论方向角定义八、练习诊断1.（A）小明在博物馆看油画上沿仰角为55°，看油画下沿俯角为15°，请画出以小明眼睛为顶点，两种不同视线为边的角的图形，并计算该角的度数.小明的眼睛2.（A）货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D. 画出表示灯塔A，客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.3.（A）A，B两点表示两个不同的海上观测点，从A地发现在它北偏东60°的方向上有一艘轮船C，同时在B地发现这艘船C在它北偏东30°的方向，试通过作图确定该船C的位置，并测量∠ABC，∠ACB，∠BAC的大小，计算∠ABC+∠ACB+∠BAC的值.4.（A）如下图所示，点D，E分别在AC，BC边上，则∠ABC=________+_________；∠ADC ∠BDC=_______；∠DEC+________=180°；∠BDE+______=∠BDC.5.（B）已知∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=2：3：7，求∠A，∠B，∠C的度数.6.（B）如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=3∠AOC，求∠AOC的度数.7.（B）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，请抽象画出有关计算的角的图形并求∠AOC+∠DOB的值.8.（C）若∠AOB：∠BOC=3：2，∠AOB=30°，求∠AOC的度数.九、反思与改进本节课类比线段的大小、线段的和与差，学习角的比较、角的和与差，体会类比学习方法. 能从图形和数量关系两个角度认识角的大小，会用度量法和叠合法比较两个角的大小；能从几何图形和数量关系两方面认识角的和与差，知道两个角和差仍然是一个角，知道角的和差或等分的度数的计算；能结合角的大小、和与差的立体图形，用文字语言和符号语言描述它们，反之，给出符号语言或文字语言，能够画出图形及关系，用图形直观表示出来，为分类讨论的题目做准备.在学习过程中，能在回忆线段的大小、线段的和与差内容的基础上想象本节课所要学习的内容，做到对学习进程心中有数；能将对线段的大小、线段的和与差、线段的中点的研究方法和棊本思路迁移到角的相关问题研究中，不断提出问题、分析问题、解决问题.学生在学习方法和学习内容的理解上，没有困难. 困难在于准确完成图形语言、文字语言、符号语言之间的转化. 究其原因，一方面，语言是思维的产物，是实物和模型第一次抽象，是对研究对象的直观反映. 文字语言是对图形的描述、理解和讨论，符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象. 它们的综合运用，要求学生必须对研究对象从数和形上有着深刻的理解，并具有读图和画图的能力；二是学生缺乏培养和训练，对于图形、文字、符号语言的综合运用，虽然在学习线段知识时已有接触，但要达到融会贯通的程度还需要经过一段时间的学习和训练.11/ 11。

《角的和差》讲义一、角的概念在几何学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。

这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。

角通常用三个大写英文字母表示，例如∠AOB，其中 O 为顶点，A 和 B 分别为角的两条边。

也可以用一个大写英文字母表示，但这个字母必须是顶点处的字母，且顶点处只有一个角，比如∠O。

当角的顶点处有多个角时，我们还可以用数字或者一个小写希腊字母来表示角，比如∠1 或者∠α。

角的度量单位是度、分、秒。

1 度＝ 60 分，1 分＝ 60 秒。

二、角的比较比较角的大小有两种方法：1、度量法使用量角器测量出角的度数，度数大的角则大。

2、叠合法将两个角的顶点及一条边重合，另一条边在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较角的大小。

三、角的和差1、角的和如果有两个角∠A 和∠B，它们的和可以表示为∠A ＋∠B。

例如，∠A ＝ 30°，∠B ＝ 40°，则∠A ＋∠B ＝ 70°。

2、角的差角∠A 减去角∠B 可以表示为∠A ∠B。

例如，∠A ＝ 60°，∠B ＝ 20°，则∠A ∠B ＝ 40°。

我们可以通过作图来直观地理解角的和差。

（1）作角的和先画出∠A，然后以∠A 的一条边为边，在∠A 的外部画出∠B，此时所形成的角就是∠A ＋∠B。

（2）作角的差先画出∠A，然后以∠A 的一条边为边，在∠A 的内部画出∠B，此时∠A 中剩下的部分就是∠A ∠B。

四、角平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

例如，若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝∠BOC ＝1/2∠AOB。

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上。

五、例题讲解例 1：已知∠AOB ＝ 70°，∠BOC ＝ 30°，求∠AOC 的度数。

七年级上册数学角的比较与运算一、角的比较在七年级上册数学中，角的比较是基础知识点之一。

比较角的大小可以通过度量法和叠合法两种方法进行。

1. 度量法：使用量角器测量角的度数，可以直接比较大小。

在比较两个角的大小时，首先应该确定它们的度数，然后根据度数大小来判断角的大小。

2. 叠合法：将两个角的一边和顶点重合，通过观察另一边的位置来判断角的大小。

如果另一边在重合边的同一侧，则这个角比另一个角小；如果另一边在重合边的不同侧，则这个角比另一个角大。

二、角的运算角的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

这些运算可以通过角的和、差、积、商的定义进行计算。

1. 角的和与差：如果两个角的大小之和等于另一个角的大小，那么这两个角叫做互为补角；如果两个角的大小之差等于另一个角的大小，那么这两个角叫做互为邻补角。

利用角的和、差性质，可以计算角的和与差。

例如，如果一个角是30°，另一个角是它的邻补角，那么这两个角的和为90°，差为60°。

2. 角的乘法与除法：在特殊情况下，角的倍数和分数可以通过旋转或对称得到。

例如，一个角的两倍等于将这个角的两边分别延长至原来的两倍；一个角的一半等于将这个角的两边分别缩小到原来的一半。

同样地，一个角的四分之一等于将这个角的两边分别缩小到原来的四分之一。

通过这些方法，可以计算出角的倍数和分数。

三、应用实例在实际问题中，常常需要利用角的比较与运算来解决一些几何问题。

例如，计算角度、比较线段长度等。

下面举一个应用实例：假设有一个三角形ABC，其中∠A=30°，∠B=60°，要找出∠C的度数。

根据三角形内角和定理，一个三角形的三个内角之和为180°。

因此，我们可以利用这个定理来计算∠C的度数。

具体来说，∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°。

通过这个例子可以看出，利用角的比较与运算可以解决一些基础的几何问题。

第六章几何图形初步6.3.2 角的比较与运算教学目标课题 6.3.2 第1课时角的比较与运算授课人素养目标1.能比较两个角的大小，会计算角的和、差.2.会利用三角尺拼角，锻炼动手动脑能力，培养合作交流意识.教学重点学会比较角的大小的方法，并且能够进行简单的角度加减运算.教学难点含度、分、秒的角度的和、差运算.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课【情境引入】有一天李明和王芳各带了一把折扇（状态如下）.同学们有办法帮他们进行判断吗？学习完今天这节课，大家就能轻松找到答案了！【教学建议】教师可准备好道具，现场示范，让学生有更生动的认识.设计意图从生活中的情境引入，激发学生的兴趣，为本节课的学习奠定基础.活动二：实践探究，获取新知探究点1角的大小比较问题我们已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的大小呢？类比线段长短的比较，你能得出哪些比较方法？度量法和叠合法.【教学建议】（1）教师可适当引导学生回顾用量角器进行度设计意图类比线段的大小比较方法探究角（1）现有如图两个角∠1和∠2，请你用量角器量出它们的度数，并比较它们的大小.通过用量角器进行度量，得到∠1＝55°，∠2＝40°.因为55°＞40°，所以∠1＞∠2.（2）下面是用叠合法比较两个角的大小所得到的不同情况，请你结合图形，判断两个角的大小.【对应训练】如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列各式错误的是④（填序号）.①∠AOB＜∠AOD；②∠BOC＜∠AOB；③∠COD＜∠AOD；④∠AOB＜∠AOC.解析：根据用叠合法比较两个角的大小分析可知①②③正确，④错误..问题1（教材P173思考）类比两条线段的和与差，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？教师总结：共顶点的几个角，可进行加减.问题2（教材P173探究）参考下图，借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？列表总结：教材P174练习第1，2题.例（教材P174例2）如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数.分析：AB是直线，∠AOB是平角，∠BOC与∠AOC的和是∠AOB.解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－53°17′＝126°43′.【对应训练】教材P174练习第3题.运算.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.比较两个角大小的方法有哪些？2.借助三角尺利用角的和、差可以画出哪些角？3.如何进行度、分、秒的加、减运算？【知识结构】【作业布置】1.教材P178习题6.3第2（5），3（3），9题。