八年级四边形几何证明提高题(经典)

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点,CD⊥AB，EF⊥AB,EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE ，可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO，所以CD=GF得证。

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证:△PBC是正三角形．（初二).如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆,所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE，可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO,所以CD=GF得证..如下图做GH⊥AB，连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证:∠DEN ＝∠F ．经典题(二)1、已知：△ABC 中,H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1)求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600,求证：AH ＝AO ．(初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 A N FE CDMB · A HEOF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图,四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．(初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．(初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证:AB ＝DC ，BC ＝AD．（初三）经典 1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3,PB ＝4,PC 求：∠APB 的度数．（初二)2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P,且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．C BD A F PD E CB A APCBACPDA CBPD4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

1.四边形ＡBCＤ是正方形，△ＢEF是等腰直角三角形,∠BＥＦ＝９0°,BE＝ＥF,连接DF,G 为DF的中点，连接EG,CG,EC．ﻫ(1)如图1,若点Ｅ在ＣB边的延长线上，直接写出EG与GC 的位置关系及的值；ﻫ(2)将图1中的△BEＦ绕点Ｂ顺时针旋转至图2所示位置，请问(１）中所得的结论是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由；(3)将图1中的△BEF绕点Ｂ顺时针旋转α(0°<α<９0°),若BE＝１，AＢ=,当Ｅ，F,Ｄ三点共线时,求DF的长及tan∠ＡBＦ的值．解：（１）ＥＧ⊥CG，=,ﻫ理由是:过G作ＧH⊥ＥC于Ｈ,ﻫ∵∠FEB=∠DＣB=9０°，∴ＥF∥ＧＨ∥DC,ﻫ∵G为DF中点，ﻫ∴H为EＣ中点,ﻫ∴EG=ＧC，GH=(ＥF+DC）＝（ＥB＋ＢC）,ﻫ即ＧH=EH=HC，ﻫ∴∠ＥＧC=9０°，即△ＥＧC是等腰直角三角形，∴=；ﻫ（２）ﻫ解：结论还成立，ﻫ理由是:如图2,延长EG到H,使EG＝GＨ，连接CH、ＥC,过E作BC的垂线ＥM,延长CD,∵在△ＥFG和△ＨＤG中ﻫ∴△EFG≌△HDG（SAＳ）,∴ＤH=EF=BE,∠FEG＝∠DHＧ,∴EF∥ＤH,ﻫ∴∠1=∠2＝90°－∠3=∠4，ﻫ∴∠EBＣ=１80°－∠4=１80°－∠１=∠ＨDＣ，在△EBＣ和△HDC中ﻫ∴△EBC≌△HDC.ﻫ∴CＥ＝ＣH,∠ＢＣE=∠DCH,∴∠ECH＝∠DＣＨ+∠ＥＣD=∠BCE+∠ＥCD=∠ＢＣD=90°，∴△EＣH是等腰直角三角形,ﻫ∵G为ＥH的中点，ﻫ∴EG⊥GC，=,ﻫ即(１）中的结论仍然成立;ﻫﻫ（３）ﻫ解:连接BD，∵AＢ=，正方形AＢCD,ﻫ∴BＤ=２，ﻫ∴coｓ∠DＢE==,∴∠DBE=60°，ﻫ∴∠ABE=∠ＤBE-∠ABＤ=1５°,ﻫ∴∠ＡＢF=45°-１５°=３0°,∴ｔaｎ∠ABF＝，∴DE=BＥ=,∴ＤＦ＝ＤE-EＦ=-1．解析: （1)过G作GH⊥EＣ于H，推出EF∥GＨ∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH＝（EF＋ＤC）=(EB＋BC）,推出GH=ＥH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可;ﻫ（２)延长EG到H，使EG＝ＧH,连接CH、EC,过E作ＢC的垂线EM，延长ＣD，证△ＥFG≌△ＨDG，推出ＤH=EF=BE,∠ＦEG＝∠DHG,求出∠EBC=∠ＨＤC，证出△ＥBＣ≌△ＨDＣ，推出ＣＥ=CH,∠ＢCＥ=∠DＣH，求出△EＣＨ是等腰直角三角形,即可得出答案；3(ﻫ）连接BD，求出cｏs∠DBE＝＝，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=３０°，解直角三角形求出即可．2．已知正方形ABＣD和等腰直角三角形ＢEＦ，BE=EF，∠ＢEＦ＝9０°,按图１放置,使点E在BC上，取DF的中点Ｇ，连接ＥG，ＣＧ.（1)延长EG交DC于Ｈ，试说明:ＤＨ=BE.ﻫ(２）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,连接DF,取DＦ中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=ＣG且EG⊥CＧ．在设法证明时他发现：若连接BD，则D,E，B三点共线.你能写出结论“EＧ=CG且EG⊥CG”的完整理由吗?请写出来.ﻫ（３)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α<90°)，再连接DＦ,取DF的中点Ｇ(如图3),第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．(1）证明:∵∠BＥＦ=9０°，∴EＦ∥DH,ﻫ∴∠EFG=∠GDH,ﻫ而∠ＥGＦ＝∠DGH，ＧF＝GD，ﻫ∴△GEF≌△GＨD，ﻫ∴EF=DH，而BＥ=EF,ﻫ∴DH=BＥ;ﻫ（2）连接DB，如图，ﻫ∵△BＥF为等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°，ﻫ而四边形ＡBCD为正方形，∴∠DBC=45°，ﻫ∴D，E,B三点共线.ﻫ而∠ＢEF＝90°，∴△FED为直角三角形，ﻫ而Ｇ为DF的中点，∴EG=ＧＤ＝GＣ，∴∠ＥGC=2∠EDＣ=９0°，∴EG=CＧ且EG⊥CG;ﻫﻫ（3)第２问中的结论成立.理由如下：连接ＡC、ＢD相交于点O,取BF的中点M，连接OG、ＥM、MG，如图,ﻫ∵Ｇ为DＦ的中点,Ｏ为BD的中点，Ｍ为BF的中点,ﻫ∴OＧ∥BF,ＧM∥OB，ﻫ∴四边形ＯGMＢ为平行四边形,∴OＧ=BM，GM=OB,而EM=BM，ＯC＝OB,∴EM=OG，MＧ=OC,∵∠ＤOG＝∠GMF,而∠DＯC=∠EＭF=9０°,∴∠EMＧ=∠GOC，ﻫ∴△ＭEG≌△ＯGＣ,∴EG=CG，∠EGM=∠OCＧ，ﻫ又∵∠MGF=∠BDF,∠ＦＧC=∠GDC＋∠GＣD，∴∠EGC=∠ＥＧＭ＋∠MGF+∠FGC=∠BDF＋∠ＧＤC+∠ＧＣD+∠OCG=4５°+４５°=90°,ﻫ∴EＧ=ＣG且EG⊥CG.解析：(1）由∠BEF＝90°,得到EF∥ＤH,而GF=GD,易证得△GＥF≌△GHD，得EF=DH,而BE=EF，即可得到结论.ﻫ(2)连接DB，如图2，由△ＢＥF为等腰直角三角形,得∠ＥBＦ=４５°，而四边形ABCD为正方形，得∠DＢC=45°,得到D,E,B三点共线,而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EＧ=ＧD=GC，于是∠EＧC=2∠EDC=90°，即得到结论.ﻫ（３）连接ＡC、BＤ相交于点O,取BF的中点M，连接OG、EM、ＭG，由G为ＤF的中点，Ｏ为BD的中点,M为ＢＦ的中点,根据三角形中位线的性质得OＧ∥BＦ，GM∥OB，得到OG=BM,GM=OB，而EM＝BM，OC＝OB，得到EM=ＯG,MＧ=OC,又∠DOG=∠GMF,而∠DＯＣ=∠EMF ＝90°，得∠ＥＭG＝∠GOC，则△MEG≌△OＧC，得到ＥG=CG,∠EGM=∠OCG,而∠MGF=∠BD Ｆ,∠FＧC＝∠GDC+∠ＧCD，所以有∠ＥGC＝∠ＥGM+∠MGF＋∠FＧC=∠ＢDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=4５°+４５°=90°.３.已知正方形ABCD和等腰Ｒt△BEF,ＢＥ=EF,∠BEF＝90°，按图①放置,使点F在BC上，取ＤＦ的中点Ｇ，连接EG、CＧ.ﻫ(１）探索EＧ、CG的数量关系和位置关系并证明;ﻫ（2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接ＤF,取DF中点Ｇ（如图②)，问(１)中的结论是否仍然成立．证明你的结论;(３）将图①中△ＢEF绕B点转动任意角度(旋转角在０°到９0°之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③）,问(１）中的结论是否仍然成立,证明你的结论.ﻫ解：(1）EＧ=CG且EG⊥CＧ．ﻫ证明如下：如图①,连接BD.∵正方形ABCＤ和等腰Ｒｔ△BＥF,∴∠EＢF＝∠DBＣ＝4５°．∴B、E、D三点共线.ﻫ∵∠DEF=9０°,Ｇ为DF的中点,∠DCB=90°,∴EG=DG＝ＧF＝CG.ﻫ∴∠ＥGＦ=２∠EＤＧ,∠CGＦ＝2∠CＤG．ﻫ∴∠ＥＧＦ＋∠CGF=2∠ED Ｃ=９0°，ﻫ即∠EGC=９0°,∴EG⊥CG．ﻫﻫ（2）仍然成立，证明如下:如图②,延长EG交CD于点H.ﻫ∵BE⊥EF，∴EF∥ＣD,∴∠1=∠2.ﻫ又∵∠3=∠４，ＦG=DＧ，ﻫ∴△FEG≌△DHG，∴EF＝DH，ＥＧ=GＨ．∵△BＥF为等腰直角三角形，∴ＢE=EＦ,∴BE=DH．ﻫ∵CD=BC,∴CＥ=ＣH．∴△EＣＨ为等腰直角三角形．又∵EG=GH,∴EＧ=CG且ＥＧ⊥CG．ﻫ(3）仍然成立.证明如下：如图③，延长CG至H，使GH＝CG，连接HF交BＣ于Ｍ，连接ＥH、EC．∵GF=GＤ,∠HGＦ＝∠CGD,HG＝CG，ﻫ∴△HFG≌△CDG，ﻫ∴HＦ=CD，∠GHF＝∠ＧCD，∴HＦ∥CD．∵正方形ＡBCD，∴ＨＦ=ＢC，HF⊥BC．∵△ＢEＦ是等腰直角三角形,∴ＢE＝ＥF，∠EBC=∠HFE，∴△BＥC≌△FEH,ﻫ∴HE=EC,∠BEC＝∠FEH，ﻫ∴∠BEF＝∠HEC=90°，ﻫ∴△ECH为等腰直角三角形.又∵CG=GH,∴EG ＝CG 且ＥG ⊥C Ｇ.解析：（１）首先证明B 、Ｅ、Ｄ三点共线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=ＤG=GF=CG,得到∠ＥGF=2∠ＥＤG ，∠CGF=2∠ＣDG,从而证得∠EGC=9０°;ﻫ(2)首先证明△FE Ｇ≌△DHG,然后证明△ＥCH 为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG 且EG ⊥C Ｇ．ﻫ（3）首先证明：△BEC ≌△ＦEH,即可证得:△ECH 为等腰直角三角形，从而得到:ＥG=C Ｇ且EG ⊥CG.已知，正方形A ＢCD 中，△BEF 为等腰直角三角形,且BF 为底,取DF 的中点G,连接EG 、C Ｇ．ﻫ（1）如图1，若△B ＥF 的底边B Ｆ在BC 上,猜想E Ｇ和ＣG 的数量关系为＿___＿＿;ﻫ（2)如图2，若△B ＥF 的直角边BE 在ＢC 上,则(１）中的结论是否还成立？请说明理由；（３）如图3，若△B ＥF 的直角边BE 在∠DB Ｃ内,则(1）中的结论是否还成立?说明理由． 解：（１)GC=EG,（1分)理由如下：ﻫ∵△ＢＥF 为等腰直角三角形,ﻫ∴∠DEF=90°,又Ｇ为斜边ＤF 的中点, ∴EG= ＤF,∵A ＢCD 为正方形,ﻫ∴∠BCD=90°,又Ｇ为斜边ＤF 的中点，∴CG= ＤF,ﻫ∴G Ｃ=EG;ﻫ（２)成立.如图，延长ＥG 交CD 于Ｍ,Ｄ,∵∠BEF ＝∠FEC=∠BCD=90°,∴EF ∥Ｃ1 2 1 ２∴∠EFG=∠MD Ｇ,ﻫ又∠E ＧF=∠DGM ，D Ｇ=ＦG ，∴△G ＥF ≌△ＧMD,ﻫ∴EG=MG,即G 为EM 的中点．∴ＣＧ为直角△EC Ｍ的斜边上的中线，ﻫ∴ＣG=G Ｅ= EM;（3)成立．ﻫ取BF 的中点H,连接ＥH ，GH ，取BD 的中点O,连接O Ｇ,OC ． ∵CB=CD,∠DCB=９0°，∴C Ｏ= BD .ﻫ∵DG=G Ｆ，ﻫ∴GH ∥ＢD ，且GH= BD ，ﻫＯG ∥ＢF,且OG= B Ｆ,ﻫ∴CO ＝ＧH ．∵△ＢEF 为等腰直角三角形． B Ｆ∴EH=∴EH=OG ． ∵四边形O ＢHG 为平行四边形, ∴∠BOG ＝∠BH Ｇ．∵∠B ＯC=∠BH Ｅ＝9０°. ∴∠GOC=∠ＥHG ．ﻫ∴△GOC ≌△E ＨG ．ﻫ∴EG=GC ．此题考查了正方形的性质,以及全等三角形的判定与性质.要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质,熟练运用全等知识是解本题的关键．解析:(1)E Ｇ=ＣG,理由为：根据三角形BEF 为等腰直角三角形，得到∠DEF 为直角，又G 为ＤF 中点，根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半，得到ＥG 为ＤF 的一半,同理在直角三角形DC Ｆ中,得到CG 也等于ＤF 的一半,利用等量代换得证;ﻫ(２）成立．理由为:延长ＥG 交CD 于M,如图所示,根据“A ＳA ”得到三角形E ＦG 与三角形ＧDM 全等,由全等三角形的对应边相等得到EG 与ＭG 相等，即G 为EM 中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到E Ｇ与ＣＧ相等都１２１2 １ 2 １ 2。

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA ＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD．（初三）经典1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析． （2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5． （2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形． （2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析． （2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ． 同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是 ．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形 的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为 ．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（ ）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ． （2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为 ．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13． （2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ． 证明：连接AC ，如图． 在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。

1．（10分）如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP 的延长线上，且EF=DE，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；（2）求证：AG+CG=DG．2．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．3．（9分）如图，在梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点．（1）求证：四边形MENF是平行四边形；（2）若四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的，问AD、BC满足什么关系？4．如图，在四边形 ABCD 中，AD=12，DO=OB=5，AC=26，∠ADB=90°．（1）求证：四边形 ABCD 为平行四边形；（2）求四边形 ABCD 的面积．5、四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO.6、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长.7、如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE.(2)若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长.8、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°。

点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N，连接MD、AN。

(1)求证:四边形AMDN是平行四边形。

(2)当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由。

9.（6 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，且DE∥AC，AE∥B D．求证：四边形AODE 是矩形．10（9 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，E 是AD 边上的中点，过A 点作BC的平行线交CE 的延长线于点F，连结BF．（1）求证：四边形AFBD 是平行四边形．（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？请说明理由．10．（7 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB，AE 与DE 相交于点E，连结CE．（1）求证：BD =CD.（2）求证：四边形ADCE 是矩形．11.（9 分）如图，E、F 分别是矩形ABCD 的边BC、AD 上的点，且BE =DF.（1）求证：四边形AECF 是平行四边形.（2）若四边形AECF 是菱形,且CE = 10，AB = 8，求线段BE 的长.12.（7 分）如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AB 于点E，交AC 于点F，连结DE、DF.（1）求证：∠ADE=∠DAF.（2）求证：四边形AEDF 是菱形.13．【感知】如图①，四边形ABCD、AEFG 都是正方形，可知BE =DG ．【探究】当正方形AEFG 绕点A 旋转到图②的位置时，连结BE、DG．求证：BE =DG ．【应用】当正方形AEFG 绕点A 旋转到图③的位置时，点F 在边AB 上，连结BE、D G．若DG =13 ，AF = 10 ，则AB 的长为．14. （10 分）如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△BCE、△ABF.（1）求证：四边形ADEF 是平行四边形（2）△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？（3）△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？20．如图，将▱ABCD 的边 DC 延长到点 E ，使 CE=DC ，连接 AE ，交 BC 于点 F ． （1）求证：△ABF ≌△ECF ；（2）若∠AFC=2∠D ，连接 AC 、BE ，求证：四边形 ABEC 是矩形．18．（本题8分）如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE ∥AC ，且DE ＝21AC ，连接CE 、OE(1) 求证：四边形OCED 是平行四边形； (2) 若AD ＝DC ＝3，求OE 的长.21．（本题8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝3，BC ＝5，连接BD ，∠BAD 的平分线分别交BD 、BC 于点E 、F ，且AE ∥CD (1) 求AD 的长；(2) 若∠C ＝30°，求CD 的长.27．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE 的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）证明：BD=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．28．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．18. (本题满分12分)如图，DB∥AC，且DB＝12AC，E是AC的中点。

F八年级数学几何经典题【含答案】1、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．2、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．3、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．.4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．B5、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．6、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．7如图，△ABC 中，∠C 为直角，∠A=30°，分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作正△ABE 与正△ACD ，DE 与AB 交于F 。

求证：EF=FD 。

8如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EC 和DF 相交于G ，连接AG ，求证：AG=AD 。

9、已知在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE=AC,延长BE 交AC 与F,求证AF=EFD FEP CB AFPDE CBA，九年级数学【答案】1.如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。

2.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。

可得PQ=2EGFH。

由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、 E 是圆上的两点，CD⊥ AB，EF⊥ AB， EG⊥ CO．求证： CD＝ GF．（初二）CEGA BD O F2、已知：如图，P 是正方形ABCD内点，∠ PAD＝∠ PDA＝ 150．求证：△ PBC是正三角形．（初二）A DPB C3、如图，已知四边形ABCD、 A1B1C1D1都是正方形， A2、 B2、 C2、 D2分别是AA1、BB1、 CC1、 DD1的中点．A DA2D2求证：四边形 A B C D 是正方形．（初二）A12222D1B1C1B22CB C4、已知：如图，在四边形ABCD中， AD＝ BC，M、N 分别是 AB、CD的中点， AD、BC的延伸线FEN C交 MN于 E、 F．求证：∠ DEN＝∠ F．经典题（二）1、已知：△ ABC中， H 为垂心（各边高线的交点）， O为外心，且 OM⊥ BC于M．（ 1）求证： AH＝2OM；A（ 2）若∠ BAC＝ 600，求证： AH＝ AO．（初二）O·H EB M D C2、设 MN是圆 O外向来线，过 O作 OA⊥ MN于 A，自 A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线 EB及 CD分别交 MN于 P、 Q．GE求证： AP＝ AQ．（初二）O·CB DMP A Q N3、假如上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN是圆 O的弦，过 MN的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、 EB分别交 MN于 P、 Q．求证： AP＝AQ．（初二）CEA M Q·P N·O B D4、如图，分别以△ABC的 AC和 BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形ACDE和正方形 CBFG，点 P是 EF的中点．求证：点P 到边 AB的距离等于AB的一半．（初二）DGCEPFA Q B经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形， DE∥AC， AE＝AC， AE与 CD订交于 F．求证： CE＝CF．（初二）AB2、如图，四边形ABCD为正方形， DE∥AC，且 CE＝ CA，直线 EC交 DA延伸线于求证： AE＝ AF．（初二）DF ECF．F A DB C3、设 P 是正方形ABCD一边 BC上的任一点，PF⊥ AP， CF均分∠ DCE．求证： PA＝ PF．（初二）AE DFBP C E4、如图， PC切圆 O于 C，AC为圆的直径， PEF为圆的割线， AE、AF 与直线 PO订交于 B、D．求证： AB＝ DC， BC＝ AD．（初三）AB O DPEFC经典题（四）A1、已知：△ ABC是正三角形， P 是三角形内一点，PA＝3， PB＝ 4， PC＝ 5．P 求：∠ APB的度数．（初二）B C2、设 P 是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠ PDA．求证：∠ PAB＝∠ PCB．（初二）A DPB C3、设 ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB· CD＋AD· BC＝AC· BD．（初三）ADB C4、平行四边形ABCD中，设 E、 F 分别是 BC、 AB上的一点， AE 与 CF订交于 P，且AE＝ CF．求证：∠ DPA＝∠ DPC．（初二）A DFPB E C经典难题（五）A1、设 P 是边长为 1 的正△ ABC内任一点， L＝ PA＋ PB＋ PC，PB C求证：≤ L＜2．2、已知： P 是边长为 1 的正方形ABCD内的一点，求PA＋ PB＋ PC的最小值．A DPCB3、 P 为正方形ABCD内的一点，而且PA＝ a， PB＝ 2a， PC＝ 3a，求正方形的边长．A DPCB4、如图，△ ABC中，∠ ABC＝∠ ACB＝ 800， D、 E 分别是 AB、 AC上的点，∠ DCA＝ 300，∠ EBAAE＝ 200，求∠ BED的度数．经典题（一）1.以下列图做 GH⊥ AB,连结 EO。

初二数学几何证明题（5篇可选）第一篇：初二数学几何证明题1.在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。

2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M 是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

3.。

如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。

4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。

5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC 且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。

1.求证四边形ABCD是菱形。

2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。

7.已知正方形ABCD中，角EAF=45度，F点在CD边上，E点在BC边上。

求证：EF=BE+DF第二篇：初二几何证明题1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论AEB第三篇：初二几何证明题初二几何证明题1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。

M为AB中点，联结ME,MD、ED求证：角EMD=2角DAC证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D求证：∠AHE=∠BGE证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF ∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,下面的反证法应该可以接受如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC证明:BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)==>BE=AB*BC/(BC+AC)同理:CD=AC*BC/(BC+AB)假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)AB>AC==>BC+ACAC*BC==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)==>BE>CDAB>AC==>∠ACB>∠ABC∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2==>∠BEC>∠BDC过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC (1)BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFDCF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC (2)(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立所以AB=AC。