精算师考试金融数学课本知识精粹

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精算师考试__数学内容提要

3、事件两两独立不一定相互独立第二章随机变量与分布函数1、帕斯卡分布：（得到r 次成功时所需要的“等待时间”的分布）r 1r k r k 1P(x k)C P (1p),k r,r 1---==-=+2、二维条件分布：11,2T=~()(,){():}ni i n X P n N n n W x x x T C λλλ==≤∑（1）离散：iji i i i i jP P{X=x ,Y=y }P{Y=y |X=x }=P{X=x }P =（2）连续：yx f (x,v)P{Y<y|X=x}=dv f (x)-∞⎰ 因此在给定的X=x 的条件下，Y 的分布密度函数为：x f (x,y)f (y |x)f (x)=其中x f (x)f (x,y)dy +∞-∞=⎰ 在给定Y=y 的条件下，X 的分布密度函数为：Y f (x,y)f (x |y)f (y)=其中Y f (y)f (x,y)dx +∞-∞=⎰ 3、如果随机变量X 与Y 相互独立，则他们各自的函数g(x)h(y)与也相互独立4、卷积公式： z X Y f (z)f (z y)f (y)dy +∞-∞=-⎰z Y X f (z)f (z x)f (x)dx +∞-∞=-⎰或者：5、极大值极小值分布：（1）极大值：n max (n)n 1max F p(X x)[F(x)]f n[F(x)]f (x)-=≤==（2）极小值：n min (1)(1)n 1max F p(X x)1P(X x)1[1F(x)]f n[1F(x)]f (x)-=≤=->=--=-第三章随机变量的数字特征1、注意例题3-16（P64）及课后3、7题（P83）2、柯西-施瓦茨不等式：222[E(XY)]E(X )E(Y )≤3、方差：222Var(X)E[X E(X)]E(X )E (X)=-=-4、协方差：Cov(X,Y)E[X E(X)][Y E(Y)]E(XY)E(X)E(Y)=--=- 5、相关系数：XY Corr==ρρ=6、相互独立⇒不相关，反之则不一定；但是对于二维正态分布，相互独立⇔不相关7、条件期望：（1）离散：xE(X |Y y)xP{X x |Y y}====∑（2）连续：()()x y E X Y=y xf x y dx ∞-∞=⎰ 8、条件方差222Var(X |Y y)E[(X E(X |Y y))|Y y]E(X |Y y)(E(X |Y y))==-====-=9全期望公式（1）对所有随机变量X 和Y ：()()()E X E E X Y = 若Y 是离散随机变量则()yE X E(X |Y y)p{Y y}===∑若Y 是密度为Y f y （）的连续随机变量则：()Y E X E(X |Y y)f (y)dy ∞-∞==⎰ 10、两个特殊形式的全概率公式：xY P(E |Y y}P(Y y)Y P(E)P(E |Y y}f (y)dy Y +∞-∞⎧==⎪=⎨⎪=⎩∑⎰是离散的是的连续 11、矩X 分布关于c 的k 阶矩k E(X c)-；c=0时为k 阶原点距k k u E(X)=；若c=E(X),则称k E(X E(X))-为K 阶中心矩k ν 前四阶中心矩用原点矩表示为12221333211244312110u u u 3u u 2u u 4u u 6u u 3u νννν=⎧⎪=-⎪⎨=-+⎪⎪=-+-⎩ 12、变异系数：（无单位的量，取值大的方差也较大）13、分位数：若x α满足x F(x )f (x)dx ααα-∞==⎰，则称x α为X 分布的α分位数，或下侧分位数。

金融数学公式总结精算

金融数学公式总结精算篇一：精算师考试__金融数学课本知识精粹第一篇：利息理论第一章：利息的基本概念a'(t)???=a(t)?t?tdr??01、有关利息力:?a(t)?e?n??0A(n)?tdt?A(n)?A(0)??(p)i(m)md2、(1?)?1?i?v?1?(1?d)?1?(1?)?p?e?mpi?单利率下的利息力：?=t??1?it3、??但贴现下的利息力：??dt?1?id??严格单利法（英国法）?4、投资期的确定?常规单利法（欧洲大陆法）?银行家规则（欧洲货币法）?5、等时间法：t???stk?1nnkk?sk?1 k第二章年金?1+i） an?an?1?1?an?an1、?....?sn?s1+i）sn?s?1 nn?1?....?van?am?n?am?2、?......m??van?am?n?amm3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式 4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同（2）各付款所依据的利率不同5、付款频率与计息频率不同的年金（1）付款频率低于计息频率的年金?an???现值:sk1??.......??期末付年金：snisk???sk????an????ak1??期初付年金：........??iak?终值:sn??ak???（2）付款频率高于计息频率的年金n??(m)1?v现值:an?(m)??1?i?期末付年金：.......(m)?ni??终值：s(m)?(1?i)?1?n?i(m)???(m)n..?1?v?现值：an??(m)?1?d........(m)?期初付年金：?(m)n..d(1?i)?1??终值:sn?(m)??i??（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）nn??1?vtan??vdt??0????nn?s?(1?i)n?tdt?(1?i)?1 ???n?06、基本年金变化（1）各年付款额为等差数列?an?nvn(现值)?V0?pa?Qi?..?na?na?nv?nn(Ia)?a??nn?ii?a?nvnn?a???(Da)n?nan?ii????n期末付虹式年金：V=(Ia)+v(Da)n-1?an?an0n????n?期末付平顶虹式年金:V0=(Ia)n+v(Da)n?an?an?1???（2）各年付款额为等比数列1?kn1?()V0?i?k?i?k:V0不存在?n?不存在?i?k:V0?1?i???i?k:V0存在7、更一般变化的年金：（1）在(Ia)n的基础上，付款频率小于计息频率的形式 V0=nn?vakkiskan（2）在(Ia)的基础上，付款频率大于计息频率的形式?na?nv?每个计息期内的m次付款额保持不变(Ia)(m)?n (m)n?i??..?nan?nv(m)?每个计息期内的m次付款额保持不变(I（m）a)n?(m)?i?（3）连续变化年金：1：有n 个计息期，利率为i，在t 时刻付款率为t,其现值为○??(Ia)n?an?nvn?n 2：有n 个计息期，利率为i，在t 时刻付款率为f(t),其现值为○V(0)??f(t)vdt 0第三章收益率tV(0)?v?Rt?0可求出 1、范文写作收益率（内部收益率）由t?0nt2、收益率的唯一性：（1）若在0~n期间内存在一时刻t，t之后的期间里现金流向是一致的，t之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。

中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(收益率)【圣才出品】

第3章收益率单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．李先生第一年初投资10000元，第二年初投资5000元。

以后每年初投入1000元。

总共投资10次。

从第七年起，开始收回投资及回报：第七年初收回8000元，第八年初收回9000元，…，第11年初收回12000元。

具体现金流情况如表3-1所示。

设利率i=0.08，则该现金流的现值为（）元。

表3-1 现金流量表A．6800.93B．6801.93C．6803.93D．6805.93E．6807.93【答案】D【解析】i=0.08，所以，故现金流的现值为：=6805.93（元）。

2．当利率=（）时，第2年末支付2000元、第4年末支付3000元的现值之和为4000元。

A．4.3%B．5.3%C．6.3%D．7.3%E．8.3%【答案】D【解析】该现金流为：R0=4000，R2=－2000，R4=－3000。

所以，由于，故解得：=0.868517，又v=1/（1＋i），所以i=（1－v）/v=7.3%。

3．有甲、乙两个投资额相同的项目，甲投资项目为期20年，前10年的收益率为15%；乙投资项目为期20年，收益率为12%。

则甲投资项目后10年的再投资收益率为（）时，能使甲、乙两个投资项目在20年投资期中收益率相等。

A．6.50%B．7.08%C．7.50%D．8.08%E．9.08%【答案】E【解析】根据题意得：1.1510（1＋i）10=1.1220，所以。

4．某人在期货交易市场上先投入10000元买入1年期期货，一年后作为现货卖出且另外卖空一部分一年期期货，共24500元，又过一年，投入15000元买入现货支付到期期货。

则该投资人的投资收益率为（）。

A．20%B．22%C．20%或22%D．20%或25%E．22%或25%【答案】D【解析】根据题意，现金流为：R0=－10000，R1=24500，R2=－15000，则由得：即=0，=0，所以i=0.2或i=0.25。

中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(投资组合理论)【圣才出品】

根据表 10-4 回答 9~10 题。
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表 10-4
U=E（r）－0.005Aσ2，A=4。 9．根据上面的效用函数，下面最值得投资的是（）。 A．1 B．2 C．3 D．4 E．无法判断【答案】D 【解析】效用如下所示，
D．3.8
E．3.9
【答案】B
【解析】如果无差异，则两种投资的效用就应该一样。对于无风险资产，标准差是零，
资产的效用就是预期收益，即 U=0.04。因此有风险的投资效用也是 0.04。通过效用函数
0.04=0.14-0.5A×0.252，解得 A=3.2。
利用表 10-1 的信息回答 2～4 题。
表 10-1
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表 10-2
A．B、F B．A、D、E C．C、E、F D．C、D E．C、D、F 【答案】E 【解析】表 10-3 展示了哪一个投资是有效的。
表 10-3
所以正确答案为 E。
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【解析】对两个投资无差异，则两个投资的效用必然相同。由于国库券是无风险的，它
的效用是 4%的收益率，通过效用函数 0.04=0.14-0.005A×0.252，解得 A=320。
12．假设一个回避风险的投资者。投资组合 1 的期望收益率是 14%，标准差σ=0.18；投资组合 2 的标准差σ=0.25，年末现金流为 5000 和 14000 美元的概率是相等的，若在投资组合 1 和投资组合 2 的选择上没有差别，则投资组合 2 的价格是（）。

中国精算师考试数学1大纲

中国精算师考试数学1大纲中国精算师考试数学1大纲中国精算师考试数学1大纲（1）微积分（分数比例：60%）①函数、极限、连续函数的概念及性质反函数复合函数隐函数分段函数基本初等函数的性质初等函数数列极限与函数极限的概念函数的左、右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的比较极限的四则运算函数连续与间断的概念初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质②一元函数微积分导数的概念函数可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则微分在近似计算中的应用中值定理及其应用洛必达（l’hospital）法则函数的单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数的最大值和最小值原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分及导数不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法广义积分的概念及计算定积分的应用③多元函数微积分多元函数的概念二元函数的极限与连续性有界闭区间上二元连续函数的性质偏导数的概念与计算多元复合函数及隐函数的求导法高阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上的简单二重积分的计算曲线的切线方程和法线方程④级数常数项级数收敛与发散的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数的收敛性正项级数收敛性的判断任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数莱布尼茨定理幂级数的概念收敛半径和收敛区间幂级数的和函数幂级数在收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式泰勒级数与马克劳林级数⑤常微分方程微分方程的概念可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程二阶常系数线性微分方程的求解特解与通解（2）线性代数（分数比例：30%）①行列式n级排列行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开行列式的计算克莱姆法则②矩阵矩阵的定义及运算矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩几种特殊矩阵可逆矩阵及矩阵的逆的求法分块矩阵③线性方程组求解线性方程组的消元法n维向量及向量间的线性关系线性方程组解的结构④向量空间向量空间和向量子空间向量空间的基与维数向量的内积线性变换及正交变换线性变换的核及映像⑤特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念及性质相似矩阵一般矩阵相似于对角阵的条件实对称矩阵的特征值及特征向量若当标准形⑥二次型二次型及其矩阵表示线性替换矩阵的合同化二次型为标准形和规范形正定二次型及正定矩阵（3）运筹学（分数比例：10%）。

金融精算考试题及答案大全

金融精算考试题及答案大全一、单项选择题（每题2分，共40分）1. 精算学中，以下哪项是寿险精算中的生命表？A. 经验生命表B. 理论生命表C. 人口生命表D. 经济生命表答案：A2. 以下哪个不是精算师在进行风险评估时考虑的因素？A. 死亡率B. 利率C. 通货膨胀率D. 法律风险答案：D3. 在寿险中，年金的计算不包括以下哪项？A. 即期年金B. 递延年金C. 等额年金D. 非等额年金答案：D4. 精算学中，以下哪项是用于评估保险公司偿付能力的指标？A. 偿付能力比率B. 资产负债比率C. 投资回报率D. 利润率5. 以下哪个不是精算师在产品设计时需要考虑的因素？A. 保险责任B. 定价策略C. 投资策略D. 市场趋势答案：C6. 在精算学中，以下哪项是用于评估保险合同财务状况的指标？A. 净现值B. 内部收益率C. 偿付能力充足率D. 资产负债匹配答案：A7. 以下哪个不是精算师在进行资产负债管理时需要考虑的因素？A. 资产配置B. 负债期限C. 利率风险D. 市场风险答案：D8. 在精算学中，以下哪项是用于评估保险合同盈利能力的指标？A. 利润测试B. 损失率C. 费用率D. 赔付率答案：A9. 以下哪个不是精算师在进行寿险定价时需要考虑的因素？B. 利率C. 费用率D. 投资回报率答案：D10. 在精算学中，以下哪项是用于评估保险公司财务稳定性的指标？A. 资本充足率B. 偿付能力比率C. 资产负债比率D. 利润率答案：B11. 以下哪个不是精算师在进行健康保险定价时需要考虑的因素？A. 疾病发生率B. 医疗费用C. 死亡率D. 投资回报率答案：D12. 在精算学中，以下哪项是用于评估保险合同风险的指标？A. 风险调整资本B. 偿付能力充足率C. 资产负债匹配D. 利润率答案：A13. 以下哪个不是精算师在进行非寿险定价时需要考虑的因素？A. 损失频率B. 损失严重度C. 费用率D. 投资回报率答案：D14. 在精算学中，以下哪项是用于评估保险公司盈利能力的指标？A. 净现值B. 内部收益率C. 利润率D. 资产负债比率答案：C15. 以下哪个不是精算师在进行再保险定价时需要考虑的因素？A. 再保险合同条款B. 再保险市场状况C. 再保险费用D. 投资回报率答案：D16. 在精算学中，以下哪项是用于评估保险合同公平性的指标？A. 保费充足率B. 偿付能力充足率C. 资产负债匹配D. 利润率答案：A17. 以下哪个不是精算师在进行年金定价时需要考虑的因素？A. 年金类型B. 利率C. 死亡率D. 投资回报率答案：D18. 在精算学中，以下哪项是用于评估保险合同持续性的指标？A. 持续率B. 损失率C. 费用率D. 赔付率答案：A19. 以下哪个不是精算师在进行团体保险定价时需要考虑的因素？A. 团体规模B. 团体健康状况C. 死亡率D. 投资回报率答案：D20. 在精算学中，以下哪项是用于评估保险公司流动性的指标？A. 流动比率B. 偿付能力比率C. 资产负债比率D. 利润率答案：A二、多项选择题（每题3分，共30分。

中国精算师资格考试准精算师知识点

中国精算师资格考试准精算师部分A1～A8 科目A1数学考试时间：3 小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。

通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。

考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。

考试内容：A、概率论（分数比例约为35％）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式(第一章)2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算(第二章)3. 随机变量的数字特征(§3.1、§3.2、§3.4)4. 条件期望和条件方差(§3.3)5. 大数定律及其应用(第四章)B、数理统计（分数比例约为25％）1. 统计量及其分布(第五章)2. 参数估计(第六章)3. 假设检验(第七章)4. 方差分析(§8.1)C、应用统计（分数比例约为10％）1. 一维线性回归分析(§8.2)2011 年春季中国精算师资格考试-考试指南2. 时间序列分析(平稳时间序列及ARIMA 模型) (第九章)D、随机过程（分数比例约为20％）1. 随机过程一般定义和基本数字特征(第十章)2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动）(第十一章)E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分(§11.5、第十二章)2. 伊藤公式(§12.2)考试指定教材：中国精算师资格考试用书《数学》，肖宇谷主编李勇权主审中国财政经济出版社2010 版2011 年春季中国精算师资格考试-考试指南A2 金融数学考试时间：3 小时考试形式: 选择题考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知识背景。

通过学习本科目, 考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。

中国精算师金融数学考试资料合集

中国精算师《金融数学》考试资料合集内容简介本书特别适用于参加中国精算师考试的考生。

本书是一本中国精算师资格考试科目“金融数学”过关必做习题集。

基本遵循中国精算师资格考试指定教材《金融数学》（徐景峰主编，杨静平主审，中国财政经济出版社）的章目编排，共分11章，根据最新《中国精算师资格考试-考试指南》中“金融数学”的考试内容和要求精心编写了约1000道习题，其中包括了部分历年真题、样题和教材习题，所选习题基本覆盖了考试指南规定需要掌握的知识内容，并对全部习题进行了详细的分析和解答。

本题库是详解中国精算师资格考试《金融数学》科目的题库，包括历年真题、章节题库和考前押题三部分。

具体如下：第一部分为历年真题。

该题库包括两套真题，分别是2011年春季和2011年秋季，我们邀请专家对2011年春季的每道真题进行了详细解析，2011年秋季真题只有答案还未有解析。

同时，系统自动评分，既可以体验真实考试，也可以测试自己的水平。

如有最新历年真题，可免费升级获得。

第二部分为章节题库。

遵循最新版中国精算师资格考试教材《金融数学》的章目编排，共分为11章。

根据《中国精算师资格考试指南》中“金融数学”部分的要求及相关法律法规对题库每一道试题详细解析。

第三部分为考前押题。

完全遵循实际的中国精算师考试《金融数学》科目的命题规律，其试题数量、试题难度完全仿真中国精算师资格考试。

目录第一部分历年真题2011年秋季中国精算师《A2金融数学》真题及答案2011年春季中国精算师《A2金融数学》真题及详解第二部分章节题库第一章利息的基本概念第二章年金第三章收益率第四章债务偿还第五章债券及其定价理论第六章利率期限结构理论第七章随机利率模型第八章金融衍生工具介绍第九章金融衍生工具定价理论第十章投资组合理论第十一章CAPM和APT第三部分考前押题中国精算师《金融数学》考前押题及详解（一）中国精算师《金融数学》考前押题及详解（二）中国精算师《金融数学》考前押题及详解（三）第一篇利息理论第1章利息的基本概念第2章年金第3章收益率第4章债务偿还第5章债券及其定价理论第二篇利率期限结构与随机利率模型第6章利率期限结构理论第7章随机利率模型第三篇金融衍生工具定价理论第8章金融衍生工具介绍第9章金融衍生工具定价理论第四篇投资组合理论第10章投资组合理论第11章CAPM和APT附录2011年秋季中国精算师考试《金融数学》真题及详解第一篇利息理论第1章利息的基本概念单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．已知在未来三年中，银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第二年按计息四次的名义年利率12%计息，第三年的实际年利率为6.5%。

金融数学精算师培训课件.pptx

所以新的债券价格可近似为：
115.92 (1 0.42%) 115.43
资产价格随收益率变动的近似线性关系
P( y) P(y y)
近似的误差是多少？
Pˆ( y y)
y y y
Pˆ( y y) P( y) P( y) Pˆ( y y) P( y) P( y) y ModD y
t0
Rt e t
3
马考勒久期：未来现金流到期时间的加权平均值，权数为每个现金流的现值在总现值中所占的比率，即：
MacD
t Rt et
t0
t0
t
Rt
1
y m
mt
P
P
马考勒久期越大，加权到期时间越长，从而资产价格对
收益率的敏感性越高，资产的利率风险越大。
马考勒久期是一个时间概念，可以用年、月等时间单位计量。
4
例：一笔贷款的本金为L，期限为n，年实际利率为y，按年等额分期偿还。试求该笔贷款的马考勒久期。
解：假设每年末的偿还金额为R
n
tR 1 yt t 1 y t (I a)
MacD t0
t 1 n
R 1 y t
1 y t
n| y
a n| y
t0
t 1
5
例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的年名义利率为24％，试计算这项贷款的马考勒久期。
符号：
P0 当前收益率下的债券价格
P+ 当收益率增加时的债券价格
P- 当收益率减少时的债券价格
16
注：对P(y)的估计是以割线AB的斜率来近似在点(y0 ，P0)的切线斜率
P( y) P P 2y
债券价格随收益率变动的近似线性关系 17

中国精算师考试的知识点

中国精算师考试的知识点中国精算师考试的知识点精算师资料之实际资本表与其他偿付能力报表之间的勾稽关系实际资本表与其他偿付能力报表、通用会计报表之间的勾稽关系主要体现在以下几个方面：1.实际资本表与认可资产表、认可负债表之间的勾稽关系。

实际资本是认可资产减去认可负债后的余额，因此，实际资本表中“实际资本合计”项目“期末数”栏所列数字，应当等于认可资产表“资产合计”项目“期末认可价值”栏所列数字减去认可负债表“认可负债合计”项目“期末数”栏所列数字后的余额。

2.实际资本表与实际资本变动表之间的勾稽关系。

实际资本表“期初数”栏的各个项目金额加上和减去实际资本变动表有关项目增加数和减少数，应当等于实际资本表“期末数”栏的各个项目金额。

某项实际资本期末余额=该项实际资本期初余额±本期资本交易导致的该项实际资本变动额±本期非资本交易和事项导致的该项实际资本变动额3.实际资本变动表与综合收益表之间的勾稽关系。

实际资本变动表中的“本期综合收益”项目“本年数”栏所列数字应当等于综合收益表“综合收益”项目“本年数”栏所列数字。

4.实际资本表与明细表之间的勾稽关系。

实际资本表中“计入实际资本的资本性负债”项目“期末数”栏所列数字等于明细表SDL中“应付次级债的`认可价值”项目“实际资本价值”栏所列数字。

5.实际资本表与通用会计报表之间的勾稽关系。

正如前述所言，实际资本与所有者权益的内部构成存在一定的对应关系，因此，实际资本表与通用会计报表某些项目的金额相等。

例如，“分配的现金股利(或利润)”项目本期发生额应当与利润分配表中“应付优先股股利”、“应付普通股股利”项目的本期发生额合计数相等。

再如，如果没有转增资本和资本溢价的情况，实际资本表“所有者投入资本”项目“期末数”栏所列数字，应当等于同期资产负债表中所有者权益部分“实收资本(或股本)”项目“期末数”栏所列数字。

保险公司应当根据上述勾稽关系，校验编制的实际资本表、实际资本变动表中数字的准确性。

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第一篇：利息理论第一章：利息的基本概念第二章年金3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同（2）各付款所依据的利率不同5、付款频率与计息频率不同的年金（1）付款频率低于计息频率的年金（2）付款频率高于计息频率的年金（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）6、基本年金变化（1）各年付款额为等差数列（2）各年付款额为等比数列7、更一般变化的年金：（1）在()n Ia 的基础上，付款频率小于计息频率的形式（2）在()n Ia 的基础上，付款频率大于计息频率的形式（3）连续变化年金：○1：有n 个计息期，利率为i ，在t 时刻付款率为t,其现值为 ○2：有n 个计息期，利率为i ，在t 时刻付款率为()f t ,其现值为第三章收益率1、收益率（内部收益率）由0(0)0nt t t V v R ===∑可求出2、收益率的唯一性：（1）若在0~n 期间内存在一时刻t ，t 之后的期间里现金流向是一致的，t 之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。

（2）若在0~n-1内各发生现金流的时刻，投资（包括支出及回收，总称投资）的积累额大于0，则该现金流唯一。

3、再投资收益率：（1）情形一：在时刻0投资1单位，t 时刻的积累值: 1n is +（2）情形二：在标准金中, t 时刻的积累值：1()n n s n n i Is n i j --+=+⋅4、基金收益率：A ：期初基金的资本量 B ：期末基金的本息和 I ：投资期内基金所得收入 t C ：t 时刻的现金流（01t ≤≤） C ：在此期间的现金流之和t tC C =∑，（1）(1)t t I i A C t ≈+-∑ （2）2I i A B I ≈+-（现金流在0-1期间内均匀分布）（3）(1)(1)I i kA k B k I ≈+---（其中(/)t tk t C C =⋅∑）注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率5、时间加权收益率6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间相联系的利率，积累值为：12112(1+)(1)(1)......(1+)(1)(1)(1).....(1+).....y y y k y y yy m y k m C i i i k mC i i i i i k m +++⎧++≤⎪⎨+++>⎪⎩（m 为投资年法的年数，即若投资时间未满m 年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投资组合法计算收益率。

在y 年投资第t 年收益率记为y t i ）7、股息贴现模型（1）每期末支付股息t D ，假定该股票的收益率为r,则它的理论价格为：（2）每期末支付股息以公比（1+g ）呈等比增长，假定该股票的收益率为r,-1<g<r,则它的理论价格为：1D p r g=- 第四章债务偿还1、分期偿还表（标准年金，贷款额n a ，年利率i ，每期末还款额为1）第k 期偿还款中的利息部分记为k I ；本金部分为k p2、连续偿还的分期偿还表3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表（1）若偿还期计息k 次（偿还频率小于计息频率）（2）若每计息期偿还嗲款m 次（偿还频率大于计息频率）4、偿债基金表第五章债券及其定价理论1、债券价格（1）所得税后的债券价格：（2）所得税、资本增益税后（当购买价格低于赎回值）的债券价格：（3）如果债券的购买时间不是付息日，则债券的全价（tp ）2、溢价与折价本金调整：溢价摊销或折价积累3、票息支付周期内债券的估价债券的平价：ft k B + 扣除应计票息后的买价称为市价：m t k B +公式：+fmt k t k k B B Nr ++=或=-mft k t k k B B Nr ++4、收益率的确定由()n p C C g i a =+- P C k C -=可导出112k g n i n k n -≈++或112kg n i k -≈+(12n n +=1/2)5、系列债券：其中：t 1t 1g /:m t m tNr CK C ===∑∑所有现金流现值之和：所有现金流之和第二篇利率期限结构第六章：利率期限结构理论第七章随机利率模型第三篇金融衍生工具定价理论第八章金融衍生工具介绍4、远期利率协议（1）结算时金额：|S-F|T =N 1S T⨯∆+⨯ 其中：S ：目标利率；F ：远期价格，T ：远期期限（2）远期价格,t t T F f +=满足：,(1)(1)[1()]t t t T t T rt f T r t T ++++=++5、期货合约的盈亏：01=nN ||t t Z Z +∆-期货合约保证金账户盈亏代数和为：00N ||t S Z -无论盈亏都只需交00N Z6、利率期货（1）短期利率期货：（欧洲美元期货、定价、套期保值、周期3个月）○1 若果价格变动一个基点（小数点后第二位变动一个数，如→，则一份合约的买方或卖方将支付25远。

对于本金100万而言，一个季度每个基点的价值为：○2远期利率221111221(1)(10.25)(1)41r T rT f rT f r T f rT -++=+⇒=⨯+足满○3套期保值原理(N ：被保资产金额D ：保质期限S 存款利率变动的基点n ：合约的份数）(2)长期利率期货○1国债期货：点数价值：价格波动一个最小值时，一份合约买卖双方盈亏金额 ○2转换因子：指如果名义债券平价发行，那么一单位面值的该债券的价格。

如：若名义债券的票息率为半年4%,某实际债券的票息率为半年3%，剩余期限为2年，则付息日的转换因子为：（3）交割债券的选择（最廉价交割债券）卖方在债券的现货市场上可以以P+A 价格买到债券（P ：债券净价，A ：应计利息）；在期货交割时卖方将收到买方现金CF Z A ⨯+（Z ：债券期货的价格），同时支付债券。

显然A 不影响卖方的成本，卖方的净交割成本为：P CF Z -⨯（4）国债的定价类似于：0().rt F S I e =-例题：假设某国债期货党的CTD 债券的票息率为12%；CF=1.4.假定在270天后交割，债券每半年计息一次；当前时刻距上次付息以过了60天，利息力为r=0.1;债券报价为120；可按如下方法计算期货的价格Z ：解：（1）债券的全价=净价+应计利息之和（每100元面值的利息）（2）计算期货的现金价格：（3）计算以CTD 债券为基础资产的期货价格：（4）利用转换因子CF 计算国债期货的价格：（5）国债期货套期保值原理基点价值bpv ：收益率变动一个基点所引起的债券价格的变化。

如：面值为10万美元、期限为3年，票利率为10.75%，若当前市场利率为10%，则该债券的bpv 为：7、看涨看跌期权平价公式其中t c ：t 时刻的看涨期权的价格 K ：看涨期权的执行价格 t p ：t 时刻的看跌期权的价格 t S ：t 时刻的基础资产价格8、期权价值的影响因素（1）基础资产价格t S ：对看涨期权t S 越大，价格越高对看跌期权t S 越大，价格越低（2）执行价格K ：对看涨期权K ：越大，价格越高对看跌期权K ：越大，价格越低（3）到期期限T ：对美式而言，T 越长，价格越高对欧式而言，不一定（4）无风险率r ：r 越高，价格越高（5）基础资产价格波动率s σ：s σ越大，期权价格越高。

9、期权价格的界（1）欧式期权：()()()r T t t t t r T t r T t t t Ke c S Kep Ke ------⎧-≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩看期看跌期涨权:S 权:-S （2）美式期权：()r T t t t t t t Ke c S K p K--⎧-≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩看期看跌期涨权:S 权:-S 10、11、第九章金融衍生工具定价理论1、单期二叉树期权定价模型设目前为0期，期权合约的基础资产（如股票）价格的现行市场价格为S，在下一期股票价格变动只存在两种可能的结果：或者股票价格上升至S u，或者股票价格下降至S d，而上升或下降的概率呈二次分布状。

在这里下标号u和d表示变量数值上升或下降为原数值的倍数，即u>1，d<1。

与此相对，股票看涨期权的初始价值为c，在下一期（欧式期权的到期日）伴随着股票价格的上涨或下跌，该期权合约的价格也有两种可能，即要么上升至c u，要么下降至c d，作图。

二叉树、节点、路径[例8-1] 设股票的现价(S)为$100,3月看涨期权的执行价格(K)为$110。

在U=1.3和d=0.9情况下，期权价值？解：资产目前成本与未来价值$130×δ -$20=$90×δ (风险中性假定）=0.5股票上涨：VT= $130× 0.5-$20=$45股票下跌：VT=$90x0.5=$45根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚得无风险利率。

换言之，资产组合在当前的价值，是其在到期日的价值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。

假定无风险利率为10%，而且按连续复利进行贴现，那么：V0=$45xe -10%x0.25=$43.8943.89=100x0.5-cC=50-43.89=$6.112、N 期模型的通用公式3、Black-Scholes 模型4、希腊字母及其意义：（1）、t ff S ∂∆=∂为衍生品德价格意义：∆度量了基础资产价格波动对衍生品价格的影响，因此∆是对基础资产价格敏感性的度量。

（基础资产本身的∆=1）可以通过资产组合达到∆中立状态，即∆=0.（2）22=t t f S S α∂∆Γ=∂∂意义：Γ度量了基础资产价格的变化对∆影响，即度量了衍生品价格与基础资产价格之间的凹凸性。

若某个时刻基础资产处于∆=0，当基础资产价格发生变化时资产组合新的加权∆可能不为0. 如果Γ<0，则资产价格的上升将使得资产组合的∆<0，因此需要增加组合中有正∆值资产的头寸以重新达到∆=0。

（3）s f νσ∂=∂对于欧式看涨期权：1(t S d νφ=ν度量了基础资产价格波动性的变化对衍生品价格影响。

（4）f rρ∂=∂ 对于欧式看涨期权：2()r Ke d τρτ-=Φ ρ度量了无风险利率的变化对衍生品价格的影响。

（5）ftθ∂=∂对于欧式看涨期权：21()()r t rKe d S d τσθφ-=-Φ-θ是衍生品时间价值变化的度量参数，它度量了时间的推移对衍生品价格的影响。

总结五个希腊字母：212s df ds ds d dr dt υσρθ=+Γ+++ 第四篇投资组合理论第十章投资组合理论 1、度量风险的方法：变异系数=()WE W σ收益率的方差和标准差22212[()](1)[()]R p r E R p r E r σ=-+-- 2、风险溢价一般解释：当前投资超出无风险投资收益的超额收益 3、财富效用函数（满足：'''()0;0U w U >≤）常见的几种形式：线性效应函数()U w w =二次效应函数()2()=-,()U w w w αα-≤ 指数效应函数(),(0)w U w e ααα-=-> 对数效应函数()log(),()U w w w αα=+>- 幂函数效应函数(),(0,01)c U w w w c =><<4、Jensen 不等式：如果()U w 是一个凹函数，ξ是一个具有有限均值的随机变量，则下式成立：当()E ξ=0，则(()()E U w U w ξ+≤5、投资效用函数最常用的投资效用函数：2()0.5R R R R U u u A σσ+=-R R u σ、分别为期望收益与收益率的标准差，A>0：风险厌恶系数6、风险厌恶的度量：绝对风险厌恶系数：'''()A ()w U w U w =-相对风险厌恶系数：'''()()w wU w R U w =-7、两风险资产组合8、一个风险资产A 无风险资产投资组合收益率(1)P f A R w r wR =-+投资组合期望收益率：()(1)()p f A E R w r w E R =-+⨯ 投资组合标准差：P A w σσ= 9、风险报酬率（Sharpe 比率） 10、最优资产组合的求解投资在市场组合M 上的比列：2M ()p M fME R r w A σσσ-== 考虑两个风险资产A 、B则该风险组合的预期收益和方差分别为：此时风险报酬率：max ()maxAp fw pE R r λσ-=而2B22[()][()]cov [()][()][()E()]cov A f B B f A A A f BB f AA fB f ABE R r E R r w E R r E R r E R r R r σσσ---=-+---+-第十一章 CAPM 和ＡＰＴ１、风险市场价格：2()M fME R r σ-２、期望－贝塔关系：2()[()]cov(,)i f i p f i M i ME R r E R r R R ββσ=+-=其中３、对任意风险资产组合Ｐ４、其斜率为市场组合的风险溢价()p f E R r - ４、ＣＡＰＭ的另一种常用形式：５、资产估值：６、ＣＡＰＭ在业绩评估中的应用（１）：Ｊｅｎｓｅｎ指数：{[()]}p p f p A f J r r E R r β-=-+-（越大越好）（２）Ｔｒｅｙｎｏｒ指数：p fp pr r T β--=（越大越好）（３）Ｓｈａｒｐｅ指数：p fp pr r S σ--=（越高越好）７、套利定价模型（ＡＰＴ）（１）单因素模型：i i i i R F αβε=++资产组合收益率：111nnnp i i i i M i i i i i R w w R w αβε====++∑∑∑（２）双因素模型：1122i i i i i R F F αββε=+++ ８、套利组合：习题部分资产组合理论：1、假如有A 和B 两种股票，它们的收益是相互独立的。