南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考理科数学试题及答案

江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以下各角中，是第二象限角的为（ ） A ．83π-B ．76π-C ．76π D ．53π 2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ） A ．24cmB ．26cmC ．28cmD ．216cm3．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. ③0a λ=（λ为实数），则λ必为零. ④,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线. 其中正确的命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．已知,,,O A B C 为同一平面内的四个点，若20AC CB +=，则向量OC 等于（ ）A ．2133OA OB - B ．1233OA OB -+C ．2OA OB -D ．2OA OB -+5．已知3log 5a =，1ln 2b =， 1.11.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<6．已知函数()sin f x x x =，设,,763a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>7．已知π1sin 34α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．58 B ．78-C ．58-D ．788．x ∈[0，2π]，y ）A ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,22ππ⎛⎤⎥⎝⎦9．已知函数3()cos 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法中，正确的是（ ） A ．将()f x 图象向左平移12π个单位可得到3sin22y x =的图象 B ．将()f x 图象向右平移6π个单位，所得图象关于()0,0对称 C ．56x π=是函数()f x 的一条对称轴 D ．最小正周期为2π 10．函数f(x)=x13⎛⎫ ⎪⎝⎭-|sin 2x|在5π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上零点的个数为( ) A ．2B ．4C ．5D ．611．已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则8cos 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．45-B ．35C ．35D ．45 12．已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是（ ） A ．(,)42ππB ．3(,)24ππC ．(,)24ππ-- D ．5(,)4ππ二、填空题13．已知函数2,2()(1),2x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2f =_____________ .14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________． 15．若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是___________.16．设0>ω，若函数()2sin f x x ω=在[,]34ππ-上单调递增，则ω的取值范围是________三、解答题17．如图所示，设,,M N P 是ABC 三边上的点，且13BM BC =，13CN CA =，13AP AB =，若AB =a ，AC =b ，试用,a b 将,MN NP 表示出来．18．（1）已知方程sin(3)2cos(4)απαπ-=-，sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值． （2）已知1tan ,tan αα是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且732παπ<<，求cos sin αα+的值．19．已知函数()()sin f x A x B ωϕ=++的部分图像如图所示，其中0A >，0>ω，2πϕ<.（1）求函数()f x 的表达式； （2）将函数()f x 的图像先向右平移4π个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到函数()g x 的图像，求()g x 的最小值和()g x 取最小值时x 的取值集合．．. 20．已知cos()αβ+=1tan 7β=，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求22cos sin sin cos ββββ-+的值； （2）求2αβ+的值.21．已知函数())211sin cos 1cos cos 222f x x x x x =⋅---.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，若方程()02mg x +=在[]0,x π∈上有两个不相等的实数解1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求12x x +的值.22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-． （1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合； （3）若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．参考答案1．B 【分析】将各选项中的角表示为()202,k k Z απαπ+≤<∈，利用象限角的定义可得出合适的选项. 【详解】 对于A 选项，84433πππ-=-，43π为第三象限角，则83π-为第三象限角；对于B 选项，75266πππ-=-，56π为第二象限角，则76π-为第二象限角；对于C 选项，76π为第三象限角； 对于D 选项，53π为第四象限角. 故选：B. 2．A 【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出． 【详解】设此扇形半径为r ，扇形弧长为l=2r 则2r +2r ＝8，r=2， ∴扇形的面积为12l r=224r cm = 故选A 【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题． 3．A 【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若0a λ=（λ为实数），则a 也可以零，因此命题也是错误的；若,λμ为0，尽管有a b λμ=，则a 与b 也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A ． 4．C 【解析】试题分析：由20AC CB +=得2()()0OC OA OB OC -+-=，即2OC OA OB =-，故选C ．考点：向量的回头法运算及几何意义． 5．A 【分析】利用指对数函数的性质，确定a ，b ，c 的范围，即可知它们的大小关系. 【详解】由3log 51a =>，1ln 02b =<， 1.10 1.51c -<=<，可知：a c b >>. 故选：A 6．B 【分析】先对函数化简变形得()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，由正弦函数的图像和性质可知()f x 的图像关于6x π=对称，且()f x 在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，从而可比较出大小 【详解】解：()sin 2sin()3f x x x x π==+，则()f x 的图像关于6x π=对称，且()f x 在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，因为6736ππππ-<-，所以()()()673f f f πππ>>，所以b a c >>， 故选：B【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】π1sin sin cos 32664πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2π17cos 22cos 113688παα⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B 8．C 【分析】由解析式可得tan 0cos 002x x x π≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，解出即可.【详解】由题意，tan 0cos 002x x x π≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，解得32x ππ≤<，所以函数的定义域为3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 9．C 【分析】根据图象的平移可得判断A ；根据图象的平移可得3cos22y x =，再把0x =代入可判断B ；由 5353()cos 262632f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，可判断C ；由周期公式2T ωπ=可判断D ． 【详解】 A 选项中3()cos 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移12π个单位，得33cos 2sin 2222y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，B 选项中()f x 向右平移6π个单位，得3cos22y x =，33(0)cos022f ==，不关于()0,0对称，错误； C 选项中，5353()cos 262632f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，56x π=是函数()f x 的一条对称轴，正确； D 选项中，22ππ=，最小正周期为π，错误． 故选：C. 【点睛】本题考查了()()cos f x A x ωϕ=+的性质.有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题. 10．C 【分析】在同一坐标系内画出两个函数y 1=13x⎛⎫ ⎪⎝⎭与y 2=|sin 2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，进而得到函数零点的个数． 【详解】在同一直角坐标系中分别画出函数y 1=13x⎛⎫ ⎪⎝⎭与y 2=|sin 2x|的图象，结合图象可知两个函数的图象在5π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有5个交点，故原函数有5个零点．【点睛】判断函数()()()h x f x g x =-零点的个数时，可转化为判断函数()y f x =和函数()y g x =的图象的公共点的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的应用． 11．D 【分析】利用拼凑法将α表示成33αππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，再结合sin sin 35παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，可得sin sin 3335ααπππ⎛⎫⎛⎫+++-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【详解】因为sin sin 35παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以sin sin 3335ααπππ⎛⎫⎛⎫+++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin cos cos sin 33333αααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以3sin 233ααππ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos 23235αα⎤ππ⎛⎫⎛⎫+-+=-⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦，所以335αππ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，即24cos 35απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以824cos cos 335ααππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D. 【点睛】本题考查三角函数公式的化简求值，拼凑角、辅助角公式的使用，解题关键在于表示出33αα⎛ππ⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，属于中档题【解析】令sin cos sin cos a θθθθ+==，则111sin 2,222a θ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，又由()2sin cos 2sin cos 10θθθθ+--=，得2210a a --=，解得1a =-舍去(1，则sin cos 10θθ=<，θ在第二或第四象限，排除A 和D ，又sin cos 10θθ+=<而sin cos 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭排除B ，只有C 答案满足，故选C.点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令sin cos sin cos a θθθθ+==，可将已知等式转化为关于a的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得1a =-即sin θ和cos θ的符号相反，可排除A 和D ，当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可求出sin cos 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭与所求矛盾，排除B. 13．-1 【分析】根据分段函数定义计算． 【详解】(2)(1)121f f ==-=-．故答案为：1-． 14．12-【详解】 因为，所以，①因为，所以，②①②得，即， 解得， 故本题正确答案为15．【分析】 利用对称关系，得()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求()f x 最值【详解】 由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得a = 从而()3sin 2226f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，当22,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取到最大值故答案为：16．3(0,]2【分析】根据正弦函数的单调性，求出函数()2sin f x x ω=的单增区间，由2222k x k πππωπ-+≤≤+（k Z ∈），可得： 2222k k x ππππωω-++≤≤，所以22-3224k k πππωπππω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩ ，整理即可得解. 【详解】 根据正弦函数的单调性，可得：2222k x k πππωπ-+≤≤+（k Z ∈），所以：2222k k x ππππωω-++≤≤， 解得：22-3224k k πππωπππω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩， 整理可得：36228k kωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩ ，当0k =有解，解得302ω<≤. 故答案为：3(0,]2.【点睛】本题考查了利用三角函数单调性求参数的取值范围，考查了恒成立思想，要求较高的计算能力，属于难题.17．21=33MN a b -+，1233NP a b =- 【分析】根据题意，结合图象，利用向量的加法法则和减法法则，表达MN 与NP ，即可求解.【详解】 ()121221333333MN CN CM AC CB b a b a b =-=--=---=-+， 12123333NP AP AN AB AC a b =-=-=- 【点睛】本题考查向量的加法和减法法则，属于基础题.18．（1）34-；（2） 【分析】（1）由已知利用诱导公式化简得到tan α的值，再利用诱导公式化简sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭为含有tan α的形式，代入即可； （2）由根与系数的关系求出k 的值，结合α的范围求出tan α，进一步求出α，即可求cos sin αα+的值．【详解】解：（1）由sin(3)2cos(4)απαπ-=-得：sin 2cos αα， 即tan 2α，cos 0α∴≠，sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭ sin 5cos 2cos sin αααα+=-+ sin 5cos cos cos 2cos sin cos cos αααααααα+=-+ tan 52tan αα+=-+ 2522-+=-- 34=-； （2）tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 21tan tan 1tan 3tan k k αααα⎧+=⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩， 解得：2k =±， 又732παπ<<， tan 0α∴>，2k ∴=， 即1tan 2tan αα+=， 解得：tan 1α=，134πα∴=，1313cos sin cossin 4422ππαα+=+=--=【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.19．（1）()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）最小值是2-， ,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎭⎩. 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出ϕ，可得函数的解析式；（2）利用函数()sin y A x B ωϕ=++的图象变换，可求得()22sin 243g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可求()g x 的最小值和取最小值时x 的取值集合.【详解】（1）由图可知：40A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：22A B =⎧⎨=⎩， 1541264T πππ=-=，得：T π=，22T πω==， 代入(,4)6π，得sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，6π=ϕ， 所以：()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2）由题意得：()2sin 2222sin 2463g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以：()g x 的最小值是2-，此时：2232x k πππ-=-+，x 的取值集合是,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎭⎩. 【点睛】本题考查由()sin y A x B ωϕ=++的部分图像确定其解析式，考查函数()sin y A x B ωϕ=++的图象变换，考查正弦函数的最值，属于中档题.20．（1）1110；（2）4π.【分析】（1）原式除以22cos sin ββ+，分子分母再同时除以2cos β即可得解；（2）由cos()αβ+=cos2()αβ+、sin 2()αβ+，再由1tan 7β=求出sin β、cos β，代入2)cos[2(s ]co )(αβαββ+=+-的展开式即可得解.【详解】（1）原式222222cos sin sin cos 1tan tan 11cos sin 1tan 10βββββββββ-+-+===++；（2）cos()05αβ+=>且(0,)αβπ+∈，0,2παβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则sin()αβ+=， 243cos2()2cos ()12155αβαβ∴+=+-=⨯-=， 4sin 2()2sin()cos()5αβαβαβ+=++=，1tan 7β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 1010ββ∴==， 2)cos[2()]co c s2()cos sin 2()si s(n o αβαββαββαββ+=+-=+++∴3455==， 又0,2⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭παβ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2(0,)αβπ∴+∈ 24παβ∴+=.【点睛】 本题考查利用同角三角函数的关系化简求值、二倍角公式、两角和的余弦公式、配凑法求三角函数值，重点考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.21．（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈（2）2m -<≤1253x x π+= 【分析】(1)利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得()f x的单调增区间；(2)由函数()sin y A ωx φ=+的图像伸缩变换求得()g x 的解析式，再利用正弦函数化简，求出m 的取值范围，再利用对称性求出12x x +的值.【详解】（1）())21sin cos sin 21cos 22f x x x x x x =⋅-=-+1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 因此()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由222232k x k πππππ-≤-≤+，k z ∈，解得()f x 的单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈.（2）由题意得()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则方程()0g x +=可化简为sin sin 032232m m x x ππ⎛⎫⎛⎫--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即sin 32m x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭由图像可知，方程()0g x =在[]0,x π∈上要有两个不相等的实数解1x ，2x12m ⇔≤-<即2m -<≤1253x x π+= 【点睛】本题主要考查三角函数图像的单调性，还考查三角函数()sin y A ωx φ=+图像的伸缩变换，其中涉及二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，以及利用三角函数周期、对称轴求出参数范围.22．（1）1a =-；（2）[3,)+∞；（3）[7,3]-．【详解】试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数a 的值．（2）求出函数121()log 1ax g x x -=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，即()5f x ≤在区间[0,)+∞上恒成立，可得1116()()4()424x x x a --≤≤-上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数a 的范围．试题解析：（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax ax x x +-=----， 即1111ax x x ax+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-． （2）由（1）得：121()log 1x g x x +=-， 而112212()log log (1)11x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，所以()3g x ≤， 故函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3,)+∞．（3）由题意知，()5f x ≤在[0,)+∞上恒成立， 5()5f x -≤≤，1116()()4()424x x x a --≤≤-． ∴1162()42()22xx xx a -⋅-≤≤⋅-在[0,)+∞上恒成立． ∴max min 11[62()][42()]22x x x x a -⋅-≤≤⋅- 设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t=-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<，21121212()(61)()()0t t t t h t h t t t ---=>， 所以()h t 在[1,)+∞上递减， ()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =， 所以实数a 的取值范围为[7,3]-．考点：函数的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．【方法点晴】本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化的思想方法，涉及知识面广，难度较大．。

江西省南昌市八一中学、洪都中学、南师附中、十七中四校2021-2022学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1．（3分）据记载，欧拉公式e i x＝cos x+isin x（x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1＝0，将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”．根据欧拉公式复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3分）命题“对任意x∈〖1，2〗，x≥a”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a＜1C．a≥4D．a≤43．（3分）函数的极大值点为（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝±1D．不存在4．（3分）已知M（m，n）为圆C：（x﹣2）2+y2＝1上任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．5．（3分）曲线y＝f（x）在x＝1处的切线如图所示，则f′（1）＝（）A．1B．C．D．﹣16．（3分）过椭圆的左焦点作弦AB，则最短弦AB的长为（）A．1B．2C．D．47．（3分）日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为95%时所需净化费用的瞬时变化率是（）元/t．A．120B．160C．﹣160D．﹣1008．（3分）如图，双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若双曲线C过A，B两点，且离心率为，则直线AB的方程为（）A．3x+y+7＝0B．4x+y+6＝0C．x+y+5＝0D．2x+y+3＝09．（3分）设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f′（x）cos x﹣f（x）sin x＞0，若a＝0，b＝），c＝﹣），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞a10．（3分）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点F作倾斜角为的直线l与抛物线交于P，Q两点，则△POQ（O为坐标原点）的面积S等于（）A．B．C．D．11．（3分）设双曲线与幂函数的图象相交于P，且过双曲线C的左焦点F（﹣2，0）的直线与函数的图象相切于P，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（3分）已知函数，要使函数f（x）＝k有三个零点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（3分）已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：；乙：；丙：．在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝．14．（3分）＝．15．（3分）已知椭圆交x轴于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线P A，PB分别交y轴于点M，N，则为定值b2﹣a2．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交x轴于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线P A，PB分别交y轴于点M，N，则为定值．16．（3分）已知函数f（x）＝x ln x+2x（x﹣a）2（a∈R）若存在x∈〖2，4〗，使得f（x）＞xf′（x）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：实数m满足|i+i2022|＞m成立，命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆，若命题￢q为真，命题p或q为真，求实数m的取值范围．18．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2p sin（θ+）﹣1＝0，曲线C的参数方程是（φ为参数）．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求|P A|•|PB|．19．（12分）已知函数g（x）＝﹣x3+3x．（1）求g（x）在点A（2，﹣2）处的切线方程；（2）求直线f（x）＝x与曲线g（x）围成的封闭图形的面积．20．（12分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为90cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm．（1）求包装盒的容积V（x）关于x的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）当x为多少时，包装盒的容积V（cm3）最大？最大容积是多少？21．（12分）已知两动圆F1：（x+1）2+y2＝r2和F2：（x﹣1）2+y2＝（2（0＜r＜2），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，取曲线C上的相异两点A、B满足：＝0，且点M与点A，B均不重合．（1）求曲线C的方程；（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标．22．（14分）已知函数f（x）＝（x+2）（e x﹣1），g（x）＝m﹣nx+ln（x+2）．（1）讨论g（x）的单调性；（2）若n＝0时，对任意x＞﹣2都有g（x）≤f（x）恒成立，求实数m的最大值．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1．D〖解析〗复数＝cos+isin＝，所以复数z的虚部为．故选：D．2．B〖解析〗对任意x∈〖1，2〗，x≥a为真命题，则对任意x∈〖1，2〗，x≥a，即a≤（x）min，∴a≤1，则命题“对任意x∈〖1，2〗，x≥a”为真命题的一个充分不必要条件可以是a＜1，故选：B．3．B〖解析〗函数，可得f′（x）＝1﹣＝，由＝0，可得x＝±1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，函数是增函数，x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，所以x＝﹣1时，函数取得极大值，故选：B．4．C〖解析〗圆C：（x﹣2）2+y2＝1，它的圆心（2，0），半径为1，设z＝，则n＝mz+z，即mz﹣n+z＝0，当直线和圆相切时，有＝1，可得8z2＝1，∴z＝±，∴的最小值为：﹣．故选：C．5．C〖解析〗根据图象，切线上的两点坐标分别为：（2，0），（0，﹣1），∴切线的斜率为：k＝．故选：C．6．A〖解析〗过椭圆的左焦点作弦AB，则最短弦AB的长为椭圆的通径：2×＝2×＝1．故选：A．7．B〖解析〗因为，所以c′（x）＝（），则c′（95）＝＝160，故选：B．8．D〖解析〗由题意可知，双曲线的离心率为，则e＝＝，则c＝a，则b2＝c2﹣a2＝a2，所以双曲线的方程为﹣＝1，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点A，B在双曲线上，则x12﹣y12＝a2①，x22﹣y22＝a2②，①﹣②可得，（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2）③，因为AB为圆M的直径，则M（﹣2，1）为AB的中点，所以＝﹣2，＝1代入③可得，＝﹣2，所以直线AB的斜率为﹣2，又直线经过点M（﹣2，1），所以直线AB的方程为y﹣1＝﹣2（x+2），即2x+y+3＝0．故选：D．9．C〖解析〗设g（x）＝f（x）cos x，则g′（x）＝f′（x）cos x﹣f（x）sin x，又因为f′（x）cos x﹣f（x）sin x＞0，所以g′（x）＞0，所以g（x）在（0，π）上单调递增，所以a＝0＝cos f（），b＝f（）＝cos f（），c＝﹣f（）＝cos f（），因为＜＜，所以cos f（）＜cos f（）＜cos f（），所以b＜a＜c，故选：C．10．A〖解析〗抛物线C：y2＝2x的焦点为F（，0），由题意可得直线l的方程为x＝y+，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：y2﹣y﹣1＝0，则y1+y2＝，y1y2＝﹣1，所以|y1﹣y2|＝＝＝，所以S△AOB＝|OF|•|y1﹣y2|＝•＝，故选：A．11．B〖解析〗设P（m，），则函数y＝f（x）＝的导数f′（x）＝，则在P处的切线斜率k＝f′（m）＝，则切线方程为y﹣＝（x﹣m），∵切线过F（﹣2，0），∴﹣＝（﹣2﹣m），即2m＝2+m，则m＝2，即P（2，），∵左焦点F（﹣2，0），∴右焦点F1（2，0），则c＝2，且2a＝|PF|﹣|PF1|＝﹣＝2，则a＝，则双曲线的离心率e＝＝．故选：B．12．A〖解析〗要使函数f（x）＝k有三个零点，即y＝f（x）与y＝k的图象有3个交点，因为当x≤0时，f（x）＝x e x，所以f'（x）＝（x+1）e x，所以f（x）＝x e x有最小值f（﹣1）＝﹣，且x＜0时，f（x）＜0，当x趋向于负无穷时，f（x）趋向于0，但始终小于0，当x＞0时，f（x）＝﹣x²+1单调递减，所以要使函数f（x）＝k有三个零点，则﹣＜k＜0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．2+i〖解析〗设z＝a+b i，则＝a﹣b i，甲：由已知可得2a＝4，则a＝2，乙：由z＝3可得：a2+b2＝3，丙：由可得：，所以a2+b2＝5，若a＝2，则a2+b2＝4+b2＝3，则b2＝﹣1不成立，4+b2＝5，则b2＝1，解得b＝1或﹣1，所以甲，丙正确，乙错误，此时z＝2+i或z＝2﹣i，又复数z对应的点在复平面第一象限内，所以z＝2+i，故〖答案〗为：2+i．14．2π〖解析〗，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π，故〖答案〗为：2π．15．﹣a2﹣b2〖解析〗由双曲线的方程可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（m，n），则﹣＝1，可得n2a2＝m2b2﹣a2b2＝b2（m2﹣a2），直线P A的方程为：y＝（x+a），令x＝0，则y M＝，可得M（0，），直线PB的方程为y＝（x﹣a），令x＝0，可得y N＝，即N（0，），所以•＝（a，）•（﹣a，）＝﹣a2﹣＝﹣a2﹣＝﹣a2﹣b2，故〖答案〗为：﹣a2﹣b2．16．〖解析〗由f（x）＞xf′（x）得，设，则存在x∈〖2，4〗，使得g'（x）＜0成立，即能成立．所以能成立，所以，又令，所以x∈〖2，4〗时，t'（x）＞0，t（x）单调递增，当x＝2时，t有最小值，所以实数a的取值范围是，故〖答案〗为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．〖解〗|i+i2022|＝|i+i2|＝|﹣1+i|＝，若p真，则，若q真，则2﹣m＞m＞0，则0＜m＜1，若q假，则m≥1或m≤0，若命题￢q为真，命题p或q为真，则故或m≤0，即m的取值范围是（﹣∞，0〗∪〖1，）．18．〖解〗（1）∵2ρsin（θ+）﹣1＝0，∴sinθ+ρcosθ﹣1＝0，∵，∴l的普通方程为，∵曲线C的参数方程是（φ为参数）．∴曲线C的普通方程为x2+y2＝5．（2）在中，令y＝0，得P（1，0），∵，∴倾斜角，∴l的参数方程为，代入x2+y2＝5中，得，Δ＞0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣4＜0，∴t1，t2异号，∴|P A|⋅|PB|＝|t1t2|＝4．19．〖解〗（1）函数g（x）＝﹣x3+3x的导数为g′（x）＝3﹣3x2，得切线的斜率k＝g′（2）＝﹣9，∵切线过点A（2，﹣2），∴切线的方程：9x+y﹣16＝0；（2）联立，解得，或或，直线y＝x与曲线y＝3x﹣x3交于三点，则所求图形的面积．20．〖解〗（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则，，0＜x＜45．所以＝，其定义域为{x|0＜x＜45}.（2）由，可得，当x∈（0，30）时，V'＞0；当x∈（30，45）时，V'＜0；∴当x＝30时，V取得极大值也是最大值：．答：当x＝30cm时，包装盒的容积最大是．21．〖解〗（1）解：设两动圆的公共点为Q，则有．由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，，c＝1，b＝1，所以曲线C的方程是：．（2）证明：由题意可知：M（0，1），且直线AB斜率存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB：y＝kx+m，联立方程组有：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，，，因为，所以有x1⋅x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）＝0，把①②代入整理化简得（m﹣1）（3m+1）＝0，或m＝1（舍），因为点M与点A，B均不重合，所以直线AB恒过定点．22．〖解〗（1）∵g（x）的定义域为（﹣2，+∞），且．当n≤0时，显然g'（x）＞0，∴g（x）在定义域（﹣2，+∞）上单调递增；当n＞0时，令g'（x）＝0，得，则有：xg'（x）+0﹣g（x）↗极大值↘即g（x）在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当n≤0时，f（x）在定义域（﹣2，+∞）上单调递增；当n＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）当n＝0时，g（x）＝ln（x+2）+m，对于x＞﹣2满足g（x）≤f（x）恒成立，m+ln（x+2）≤（x+2）（e x﹣1），∴m≤（x+2）（e x﹣1）﹣ln（x+2）在（﹣2，+∞）上恒成立，令F（x）＝（x+2）（e x﹣1）﹣ln（x+2）（x＞﹣2），只需m≤F（x）min．∵，∵x＞﹣2，∴x+3＞0，令，则，∴h（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又∵，，∴存在唯一的x0∈（﹣2，+∞），使得，即，两边取自然对数得x0+ln（x0+2）＝0，x（﹣2，x0）x0（x0，+∞）F'（x）﹣0+F（x）↘极小值↗，∴m≤﹣1，则m的最大值为﹣1．。

江西省八所重点中学2021 届高三联考理科数学试卷2021.4考试时长：120 分钟分值：150 分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11. 已知复数，则下列说法正确的是（）z13i1A. 复数z 的实部为B. 复数的虚部为z23 4i1 3 z1 C. 复数z 的共轭复数为 D. 复数的模为i4 4 42. 设集合，，则集合中元素的个A x y x 2 y 2 2021,B x, y y 2A Bx2020数为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 若，，，则（）a sin 20212021b0.21 c log 0.2120215A. B. C. D.c a b b a c b c a c b a0,1x y y x20204. 在区间上随机取两个数、，则事件“”发生的概率为（）1 1 2019 2020A. B. C. D.2020 2021 2020 202115. 已知正项数列 a 满足，是 a 的前n 项和，且S a2 a 14 ，则（）S Sn n n n n nn2n n2 15 n n3 52 15A. B. C. D.4 4 3 3 2 26. 定义在上的函数满足，，若R y f (x) f 6 x f (x) x 3 f '(x) 0x 3f 0 f 1 0 f (x) 5, 6，则函数在区间内（）A. 没有零点B. 有且仅有 1 个零点C. 至少有 2 个零点D. 可能有无数个零点na7. 在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含xx x 6的项系数为（）A. 45B. -45C. 120D. -120x y2 28. 已知点F ，分别是双曲线：的左、右焦点，点是右F C 2 2 1(a 0) M C1 2a 16 a支上的一点.直线与轴交于点，的内切圆在边PF 上的切点为Q ，若MF y P △MPF1 2 2PQ 2 3 C，则的离心率为（）5 3 3 3A. B. 3 C. D.3 2 2 3 39. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若角、、成等差数△ABC A B C a b c A C B列，角的角平分线交于点，且，，则的值为（）C ABD CD 3 a 3b c7 4 7A. 3B.C.D.2 32 310. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理0,1性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，1 2 1 2去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间，分别均, 0, ,13 3 3 3分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和4 18182n 0.1975小于，则操作的次数的最大值为（）（参考数据：，2021 3523 0.13176 722，，）0.0878 0.05853 3A. 4B. 5C. 6D. 711. 已知三棱锥的外接球的表面积为，，，，P ABC 64AB 2 AC 2 3 AB AC PA 8 P ABC，则三棱锥的体积为（）16 38 3A. 8B.C.D. 1633x2212. 已知函数 g (x )x 0 ，则关于 的方程 不可能xg (x )2k0 k Reg (x )x有（ ）个相异实根.A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 用 1，2，3，4，5 五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数不在相邻数位上，则满 足条件的五位数共有____________个.（用数字作答） 14. 曲线上任意一点 到直线的最短距离为__________.y x 2 x ln xP 2x y 2 015. 给出下列命题：①垂直于同一个平面的两个平面平行；②“ ”是“ 与 夹角为钝角”的充分不必a b a b4要条件；③边长为 2 的正方形的直观图的面积为 2 ；④函数 f (x )sin 2 x 的最小sin x241值为 4；⑤已知，，则.tantantan 333其中正确的有____________（填上你认为正确命题的序号） 16. 平面向量、、，满足，，O AO B O CO A2 O B42O C O A O C O BO AO BO CO A O B0 0,2 ，则对任意 ，的最大值为1 cos1 sin4 2__________.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：f (x) m sin x m 0, 06①函数f (x) 的最大值为 2；②函数f (x) 的图象可由 2 sin 2 的图像平移得到；4y x③函数( ) 图像的相邻两条对称轴之间的距离为.f x（1）请写出这两个条件的序号，并求出的解析式；f (x)（2）锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . A ，，a f A3求周长的取值范围.△ABC注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.18. 如图所示，在三棱锥P ABC 中，PC 平面ABC ，PC 2，ACB ，D ，E2分别为线段，上的点，且，.AB BC CD DE 2 CE 2EB 2（1）证明：平面平面；PDE PCD（2）求锐二面角的余弦值.A PD Cx y2 219. 已知椭圆： 2 2 1 0 .左焦点，点在椭圆外部，E F 1, 0M 0, 2Ea ba b点为椭圆上一动点，且的周长最大值为.N E △NMF 2 5 4（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B 、C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB 、AC 分别与y 轴交于P 、Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.20. 4 月 30 日是全国交通安全反思日，学校将举行交通安全知识竞赛，第一轮选拔共设有A B C D，，，四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题A ，B ，C ，D 分别加 1 分，2 分，3 分，6 分，答错任一题减 2 分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，若累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题，，，顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题，，A B C D A B3 1 1 1C D，回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响.5 2 3 4（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望.E21. 已知函数( ) ln ，.f x x a x g(x) e x ln x 2x（1）讨论函数的单调性；f (x)x x0 0 0 ln 0（2）若，求的值；g x（3）证明：.x x ln x e x x2（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]x 3cos在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为xOy C Oysin极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.x l cos 13（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；C l1 1l C M N P2, 0PM PN（2）若直线与曲线交于，两点，设，求的值.23. [选修 4-5：不等式选讲]已知函数.f (x) x 2 x 4（1）求不等式的解集；f (x) 8（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求a b c f (x) t 2a 2b c t的最小值.a2 b2c2江西省八所重点中学2021 届高三联考理科数学答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D D A B A D C B A D二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.2 513．72 14．15．③⑤16．22 15三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答,第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分17．（本小题满分12 分）sin（1）函数同时满足的条件为①③ (2)f x m x6分sin由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数f x m x 满足的条件之一.由③可6T 1 2 sin知， 2 ，所以，与②中矛盾，所以函数f x m x 同时满足的条6件①③.又由①可知m ，所以22sinf x x . ………5 分6（2）由（1）a=2s in( ) 2,3 6b c a 2 4由正弦定理得，3,sin B sin C sin A sin 334 4则b 3 sin B, c 3 sin C ,设ABC周长为L,3 34 4L a b c 2 3 sin B 3 sin C3 34 42 3 sin B 3 sin(B ) 4 sin(B ) 23 3 3 60 B22由得，B B2 6 23 6 30 C B3 2所以ABC周长范围为（2 3+2，6]………8 分………10 分………12 分18．（本小题满分12 分）（1）证明：CD DEDE2 CD 2 2 4 CE 22又平面,且, ,ABC DE 平面ABC PC DEPC又PC交CD于点C , , ,DE 平面PCD DE 平面PDE平面PDE 平面PCD………4 分（2）以点为坐标原点为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，C CA x CB y CP z3过点做的平行线交于点，为中点，由三角形相似可得，D AC CE H H CE AC23 1A( ,0,0), D(1,1, 0),P (0,0,2)AD (,1,0), AP (2 2 32,0,2) (6)分3 设平面的法向量为x z ,解得n 2,1, PAD n x, y, z 0,1 x y 32 0,22 2又平面的法向量与共线PCD DEDE 平面PCDPCD DE (1,1, 0)平面的法向量为= ，………8 分1cos n, DE91 4 245829………11 分58A PD C锐二面角的余弦值为．………12 分2919. （本小题满分12 分）x y2 2解：(1) ……… 4分14 3(2) 由对称性可知,如果存在定点满足题设条件,则该定点必在x 轴上可设定点: (t,0), 两点关于轴对称,可设0 y C x y x0T BC x ( , ), ( , )B x ( 2)0 0 02y 2yl y x0 y xAB : ), 0,( 2) ( 2), P(0, Q( )同理可得……… 6分0 0x 2 x 20 0PT QT点T在以PQ为直径的圆上, ,代入可得:2 24y 4yt B、C2t 0 0, 又因为点在椭圆0(x ) 4 x2)( x 220 023xy 3上, ……… 10分424yt2 （ 3 ,0） 代入t 0 可得 3 圆过定点或4 x2（- 3,0）………12分20.（本小题满分12 分）解:设A，B，C，D 分别为第一，二，三，四个问题．用M (i ＝1，2，3，4)表示甲同学第ii个问题回答正确，用N (i ＝1，2，3，4)表示甲同学第i 个问题回答错误，则M 与N 是对i i i3 1 1 1立事件(i ＝1，2，3，4)．由题意得，P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝，5 2 3 42 1 2 3所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝.5 2 3 4（1）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，……… 2分P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4)＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4)3 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 1 2 1 2 1 9＝× × ＋× × × ＋× × × ＋× × × ＋× × × ＝. ………5 2 3 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 406分（2）由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4.由于每题答题结果相互独立，………7分所以P(ξ＝2)＝1，………8分53 1 1 3 1 2P(ξ＝3)＝× × ＋× × ＝5 2 3 5 2 3310，………9分P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12. ………10分随机变量ξ的分布列为ξ 2 3 4P 1531012 13 1 33所以E(ξ)＝ 3 4 . ………25 10 2 1012分21．（本小题满分12 分）(1)f当a1(x )0时，fa x a(x 0)x x) 0f(x 恒成立，则(x)在R上单调递增，当a 0时，f (x)在（0，a ）单调递减，在（a ,）单调递增.……… 3分（2）法一：x 0 ln x 0 0ln x x x e x e xx 0 若时，0 00 0 0 0e x 0 ln 0 0 e x xxx x x2 ln 0 所以0 与0 矛盾；0 0 0x x0 ln 0 0若时，ln x x x e x e x x 00 00 0 0 0e x 0 ln 0 0 e x x xxx x 2 ln 0 所以0 与0 矛盾；0 0 0x x0 ln 0 0当时，ln x x x e x e x x 00 00 0 0 02 ln 0e x x x x 0 ln x 0 0 得0 ，故成立，0 0e x2 0 ln0 x x 法二:0 e x0 x x x0 ln0 0e x 0 ln e x xx0 lnf ln f x 0 f x e x 0 xx x xe是增函数，，0 0即e x 0 x x ln x0 0 00 ………7分（3）证明：要证 2 ，即证，x x ln x e x x e x x2 x x ln x 0h x e x x x x x x 02 ln设，．h x e x x g x h xx 2 ln，令1x x 2 lng x e 2 0h x e x x，所以函数单调递增，x11 21h e e1 0 h 12 0又，，e e eh x e x x 1 ,1x 2 lnx 故在上存在唯一零点，即ee x xx2 ln 0．……… 9分0 0x x h x 0 x x h x 0 0,0 ,所以当，，当时，，h x x x h xx x0, 0 ,所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，故，………h x h x e x xx xx0 20 0 0 0ln 011分e x x x2 ln 0 由0 ，得0 0h x x x x h x 00 0 1 0 ln 0 0得，所以，即．………12分f xe x x2（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]xcos（1）由曲线C 的参数方程得，3sinyx2两式平方再相加可得曲线C的普通方程为1；y 29直线l的极坐标方程可化为 cos 3 sin 2,∴直线l的直角坐标方程为x 3y 2 0………4分3x 2t2x（2）由（1）知：直线l的参数方程为代入 1整理得：(2t为参数)，y 219y t23t 2 t PM t12 3 5 0，而P（2，0），直线l与曲线C交于M，N两点，设，2 3 5PNt .，即有t ,1 t t t22 1 23 3所以1PM1PNP MPMPNPNt1t1tt22tt12t t1 22 35( )4()2 (t t ) 4t t23312 1 2t t531 2 6 25………10 分23．[选修4—5：不等式选讲]x 4 24 xx 2可化为：或或，x 2 x 4 8 x 2 x 4 8x 2 84xx 4 x 2 2 x 35 4解得：或或，5,3所以，不等式的解集为. ………5分（2）因为f (x) x 2 x 4 x 2) (x .. ………6分( 4) 6f (x) t 6 2a 2b c6 所以的最小值为，即，由柯西不等式得：(a2 b2 c2 )(22 22 12 a 2b c)2 2 36.，) (2 6ab 4 2c, a b ,c当且仅当，即时，等号成立，2 23 3所以的最小值为4. (10)a2 b2 c2分。

江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三数学上学期期末联考试题 文一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若集合{}240∣=-<A xx ，{lg 0}B x x =<∣，则A B =（ ）A ．(2,1)-B ．(2,2)-C ．(0,1)D ．(0,2)2．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．既不充分又不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35154,60a a S +==，则20a = （ ）A ．4B ．6C ．10D ．124．已知1a =，(0,2)=b 且1a b ⋅=，则向量a 与b 夹角的大小为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．6π 5．函数()()13,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为（ ）A ．1,2B ．4(,)3-∞C ．4(1,)3D ．[)2,+∞6.若变量x ，y 满足约束条件1,1,2 2.x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．3-C ．9-D ．10-7．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15168．已知ABC 是面积为93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的体积为32π3，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A ．3 B ．32C ．1D ．39．某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A ．35222++B ．12252++C ．1252++ D ．3252++ 10．已知抛物线2:12C x y =上一点P ，直线:3l y =-，过点P 作PA l ⊥，垂足为A ，圆22:(4)1M x y -+=上有一动点N ，则||||PA PN +最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．已知奇函数()f x 定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，若(1)f a =，则(1)(3)(5)(2019)f f f f +++=（ ）A ． 1010aB ．2aC ． aD ．012．已知双曲线2222:1x y C a b-=，(0,0)a b >>过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A 、B 两点A 、B 两点分别在一、四象限，若12AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．233B ．2C ．3D ．5二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =_______.14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 1sin 2B C =，222c b ab -=，则cos A =__________．15．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是_______ ①平均数3x ≤； ②标准差2S ≤； ③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2； ⑤众数等于1且极差小于或等于4.16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD，,4,BC CD BC CD AB AD ⊥====，则三棱锥A BCD -的外接球的大圆面积为________．三､解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且()()*612,n n n S a a n =++∈N .（1）求{}n a 的通项公式：（2）设数列{}n b 满足2,n n n a b n n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数，，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T .18．随着支付宝和微信支付的普及，“扫一扫”已经成了人们的日常，人人都说现在出门不用带钱包，有部手机可以走遍中国.移动支付如今成了我们生活中不可缺少的一部分了，在某程度上还大大的促进了消费者的消费欲望，带动了经济的发展.某校高三年级班主任对该班50名同学对移动支付是否关注进行了问卷调查，并对参与调查的同学的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到对移动支付不关注的男生的概率是多少？ （2）现按照分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求2人中至少有1人是女生的概率.（3）根据表中的数据，能否有97.5%的把握认为消费者对移动支付的态度与性别有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点. （1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ； （2）已经3AD =，22AB AP CD ===，若,E F 分别是,PC PB 的中点，求点B 到平面AEF 的距离.20．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,3M ，其上､下顶点分别为点A ，B ，且直线AM ，MB的斜率之积为34AM BM k k ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左顶点(),0Q a -作两条直线，分别交椭圆C 于另一点S ，T .若2QS QT k k +=，求证：直线ST 过定点.21．已知1()2(2)ln f x ax a x x=--+（0)a ≥ （1）当a ＝0时，求f （x ）的极值； （2）当a ＞0时，讨论f （x ）的单调性；（3）若对任意的a ∈（2, 3），x ­1, x 2∈[1, 3]，恒有（m －ln3）a －2ln3＞|f （x 1）－f （x ­2）|成立，求实数m 的取值范围. 选做题22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程； （2）若曲线2C ：(0)3πθρ=>分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，求||||OB OA .23．[选修4-5；不等式选讲]已知函数()3f x k x =--，k ∈R ，且()30f x +≥的解集为[]1,1-. （1）求k 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且111123ka kb kc++=，求证：239a b c ++≥.高三上学期期末联考数学（文）参考答案一、选择题二、填空题 13.95 14. 113215. (4) (5) 16. 9π 三、解答题17．（1）由()()11111126a S a a ==++，结合111a S =>，因此12a = 由()()()()111111121266n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++ 得()()1130n n n n a a a a +++--=， 又0n a >，得13n n a a +-=从而{}n a 是首项为2公差为3的等差数列， 故{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）24221321()(222)nn n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+12(264)4(14)4432143n n n n n n ++---=+=+--18．解 (1)由题知:对移动支付不关注的男生有4人,总数50人,所以42=5025p =. (2)依题意，分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人,男生应抽取4人,记为,,,A B C D ， 女生应抽取2人,记为,a b ；从这6人中随机抽取2人，所有的情况为：()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A a A b B C B D B a B b C D C a C b D a D b a b 共15种,其中“至少有一人是女生”的情况有9中,记事件A, 所以“2人中至少有1人是女生的概率” ()93155P A ==.(3)由题意可知2250(2410124) 5.937 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,故有97.5%的把握认为消费者对移动支付的态度与性别有关系.19．解 (1)证明PA ⊥平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AB AD PA AB A ⊥⋂=，所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ,所以平面ADE ⊥平面PAB .(2)连接EF ,BE ,在Rt ADC 中,可得2AC =,则在Rt PAC △中,可得2AE =,在直角梯形中,由已知可求得2BC =.2AC AB ==,2AE AF ∴==.,E F 分别是,PC PB 的中点,112EF BC ∴==, 在等腰AEF 中,可求7121AEF ABF PABS S S ∆===C 到平面PAB 3E ∴到平面PAB 3设点B 到平面AEF 的距离为hE AFB B AEF V V --= 13133ABF AEF S S h ∆∆∴=⋅, 221h ∴=20．（1）解：∵()0,A b ，()0,B b -， ∴333224MA MB b b k k -+⋅=⋅=-，解得212b =， 将212b =，()2,3M 都代入椭圆方程，得216a =，∴椭圆方程为2211612x y +=；（2）证明：设()11,S x y ，()22,T x y ，直线ST 的方程为y kx t =+. 将y kx t =+代入椭圆方程，整理得()2223484480kxktx t +++-=，122843kt x x k +=-+，212244843t x x k -=+，由1212244y y x x +=++，得1212244kx t kx tx x +++=++. 整理，得()()()121222488320k x x k t x x t -++-++-=，即()()2224488224883204343t kt k k t t k k -⎛⎫-⋅++-⋅-+-= ⎪++⎝⎭. 化简，得()228316120t k t k k -+++=，即()()4430t k t k ---=.当4t k =时，直线ST 的方程为()44y kx k k x =+=+，恒过左顶点，不合题意 当43t k =+时，直线ST 的方程为()4343y kx k k x =++=++，恒过点()4,3-.∴直线ST 过定点()4,3-.21．解（1）当0a =时，221121-2()2ln ()=-=(0)xf x x f x x x x x x=--⇒>、 由21-2()=0x f x x 、>,解得12x <，可知()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. ∴()f x 的极大值为1()2ln 222f =-，无极小值.2221112(2)1(2)()2(2)ln ()=2(2)ax a x f x ax a x f x a a x x x x-++=--+⇒+-+=、①当02a <<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是增函数，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； ②当2a =时，()f x 在()0,∞+上是增函数； ③当2a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是增函数，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 （3）当23a <<时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是增函数， ∴122()()(3)(1)4(2)ln 33f x f x f f a a -≤-=-++. 由12(ln3)2ln3()()m a f x f x -->-对任意的a ∈（2, 3），x 1, x 2∈[1, 3]恒成立， ∴12max (ln3)2ln3()()m a f x f x -->-即2(ln 3)2ln 34(2)ln 33m a a a -->-++对任意23a <<恒成立， 即243m a>+对任意23a <<恒成立， 由于当23a <<时，382134933a <+<，∴133m ≥. 22．（1）直线l 的参数方程为43x ty t=-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），转换为直角坐标方程为：340x y +-=∴直线l 3cos sin 40ρθρθ+-=∵曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩ （ϕ为参数），转换为直角坐标方程为()2211x y +-=，整理得：222x y y +=∴曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρθ= （2）曲线2C ：(0)3πθρ=>分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，所以sin 3cos 43ρθρθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3A ρ=． 同理2sin 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3B ρ= 所以 ||33||43A BOB OA ρρ===. 23．解：（1）因为()3f x k x =--， 所以()30f x +≥等价于x k ≤，由x k ≤有解，得0k ≥，且x k ≤解集为[],k k -. 因为()30f x +≥的解集为[]1,1-. 因此1k =.（2）证明：将（1）中所得1k =带入可知知：111123a b c++=， 因为a ，b ，c 为正实数，方法一：所以由柯西不等式得：()21112323923a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当23a b c ==时，等号成立. 因此239a b c ++≥成立..方法二：()1112332232339232323b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当23a b c ==时，等号成立. 因此239a b c ++≥成立..单选填空详解1．C解：{}240(2,2)A xx =-<=-∣， {lg 0}(0,1)B x x =<=∣，故(0,1)AB =，故选：C. 2．D若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠，则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =， 故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：D. 3．C 由题意35422a a a +==，1581560S a ==，84a =，所以204844()24(42)10a a a a =+-=+⨯-=，故选C ．4．A因为(0,2)=b ,所以2022b =+=，又因为1a =，1a b ⋅=，11cos ,122a b a b a b ⋅===⨯，因为0cos ,a b π≤≤，所以向量a 与b 的夹角的大小为3π.故选：A5．A由()1f x >，知121x x e -<⎧⎨>⎩或()32log 11x x ≥⎧⎨-->⎩∴210x x <⎧⎨->⎩或21013x x ≥⎧⎪⎨<-<⎪⎩，解得12x <<或x ∈∅∴12x <<故选:A6．C画出可行域，向上平移基准直线30x y -=,可得最优解为()3,4A ，由此求得目标函数的最小值为3349z =-⨯=-，故选:C ．7．B22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭ =21712sin ()123168πα--=-⨯=.故选：B8．C由题意可知图形如图：ABC 是面积为的等边三角形，可得239344AB =，∴3AB BC AC ===，可得：123333AO =⨯⨯=，球O 的体积3432ππ33V R ==，解得2R =，所以O 到平面ABC 的距离为：431-=.故选：C.9．A由三视图可知三棱锥为如图所示，在△ABC 中,AB BC ⊥,2ABC S =在△ABD 中,AB BD ⊥,1ABD S =；在△ACD 中,AD CD ⊥,52ACD S =；在△BCD 中,BD CD ⊥,12BCD S =；故表面积为322+. 10．B 设抛物线C 的焦点为F ，则(0,3)F ，因为直线:3l y =-为抛物线的准线，所以||||PA PF =，所以||||PA PN +||||PF PN =+||FN ≥||1FM ≥-14==，当且仅当N 为线段FM 与圆M 的交点时，等号成立.故选：B.11. B(2)f x +为偶函数，∴()f x 的图象关于直线2x =对称,∴()(4)f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，()00f =，∴()(4)f x f x +=-，∴()()()(8)4f x f x f x f x +=-+=--=，即()f x 是周期为8的周期函数，()1f a =，∴()1f a -=-，()()()3141f f f a =-+==，∴()()()533f f f a =-=-=-，()()71f f a =-=-，()()()()13570f f f f a a a a +++=+--=，∴()()()()()()1352019252020172019f f f f f f ++++=⨯++()()132f f a a a =+=+=,故选B12．A解：由题意知：双曲线的右焦点(),0F c ，渐近线方程为by x a =±，即0bx ay ±=，如下图所示:由点到直线距离公式可知：22bc FA b b a ==+， 又222c a b =+，OA a ∴=， 12AF BF =，即2BF b =，设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=，而tan ba α=，3tan 2AB bOA a α==，由正切二倍角公式可知：222222tan 2tan 21ta 1n bb abaa b a ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯===--，即2232baba ab =-， 化简可得：223a b ，即2213b a =， 由双曲线离心率公式可知：22123113c b e a a ==++故选：A.13．95输入1S =，1n =， 第一次循环：2131112S ，112n =+=； 第二次循环：23152223S ，213n =+=； 第三次循环：25173334S ，314n =+=； 第四次循环：27194445S ，415n =+=， 此时4n >，输出95S =， 故答案为：95. 14．由题意可得，sin 1sin 2B C =，由正弦定理得12b c =，c=2b ， 又222c b ab -=，则32a b = 由余弦定理可得：22222294114cos 22432b b b bc a A bc b b +-+-===⨯ 故答案为1132 15．（4）（5）①错，举反例：0,0,0,0,0,0,7；其平均数3x ≤，但不符合上述指标；②错，举反例：7,7,7,7,7,7,7；其标准差02S =≤，但不符合上述指标；③错，举反例：0,3,3,3,3,3,6；其平均数3x ≤且标准差2S ≤，但不符合上述指标； ④对，若极差小于2，符合上述指标；若极差小于或等于2，有可能⑴0,1,2；⑵1,2,3；⑶2,3,4；⑷3,4,5；⑸4,5,6，在平均数3x ≤的条件下，只有⑴⑵⑶成立，符合上述指标；⑤对，在众数等于1且极差小于或等于1，则最大数不超过5，符合指标，所以选⑷⑸.16．解：如下图所示，设BD 的中点为E ，，连结,AE EC ，因为AB AD =，所以AE BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD ，又因为BCD ∆是等腰直角三角形，所E 为BCD∆的外心，BD CE==O 一定在直线AE 上，2AE CE ==<，所以球心O 在线段AE 的延长线上，设OE x =，则三棱锥外接球半径22R x AE x BE =+=+，即()22222x x +=+，解得1x =，所以3R =，所以三棱锥A BCD -的外接球的大圆面积29S R ππ==.。