联立方程组法(圆锥曲线)

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

圆锥曲线中的联立与判别式知其然，更要知其所以然.我们在处理直线与圆锥曲线的位置关系时，都很自然地用到联立消元，利用韦达定理（现行教材好像改为“根与系数的关系”）求出两根之积，两根之和，再设法整体代换，屡试不爽！然而，在处理两个二次曲线的交点问题时， “韦达定理”似乎就失效了，这是为什么呢？这就关系到联立背后的原理了，这在教学过程中往往不被强调，遂写文以记之.先从解方程组谈起我们先来看以下三个方程组的求解过程：以上三个方程的求解过程大致相同，都是消元，求得其中一个未知数，再代回原方程求另一个未知数.区别只在于方程组①和方程组③在求得 x 之后，把它的两个值代入求 y ，都有唯一的 y 与之对应，而方程组②则不然，它 在把 x 1 代入之后求得两个 y 值，把 x 2 代入之后得不到相应的 y .下面将以三个方程组为例谈谈曲线的交点、方程（组）的解、判别式的适用性问题.AOB直线与圆锥曲线的位置关系以直线 y = + 1 和椭圆 x 2 + y 2= 1 为例，从上述解方程组的结果易知直线与椭圆相交于点 A ⎛1, 3 ⎫， x 2 4 3 2 ⎪⎝ ⎭B ⎛ - 11, - 15 ⎫ ，如下图所示. 7 14 ⎪ ⎝ ⎭的横坐标正是联立消元所得方程7x 2 + 4x -11 =实根，因此满足韦达定理的使用条件，有⎧x + x= x + x = - 4⎪ A B 1 2x 的二次方程，为若（*若（*+ n 可得 y = mx + n ，此时直线l 与椭圆C 若（*= mx + n 可得 y = mx+ n ，11y 2 = mx 2 + n ，此时直线l 与椭圆C 有两个公共点( x 1 , mx 1 + n ) ，( x 2 , mx 2 + n ) ， 我们可以看见，这两个公共点的横坐标 x 1 , x 2 即为方程（*）的两个不等实根，故满足韦达定理使用条件.1 AOB( - )2+2 = 9x 2 + y 2 = 圆与椭圆的位置关系A ⎛1, 3 ⎫B ⎛1, - 3 ⎫ 以 圆 x 1 y 和椭圆 4 4 3 为例，从上述解方程组的结果易知圆与椭圆相交于点 2 ⎪ ， 2 ⎪ ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭如下图所示.的横坐标对应的是联立消元所得方程 7x 2 + 4x -实根 x = 1 ，故虽然这个方的横坐标不满足韦达定理，即 ⎧x + x = - 4 ⎧x + x ≠ - + y 2 = 9 中，就已经隐含了4⎡ 1 5 ⎤ x ∈ ⎢- , ⎥ 这个条件，在椭圆. ⎣ 2 2 ⎦1⎨ ⎩ 0 0CAODBAB O现在我们把圆的方程调整一下，使得圆与椭圆有四个交点，如下图所示：轴上，所以联立消元后仍然会得到一个关于ax 2 + bx + c = 0 ，（*）= x B = x 1 ， x C = x D = x 2 ，对于. 如果研究对角线 AD , BC 的有关性质，也可以利用韦达定理进行整体代换，即此时圆与椭圆确实有两个不同的交点，但因为圆心不在椭圆的对称轴上，所以两个曲线方程联立之后无法得到综合来看，研究圆与椭圆的位置关系，并不能直接用判别式进行判定 当圆心不在椭圆的对称轴上，方程组一般不可解，只能通过画图研究其位置关系.⎧ x 2 + y 2 =当圆心 E 在椭圆 M 的对称轴上时，以⎪ a 2 b 2 1 为例，可以消去 y 2 ，得到关于 x 的二次方程，记为⎪(x - m )2 + y 2 = r 2Ax 2 + Bx + C = 0 ，（*）若（*）式无实数解，则圆 E 与椭圆 M 无公共点.若（*）式恰有一个实数解，即 ∆ = B 2 - 4AC = 0 ，设这个唯一解为 x . 若 x> a ，则圆 E 与椭圆 M 无公共点；若 x 0 = a ，则圆 E 与椭圆 M 恰有一个公共点；若 x 0 < a ，则圆 E 与椭圆 M 有两个公共点，这两个公共点关于 x 轴4 4 1 22 A OB 对称；若（*）式恰有两个个实数解，即∆ = B 2- 4AC > 0 ，设两个不等实根分别为 x , x ( x≥ x ). 若 x> a ，则圆 E与椭圆 M 无公共点；若 x 1 > a , x 2 = a ，则圆 E 与椭圆 M 有三个公共点；若 x 1 = x 2 = a ，则圆 E 与椭圆 M 有两个公共点，这两个公共点就是椭圆长轴端点，此时这个圆就是椭圆的外准圆（蒙日圆）；若 x 1 > a , x 2 < a ，则圆 E 与椭圆 M 有两个公共点，这两个公共点关于 x 轴对称；若 x 1 = a , x 2 < a ，则圆 E 与椭圆 M 只有一个公共点，它们相切；若 x 1 < a ，则圆 E 与椭圆 M 没有公共点.⎛ 3 ⎫ ⎛ 45 ⎫A 1, ⎪,B 4, - ⎪ ，⎝ ⎭ ⎝⎭ 如下图所示：的横坐标正是联立消元所得方程 x 2 - 8x + 7 = 0 实根，因此满足韦达定理的使用条件，有⎧x A + x B = x 1 + x 2 = 8 ⎨x x = x x = 7 .⎩ A B 1 2更一般地，对于开口不同的抛物线 y = a x 2 + b x + c 和抛物线 y = a x 2 + b x + c ，联立方程组，消去 y 可以得到11222关于 x 的二次方程，为了便于讨论，不妨记为若（*）式无实数解，两条抛物线无交点.Ax 2 + Bx + C = 0 ，（*）若（ * ） 式恰有一个实数解， 即 ∆ = B 2 - 4AC = 0 ， 设这个唯一解为 x ，代入 y = a x 2 + b x + c 可得11120 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 11 1 1 1 1 12 1 2 1 2 1 y = a x 2+ b x + c ，此时这两条抛物线相切，有唯一公共点(x, a x 2 + b x + c ).若（*）式有两个实数解，即∆ = B 2 - 4AC > 0 ，设两个不等实根分别为 x , x ，分别代入 y = a x 2 + b x + c 可得1 211y = a x 2 + b x + c ， y = a x 2 + b x + c ，此时这两条抛物线有两个公共点(x , a x 2 + b x + c ) ， (x , a x 2 + b x + c )，我们可以看见，这两个公共点的横坐标 x 1 , x 2 即为方程（*）的两个不等实根，故满足韦达定理使用条件.归根到底，其实还是要注意对概念的理解.判别式法只能直接判定对应二次方程的解的个数，但是这个二次方程的解是不是交点的坐标，则需要具体情况具体分析，不能一概而论.当判别式大于 0，即二次方程有两个不等实根时，韦达定理用起来很舒服，但是要注意到的是这个韦达定理刻画的是这个二次方程两个不等实根之间的关系，到底所设两个交点的坐标是不是与这两个不等实根一一对应，也是一件需要考虑的事情.这其实恰恰就是我们所学过的三段论! 韦达定理是大前提，当然没错，但是我们在使用的时候还必须注意小前提是否满足，是不是呢？最近我有一个感觉，很多问题的产生都是由于我们对概念的理解并不确切或逻辑链不完整所造成的，希望以后高考评分标准能在这方面给出引导，让更多的师生从数学学习过程中获得更多真正有用的东西，而不是仅仅学到一些对大多数人来说都没有用的专业知识和解题套路.。

(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。

圆锥曲线韦达定理联立公式
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a：x1*x2=c/a；x1+x2=-b/a。

韦达定理公式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，1/x12+1/x22=(x12+x22)/x1x2，
x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)等。

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。

由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为：（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。

韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。

无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。

判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

2024圆锥曲线大题计算方法圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其相关题目在各类考试中频繁出现，尤其是大题部分，对考生的计算能力提出了较高要求。

本文将针对2024年圆锥曲线大题的计算方法进行详细解析，帮助考生掌握解题技巧，提高解题效率。

一、圆锥曲线方程求解方法1.椭圆方程求解：对于椭圆题目，首先要根据题目条件列出椭圆的标准方程。

在求解过程中，注意运用以下方法：（1）画图、特值法：通过观察图形，选取特殊点或线，简化计算过程；（2）变换主元与换元法：在化简方程时，可适当变换主元或进行换元，降低计算难度；（3）整体消元法：在求解过程中，注意整体消元，避免繁琐的计算。

2.双曲线方程求解：与椭圆类似，双曲线的求解也要注意运用画图、特值法、变换主元与换元法以及整体消元法。

二、直线与圆锥曲线交点求解方法1.代入法：将直线方程代入圆锥曲线方程，求解交点坐标。

注意在代入过程中，尽量简化计算，避免繁琐的运算。

2.联立方程组法：将直线方程与圆锥曲线方程联立，构成方程组，求解交点坐标。

在求解过程中，注意运用消元法、代入法等简化计算。

三、中点问题求解方法1.定点定值问题：通过画图、特值法或高观点，找出题目中的定点或定值，从而简化计算。

2.调和线束的中点性质：在涉及中点问题时，可运用调和线束的中点性质，快速判断中点位置。

四、实例解析以2023-2024学年北京市朝阳区高三第一学期期末数学试卷第20题为例，题目要求求解椭圆方程，并判断点N是否为线段CM的中点。

1.椭圆方程求解：根据题目条件，列出椭圆的标准方程，并运用上述方法求解。

2.直线与椭圆交点求解：过点P(2, 1)的直线l与椭圆E交于不同的两点C、D，运用代入法或联立方程组法求解交点坐标。

3.中点判断：根据调和线束的中点性质，判断点N是否为线段CM的中点。

五、总结在解决圆锥曲线大题时，掌握以下方法有助于提高解题效率：1.熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质；2.学会运用画图、特值法、变换主元与换元法、整体消元法等简化计算；3.熟悉中点问题的求解方法，特别是调和线束的中点性质；4.注重实际操作，多做题，积累解题经验。

圆锥曲线的最值问题例1、给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53AB BF +取得最小值时，试求B 点的坐标。

解析：因为椭圆的35e =，所以513AB BF AB BF e +=+，而1BF e 为动点B 到左准线的距离。

故本题可化为，在椭圆上求一点B ，使得它到A 点和左准线的距离之和最小，过点B 作l 的垂线，垂点为N ，过A 作此准线的垂线，垂点为M ，由椭圆定义||35||||||||BF e BF BN e BN BF ==⇒= 于是 5||||||3AB BF AB BN AN AM +=+≥≥为定值 其中，当且仅当B 点AM 与椭圆的定点时等点成立，此时B为(2) 所以，当53AB BF +取得最小值时，B点坐标为(2)例2、已知椭圆的焦点1(3,0)F -、2(3,0)F ，且与直线90x y -+=有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程．解：（法一）设椭圆方程为222219x y a a +=-（29a >），由22221990x y a a x y ⎧+=⎪-⎨⎪-+=⎩得22224(29)18900a x a x a a -++-=， 由题意，a 有解，∴22224(18)4(29)(90)0a a a a ∆=---≥， ∴42544050a a -+≥，∴245a ≥或29a ≤（舍），∴2min 45a =，此时椭圆方程是2214536x y +=． （法二）先求点1(3,0)F -关于直线90x y -+=的对称点(9,6)F -，直线2FF 与椭圆的交点为M，则12222||||||||||a MF MF MF MF FF =+=+≥=，∴mina =2214536x y +=． 例3、已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB|=2，点P 在线段AB 上，且).(是不为零的常数t t =设点P 的轨迹方程为C（1）求点P 的轨迹方程C ；（2）若t=2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点（M 、N 不在坐标轴上），点Q坐标为),3,23(求△QMN 的面积S 的最大值。

圆锥曲线解题方法之方程组联立求解如何通过将两个圆锥曲线的方程组联立解决求交点相切点等问题圆锥曲线是数学中重要的几何概念，它是由一个固定点(焦点)和一个固定直线(准线)确定的曲线。

求解圆锥曲线的交点和切点是解决许多几何问题的关键，其中一个有效的方法是通过将两个圆锥曲线的方程组联立求解。

本文将介绍如何使用这一方法解决圆锥曲线的交点和切点问题。

首先，我们需要确定两个圆锥曲线的方程。

一个常见的圆锥曲线是椭圆，其方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a$ 和$b$ 分别是椭圆的横轴和纵轴的半长轴。

另一个常见的圆锥曲线是双曲线，其方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

在这里，我们以椭圆和双曲线为例进行讨论。

假设我们要求解椭圆和双曲线的交点。

首先，将椭圆的方程记为方程1，双曲线的方程记为方程2。

我们可以将方程1和方程2联立，得到如下方程组：$\begin{cases}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}$接下来，我们可以通过消元法求解方程组。

将方程1减去方程2，可以消除 $x$ 的平方项和 $y$ 的平方项：$\begin{cases}2\frac{y^2}{b^2}=0\\\end{cases}$这意味着 $y=0$，代入方程1可以得到 $x=\pm a$。

因此，椭圆和双曲线的交点为 $(a,0)$ 和 $(-a,0)$。

接下来，我们来求解椭圆和双曲线的切点。

切点是指两个圆锥曲线在某一点处的切线相同。

我们可以通过联立方程组求解切点。

假设我们要求解椭圆和双曲线的切点。

首先，将椭圆的方程记为方程1，双曲线的方程记为方程2。

我们可以将方程1减去方程2，得到如下方程组：$\begin{cases}2\frac{y^2}{b^2}=0\\\frac{y^2}{b^2}=0\end{cases}$这意味着 $y=0$，代入方程1可以得到 $x=\pm a$。

直线与圆锥曲线(椭圆与双曲线)联立的七大公式我们知道解析几何是高中数学的压轴板块之一，一方面解题思维要求比较高，一方面计算量非常大，尤其是解答题，通常需要将直线与圆锥曲线进行联立求解出韦达定理，然后再利用韦达定理进行运算，甚至最后还可能需要结合不等式或者函数求一个最值，计算量非常大，还很容易算错，所以由此衍生出了直线与椭圆联立的“口算”公式(又称硬解定理)，这有也很多种版本，个人觉得以下这个版本更好记，也更通用。

设椭圆方程为22221x y a b+=，直线利用一般方程0Ax By C ++=，联立可得： 1、韦达定理公式(四个)首先将圆锥曲线化成22x y αβγ+=，列出系数矩阵A B Cαβγ(注意椭圆系数在上方) 则12221222x x X rX x x X --∆⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221222BC y y X X y y X α--⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩两侧 其中∆可以看成一个等腰三角形三个顶点在系数矩阵里面代表的数的乘积，即22AC β-∆=-2X 中的X 代表四个数交叉相乘，下标2代表下面的数据要平方，即222X B A αβ=+， 2rX -的r 是指right ，即系数矩阵里面的右侧四个数，“-”代表交叉相乘相减，其余的和2X 一样，即222rX C B βγ-=-BC α可以用一个钝角的等腰三角形来代替，方便对比记忆，mathtype 编辑不出来，所以就直接写的BC α2X -两侧中的两侧指的是利用系数矩阵两侧的四个数来进行2X -的运算，即222=X C A αγ--两侧四个韦达定理在大题的联立过程中用的还是比较多的，比如向量的数量积，数乘，直径圆，斜率积，斜率和等问题都可以转化成韦达定理进行求解。

备注：(1)此公式对于椭圆的横竖版，双曲线的横竖版都可以直接使用，注意将圆锥曲线方程化成22x y αβγ+=这样的形式；(2)写出韦达定理后，可以利用1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩来反写消元后的二次方程2、弦长公式系数矩阵为：22a b A B C记忆口诀：小方积，大方和；成对去见(减)单身狗；见了单身去下方补充：竖版椭圆以及双曲线弦长公式将椭圆方程或者双曲线方程化为221x y αβ+=的形式，则22,a b αβ==，注意双曲线时α或者β为负，故弦长公式的分母需要加绝对值，比如对于竖版椭圆22134x y +=，在计算弦长时，223,4a b ==，对于双曲线22134x y -=，在计算弦长时，223,4a b ==- 3、∆公式(弦长公式的局部)椭圆：2222200a A b B C ∆>⇔+->双曲线：2222200a A b B C ∆>⇔+-<双曲线∆公式的2b 处理方式同弦长一般情况下，如果题目中直线过椭圆内定点，则0∆>恒成立，其它情况均需要验证0∆>4、中点公式直线与椭圆相交于两点A B 、，则AB 的中点M 坐标1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，可以通过韦达定理来计算。