提取公因式法

第六讲 因式分解之提取公因式法一、知识要点1、 因式分解：把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。

（1） 多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。

如：()()22b a b a b a -=-+，从左边到右边的变形属于整式乘法； ()()b a b a b a -+=-22，从左边到右边的变形属于因式分解； （2）因式分解的方法：①提公因式法； ②运用公式法； ③十字相乘法； ④分组分解法2、提公因式法：（1）如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。

把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）公因式：多项式ab ＋ac ＋ad 的各项ab 、ac 、ad 都含有相同的因式a ，a 称为多项式各项的公因式。

公因式由两部份构成：系数：各项系数的最大公约数相同字母的指数：取最低次幂（3）用提公因式法时的注意点：① 公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。

如：4a 2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；② 当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。

如：-2m 3+8m 2-12m= -2．m(m 2-4m+6)； ③ 提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。

二、知识运用典型例题例1、下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解，那些不是，为什么？（1） ()()ab b a b a 422+-=+ （2）()()ab b a b a 422-+=- （3）()()22b a a b -=+- （4）()()22b a b a +=--练习：下列式子从左到右的变形中是因式分解的是（ ）2233.236A a b ab a b ⋅= 2.(1)(1)1B x x x +-=-()22.211C x x x ++=+ ()2.111D x x x x ++=++例2、 若多项式2x mx n ++分解因式的结果是()()65x x -+，则m = ，n = 。

因式分解（一）——提取公因式与运用公式法【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解；（2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。

【知识要点】1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。

☆提公因式分解因式要特别注意：（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。

（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。

（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式，这时要特别注意各项的符号）。

（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。

（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。

2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2222a ab b a b ±+=±。

平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。

完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；(3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。

☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。

具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。

（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。

（3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。

（4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。

【经典例题】例1、找出下列中的公因式：(1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。

(2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。

因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。

而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。

本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。

一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。

通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。

1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。

常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。

二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。

这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。

2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。

三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。

通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。

例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。

3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。

通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。

特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。

因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。

常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。

一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。

下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。

解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。

在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。

2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。

这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。

在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。

3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。

在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。

综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。

二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。

下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。

解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。

在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。

在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。

3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。

根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。

解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。

2.将多项式x^3-8分解因式。

提公因式的方法
提公因式是一种简化代数式的方法，其基本思想是将多个代数式中的公共因式提取出来，从而简化式子，减少计算量。

下面介绍几种常见的提公因式方法。

1. 提取单项式公因式
对于一个多项式，如果其中每一项都含有相同的单项式因子，那么就可以将这个单项式提取出来，得到一个新的表达式。

例如：将式子3x^2 + 6x^3提取公因式x^2，得到3x^2(1 + 2x)。

2. 提取多项式公因式
对于一个多项式，如果其中每一项都可以被一个相同的多项式整除，那么就可以将这个多项式提取出来，得到一个新的表达式。

例如：将式子6x^2y^2 + 12x^3y^2提取公因式6x^2y^2，得到6x^2y^2(1 + 2x)。

3. 将多项式转化为因式分解式
将一个多项式进行因式分解，可以将其表示为若干个单项式的乘积形式，其中每个单项式都是原多项式的因子之一。

例如：将式子x^2 + 5x + 6进行因式分解，得到(x + 2)(x + 3)。

通过以上三种方法，我们可以将复杂的代数式化简为更简单的形式，提高计算效率。

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提取公因式的方法在代数表达式的化简和因式分解中，提取公因式是一种常见的方法。

通过提取公因式，可以简化表达式，使得计算更加方便和高效。

下面将介绍几种常见的提取公因式的方法。

首先，我们来看一元二次多项式的提取公因式。

对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，我们可以通过找出其中的公因式来进行提取。

例如，对于表达式3x^2 +6x，我们可以提取公因式3x，得到3x(x + 2)。

这样就将原来的二次多项式进行了因式分解，得到了更简化的表达式。

其次，对于多项式中的其他类型的提取公因式，我们可以利用公因式分解的原理来进行。

例如，对于表达式3a^3b + 6ab^2，我们可以提取公因式3ab，得到3ab(a^2 + 2b)。

同样地，对于更复杂的多项式，我们也可以通过找出其中的公因式来进行提取，使得表达式更加简化。

除了多项式外，对于分式表达式，我们同样可以利用提取公因式的方法进行化简。

例如，对于分式表达式(2x^2 + 4x)/(2x)，我们可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)/2x，进一步化简为x + 2。

这样就将原来的分式表达式进行了化简，得到了更简单的形式。

在实际应用中，提取公因式的方法常常用于简化代数表达式、解决方程和不等式等问题。

通过提取公因式，可以使得表达式更加清晰明了，从而更方便进行后续的计算和分析。

总之，提取公因式是一种常见且重要的代数方法，通过找出表达式中的公因式，可以使得表达式更加简化和方便计算。

在学习和应用代数知识时，我们可以灵活运用提取公因式的方法，从而更加高效地解决问题。

希望本文介绍的提取公因式的方法能够对大家有所帮助，也希望大家在学习和工作中能够灵活运用这一方法，提高解决问题的效率和准确性。