立体几何平行证明问题讲义教师

3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。

§13.2 平行的判定与性质考纲解读考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.线面平行的判定与性质 1.线面平行的证明2.线面平行的性质应用B16题 14分16题 14分解答题 ★★★2.面面平行的判定与性质1.面面平行的证明2.面面平行的性质应用B16题14分解答题 ★★★分析解读 空间平行问题是江苏高考的热点内容,主要考查线面平行,偶考面面平行及平行的性质,复习时要抓住解决平行问题常用的基本方法,识别一些基本图形如:锥体、柱体的特征.五年高考考点一 线面平行的判定与性质1.(2015安徽改编,5,5分)已知m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是. (1)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行; (2)若m,n 平行于同一平面,则m 与n 平行; (3)若α,β,则在α内与β平行的直线; (4)若m,n,则m 与n垂直于同一平面.答案 (4)2.(2014辽宁改编,4,5分)已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是.①若m∥α,n∥α,则m∥n; ②若m⊥α,n ⊂α,则m⊥n; ③若m⊥α,m⊥n,则n∥α; ④若m∥α,m⊥n,则n⊥α. 答案 ②3.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别为AB,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且B 1D⊥A 1F,A 1C 1⊥A 1B 1.求证:(1)直线DE∥平面A 1C 1F; (2)平面B 1DE⊥平面A 1C 1F.证明 (1)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,A 1C 1∥AC. 在△ABC 中,因为D,E 分别为AB,BC 的中点, 所以DE∥AC,于是DE∥A 1C 1.又因为DE ⊄平面A 1C 1F,A 1C 1⊂平面A 1C 1F, 所以直线DE∥平面A 1C 1F.(2)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,A 1A⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1,所以A 1A⊥A 1C 1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F. 因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.4.(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF.连结DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF,因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I.连结GI,HI.在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB.在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.5.(2015山东,18,12分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.证明(1)证法一:连结DG,CD,设CD∩GF=M,连结MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以H M∥BD,又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得B E∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)连结HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CF∥HE,又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.6.(2014江苏,16,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.证明(1)证明:因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4. 又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.7.(2014北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.解析(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB,又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB中点G,连结EG,FG.因为G,E,F分别是AB,A1C1,BC的中点,所以EC1=A1C1,FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥E G.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB==.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×××1×2=.教师用书专用(8—13)8.(2016四川,17,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.解析(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:连结CM.因为AD∥BC,BC=AD,所以BC∥AM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,所以CM∥平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明:连结BM,由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,因为AD∥BC,BC=AD,所以直线AB与CD相交,所以PA⊥平面ABCD.从而PA⊥BD.因为AD∥BC,BC=AD,所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.又B D⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.9.(2016课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.解析(1)证明:由已知得AM=AD=2,取BP的中点T,连结AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.(3分)又AD∥BC,故TN AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(6分)(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.(9分)取BC的中点E,连结AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积V N-BCM=·S△BCM·=.(12分)10.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.解析(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以AD∥BC.又因为AD⊂平面PDA,BC⊄平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:取CD的中点,记为E,连结PE,因为PD=PC,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以PE⊥BC.因为四边形ABCD为长方形,所以BC⊥DC.又因为PE∩DC=E,所以BC⊥平面PDC.而PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)连结AC.由(2)知,BC⊥PD,又因为AD∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=AD·PD=×3×4=6.在Rt△PDE中,PE===.S△ADC=AD·DC=×3×6=9.由(2)知,PE⊥平面ABCD,则PE为三棱锥P-ADC的高.设点C到平面PDA的距离为d,由V C-PDA=V P-ADC,即d·S△PDA=PE·S△ADC,亦即×6d=××9,得d=.故点C到平面PDA的距离为.11.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2,点G,E,F,H 分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.解析(1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.(2)连结AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连结OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK,所以GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.再由PO∥GK得GK=PO,且G是PB的中点,所以GH=BC=4.由已知可得OB=4,PO===6,所以GK=3.易得EF=BC=8,故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=18.12.(2014四川,18,12分)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.解析(1)证明:因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线 ,所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC,所以AA1⊥B C.又AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC⊥平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M,连结A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知可知O为AC1的中点.连结MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,所以MD AC,OE AC,因此MD OE.连结OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC,MO⊂平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.13.(2014山东,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证:AP∥平面BEF;(2)求证:BE⊥平面PAC.证明(1)设AC∩BE=O,连结OF,EC.由于E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在△PAC中,可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以BE⊥平面PAC.考点二面面平行的判定与性质1.(2013安徽理,15,5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当<CQ<1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为答案①②③⑤2.(2013江苏,16,14分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC,因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.教师用书专用(3)3.(2013陕西,18,12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.解析(1)证明:由题设知,BB1DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1,∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1B1C1BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1,∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B=B,∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.又∵AO=AC=1,AA1=,∴A1O==1.又∵S△ABD=××=1,∴=S△ABD×A1O=1.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一线面平行的判定与性质1.(苏教必2,一,2,变式)下列命题中正确的是.①若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面;②若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行;③平行于同一条直线的两个平面平行;④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.答案④2.(2016江苏扬州中学综合练习,8)设α,β为互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出下列四个命题:①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β.其中正确命题的序号为.答案④3.(2016江苏镇江一模,7)设b,c表示两条直线,α,β表示两个平面,现给出下列命题:①若b⊂α,c∥α,则b∥c;②若b⊂α,b∥c,则c∥α;③若c∥α,α⊥β,则c⊥β;④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.其中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号)答案④4.(2018江苏徐州铜山中学期中)如图,在三棱锥S-ABC中,SA=SC,AB⊥AC,D为BC的中点,E为AC上一点,且DE∥平面SAB,求证:(1)直线AB∥平面SDE;(2)平面ABC⊥平面SDE.证明(1)因为DE∥平面SAB,DE⊂平面ABC,平面SAB∩平面ABC=AB,所以DE∥AB,因为DE⊂平面SDE,AB⊄平面SDE,所以AB∥平面S DE.(2)因为D为BC的中点,DE∥AB,所以E为AC的中点,又因为SA=SC,所以SE⊥AC,又AB⊥AC,DE∥AB,所以DE⊥AC.又DE,SE⊂平面SDE,DE∩SE=E,所以AC⊥平面SDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SDE.5.(2017江苏镇江一模,16)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=EC=AA1.(1)求证:AC1∥平面BDE;(2)求证:A1E⊥平面BDE.证明(1)连结AC交BD于点O,连结OE.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为正方形,∴点O为AC的中点,∵AA1=CC1,EC=AA1,∴EC=CC1,即点E为CC1的中点,∴在△CAC1中,AC1∥OE.又因为OE⊂平面BDE,AC1⊄平面BDE,所以AC1∥平面BDE.(2)连结B1E.设AB=a,则在△BB1E中,BE=B1E=a,BB1=2a,所以BE2+B1E2=B,所以B1E⊥BE.由ABCD-A1B1C1D1为长方体,得A1B1⊥平面BB1C1C,∵BE⊂平面BB1C1C,所以A1B1⊥BE.又B1E∩A1B1=B1,B1E⊂平面A1B1E,A1B1⊂平面A1B1E,∴BE⊥平面A1B1E.又因为A1E⊂平面A1B1E,所以A1E⊥BE.同理,A1E⊥DE.又因为BE⊂平面BDE,DE⊂平面BDE,BE∩DE=E,所以A1E⊥平面BDE.6.(2017江苏南京高淳质检,16)如图,四棱锥P-ABCD中,O为菱形ABCD对角线的交点,M为棱PD的中点,MA=MC.(1)求证:PB∥平面AMC;(2)求证:平面PBD⊥平面AMC.证明(1)连结OM,因为O为菱形ABCD对角线的交点,所以O为BD的中点,又M为棱PD的中点,所以OM∥PB,又OM⊂平面AMC,PB⊄平面AMC,所以PB∥平面AMC.(2)在菱形ABCD中,AC⊥BD,且O为AC的中点,又MA=MC,故AC⊥OM,而OM∩BD=O,OM,BD⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD,又AC⊂平面AMC,所以平面PBD⊥平面AMC.7.(2017南京、盐城二模,16)如图,四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB.(1)求证:CD⊥AP;(2)若CD⊥PD,求证:CD∥平面PAB.证明(1)因为AD⊥平面PAB,AP⊂平面PAB,所以AD⊥AP.又因为AP⊥AB,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以AP⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD,所以CD⊥AP.(2)因为CD⊥AP,CD⊥PD,且PD∩AP=P,PD⊂平面PAD,AP⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.①因为AD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,所以AB⊥AD.又因为AP⊥AB,且AP∩AD=A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD.②由①②得CD∥AB,因为CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB.考点二面面平行的判定与性质8.(苏教必2,一,2,变式)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、DC、SC的中点,求证:(1)直线EG∥平面BDD1B1;(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图,连结SB,∵E、G分别是BC、SC的中点,∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连结SD,∵F、G分别是DC、SC的中点,∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,∴FG∥平面BDD1B1,又EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面BDD1B1.9.(苏教必2,一,2,变式)如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图,连结AE,与DF交于点O,连结MO,易知,O为AE的中点,因为M为AB的中点,所以MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB中点,N为AD中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共10分)1.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是.①AB∥CD;②AD∥CB;③AB与CD相交;④A,B,C,D四点共面.答案④2.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m.γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为.答案 1二、解答题(共30分)3.(2017苏锡常镇四市教学情况调研(二),16)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,E,F,G分别为AB,AD,AC的中点,AC=BC,∠ACD=90°.(1)求证:AB⊥平面EDC;(2)若P为FG上任意一点,证明:EP∥平面BCD.证明(1)因为平面ABC⊥平面ACD,∠ACD=90°,平面ABC∩平面ACD=AC,CD⊂平面ACD,所以CD⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,所以CD⊥AB,因为AC=BC,E为AB的中点,所以CE⊥AB,又CE∩CD=C,CD⊂平面EDC,CE⊂平面EDC,所以AB⊥平面EDC.(2)连结EF,EG,EP,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,又BD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,所以EF∥平面BCD,同理可证EG∥平面BCD,又EF∩EG=E,EF⊂平面EFG,EG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面BCD,又P为FG上任一点,所以EP⊂平面EFG,所以EP∥平面BCD.4.(2017江苏淮阴中学第一学期期末)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是正方形,正三角形BCE的边长为2,DE=2,F为线段CD的中点,G为线段AE的中点.(1)求证:GF∥平面BCE;(2)求证:平面ABCD⊥平面BCE.证明(1)取BE的中点H,连结GH,CH,所以GH为△A BE的中位线,所以GH∥AB,且GH=AB,易知CF∥AB,且CF=AB,所以HG CF,所以四边形GHCF为平行四边形,所以GF∥HC,因为HC⊂平面BCE,GF⊄平面BCE,所以GF∥平面BCE.(2)由题意知DC=EC=2,ED=2,所以DC2+EC2=ED2,所以DC⊥E C,又因为四边形ABCD是正方形,所以DC⊥BC,又EC,BC⊂平面BCE,EC∩BC=C,所以DC⊥平面BCE,又因为DC⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面BCE.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 证明直线与平面平行的常用方法1.如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径,C是圆O上的点,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)连结OG并延长交AC于M,连结QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC.由O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.2.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF 位置,使得A'C=2.(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积;(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求A'M的长;若不存在,请说明理由.解析(1)连结AC,与EF交于点H,连结A'H.∵四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,∴H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH,从而有A'H⊥EF,又A'H∩CH=H,∴EF⊥平面A'HC,∵EF⊂平面ABCD,∴平面A'HC⊥平面ABCD,过点A'作A'O垂直HC交HC于点O,∵平面A'HC∩平面ABCD=CH,∴A'O⊥平面ABCD,因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,故A'H=2,CH=4,所以cos ∠A'HC===.所以HO=A'H·cos ∠A'HC=,∴A'O=,所以五棱锥A'-BCDFE的体积V=××=.(2)线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,此时A'M=.理由如下:连结OM,BD,BM,DM,易知BD过O点.因为A'M==A'C,HO=HC,所以OM∥A'H,又OM⊄平面A'EF,A'H⊂平面A'EF,所以OM∥平面A'EF,易知BD∥EF,因为BD⊄平面A'EF,EF⊂平面A'EF,所以BD∥平面A'EF,又BD∩OM=O,所以平面MBD∥平面A'EF,因为BM⊂平面MBD,所以BM∥平面A'EF.方法2 平行的性质及应用3.在三棱锥P-SBC中,A,D分别为边SB,SC的中点,AB=2,BC=4,CD=2.平面PSB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证:PA⊥CD;(2)若平面PAD∩平面PBC=l,求证:l∥BC.证明(1)因为A、D分别为SB,SC的中点,且AB=2,CD=2,所以AD∥BC,且SB=4,SC=4,又因为BC=4,且42+42=(4)2,所以SB⊥BC,所以AD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以AD⊥PA.同理,可证明AB⊥PA,而AB,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD,因为CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.(2)因为AD∥BC,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD,又BC⊂平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥BC.。

高考数学专题讲解：立体几何平行证明第一部分：三角形中位线平行于底边第一部分：三角形自现原则一（原创方法）例题一：已知：E 为PA 的中点，F 为PB 的中点。

分析方法：确定目标三角形（有中位线的三角形）E 为PA 的中点⇒点P 和点A 为目标三角形的两个端点；F 为PB 的中点⇒点P 和点B 为目标三角形的两个端点；中位线：EF点P 和点A ，点P 和点B ⇒目标三角形⇒PAB AB EF //⇒。

底边：AB分析：①两个中点的连线为中位线；②目标三角形的四个端点，去掉两个相同端点，两个不同端点组成的边为底边。

证明方法：E 为PA 的中点，F 为PB 的中点EF ⇒为PAB ∆的中位线AB EF //⇒。

例题二：已知：A 为DE 的中点，B 为DF 的中点。

分析方法：确定目标三角形（有中位线的三角形）A 为DE 的中点⇒点D 和点E 为目标三角形的两个端点；B 为DF 的中点⇒点D 和点F 为目标三角形的两个端点；中位线：AB点D 和点E ，点D 和点F ⇒目标三角形⇒DEF EF AB //⇒。

底边：EF证明方法：A 为DE 的中点，B 为DF 的中点AB ⇒为DEF ∆的中位线EF AB //⇒。

训练一：已知：M 为AB 的中点，N 为AC 的中点。

训练二：已知：P 为MA 的中点，Q 为MB 的中点。

训练一证明：M 为AB 的中点，N 为AC 的中点MN ⇒为ABC ∆的中位线BC MN //⇒。

训练二证明：P 为MA 的中点，Q 为MB 的中点PQ ⇒为MAB ∆的中位线AB PQ //⇒。

例题一：2012年高考数学浙江卷：如下图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为32的菱形，且0120=∠BDA ，且⊥PA 平面ABCD ，62=PA ，M 、N 分别为PB 、PD 的中点。

（Ⅰ）证明：//MN 平面ABCD 。

证明：M 为PB 的中点，N 为PD 的中点MN ⇒为PBD ∆的中位线BD MN //⇒，⊂BD 平面ABCD //MN ⇒平面ABCD 。

直线、平面平行的判定及其性质（讲义）知识点睛一、直线与平面平行（简称线面平行）1.判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线______，则该直线与此平面平行．几何语言：___________________________________．2.性质定理：一条直线与一个平面平行，则经过这条直线的任一平面与此平面的______与该直线_________．几何语言：_________________________________．二、平面与平面平行（简称面面平行）1.判定定理：一个平面内的___________与另一个平面平行，则这两个平面平行．几何语言：____________________________________．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．几何语言：____________________________________．2.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．几何语言：____________________________________．推论：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线都平行于另一个平面．几何语言：____________________________________．需注意：①在推证线面平行时，需要注意直线不能在平面内．②把线面平行转化为线线平行时，需要清楚经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．精讲精练1.如果直线a∥平面α，那么（）A．a只能平行于α内的一条直线B．a平行于α内的所有直线C．a平行于α内的任意一条直线D．a与α内的直线是异面直线或平行直线2.若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能3.直线a∥平面α，平面α内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的（）A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有4.已知直线a∥平面α，直线b与平面α不平行，则（）A．a不平行于bB．a∥bC．a与b相交D．a∥b或a与b相交或a与b异面5.已知α∩β=b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是（）A．a∥b B．a⊥bC．a，b相交但不垂直D．a，b异面6.设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a∥α，a⊂β，α∩β=b，则a∥b7.a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出以下六个命题：①a ca bb c⎫⇒⎬⎭；②aa bbγγ⎫⇒⎬⎭；③ccααββ⎫⇒⎬⎭；④αγαββγ⎫⇒⎬⎭；⑤caa cαα⎫⇒⎬⎭；⑥aaγααγ⎫⇒⎬⎭．其中正确的命题是（）A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④8.给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．09.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面BA1C1和直线AC的位置关系是（）A．AC∥平面BA1C1B．AC与平面BA1C1相交C．AC在平面BA1C1内D．上述答案均不正确第9题图第10题图10.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE:EB=AF:FD=1:4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（）A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形11.如下四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．第12题图第13题图13.过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．14.若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD ，AC 的截面四边形的周长为________．第14题图第15题图15.如图，三棱锥A -BCD 中，AB =CD =a ，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长是（）A ．4aB ．2aC ．32aD ．周长与截面的位置有关16.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD．17.如图，三棱柱ABC-A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB．当点M 在何位置时，BM∥平面AEF？18.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB中AB边上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．19.如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．证明：CC1∥平面A1BD．20.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，A 1D 1的中点，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点．（1）求证：四边形BDFE 是梯形；（2）求证：平面AMN ∥平面EFDB ．21.如图所示，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：（1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】一、1．平行a b ，αα⊄⊂，且a b a ∥∥α⇒2．交线平行a a ∥，αβ⊂，=b a b∩∥αβ⇒二、1．两条相交直线=a b a P a b βββαααβ⊂⊂⇒，，∩，∥，∥∥==a b a b P m n m n Q a m b n，，∩，，，∩，∥，∥ααββ⊂⊂⊂⊂∥αβ⇒2．==a b a bαβαγβγ⇒∥，∩，∩∥a a αβαβ⊂⇒∥，∥【精讲精练】1．D2．D 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．C 9．A 10．B 11．A 1213．614．2015．B 16．证明略（分析：可以取OD 的中点、AD 的中点或OB 的中点，利用线面平行的判定定理或面面平行的判定定理进行证明）17．M 为AC 的中点18．SG ∥平面DEF ，证明略（方法一：利用面面平行的判定定理直接证明；方法二：连接CG 交DE 于点H ，连接FH ，通过证明FH ∥SG 得到结论）19．证明略（分析：连接CA 交DB 于点H ，连接A 1H ，通过证明CC 1∥A 1H 得到结论）20．证明略21．证明略直线、平面平行的判定及其性质（随堂测试）1．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，AA 1的中点，求证：（1）BD 1∥平面AEC ；（2）平面BD 1F ∥平面AEC ．【参考答案】1．证明略（分析：（1）令AC 与BD 交于点O ，连接OE ，证明OE ∥BD 1即可得到结论；（2）证明D 1F ∥AE 或BF ∥CE ，再结合（1）利用面面平行的判定定理即可得到结论）直线、平面平行的判定及其性质（作业）1．下列命题中正确的个数是（）①若直线a不在平面α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3D．42．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3．设a，b是异面直线，a⊂平面α，则过b且与α平行的平面（）A．不存在B．有1个C．可能不存在，也可能有1个D．有2个以上4．设a，b为直线，α，β为平面，P是空间中一点，下面命题中正确的是（）A．若a⊄α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD．若P∈a，P∈β，a∥α，α∥β，则a⊂β5．设m，n为直线，α，β为平面，则能够使m∥α的条件是（）A．m∥n，n∥αB．α∩β=n，m∥n，m⊄αC．m∥β，α∥βD．m∥n，n⊂α6．下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④7．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC，其中正确的有____________．第7题图第8题图8．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD 和AE的中点，则MN与平面CDE的关系是_____________．9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是B1C和BD的中点，求证：MN∥平面AA1B1B．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？11．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．12．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1，B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E-BCD的体积．求证：（1）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP；（2）平面MNP与平面ACD的交线∥AC．14．如图所示，在三棱锥P-ABQ中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．求证：AB∥GH．【参考答案】1．B2．C3．C4．D5．B6．B7．①②③8．平行9．证明略10．点Q为CC1的中点11．证明略12．（1）证明略；（2）V E-BCD=1213．证明略14．证明略（提示：先证明AB∥CD，CD∥平面EFQ，再利用线面平行性质，得到CD∥GH，进而得到AB∥GH）。

线面平行的判定与性质练习一、基本内容 1.线面平行的判定2.线面平行的性质二、练习题题型一：概念性习题1．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面2．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 ( ) A. α⊂l B.α//l C.αα//l l 或⊂ D.相交和αl3．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直4．下列各命题中假命题的个数为 ( )（1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；（3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。

A 0B 1C 2D 35．若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 6．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交 C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行 D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．判断下列命题是否正确：(1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( )(2)若直线α⊄l ，则l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ( ) (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( )(5)若平面α内有一条直线和直线l 异面，则α⊄l ( ) 题型二：证明题8．P 为平行四边形ABCD 外一点，E 是PA 的中点，O 是AC 和BD 的交点，求证：OE//平面PBC 。

§8.4　平行关系最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1．直线与平面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件a∩α＝∅a ?α，b ⊈α，a ∥ba ∥αa ∥α，a ?β，α∩β＝b结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2.面面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件α∩β＝∅a ?β，b ?β，a ∩b＝P ，a ∥α，b ∥αα∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b α∥β，a ?β结论α∥βα∥βa ∥ba ∥α知识拓展重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　×　)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　√　)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　)题组二　教材改编2．下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊈α，则b∥α答案　D解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案　平行解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊈平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.题组三　易错自纠4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案　A解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.5．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号)答案　②④解析　在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案　平行四边形解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH 是平行四边形．题型一　直线与平面平行的判定与性质命题点1　直线与平面平行的判定典例如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AD ，E ，F ，H 分别为线段12AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：GH ∥平面PAD .证明　(1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝AD ，12∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为AC 的中点．又F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，又FO ?平面BEF ，AP ⊈平面BEF ，∴AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点，∴FH ∥PD ，又PD ?平面PAD ，FH ⊈平面PAD ，∴FH ∥平面PAD .又O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，∴OH ∥AD ，又AD ?平面PAD ，OH ⊈平面PAD ，∴OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面PAD .又GH ?平面OHF ，∴GH ∥平面PAD .命题点2　直线与平面平行的性质典例 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面17ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．(1)证明　因为BC ∥平面GEFH ，BC ?平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解　如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD ?底面ABCD ，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊈平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝DB ＝OB ，即K 为OB 的中点．1412再由PO ∥GK 得GK ＝PO ，12即G 是PB 的中点，且GH ＝BC ＝4.12由已知可得OB ＝4，2PO ＝＝＝6，PB 2－OB 268－32所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝·GKGH ＋EF2＝×3＝18.4＋82思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a ⊈α，b ?α，a ∥b ⇒a ∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a ?α⇒a ∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊈α，a ⊈β，a ∥α⇒a ∥β)．跟踪训练(2018届昆明一中摸底)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点M ，N 分别为A 1C 1，AB 1的中点．(1)证明：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若CM ⊥MN ，求三棱锥M —NAC 的体积．(1)证明　连接A 1B ，BC 1，点M ，N 分别为A 1C 1，AB 1的中点，所以MN 为△A 1BC 1的一条中位线，MN ∥BC 1，又因为MN ⊈平面BB 1C 1C ，BC 1?平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解　设点D ，E 分别为AB ，AA 1的中点，AA 1＝a ，连接ND ，CD ，则CM 2＝a 2＋1，MN 2＝1＋＝，CN 2＝＋5＝，由CM ⊥MN ，得a 2＋44a 2＋84a 24a 2＋204CM 2＋MN 2＝CN 2，解得a ＝，又NE ⊥平面AA 1C 1C ，NE ＝1，2V 三棱锥M —NAC ＝V 三棱锥N —AMC ＝S △AMC ·NE 13＝××2××1＝.1312223所以三棱锥M —NAC 的体积为.23题型二　平面与平面平行的判定与性质典例如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明　(1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC .∵EF ⊈平面BCHG ，BC ?平面BCHG ，∴EF ∥平面BCHG .∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB .又∵A 1E ⊈平面BCHG ，GB ?平面BCHG ，∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ?平面EFA ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .引申探究在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM⊈平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊈平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．跟踪训练(2018届南昌摸底)如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P—ABM的体积．(1)证明　∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA.又∵MN⊈平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∵∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊈平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又∵CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.(2)解　由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB 的距离．由已知得，AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，3∴三棱锥P—ABM的体积V＝V三棱锥M—PAB＝V三棱锥C—PAB＝V三棱锥P—ABC ＝××1××2＝. 1312333题型三　平行关系的综合应用典例如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF 的长．(1)证明　①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC ＝BD 知，AC ∥BD .∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴EF ∥BD .又EF ⊈β，BD ?β，∴EF ∥平面β.②当AB 与CD 异面时，如图所示，设平面ACD ∩平面β＝DH ，且DH ＝AC ，∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH ＝AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ，连接EG ，FG ，BH .又∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ＝AG ∶GH ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH .又EG ∩GF ＝G ，BH ∩HD ＝H ，∴平面EFG ∥平面β.又EF ?平面EFG ，∴EF ∥平面β.综合①②可知，EF ∥平面β.(2)解　如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF .∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME ＝BD ＝3，MF ＝AC ＝2.1212∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角，∴∠EMF ＝60°或120°.∴在△EFM 中，由余弦定理得EF ＝ME 2＋MF 2－2ME ·MF ·cos ∠EMF＝32＋22±2×3×2×12＝，13±6即EF ＝或EF ＝.719思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．跟踪训练如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．(1)证明　∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG .∵HG ?平面ABD ，EF ⊈平面ABD ，∴EF ∥平面ABD .又∵EF ?平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴EF ∥AB ，又∵AB ⊈平面EFGH ，EF ?平面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH .同理可证，CD ∥平面EFGH .(2)解　设EF ＝x (0<x <4)，∵EF ∥AB ，FG ∥CD ，∴＝，则＝＝＝1－.CF CB x 4FG 6BF BC BC －CF BC x 4∴FG ＝6－x .32∵四边形EFGH 为平行四边形，∴四边形EFGH 的周长l ＝2＝12－x .(x ＋6－32x )又∵0<x <4，∴8<l <12，即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．1．若直线l 不平行于平面α，且l ⊈α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α与直线l至少有两个公共点D．α内的直线与l都相交答案　B解析　因为lα，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．2．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是( )A．存在一条直线b，a∥b且b?αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a?β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β答案　C解析　在A，B，D中，均有可能a?α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确．3．(2018·攀枝花质检)平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面答案　D解析　充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．4．一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l?α答案　D解析　当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l?α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；当l与α斜交时，也只能有两个点到α的距离相等．故选D.5．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n?α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n答案　D解析　对A ，直线m ，n 可能平行、异面或相交，故A 错误；对B ，直线m 与n 可能平行，也可能异面，故B 错误；对C ，m 与n 垂直而非平行，故C 错误；对D ，垂直于同一平面的两直线平行，故D 正确．6．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别是BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形C ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形D ．EF ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形答案　C解析　如图，由条件知，EF ∥BD ，且EF ＝BD ，GH ∥BD ，且HG ＝BD ，1512∴EF ∥HG ，且EF ＝HG ，25∴四边形EFGH 为梯形，排除A ，B ；∵EF ∩平面ADC ＝F ，∴排除D.故选C.7.如图，E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是________．答案　2解析　此四面体与过E ，F ，G 的截面平行的棱为AC ，BD ，只有两条．8．设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ?γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ?β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ?γ.可以填入的条件有________．答案　①或③解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m?γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．9．(2017·承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案　点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.10．(2018·海口调研)将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是______．(填序号)答案　①③解析　由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．11.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明　(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，因为OG 綊B 1C 1綊BE ，所以BE 綊OG ，12所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ，因为OB ?平面BB 1D 1D ，EG ⊈平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ，所以四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明　因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .又PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ?平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD .因为PC ?平面PDC ，所以PC ⊥BC .(2)解　连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则PA ∥平面MEG .证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，所以EO ∥PA .因为EO ?平面MEG ，PA ⊈平面MEG ，所以PA ∥平面MEG .因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝，23所以AM 的长为.2313．(2018·南昌质检)在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°答案　C解析　因为截面PQMN 是正方形，所以MN ∥QP ，又PQ ?平面ABC ，MN ⊈平面ABC ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，又MN ?平面PQMN ，AC ⊈平面PQMN ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A ，B 正确．又因为BD ∥MQ ，所以异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，即为45°，故D 正确．14．(2018届广西桂林模拟)在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，若存在实数λ，使得CQ ＝λCC 1时，平面D 1BQ ∥平面PAO ，则λ＝________.答案　1 2解析　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：当Q为CC1的中点时，∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P，O为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.15．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图像大致是( )答案　C解析　过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN.∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1，MN ∩MQ ＝M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1.又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于QN 和DC ，∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1，AQ ＝BN ＝x ，∵＝＝2，∴MQ ＝2x .MQ AQ DD 1AD 在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1，∴y 2－4x 2＝1(x ≥0，y ≥1)，∴函数y ＝f (x )的图像为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C.16．(2018·哈尔滨模拟)在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．答案　452解析　如图，取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，SG ，BG ?平面SGB ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ?平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．12又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝·＝.(12AC )(12SB )452。