立体几何平行证明题常见模型及方法

立体几何中的平行问题总结1. 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；2. 平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：.说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；（3）如果空间图形的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到的位置，则就说图形作了一次平移3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4. 直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类.它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，.5. 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：.证明：假设直线不平行于平面，∵，∴，若，则和矛盾，若，则和成异面直线，也和矛盾，∴.6. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：.证明：∵，∴和没有公共点，又∵，∴和没有公共点；和都在内，且没有公共点，∴.7. 平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行.图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的.8. 平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.推理模式：，，，，.分析：这个定理从正面证（用定义）比较困难，所以考虑用反证法.启发：（1）如果平面和平面不平行，那么它们的位置关系怎样?（2）如果平面和平面相交，那么交线和平面中的直线与各有怎样的位置关系?（3）相交直线与都与交线平行，这合理吗?为什么?证明：假设，∵，，∴，同理.即在平面内过点有两条直线与平行，与公理4矛盾，∴假设不成立，∴.推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.推理模式：.9. 平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.推理模式：.证明：∵，∴没有公共点，又∵，∴.同理可得面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.推理模式：.。

立体几何平行证明题常见模型及方法立体几何中的平行证明题常见的模型和方法有很多。

下面我将介绍一些常见的模型和方法，以帮助你更好地理解和应用立体几何的平行证明。

一、常见模型1.平面与平面的平行证明：常见的模型有两条平行线或两个平行四边形，通过证明平面与平面内对应的直线或四边形是平行的，即可得证。

2.直线与直线的平行证明：常见的模型有平行四边形和交叉角等，通过证明两直线间的对应角相等或同位角互补，即可得证。

3.平面与直线的平行证明：常见的模型有平行四边形的一对对角线、三角形的高、垂足、垂线等，通过证明直线与平面内的直线或线段互相垂直，即可得证。

4.空间中的平面与平面的平行证明：常见的模型有两个平行四边形的高度等、点到平面的垂直距离等，通过证明两个平面内的垂直线的相互平行性，即可得证。

二、常见方法1.剪影法：利用平行关系特殊的剪影形状进行证明。

例如，通过剪影的形状可以直观地判断两根线段平行。

2.联立法：通过建立适当的方程组，将待证的平行条件与已知条件进行联立，最终得到结论。

常见的方法有正投影、平行投影等。

3.直角法：利用直角关系进行证明。

通过找到合适的垂线、垂足等直角线段，可以推导出平行关系。

4.反证法：假设不平行，然后找到与之矛盾的证据，从而推出平行的结论。

5.三角形法：构造适当的三角形，通过三角形的性质和形状关系进行证明。

6.同增减法：通过分析多个角度相应的同增减性质，推导出平行的结论。

7.通道法：利用另一个已经知道的已知命题，构造合适的通道来推导出平行的结论。

以上仅是常见的模型和方法，实际的平行证明题在解题过程中可能会遇到各种不同的情况和策略。

解决此类问题的关键是要有良好的几何直观和分析能力，熟练掌握几何定理和性质，并能够合理运用不同的方法解决问题。

方法技巧专题05立体几何中平行与垂直证明平行与垂直证明是立体几何中的重要内容之一，本文将介绍一些方法和技巧用于解决平行与垂直的证明问题。

一、平行性的证明方法：1.公共光线法：如果两条直线分别与第三条直线相交，在相交点处的两个对应的内角相等，则这两条直线是平行的。

例如，如果直线AB和CD都与直线EF相交，在交点F处的∠AFC=∠DFB，则AB，CD。

2.反证法：假设AB和CD不平行，然后通过构造形式，证明得到矛盾。

例如，如果直线AB和CD不平行，则可以证明存在一条直线EF与这两条直线分别相交于F和G，且所形成的内角∠FAG=π/2-∠DAF≠π/2，则与直线EF平行，这是与已知条件矛盾的，所以AB，CD。

3.平行线性质法：利用平行线的性质来证明其他线段平行。

例如，根据平行线的交角性质可证明，如果一条直线与一对平行线之一形成等于直角的角，则与另一条平行线也形成等于直角的角。

二、垂直性的证明方法：1.垂直线性质法：利用垂直线的性质来证明其他线段垂直。

例如，如果直线AB与直线CD相交于点E，且∠AED=∠BEC=π/2，则直线AB垂直于直线CD。

2.垂直线段法：如果两条线段的斜率之积为-1，则这两条线段垂直。

例如，如果直线AB和直线CD的斜率之积为-1，则AB⊥CD。

3.反证法：假设AB和CD不垂直，然后通过构造形式，证明得到矛盾。

例如，如果直线AB和CD不垂直，则可以证明存在一条直线EF与这两条直线相交于点G，且所形成的两个内角∠GAC和∠GDB之和小于π/2，这与直线EF垂直的性质矛盾，所以AB⊥CD。

综上所述，平行与垂直证明可以通过公共光线法、反证法、平行线性质法、垂直线性质法、垂直线段法等方法和技巧来解决。

在实际问题中，可以根据已知条件选择合适的方法和技巧，灵活运用来解决平行与垂直的证明问题。

立体几何线面平行证明要证明两个线面平行，一般可以通过以下几种方法来进行证明：方法一：使用平行线的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设线面A和线面B不平行，即存在一条线a与线面A不平行，又与线面B相交于一点P。

2.假设在线面A上存在一点Q，它与直线a上相交于一点R。

3.由于线a与线面B相交于P，所以线段PR必然属于线面B。

4.由于线a与线面A相交于R，所以线段PR必然属于线面A。

5.由于线面A和线面B都包含线段PR，所以它们必然相交。

6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。

方法二：使用支撑面的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。

2.过直线a作平行于线面B的平面，该平面与线面A相交于线段QR。

3.由于直线a与线面B相交于点P，所以线段PR必然属于线面B。

4.由于平面上的任意两点可以确定一条直线，所以线段QR也属于线面B。

5.因此，线段QR同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。

6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。

方法三：使用平行四边形的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。

2.在线面A上选择一点Q，并通过P点作一条平行于线面A的直线b。

3.连接直线a和直线b，得到平行四边形PQRD。

4.由于平行四边形的特性，相邻两边平行且长度相等，所以线段PD也是平行于线面A的，并且它必然属于线面B。

5.因此，线段PD同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。

6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。

以上三种方法是一些常用的证明线面平行的方法，根据实际问题的具体情况，可以选择适合的方法进行证明。

c c ∥∥b a ba ∥⇒本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。

是一份不可多得的好资料。

一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4)利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

abαβba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒αab7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法：1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

αbaβαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaPb∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点二、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。

专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。

直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。

直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形，DA=DP.求证：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB.【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC U平面PBC，MN Q平面PBC，所以MN〃平面PBC. （6分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD，所以AB丄侧面PAD.（8分）又MD U侧面PAD，所以AB丄MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD丄PA. （12分）又PA，AB在平面PAB内，PA n AB=A，所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B丄平面ABC,点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点.（1）求证：EF〃平面ABC；（2）求证：BB］丄AC.规范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形，E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，所以E, F分别是AB1，CB1的中点，所以EF〃AC.（4分）因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.（12分）因为AC U平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）例3、（2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC, A1C丄BC］, AB］丄BC1，D, E 分别是AB1和BC的中点.求证：（1）DE〃平面ACC1A1；（2）AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.（2分）在厶BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE〃A］C.又因为DE G平面ACC1A1，A1C U平面ACC1A1，所以DE〃平面ACC1A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A］C，因为A1C丄BC” 所以BC］丄DE.（8 分）又因为BC］丄AB1，AB1H DE=D，AB1，DE U平面ADE，所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC，E是BC的中点，所以AE丄BC.（12分）因为AE丄BC1，AE丄BC，BC1H BC=B，BC1，BC U平面BCC1B1，所以AE丄平面BCC1B1. （14 分）例4、（2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC丄BC，AC丄DC，BC=DC，E，F 分别为BD，CD 的中点．求证：（1）EF〃平面ABC；（2）BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.（6分）（2）因为AC丄BC，AC丄DC，BC H DC = C，BC，DC U平面BCD所以AC丄平面BCD，（8分）因为BD U平面BCD，所以AC丄BD，（10分）因为DC=BC，E为BD的中点，所以CE丄BD，（12分）因为AC n CE = C, AC，CE U平面ACE，所以BD丄平面ACE.（14分）例5、（2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证：（1） DE〃平面ABB1A1；（2） BC］丄平面A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点，同理，E为BC]的中点•所以DE〃AB.（3分）又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].（6分）（2）因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱，所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.（8分）又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1，所以A]B]丄平面BCC]B].（10 分）又因为BC]U平面BCC]B1，所以A]B丄BC].（12分）又因为侧面BCC]B1为正方形，所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1，A1B1，B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.（14分）例6、（2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D, E分别为BC, B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E〃平面ADC1；⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形，所以A]E〃AD.（4分）又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC，所以直线AE〃平面ADC.（7分）1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点，所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC，MN U平面ADC，，所以直线Af〃平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC，所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又BB，，BC U 平面BBCC，，BB1A BC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EF U平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又EF丄CD，CD，AD U平面ADC,，C,D A AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。

高中立体几何证明线面平行的常见方法1.通过“平移”再利用平行四边形的性质题目1：四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。

证明AF∥平面PCE。

证明：将四棱锥P-ABCD平移，使其底面平移到平面PCE上，得到四棱锥P'-A'B'C'D'，其中A'B'C'D'与ABCD平行，且P'、E'、F'分别为A'B'、C'D'、A'D'的中点。

因为AF∥PD，所以AF'=PD'=C'F'，又因为AD'=C'D'/2=AB'/2=AF'/2，所以AD'∥B'C'。

因此，根据平行四边形的性质，AF'∥B'C'，即AF∥CE。

题目3：四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点，证明EB∥平面PAD。

证明：连接PE，因为E为PC的中点，所以PE∥AD。

又因为CD⊥AD，所以CD∥PE。

又因为CD=2AB，所以AB∥PE。

因此，根据平行四边形的性质，EB∥PA，即EB∥平面PAD。

2.利用三角形中位线的性质题目4：四面体ABCD中，E、F、G、M分别是棱AD、CD、BD、BC的中点，证明AM∥平面EFG。

证明：连接EF、EG、FG，因为E、F、G分别为三角形BCD、ACD、ABD的中点，所以EF、EG、FG分别是这三个三角形的中位线。

因此，EF∥AD，EG∥BD，FG∥AC。

又因为M为BC的中点，所以AM∥FG。

因此，AM∥平面EFG。

3.利用平行四边形的性质题目7：正方体ABCD-A' B' C' D'中O为正方形ABCD的中心，M为B'B的中点，求证D'O∥平面A'BC'。

专题03 立体几何大题解题模板一、证明平行或垂直的主要方法：1、证明线线平行的方法：(1)利用直线平行的传递性：31//l l ，32//l l ⇒21//l l ；(2)利用垂直于同一平面的两条直线平行：α⊥1l ，α⊥2l ⇒21//l l ；(3)中位线法：选中点，连接形成中位线；(4)平行四边形法：构造平行四边形；(5)利用线面平行推线线平行：2l =βα ，β⊂1l ，α//1l ⇒21//l l ；(6)建系：),,(1111z y x l =，),,(2222z y x l =，21l l λ=⇒21//l l 。

2、证明线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(主要方法)：α⊄1l ，α⊂2l ，21//l l ⇒α//1l ；(2)利用面面平行的性质定理：βα//，β⊂1l ⇒α//1l ；(3)利用面面平行的性质：βα//，α⊄1l ，β//1l ⇒α//1l 。

(4)建系：),,(1111z y x l =，平面α的法向量),,(222z y x n =，01=⋅n l ⇒α//1l 。

3、证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的判定定理(主要方法：证明两个平面内的两组相交直线相互平行)：31//l l ，42//l l ，A l l =21 ，B l l =43 ，α⊂21l l 、，β⊂43l l 、⇒βα//；(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)：α⊥1l ，β⊥1l ⇒βα//；(3)利用平面平行的传递性：γα//，γβ//⇒βα//。

(4)建系：平面α的法向量),,(1111z y x n =，平面α的法向量),,(2222z y x n =，21n n λ=⇒βα//。

4、证明线线垂直的方法：(1)利用平行直线的性质：31l l ⊥，32//l l ⇒21l l ⊥；(2)利用直面垂直的推理：α⊥1l ，α⊂2l ⇒21l l ⊥；(3)中线法：等腰三角形中选中点，三线合一；(4)利用勾股定理的逆定理：若222c b a +=，则ABC ∆是直角三角形；(5)建系：),,(1111z y x l =，),,(2222z y x l =，021=⋅l l ⇒21l l ⊥。

立体几何平行证明题常见模型及方法 证明空间线面平行需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

平行转化：线线平行 线面平行 面面平行；类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）（1） 方法一：中位线法 以锥体为载体变式 3 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. 求证：BC 1//平面AB 1D ；方法2：构造平行四边形法 例1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， E 、F分别为AB SC ,的中点．证明○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDEFS CD变式1：若E 、F 分别为AD SB ,的中点．证明EF ∥平面SCD变式2 若E 、F 分别为SD B ,A 的中点．证明EF ∥平面SCB例2 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点.设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1 方法3：面面平行法 （略） 举一反三 1 如图，已知AB ⊥平面A C D ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.(1) 求证：//AF 平面BCE ；(2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； 2 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)若N 是BC 的中点，求证：AN ∥平面CME ；(3)求证：平面BDE ⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB∥DC ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2，E 为BD1的中点，F 为AB 中点．(1)求证EF ∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF 的体积。

高中立体几何最佳解题方法总结一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形；2、利用三角形或梯形的中位线；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两个直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法1、定义法：直线和平面没有公共点。

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。

（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。

4、反证法。

三、面面平行的证明方法1、定义法：两个平面没有公共点。

2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（面面平行的判定定理）3、平行于同一个平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

5、垂直于同一条直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法1、勾股定理；2、等腰三角形；3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角；5、点在线上的射影；6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

（三垂线定理）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；2、点在面内的射影；3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。

（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。

立体几何证明方法——证面面平行立体几何中，证明面面平行是一个常见的问题，可以通过多种方法进行证明。

下面将介绍几种常用的证明方法。

1.使用直线面法相交性质证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。

首先，选择平面ABCD上的两条相交直线AE和BF，然后分别在这两条直线上选择两个点C和D。

根据直线面法相交性质，直线AE与平面ABCD相交于点E，直线AE与平面CDH相交于点C，同理，直线BF与平面ABCD相交于点F，直线BF与平面CDH相交于点D。

连接线段AD和BC，可以得到四边形ABCD。

然后，考察四边形ABCD，如果四边形ABCD是平行四边形，则线段AD与线段BC互相平行。

由直线平行与面平行的性质可知，平面ABCD与平面EFHG平行。

因此，我们只需要证明四边形ABCD为平行四边形即可。

接下来，通过证明线段AD与线段BC互相平行来证明四边形ABCD为平行四边形。

可采用向量法、等距向量法等方法进行证明，具体方法根据题目要求来选择。

2.使用距离法证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。

首先，在平面ABCD上选择一点P，在平面EFGH上选择一点Q。

然后，构造线段PQ，并将其延长，过点P和Q分别作平行于平面ABCD和EFGH的直线。

两条直线与平面ABCD和EFGH的交点分别为A、B和E、F。

由于点P、Q到平面ABCD的距离相等，点A、B到平面EFGH的距离相等，利用距离的定义可以推出直线AE与直线BF互相平行。

同理可以证明直线BE与直线AF互相平行。

因此，根据平行四边形的性质可知线段AD与线段BC平行。

由于线段AD与线段BC平行，所以平面ABCD与平面EFGH平行。

3.使用垂线法证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。

首先，选择平面ABCD上的两条垂线，可以是两个相交直线的垂线或两个平行直线的垂线。

然后，在平面EFGH中分别找到与这两条垂线相交的直线段，并将其延长。

立体几何中的平行性的证明
一、证明两直线平行的方法：
1、定义法：同一平面内无公共点的两条直线（用反证法证明）。

2、判定定理：如果一条直线与一个平面平行，则经过这条直线的平面与这个平
面相交，直线与交线平行。

3、平行与同一直线的两条直线平行。

4、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平
行。

5、向量法：如果两个直线的方向向量共线，则两直线平行。

6、垂直于同一平面的两直线平行。

二、证明直线和平面平行的方法：
1、定义法：证明直线与平面无公共点（反证法）。

2、判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则直线和平面
平行。

3、面面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平
行于另一个平面。

4、如果平面外的一条直线和平面的一条垂线垂直，那么这条直线和这个平面平
行。

5、如果平面外的一条直线和这个平面都垂直于同一个平面，那么这条直线和这
个平面平行。

三、证明平面与平面平行的方法：
1、定义法：证明两个平面没有公共点（反证法）。

2、判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这
两个平面相互平行。

3、推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相
交）平行，那么这两个平面相互平行。

4、垂直于同一直线的两个平面相互平行。

5、如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面平行。

6、。

DB A 1高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。

(2)利用三角形中位线的性质。

(3)利用平行四边形的性质。

(4)利用对应线段成比例。

(5)利用面面平行，等等。

(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。

分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。

空间平行、垂直的判定与证明题型一 线面平行的证明12.上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①利用三角形、梯形中位线的性质；②利用平行四边形的性质；③利用平行线分线段成比例定理． ④构造面面平行1、如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD .点E 、F 分别为CD 、PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且12AG GB =.求证： //PG 平面AEF ；2、如图所示，P 是ABCD Y 所在平面外一点，E 、F 分别在PA 、BD 上，且PE ∶EA ＝BF ∶FD ． 求证：EF ∥平面PBC ．12第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面的一组交线；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．1、如图所示的多面体中，下底面ABCD Y 与上底面111A B C 平行，且111////AA BB CC ，1122,,3AB AC AA A AC AC BC π==∠=⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，点M 为11B C 的中点．过点1B 作一个平面α与平面AMC 平行，并说明理由；2、已知四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，与交于点，为的中点，，为中点，为上一点，且. 证明：平面；利用线面平行的性质定理证明线线平行一条直线与一个平面 ,则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线平行.//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒I1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平面11A C D ；⑵1//EF BD ．2、如图，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F. 证明：1//EF CB.3、已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH.FEA B C DA 1B 1C 1D 112．利用判定定理证明直线与平面垂直的一般步骤:分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．常见的垂直关系： ①直线与平面垂直则直线与平面内任意一条直线都垂直；②三角形全等、等腰三角形底边的角平分线、中线、高三线合一；③菱形、正方形的对角线垂直平分；④三角形中勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．1、如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC ， (Ⅰ)求证：BE ∥平面PDA ；②若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB.2、如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=.(Ⅰ)证明:1AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==,1AC =求三棱柱111ABC A B C -的体积. 11．平面与平面垂直的判定定理21、如图，已知AB ⊥平面ACD ，∥DE AB ，△ACD 是正三角形，2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点.(1)求证：∥AF 平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .2、如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点 在平面上的射影恰好落在边上．求证：平面平面 ；1、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.(1)证明：AC ⊥HD ′； (2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积.2、如图，四面体ABCD 中，ABC D 是正三角形，AD CD =(Ⅰ)证明：AC BD ^；(Ⅱ)已知ACD D 是直角三角形, AB BD =,若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE EC ^,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.3、如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是边BC 上的点，DE 与AC 相交于点H ，且1CE =，AB =3BC =，现将ACD ∆沿AC 折起，如图2，点D 的位置记为D '，此时ED '=．(Ⅰ)求证：D H AE '⊥.1．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∥BC AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．证明：∥CE 平面PAB .2．如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点．证明：直线CE ∥平面P AB .3．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． 证明：平面ACD ⊥平面ABC .4．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明：1A O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.5．如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．6．在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1.(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．。