2020届天津市宁河区芦台一中2017级高三二模考试数学试卷及解析

天津市宁河县2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A．52B ．1C ．2D ．0【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【详解】若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-如图：当3,12x y ==时函数取最大值为2 故答案选C 【点睛】求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 2．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆C ．A B =∅ID ．R R C A C B ⊆【答案】B【解析】 【分析】根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【详解】依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z ππ⎧⎫====+∈⎨⎬⎩⎭； 而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭()212|,,4242n n x x n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或()21|,,442n x x n n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或，故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.3．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4] B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]【答案】D 【解析】 【分析】易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4121a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.4．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ）A ．1B ．2C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【详解】由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b ==则212a bi i +=+==故选：D 【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.5．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．1【答案】D 【解析】 【分析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可. 【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 7．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C 【解析】 【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.8．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先求31(1)x-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与31(1)x-相乘，将所有结果为常数的相加，即为31(2)(1)mx x--展开式的常数项，从而求出m 的值.【详解】31(1)x -展开式的通项为313311()(1)r r r r r r r T C C x x--+=⋅-=⋅-，当(2)mx -取2时，常数项为0322C ⨯=，当(2)mx -取mx -时，常数项为113(1)3m C m -⨯⨯-=由题知238m +=，则2m =. 故选：A. 【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题.9．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 【详解】对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误.对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.10．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 11．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 收益203020103030604030305030所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D. 【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.12．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ð A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市宁河区芦台第一中学2020届高考数学二模试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，有一个是正确的）1.已知集合2{|20}A x x x =--<，{|1}B x x =>，则A B =（ ）A. (1-，1)B. (1，2)C. (1-，)+∞D. (1，)+∞【答案】C 【解析】 【分析】先解得不等式220x x --<,即12x -<<,再根据并集的定义求解即可 【详解】由题,220x x --<,则12x -<<,所以{}|12A x x =-<<, 则{}|1A B x x ⋃=>-, 故选：C【点睛】本题考查集合间的并集运算,考查解一元二次不等式 2.设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x ＜3， 由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件， 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A. 45B. 50C. 55D.【答案】B 【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 本题选择B 选项.4.已知函数()ln xf x e=，则函数()1y f x =+的大致图象为A. B.C. D.【答案】D 【解析】 试题分析：当时，，其图像为一条直线； 当时，，所以函数()1y f x =+的图像为函数图像向左平移1个单位长度后得到的，故选D. 考点：函数图像变换.5.已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 2211641x y -=C. 2214116y x -=D.221916y x -= 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线2120x y =，求得(0,5)F ，得到5c =，再由焦点(0,5)F 到渐近线的距离为4，求得4b =，进而得到9a =，即可求得双曲线的标准方程，得到答案. 【详解】由题意，抛物线2120x y =可化为220x y =，可得焦点坐标为(0,5)F ， 即双曲线22221y x a b-=的焦点坐标为(0,5)F ，即5c =，又由双曲线22221y x a b-=的一条渐近线的方程为a y x b =，即0ax by -=，所以焦点(0,5)F 到0ax by -=54bc==， 所以4b =，又由9a ==，所以双曲线的方程为221916y x -=.故选：D .【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知定义在R 上的函数()f x 1-的图象关于x 1=对称，且当x 0>时，()f x 单调递减，若()0.5a f log 3=，()1.3b f 0.5-=，()6c f 0.7=，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. c a b >>B. b a c >>C. a c b >>D.c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】先根据对称性将自变量转化到0x >上，再根据0x >时()f x 单调递减，判断大小. 【详解】∵定义在R 上的函数()1f x -的图像关于1x =对称，∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，∴()()0.52log 3log 3f f =，∴2221log 2log 3log 42=<<=，1.3 1.30.522-=>，600.71<<．∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>，故选A ．【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小 7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“一一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A.516B.1564C.2132D.1116【答案】A 【解析】 【分析】直接根据古典概型的概率计算公式求解即可．【详解】解：由题，随机取一重卦有62种取法，其中恰有3个阳爻有36C 种取法，则该重卦恰有3个阳爻的概率36620526416C P ===，故选：A ．【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8.已知函数()2)(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线2x π=对称且3()18f π=，f (x )在区间3[,]84ππ--上单调，则ω可取数值的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】又三角函数的对称性及三角函数的值可得16()2k m ω=-+或16()6,k m k m Z ω=-+-∈，再结合三角函数的周期性可得08ω<≤，然后求解即可.【详解】解：由题设可知222k ππωϕπ+=+,32,,84m k m Z ππωϕπ+=+∈, 或3222k ππωϕπ+=+, 332,,84m k m Z ππωϕπ+=+∈, 则2()84k m ππωπ=-+或32()84k m ππωπ=-+， 即16()2k m ω=-+或16()6,k m k m Z ω=-+-∈，又由已知有3()()482T πππω---≤=，即08ω<≤， 则2ω=或6ω=， 则ω的取值个数为2个， 故选B【点睛】本题考查了三角函数的对称性及周期性的应用，重点考查了运算能力与分析能力，属中档题.9.已知函数()()2,0f x ax bx c x R a =++∈>的零点为()1212,x x x x <，函数()f x 的最小值为0y ，且[]012,y x x ∈，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数，等价于方程()1f x x =或()2f x x =的根的个数，等价于函数()()2,0f x ax bx c x R a =++∈>的图象与直线2y x =，1y x =的交点个数，画图求解，即可. 【详解】如图所示，因为函数()()20f x ax bx c a =++>的零点为()1212,x x x x <所以240b ac ∆=->． 因为()()()()20ff x af x bf x c =++=，所以()1f x x =或()2f x x =．因为函数()f x 的最小值为0y ，且[]012,y x x ∈，画出直线2y x =，1y x =． 则直线2y x =与()y f x =必有两个交点，此时()2f x x =有2个实数根. 即函数()()y ff x =由两个零点．直线1y x =与()y f x =可能有一个交点或无交点，此时()1f x x =有一个实数根2b x a=-或无实数根． 综上可知：函数()()y f f x =的零点有2个或3个．故选：A【点睛】本题考查函数零点的个数问题，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上） 10.已知复数(2)(1)a i i ++为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________. 【答案】2 【解析】 分析】由()()(2)(1)22a i i a a i ++=-++是纯虚数,则20a -=,求解即可【详解】由题,因为()()(2)(1)22a i i a a i ++=-++是纯虚数, 所以20a -=,则2a =, 故答案为：2【点睛】本题考查已知复数类型求参数,一个复数是纯虚数,则虚部不为0,实部为011.在6x⎛+ ⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr r r rr r r C x C x x C x ----⋅⋅=⋅⋅=⋅ 当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.12.设直线2y x a =+与圆C ：()222200x y ay a +--=>相交于A ，B 两点，若AB =a =______.【解析】 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，利用勾股定理即可求解.【详解】圆的方程化为标准方程为()2222x y a a +-=+，直线方程化为一般式为20x y a -+=∴圆心()0,C a ，半径为r∴圆心C 到直线的距离d =，∵23AB =∴22223222a a ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得2a =± ∵0a > ∴2a =故答案为：2【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题. 13.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是 . 【答案】483 【解析】试题分析：由球的体积公式，得343233R ππ=，解得2R =,所以正三棱柱的高h=2R=4．设正三棱柱的底面边长为a ，则其内切圆的半径为：1323a =，得43a =，所有该正三棱柱的体积为2213sin 60(43)448324V a h =⨯︒⨯=⨯=. 考点：1.球的体积；2.柱体的体积14.已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是_______． 【答案】135【解析】 【分析】由222122a b a b +-++=2a+1a +()2(2)4222b b b +-+++，代换后利用基本不等式即可求解． 【详解】正实数a ，b 满足2a+b=3， ∴2a+b+2=5，则222122a b a b +-++=2a+1a +()2(2)4222b b b +-+++=2a+b+2+122a b ++﹣4 =1+122a b ++=1+15（122a b ++）[2a+（b+2）] =1+15（4+242b a a b +++）()11445≥++=135，当且仅当242b a a b +=+且2a+b=3即a=54，b=12时取等号， 即222122a b a b +-++的最小值是135． 故答案为135【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误15.如图,菱形ABCD 的边长为3,对角线AC 与BD 相交于O 点,|AC |=23,E 为BC 边(包含端点)上一点,则|EA |的取值范围是_____,EA ED ⋅的最小值为_____.【答案】 (1). 22,23⎡⎣ (2).234. 【解析】 【分析】AE BC ⊥时，AE 长度最短，E 与C 重合时，AE 长度最长．然后以)以O 为原点,BD 所在直线为x 轴建立如图所示直角坐标系，设出B 点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最小值．【详解】根据菱形性质可得OC 3=则BO 6=(1)作AF ⊥BC ,则AF 236223⨯==,此时AE 最短,当E 与C 重合时,AE 最长,故2223AE ≤≤,即|EA |∈22,23⎡⎤⎣⎦;(2)以O 为原点,BD 所在直线为x 轴建系如图:则A 3B (6-C (0,3-D 6所以BC :y 232x =-设E (m ,232m -则2221223,2363324EA ED m m m ⎛⋅=-=+ ⎝⎭,其中m 6,0⎡⎤∈-⎣⎦对称轴为m 66,0⎡⎤=-⎣⎦,故当m 6=EA ED ⋅最小,最小值为234. 故答案为：[22,23]；234． 【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数知识求解．这样只要计算即可．三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知223()32-=-a c b ac （1）求cos B 的值 （2）若53a b = （i ）求sin A 的值 （ii ）求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）23；（2）（i （ii 【解析】 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求cos B 的值即可；（2）（i ）由（1）可得sin B =，再利用正弦定理求sin A 的值；（ii ）利用二倍角的余弦公式求得sin 5A =，可得cos 5A =，再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果. 【详解】（1） 在ABC ∆中，由()22332a c b ac -=-，整理得222223a cb ac +-=，又由余弦定理，可得2cos 3B =；（2）（i ）由（1）可得sin B =，又由正弦定理sin sin a b A B =，及已知53a b =，可得sin 3sin 5a B A b ===（ii ）由（i ）可得23cos 212sin 5A A =-=，由已知53a b =，可得a b <，故有A B <，A ∴为锐角，故由sin A =，可得cos A =，从而有4sin 22sin cos 5A A A ==,431sin 2sin 2cos cos 2sin 666552A A A πππ⎛⎫∴+=+=⨯=⎪⎝⎭【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中//AD BC ，AB AD ⊥，122AB AD BC ===，4PA =，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =．（1）求证：DE ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PC D --的余弦值；（3）设Q 为棱CP 上的点（不与C ，P 重合），且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为5，求CQ CP 的值．【答案】（1）见解析；（225；（3）23CQ CP = 【解析】 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到0DE AC ⋅=，0DE AP ⋅=，根据线面垂直的判定定理，即可证明.（2）由（1）可知，平面PAC 的法向量()2,1,0m =-，确定平面PCD 的法向量()2,2,1n =-，根据cos ,m n m n m n⋅=⋅，求解即可.（3）设()01CQCPλλ=<<，确定()22,44,4Q λλλ=--，()2,43,4QE λλλ=--，根据直线QE 与平面PAC 5λ，即可. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD所以PA AB ⊥，PA AD ⊥ 因AB AD ⊥则以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,2,0D ，()0,0,4P ，()2,1,0E .所以()2,1,0DE =-，()2,4,0AC =，()0,0,4AP =. 因为221400DE AC ⋅=⨯-⨯+=，0DE AP ⋅=. 所以DE AC ⊥，DE AP ⊥又AP AC A ⋂=，AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC . 所以DE ⊥平面PAC ．（2）设平面PAC 的法向量m ，由（1）可知，()2,1,0m DE ==- 设平面PCD 的法向量(),,n x y z = 因为()0,2,4PD =-，()2,4,4PC =-.所以00n PD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2402440y z x y z -=⎧⎨+-=⎩不妨设1z =，得()2,2,1n =-．()()22222212025cos ,521221m n m n m n⨯-+-⨯+⋅===-⋅+-⨯-++ 所以二面角A PC D --25．（3）设()01CQCPλλ=<<，即()2,4,4CQ CP λλλλ==--. 所以()22,44,4Q λλλ=--，即()2,43,4QE λλλ=--. 因为直线QE 与平面PAC所以2cos ,52QE m QE m QE m⋅===⋅ 3=解得23λ=即23CQ CP =． 【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于较难题.18.已知椭圆C :2222x y a b +=l (a >b >0)经过点且离心率e=.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l与椭圆C 相交于A ､B 两点,且满足∠AOB =90°(O 为坐标原点),求|AB |的取值范围.【答案】(1)22184x y +=,2【解析】 【分析】（1）点的坐标代入可得一个关系式22611a b +=，离心率得c a =，结合222a b c =+可求得,a b ，得椭圆方程；（2）当直线l 的斜率不存在时, 设直线l 为:x =m ,代入计算AB ，当直线的斜率存在时,设直线为:y =kx +m ,A (x ,y ),B (x ',y '),代入椭圆中整理，由韦达定理得,x x xx ''+，代入0OA OB ⋅=得出,k m 的关系，计算AB ，用换元法转化为求二次函数的取值范围得出结论．【详解】(1)由题意:e 2c a ==,2261ab +=1,a 2=b 2+c 2,解得:a 2=8,b 2=4,所以椭圆的方程为:22184x y +=;(2)当直线l 的斜率不存在时,设直线l 为:x =m ,A (x ,y ),B (x ',y '),代入椭中:y 2=4(128m-),∠AOB =90°,∴OA OB ⋅=0,∴x x '+y y '=m 2﹣4(128m-)=0,∴m 283=,∴|AB |=|y ﹣y '3=; 当直线的斜率存在时,设直线为:y =kx +m ,A (x ,y ),B (x ',y '),代入椭圆中整理得: (1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣8=0,x +x '2412km k -=+,x x '222812m k -=+,yy '=k 2xx '+km (x +x ')+m 2222222222222222842812121212k m k k m m k m m k k k k k--+-=++=++++, ∵∠AOB =90°,∴x x '+y y '=0,∴2m 2﹣8+m 2﹣8k 2=0,∴3m 2=8+8k 2,|AB |===,令t 2112k =+∈(0,1],所以|AB |=当t 12=,g (t )=112-(t 2﹣t )最大为98,t =1时,g (t )取得最小值1,综上所述:|AB |的取值范围【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．19.已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足34354,2S a a a a =+=+ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 前2k 项和2k S ；（3）在数列{}n a 中，是否存在连续的三项12,,m m m a a a ++，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）12,21{,23,2n n n n k a k N n k*-=-=∈⋅=;（2）2213kk S k =-+;（3）在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1. 【解析】【详解】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则123451,2,1,2,12a a a d a q a d ===+==+,34,12(1)2,42S a d q d q =∴++=+=即,又3542a a a +=+，(1)(12)22,32d d q d q ++=+=即，解得2,3d q ==, ∴对于k *∈N ，有12121(1)221,23k k k a k k a --=+-⋅=-=⋅,故12,21{,23,2n n n n k a k N n k*-=-=∈⋅=. （2）22(121)2(13)13213k k kk k S k +--=+=-+-.（3）在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1，下面说明理由.若2m k a a =，则由212m m m a a a +++=，得123232(21)k k k -⋅+⋅=+, 化简得，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立.若21m k a a -=，则由212m m m a a a +++=，得1(21)(21)223k k k --++=⋅⋅, 化简得13k k -=. 令1,()3k k k T k N *-=∈，则111120333k k k k k k k k T T +-+--=-=<. 因此，1231T T T =>>>，故只有11T =，此时1,2111k m ==⨯-=.20.已知函数()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+ (1)求证:当1a ≤时,对任意()()0,,0x f x ∈+∞>恒成立; (2)求函数()g x 的极值;(3)当12a =时,若存在()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+,求证:12249x x m <.【答案】(1)见解析 (2)极小值()ln m m m -+-,无极大值. (3)见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()1cos f x a x '=-，即()0f x '≥，函数单调递增，得到证明. （2）()()10m x mg x x x x+'=+=>，讨论0m ≥和0m <两种情况，分别计算极值得到答案.（3）()1sin 2f x x x =-在()0+∞，上为增函数，当0m ≥时不成立，不防设120x x << ()()()()1122f x g x f x g x +=+，计算得到()()21213ln ln 02m x x x x -->->，12249x x m <，即证21294m x x >，设211x t x =>,只需证1ln t t t->.【详解】(1)()()sin 1cos f x x a x f x a x '=-∴=-，1cos 1x -≤≤,()11cos 0a f x a x '∴≤=-≥，,()sin f x x a x =-在()0+∞，上为增函数,所以当()0,x ∈+∞时,恒有()()00f x f >=成立; (2)由()()()ln ,10m x mg x x m x g x x x x+'=+∴=+=> 当()00m g x '≥>，()g x 在()0+∞，上为增函数,无极值 当()()0,00;0m x mg x x m g x ''<<<-<>->，， ()g x 在()0m -，上为减函数,在(),m -+∞上为增函数,()x m x ∴=-，g 有极小值()ln m m m -+-,无极大值,综上知:当()0m g x ≥，无极值,当()0m g x <，有极小值()ln m m m -+-,无极大值. (3)当()11sin 22a f x x x ==-，在()0+∞，上为增函数, 由(2)知,当0m ≥,()g x 在()0+∞，上为增函数, 这时,()()f x g x +在()0+∞，上为增函数, 所以不可能存在()12,0,x x ∈+∞,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+且12x x ≠ 所以有0m <现不防设()()()()1211220x x f x g x f x g x <<+=+，得:111222112sin ln 2sin ln 22x x m x x x m x -+=-+()()()2121211ln ln 2sin sin 2m x x x x x x --=---①1122sin sin x x x x -<-()()212111sin sin 22x x x x -->--② 由①②式可得:()()()2121211ln ln 22m x x x x x x -->--- 即()()21213ln ln 02m x x x x -->->又1221ln ln ,ln ln 0x x x x <->2121302ln ln x x m x x -∴->⨯>-③又要证12249x x m <，即证21294m x x > 120,0m x x <<<即证m ->所以由③式知,只需证明:2121ln ln x x x x ->-2121ln 1x xx x -> 设211x t x =>,只需证1ln t t ->即证()ln 01t t ->> 令()()ln 1h t t t =-> 由()()()2101h t t h t '=>>，在()1+∞，上为增函数, ()()10h t h∴>=2121ln ln x x x x -∴>-,所以由③知,0m ->>成立, 所以12249x x m <成立. 【点睛】本题考查了函数的极值，函数恒成立问题，证明不等式，意在考查学生对于导数函数知识的综合应用能力.。

2020届天津市宁河区芦台第一中学高三3月模拟（线上）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知R 为实数集，{}2|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()A B =R（ ）A ．{|10}x x -<≤B ．{|01}x x <≤C ．{|10}x x -≤≤D ．{|101}x x x -≤≤=或2．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ） A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤D ．32,80x x ∀≤-≤3．8x⎛ ⎝的二项展开式中，2x 的系数是（ ）A ．70B ．-70C ．28D ．-284．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B．y =C ．2y x =±D．y =8．已知函数()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣，则实数ω的取值范围为（ ） A ．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,6⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-二、填空题 10．设121iz i i-=++，则||z =______. 11．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为3，则该半球的体积为__________.12．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，2112a ab+-的最小值为________.13．已知函数()231,02ln 6,0ax x f x xx x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是______.三、双空题14．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则(2)P X <=_______；随机变量X 的数学期望EX =_______．15．过点(2,2)M 的直线l 与圆22280x y x +--=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_______；此时直线l 的方程为___________．四、解答题16．已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 的对边，且cos 2cos a A b B=-． （Ⅰ）求a c． （Ⅱ）若4b =，1cos 4C =，求ABC 的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos 23C π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 17．如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，F 为其右焦点，1111B A B F ⋅=，且该椭圆的离心率为12； （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1A 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交直线4x =于点D ，直线2A D 与椭圆C 的另一个交点为G ，直线OG 与直线1A D 交于点H ．若11A P A H λ=，求λ取值范围．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(),n n S ()*n N ∈在函数122x y +=-的图像上；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求{}n b 的通项公式；（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的*n N ∈，不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围；20．已知函数21()2xf x e ax x =-+，其中1a >-． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设21()()ln 2h x f x ax x x =+--，求证：()2h x >； （Ⅲ）若21()2f x x x b ++≥对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值．参考答案1．C 【分析】 求出集合A ，B ，B R，由此能求出()R A B ．【详解】R 为实数集，2{|10}{|11}A x x x x =-=-，1{|1}{|01}B x x x x==<， {|0R B x x ∴=或1}x >， (){|10}R A B x x ∴=-．故选：C ． 【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．B 【分析】利用特称命题的否定分析解答得解. 【详解】已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．A 【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为3882188((1)r rrr r rr T C xC x --+==-，令38242r r -=⇒=，所以2x 的系数是448(1)70C -=，故选A ．考点：二项式定理的应用． 4．A 【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】()2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题. 5．D 【分析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果. 【详解】 函数()1ln1x f x x -=+的定义域为{|1}x x ≠±，当12x =时，1()ln 302f =-<，排除B 和C ； 当2x =-时，(2)ln 30f -=>，排除A. 故选：D. 【点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题. 6．C 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<， 由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7．C 【分析】利用三角形1OMF ∆与2PF F ∆相似得122PF PF =，结合双曲线的定义求得,,a b c 的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。

天津市宁河县2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线222:14x y C m -=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A ．2B ．4C ．19D ．219【答案】B【解析】【分析】根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】 因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为45， 故可得()22425m +=，解得216m =，不妨取4m =；又焦点()25,0F ，其中一条渐近线为2y x =-， 由点到直线的距离公式即可求的4545d ==.故选：B.【点睛】 本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺【答案】A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的 四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．故选A ． 【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．3．在ABC V 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，(0,0)AN AC μλμ=>>u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72【答案】B【解析】【分析】由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点P 为BC 中点，所以1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 又因为AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u u r u u u r ， 所以1122AP AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ． 因为M ，P ，N 三点共线， 所以11122λμ+=，所以111111()122 222222λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，当且仅当,11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，所以λμ+的最小值为1．故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4．已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，点M为棱1DD的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为（）A．3πB．23πC．πD．43π【答案】A【解析】【分析】根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.【详解】如图所示：设内切球球心为O，O到平面ACM的距离为d，截面圆的半径为r，因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1，又因为O AMC M AOCV V--=，所以1233AMC AOCd S S⨯⨯=V V，又因为()()221122526,221222AMC AOCS S=⨯-==⨯=V V所以1233d ⨯=，所以3d =，所以截面圆的半径r ==233S ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】【分析】根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1．【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-；∴(2)()()f x f x f x +=-=-；∴(4)()f x f x +=；∴()f x 的周期为4；∵[0,1]x ∈时，()2x f x m =-；∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=；∴1m =；∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.6．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即x =±，当x =时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故55A B ⎧⎫⎛⎪⎪⋂= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C.【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.7．i 是虚数单位，21i z i =-则||z =（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】C【解析】【分析】由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解.【详解】由22(1)1,||1i i z i z i+==-+=-故选:C.【点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.8．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A B C ．2 D ．5【答案】D【解析】【分析】 先化简得31i,55z =+再求||z 得解. 【详解】 2i 2i(13i)31i,13i 1055z -===++所以||z =. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12- D ．12 【答案】B【解析】【分析】 依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数，得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．10．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=，PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π 【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求.【详解】如图；设AB 的中点为D ；∵PA 2=，PB 14=，AB ＝4，∴△PAB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 12=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；∵CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面PAB ；且DC 226CA AD =-=.∴O 在CD 上；故有：AO 2＝OD 2+AD 2⇒R 2＝（6-R ）2+r 2⇒R 6=； ∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π25036π⨯= ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.11．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<…，则()R A B U ð=（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x x 剟C ．{|10}x x -<…D ．{|1}x x -…【答案】D【解析】【分析】 先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð【详解】 {|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.12．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）A ．69人B ．84人C ．108人D ．115人 【答案】D【解析】【分析】先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.【详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100453223--=人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则10050023x=，解得115x =人. 故选：D【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，,A B A A B =⊆,所以满足2a ≥，所以答案选择D.知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：22．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限解析：22=(12i)14434z i i i +=++=-+，所以复数对应的点（-3,4）点在第二象限。

知识点;推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方 难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A（B）2（C（D）2解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线 难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈ （C ） 2A ∈，且A （DAA的正方形，高为4的正四棱锥，所以每=D 。

知识点：立体几何-------空间几何体----------空间几何体的三视图和直观图 难度系数：25．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：平面向量a ，b ，c 均为非零向量，()0⋅-=a b c ，可以得出=b c 或者()⊥-a b c ；所以为必要不充分条件。

天津市部分区2020年高三质量调查试卷（二）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．221916x y -= 11．2- 12． 13．2 14．2；10 15．920-三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取2人、2人、3人． ……………………………………………………………3分 （2）（ⅰ）依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4．………………4分所以，45247()(2,3,4)k kC C P X k k C -⋅===．…………………………………………5分 因此，所求随机变量X 的分布列为………………………………………………10分故随机变量X 的数学期望为1020520()2343535357E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………11分 （ⅱ）依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”.则有M B C =U ，且B 与C 互斥. 由①知，()(2),()(3)P B P X P C P X ====，所以6()()(2)(3).7P M P B C P X P X ===+==U ………………………13分 故事件M 发生的概率为67． ……………………………………………………14分 17.（1）证明：因为()2=31n n S a -（n ∈N *）， ①所以，当2n ≥时，有()-1-12=31n n S a -， ② ……………………………1分 ①-②得()()112=3n n n n S S a a ----， 即12=33n n n a a a --，所以1=3n n a a -（n ∈N *，2n ≥）．………………………3分 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． …………………………………………4分 又由①得()112=31S a -，所以13a =． …………………………………………5分所以111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………7分（2）解：由题意及（1）得()()21213=-=-n n n b n a n ． ………………………8分 所以()121333213=⨯+⨯++-⋅L n n T n ， ③所以()()23131333233213+=⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ， ④ …………10分 ③-④，得()1231213232323213+-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L n n n T n………………12分()()11231323333213+=-+++++--⋅L n n n()()()1133132213621331++-=-+⨯--⋅=----n n n n n ， …………14分故()1313n n T n +=+-． …………………………………………………………15分18.（1）证明：因为AB //CD ，90∠=oBAD ，所以90ADC ∠=o.又因为1==AD CD ，所以ACD ∆是等腰直角三角形,所以AC =45CAD ∠=o ． …………………………………………………2分又因为90∠=oBAD ，45ABC ∠=o，所以90ACB ∠=o，即AC BC ⊥． ………………………………………………3分 因为⊥PC 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥.又PC AC C =I ,所以BC ⊥平面PAC ． ………………………………………6分 （2）解：在Rt ∆ABC 中, 45ABC ∠=o，AC =BC =由（1）知，BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠是直线PB 与平面PAC所成的角，则sin BPC ∠=． ………7分 在Rt ∆PBC 中, sin 3BC PB BPC ===∠所以2PC ==． ……………………………………………………8分【方法一】以点C 为原点，分别以,,AC CB CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． …………………………9分 则()()()()0,0,0,0,0,2,,C P A B . 因为E 为PB的中点，所以0,12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(),0,2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．…………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2y z ⎧=+=⎩ 令2y =，得0,x z ==(0,2,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()0,1,0n =r为平面PAC 的一个法向量． ……………13分所以cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --…………………………………15分 【方法二】以点C 为原点，分别以,,CB CA CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． ………………………9分 则()()())0,0,0,0,0,2,,C P A B.因为E 为PB的中点，所以012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以(),2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． …………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2x z =+=⎩ 令2x =，得0,y z ==．所以(2,0,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()1,0,0n =r为平面PAC 的一个法向量.………………13分所以cos ,3m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --……………………………………15分 19.（1）解：设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c （0c >），则26c =，所以3c =． ……………………………………………………………1分因为直线AB 过C 的焦点1F ，且2ABF ∆的周长是， 所以()()()2112224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =． ……………………………………………………………………2分 所以2221899b a c =-=-=． …………………………………………………3分所以，椭圆C 的方程是221189x y +=． ……………………………………………4分（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线OP ：1y k x =，直线OQ ：2y k x =. 因为直线,OP OQ 与圆M 相切，=,化简，得22210010(6)260x k x y k y --+-=； 同理，得222020020(6)260x k x y k y --+-=．……………………………………6分所以12,k k 是一元二次方程2220000(6)260x k x y k y --+-=的两实数根，则有20122066y k k x -⋅=-．………………………………………………………………7分又因为点00(,)M x y 在C 上，所以22001189x y +=，即2200192y x =-， 所以()22001222001136122662x x k k x x --===---（定值）． ……………………………9分 （ⅱ）解：22OP OQ +是定值，且定值为27． ……………………………10分 理由如下：【方法一】设),(,),(2211y x Q y x P .由（1）、（2）联立方程组122,1,189y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得212122112118,1218.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ …………11分 所以2221112118(1)12k x y k ++=+． …………………………………………………12分同理，得2222222218(1)12k x y k ++=+． ……………………………………………13分 由（2）知1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221218(1)18(1)1212k k k k ++=+++ 22112211118(1())18(1)211212()2k k k k +-+=+++-2121275412k k +=+27=， 所以22=27OP OQ +（定值）．……………………………………………15分 【方法二】设),(,),(2211y x Q y x P , 由（2）知1212k k =-，所以2222121214y y x x =． ………………………………11分 因为),(,),(2211y x Q y x P 在C 上，所以221122221,1891,189x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 2211222219,219.2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………………………………12分 所以22221212111(9)(9)224x x x x --=，整理得221218x x +=， 所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………14分 故有22=27OP OQ +（定值）.………………………………………………15分 20.解：（1）由题意,得()()()()sin cos 4cos sin 2sin 4x x x f x e x x e x x e x '=-+++=+，………1分所以()04f '=．因为()03f =，所以()340y x -=-，即所求曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线方程为430x y -+=． ………3分 （2）易知，函数()h x 的定义域为R ，()2sin '=+g x x ， 且有()()''=-h x f x ()'ag x()()()()2sin 4sin 22sin 2=+-+=-+x x e x a x e a x ．……………5分由于sin 20+>x 在∈x R 上恒成立，所以①当0≤a 时，20->xe a 在∈x R 上恒成立，此时()0'>h x ，所以，()h x 在区间(),-∞+∞上单调递增． ……………………………………7分 ②当0>a 时，由()0'>h x ，即20->xe a ，解得ln2>ax ； 由()0'<h x ，即20-<xe a ，解得ln2<a x . 所以，()h x 在区间,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 上单调递减； 在区间ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增． ………………………………………9分 （3）易知，cos 0+-≤xx mx e等价于cos 0--≤x e x x m .设()cos ϕ=--x x e x x m （50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ）．…………………………………10分 由题意，对50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，不等式cos 0+-≤x x m x e 恒成立， 只需()max 0ϕ≤x ． ………………………………………………………………11分 易得()()cos sin 1'ϕ=--x x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . 令()()cos sin 1=--x t x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ， 所以()()2sin '=-x t x e x ． ……………………………………………………13分 显然，当50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0'≤t x 恒成立. 所以函数()t x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减，所以()()00≤=t x t ， 即()0'ϕ≤x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 恒成立．……………………………………………14分 所以，函数()ϕx 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减. 所以有()()max 010ϕ=ϕ=-≤x m ， …………………………………………15分 所以1≥m .故所求实数m 的取值范围是[)1,+∞． …………………………………………16分。

2020年天津市宁河县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）计算4+（﹣6）的结果等于（ ）A ．﹣2B ．2C ．10D ．﹣10【分析】依据有理数的加法法则计算即可．【解答】解：4+（﹣6）=﹣（6﹣4）=﹣2．故选：A ．2．（3分）sin45°的值等于（ ）A ．√2B ．1C ．√32D ．√22【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可． 【解答】解：sin45°=√22， 故选D ．3．（3分）在美术字中，有些汉字是轴对称的，下面四个字不属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：A 、属于轴对称图形，故此选项错误；B 、属于轴对称图形，故此选项错误；C 、属于轴对称图形，故此选项错误；D 、不属于轴对称图形，故此选项正确；故选：D ．4．（3分）2017年春运期间，全国水运旅客发送量约为43500000人次，将43500000用科学记数法表示应为（）A．0.435×107B．43.5×106C．43.5×107D．4.35×107【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：43500000=4.35×107．故选：D．5．（3分）从正面观察如图的两个立体图形，得到的平面图形是（）A． B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看左边是一个矩形，右边是一个正方形，故选：A．6．（3分）如图，数轴上点A表示的数可能是（）A．√2B．√3C．√5D．√10【分析】设A点表示的数为x，则2＜x＜3，再根据每个选项中的范围进行判断．【解答】解：如图，设A点表示的数为x，则2＜x＜3，∵1＜√2＜2，1＜√3＜2，2＜√5＜3，3＜√10＜4，∴符合x取值范围的数为√5．故选C．7．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线平分一组对角【分析】根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案．【解答】解：A、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故A选项错误；B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故B选项错误；C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故C选项正确；D、对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，故D选项错误；故选：C．8．（3分）已知反比例函数y=6x，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据反比例函数系数k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x＞0中单调递减，再结合x的取值范围，可得出y的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．【解答】解：在反比例函数y=6x中k=6＞0，∴该反比例函数在x＞0内，y随x的增大而减小，当x=3时，y=63=2；当x=1时，y=61=6．∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．∴y的最小整数值是3．故选A．9．（3分）把△ABC沿BC方向平移，得到△A′B′C′，随着平移距离的不断增大，△A′CB的面积大小变化情况是（）A．增大B．减小C．不变D．不确定【分析】根据平移的性质得到AA′∥BC ，从而说明△A′CB 的底边BC 的长度不变，高不变，确定正确的选项．【解答】解：∵把△ABC 沿BC 方向平移，得到△A′B′C′，∴AA′∥BC ，∴△A′CB 的底边BC 的长度不变，高不变，∴△A′CB 的面积大小变化情况是不变，故选C ．10．（3分）若分式2x−y 3x y的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．缩小到原分式值的110C ．缩小到原分式值的1100D ．缩小到原分式值的11000【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，可得答案．【解答】解：式2x−y 3x 2y 的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，得 20x−10y 3×(10x)⋅(10y)=2x−y 300x y =11002x−y 3x y， 故选：C ．11．（3分）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S 1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S 2，则S 1S 2=（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【分析】先根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和，根据周角的定义可求正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和，再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即可求解．【解答】解：∵正八边形的内角和为（8﹣2）×180°=6×180°=1080°，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8﹣1080°=2880°﹣1080°=1800°，∴S 1S 2=1080°1800°=35． 故选：B ．12．（3分）如果抛物线y=﹣x 2+bx 与x 轴交于A 、B 两点，且顶点为C ，那么当∠ACB=120°，b 的值是（ ）A ．±2√33 B ．±√33 C ．2√33 D ．√33【分析】将解析式配方成顶点式得对称轴及其顶点纵坐标，作CD ⊥AB 于点D ，由∠BCD=12∠ACB=60°、tan ∠BCD =BD CD ，得|b|2b 24=√3，解之可得答案． 【解答】解：∵y=﹣x 2+bx=﹣（x ﹣b 2）2+b 24， ∴抛物线的对称轴为x=b 2，顶点C 的纵坐标为b 24， 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由抛物线对称性知∠ACD=∠BCD=12∠ACB=60°， 则tan ∠BCD =BD CD，即|b|2b 24=√3， 解得：b=0（舍）或b=±2√33， 故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算：（x ﹣3y ）（﹣6x ）= ﹣6x 2+18xy ．【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．【解答】解：原式=﹣6x2+18xy．故答案是：﹣6x2+18xy．14．（3分）在一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球，5个红球，这些球除了颜色不同外其余完全相同，从袋子中摸出一个球，则它是红球的概率是512．【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵袋子中有3个白球，4个黄球，5个红球，共有12个球，∴从袋子中摸出一个球，则它是红球的概率是5 12；故答案为：512．15．（3分）如图，点P在∠MON的平分线上，点A、B在∠MON的两边上，若要使△AOP≌△BOP，那么需要添加一个条件是AO=BO或∠OAP=∠OBP或∠APO=∠BPO（写出一个即可）．【分析】判断两个三角形全等的方法有“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”．此题要证△AOP≌△BOP，通过题中已知的OP为∠MON的平分线，可得∠AOP=∠BOP，还有一条公共边OP=OP，若添加AO=BO，则可根据“SAS”来判定，若添加∠OAP=∠OBP，则可根据“AAS”来判定，若添加∠APO=∠BPO，则可根据“ASA”来判定．综上可得出此题的答案．【解答】解：可以添加的条件有：AO=BO，∠OAP=∠OBP，∠APO=∠BPO，证明：∵OP为∠MON的平分线，∴∠AOP=∠BOP，若添加的条件为AO=BO，在△AOP和△BOP中，OA=OB，∠AOP=∠BOP，OP=OP，∴△AOP≌△BOP．所以添加的条件为AO=BO，能得到△AOP≌△BOP；若添加的条件为∠OAP=∠OBP，在△AOP和△BOP中，∠OAP=∠OBP，∠AOP=∠BOP，OP=OP，∴△AOP≌△BOP．所以添加的条件为∠OAP=∠OBP，能得到△AOP≌△BOP；若添加的条件为∠APO=∠BPO，在△AOP和△BOP中，∠AOP=∠BOP，OP=OP，∠APO=∠BPO∴△AOP≌△BOP．所以添加的条件为∠APO=∠BPO，能得到△AOP≌△BOP；故答案为：AO=BO或∠OAP=∠OBP或∠APO=∠BPO（写出一个即可）．16．（3分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为100（1﹣x）2=81．【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是100（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为81元，”可得方程100（1﹣x）2=81．【解答】解：由题意得：100（1﹣x）2=81，故答案为：100（1﹣x）2=81．17．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB=8cm，BC=6cm，点Q为BC中点，在DC 上取一点P，使△APQ的面积等于18cm2，则DP的长度为4cm．【分析】设DP=x ，根据S △APQ =S 矩形ABCD ﹣S △ADP ﹣S △ABQ ﹣S △PCQ ，列出方程即可解决问题．【解答】解：设DP=x ．∵S △APQ =S 矩形ABCD ﹣S △ADP ﹣S △ABQ ﹣S △PCQ ，AD=BC=6，AB=CD=8，BQ=CQ=3，∴18=48﹣12•x•6﹣12（8﹣x ）•3﹣12•8•3， ∴x=4，故答案为4．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B 均在格点上． （Ⅰ）线段AB 的长为 2√5 ．（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB 上作出点P ，使AP=4√53，并简要说明你的作图方法（不要求证明）． 取格点M ，N ，连接MN 交AB 于P ，则点P 即为所求 ．【分析】利用勾股定理列式求出AB=2√5，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB 的交点满足AP ：BP=2：1即可．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB=√42+22=2√5；（2）∵AB=2√5，所以，AP=4√53时AP ：BP=2：1．点P如图所示．取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求；故答案为：取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）解不等式组{1−x＞−2①2x+3≥x−1②请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x＜3；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣4；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣4≤x＜3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x＜3；（Ⅱ）解不等式②，得：x≥﹣4；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣4≤x＜3，故答案为：（Ⅰ）x＜3；（Ⅱ）x≥﹣4；（Ⅳ）﹣4≤x＜3．20．（8分）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后，随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵，B：5棵，C：6棵，D：7棵，并将各类的人数绘制了扇形统计图（如图1）和条形统计图（如图2），请根据相关信息解答下列问题：（Ⅰ）图1中m的值为30；（Ⅱ）补全图2，并求出抽查的20名学生每人植树量数据的众数、中位数；（Ⅲ）求抽查的20名学生平均每人的植树量（保留一位小数），并估计全校260名学生共植树多少棵？【分析】（Ⅰ）由单位1减去其余的百分比求出m的值即可；（Ⅱ）补全图2，求出抽查的20名学生每人植树量数据的众数、中位数即可；（Ⅲ）求出20名学生平均每人植树的棵树，进而估计出全校学生共植树的棵树即可．【解答】解：（Ⅰ）图1中m的值为30；故答案为：30；（Ⅱ）补全图2，如图所示，∵在这组数据中，5出现了8次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为5，∵将这组数据按照从小到大顺序排列，其中处于中间的两个数都是5，∴这组数据的中位数为5；（Ⅲ）x=4×4+5×8+6×6+7×220=5.3（棵），则调查的20名学生平均每人的植树量5.3棵，5.3×260=1378（棵），则估计全校260名学生共植树1378棵．21．（10分）已知四边形ABCD是平行四边形，CD为⊙O的切线，点C是切点．（Ⅰ）如图1，若AB为⊙O直径，求四边形ABCD各内角的度数；（Ⅱ）如图2，若AB为弦，⊙O的半径为3cm，当BC=2cm时，求CD的长．【分析】（1）如图1中，连接OC．只要证明△OCB是等腰直角三角形即可解决问题（2）如图2中，连接OC交AB于点E，连接OB，由（1）可知：AB⊥OC，设OE=xcm，则CE=（3﹣x）cm，想办法构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，连接OC．∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥CD，∵OC=OB，∴∠B=∠OCB=45°，∴∠BCD=∠OCD+∠OCB=135°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB=135°，∠D=∠B=45°．（2）如图2中，连接OC交AB于点E，连接OB，由（1）可知：AB⊥OC，∴OB2﹣OE2=BE2，BC2﹣CE2=EB2，设OE=xcm，则CE=（3﹣x）cm，∴OB=3，BC=2，∴32﹣x2=22﹣（3﹣x）2，∴x=73，即OE=73cm，∴BE=√OB2−OE2=4√23cm，∴AB=2BE=8√23cm，∵四边形ABCD 平行四边形，∴CD=AB=8√23cm．22．（10分）如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E、D，现测得DE=20厘米，DC=40厘米，∠AED=58°，∠ADE=76°．（1）求椅子的高度（即椅子的座板DF与地面MN之间的距离）（精确到1厘米）（2）求椅子两脚B、C之间的距离（精确到1厘米）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin76°≈0.97．cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）【分析】（1）作DP⊥MN于点P，即∠DPC=90°，由DE∥MN知∠DCP=∠ADE=76°，根据DP=CDsin∠DCP可得答案；（2）作EQ⊥MN于点Q可得四边形DEQP是矩形，知DE=PQ=20，EQ=DP=39，再分别求出BQ、CP的长可得答案．【解答】解：（1）如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC=90°，∵DE∥MN，∴∠DCP=∠ADE=76°，则在Rt△CDP中，DP=CDsin∠DCP=40×sin76°≈39（cm），答：椅子的高度约为39厘米；（2）作EQ⊥MN于点Q，∴∠DPQ=∠EQP=90°，∴DP∥EQ，又∵DF∥MN，∠AED=58°，∠ADE=76°，∴四边形DEQP是矩形，∠DCP=∠ADE=76°，∠EBQ=∠AED=58°，∴DE=PQ=20，EQ=DP=39，又∵CP=CDcos∠DCP=40×cos76°≈9.6（cm），BQ=EQtan∠EBQ =39tan58°≈24.4（cm），∴BC=BQ+PQ+CP=24.4+20+9.6≈54（cm），答：椅子两脚B、C之间的距离约为54cm．23．（10分）如表是某校七～九年级某月课外兴趣小组（分文艺小组和科技小组）活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．课外小组活动总时间h 文艺小组活动次数科技小组活动次数七年级12.543八年级10.533九年级7a b（Ⅰ）请你完成以下的分析，求出a，b的值：观察表格，七、八年级科技小组活动次数相同，文艺小组活动次数相差1次，活动总时间相差2h，由此可知文艺小组每次活动时间为2h，进而可知科技小组每次活动时间为 1.5h；依题意可得a与b的关系式为2a+1.5b=7，因为a与b是自然数，所以a=2，b=2；（Ⅱ）若学校重新规定：九年级每月课外兴趣小组活动总次数为8次，在文艺小组与科技小组每次活动时间保持不变的情况下，求出九年级每月课外兴趣小组活动总时间y（h）与文艺小组活动次数x（次）之间的函数关系式（其中规定x为大于1且小于8的自然数）．【分析】（Ⅰ）七、八年级科技小组活动次数相同，文艺小组活动次数相差1次，活动总时间相差2h，由此可知文艺小组每次活动时间为2h，进而可知科技小组每次活动时间为1.5h；进而可得a与b的关系式，再根据a与b是自然数，求出a与b的值；（Ⅱ）如果文艺小组活动次数为x，则科技小组活动次数为8﹣x，根据每月课外兴趣小组活动总时间=文艺小组每次活动时间×文艺小组活动次数+科技小组每次活动时间×科技小组活动次数，得出y与x之间的函数关系式．【解答】解：（Ⅰ）∵七、八年级科技小组活动次数相同，文艺小组活动次数相差4﹣3=1次，活动总时间相差12.5﹣10.5=2h，∴文艺小组每次活动时间为2h，科技小组每次活动时间为（12.5﹣4×2）÷3=1.5h；∵九年级课外小组活动总时间为7h，∴2a+1.5b=7，∵a与b是自然数，∴a=2，b=2．故答案为1，2，2，1.5；2a+1.5b=7，2，2；（Ⅱ）如果文艺小组活动次数为x，则科技小组活动次数为8﹣x，根据题意，得y=2x+1.5（8﹣x），即y=0.5x+12．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（﹣2√3，0），∠OAB=90°，∠AOB=30°，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α≤150°），在旋转过程中，点A、B的对应点分别为点A′、B′．（Ⅰ）如图1，当α=60°时，直接写出点A′（﹣√3，3）、B′（0，4）的坐标；（Ⅱ）如图2，当α=135°时，过点B′作AB的平行线交AA′延长线于点C，连接BC，AB′．①判断四边形AB′CB的形状，并说明理由，②求此时点A′和点B′的坐标；（Ⅲ）当α由30°旋转到150°时，（Ⅱ）中的线段B′C也随之移动，请求出B′C所扫过的区域的面积？（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）如图1中，作A′E⊥OB′于E．解直角三角形求出EO，A′E即可解决问题；（Ⅱ）①如图2中，结论：四边形AB′CB是平行四边形．只要证明B′C∥AB，B′C=AB；②过点A′作A′E⊥x轴于E．过点B′作B′F⊥A′E于F，解直角三角形求出OE、EF、B′F即可；（Ⅲ）B′C扫过的面积=S平行四边形B′B″C″C′，由此计算即可；【解答】解：（Ⅰ）如图1中，作A′E⊥OB′于E．在Rt′△OA′B′中，∵∠A′OB′=30°，OA′=2√3，∴cos30°=OA′OB′，∴OB′=4，∴B′（0，4），在Rt△OA′E中，∵OA′=2√3，∴A′E=√3，OE=√3A′E=3，∴A′（﹣√3，3）．故答案为（﹣√3，3），（0，4）．（Ⅱ）①如图2中，结论：四边形AB′CB是平行四边形．理由：∵B′C∥AB，∴∠B′CA=∠BAC，∵∠BAC+∠CAO=90°，∴∠B′CA′+∠CAO=90°，又∵∠B′A′C+∠OA′A=90°，且旋转得到OA=OA′，则∠CAO=∠OA′A，∴∠B′CA′=∠B′A′C，∴B′C=B′A′，又∵A′B′=AB ， ∴B′C=AB ，∴四边形AB′CB 是平行四边形．②过点A′作A′E ⊥x 轴于E ．由A （﹣2√3，0），可得OA=2√3， 又∵∠OAB=90°，∠AOB=30°， ∴AB=2，OB=4，则OA′=2√3，A′B′=2， 由∠AOA′=135°，得到∠A′OE=45°，∴OE=A′E=√22OA′=√6，∴点A′（√6，√6），过点B′作B′F ⊥A′E 于F ， 由∠EA′O=45°，得∠EA′B′=45°，∴B′F=A′F=√22×2=√2，∴EF=√6﹣√2，OE +B′F=√6+√2，∴点B′（√6+√2，√6﹣√2）．（Ⅲ）如图3中，B′C扫过的面积=S平行四边形B′B″C″C′=6×2=12．25．（10分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3交x轴于点A、C（点A在点C左侧），交y轴于点B．（Ⅰ）求A，B，C三点坐标；（Ⅱ）如图1，点D为AC中点，点E在线段BD上，且BE=2DE，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M坐标；（Ⅲ）如图2，将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，点P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在它们的左侧作等边△APR和等边△AGQ，求PA+PC+PG的最小值，并求当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）抛物线y=﹣x2﹣2x+3中，令y=﹣x2﹣2x+3=0，可得A（﹣3，0），C（1，0）；当x=0时，可得B（0，3）；（Ⅱ）首先利用A、C坐标，求出D的坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M即可；（Ⅲ）先证明△QAR≌△GAP即可得出QR=PG，进而得到PA+PC+PG=PR+PC+QR，可得当Q，R，P，C共线时，PA+PC+PG的值最小，即为线段QC的长，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，利用勾股定理求得QC的长，再求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y=﹣x2﹣2x+3中，令y=﹣x2﹣2x+3=0，可得x1=1，x2=﹣3，∴A（﹣3，0），C（1，0），当x=0时，y=3，∴B（0，3）；（Ⅱ）∵点D为AC中点，A（﹣3，0），C（1，0），∴D（﹣1，0），∵BE=2DE，B（0，3），∴E（﹣23，1），设直线CE为y=kx+b，把C（1，0），E（﹣23，1）代入，可得{−23k+b=1k+b=0，解得{k=−35b=35，∴直线CE为y=﹣35x+35，解方程组{y=−35x+35y=−x2−2x+3，可得{x=1y=0或{x=−125y=5125，∵M在第二象限，∴M（﹣125，5125）；（Ⅲ）∵△APR和△AGQ是等边三角形，∴AP=AR=PR，AQ=AG，∠QAG=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP，在△QAR和△GAP中，{AQ=AG∠QAR=∠GAP AR=AP，∴△QAR≌△GAP（SAS），∴QR=PG ，∴PA +PC +PG=PR +PC +QR ，∴当Q ，R ，P ，C 共线时，PA +PC +PG 的值最小，即为线段QC 的长， 如图3，作QN ⊥OA 于N ，作AM ⊥CQ 于M ，作PK ⊥CN 于K ， 依题意得∠GAO=45°+15°=60°，AO=3， ∴AG=GQ=QA=6，∠AGO=30°，OG=3√3， ∵∠AGQ=60°， ∴∠QGO=90°， ∴Q （﹣6，3√3），在Rt △QNC 中，QN=3√3，CN=6+1=7，∴QC=√QN 2+CN 2=2√19，即PA +PC +PG 的最小值为2√19，∴sin ∠ACM=AM AC =QN QC ，∴AM=AC⋅QN QC =6√5719，∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，PM=√33AM ，MC=√AC 2−AM 2=14√1919，∴PC=CM ﹣PM=8√1919，∵sin ∠PCN=PK PC =QN QC ，cos ∠PCN=CK CP =CNCQ ，∴PK=12√319，CK=2819，∴OK=919，∴P （﹣919，12√319）．【2020年中考数学——精品提分卷】第 2 页/ 共21 页。

天津市宁河县2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A．(4h π+B．(2h π+C．(8h π+ D．(2h π【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】设胡夫金字塔的底面边长为a ，由题可得42a h =π，所以2h a π=，所以需要灯带的总长度约为44(22h+π⨯=π+h ，故选D ．2．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．3．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】方法一：设(1,0)P -，利用抛物线的定义判断出B 是AP 的中点，结合等腰三角形的性质求得B 点的横坐标，根据抛物线的定义求得||FB ，进而求得FA .方法二：设出,A B 两点的横坐标,A B x x ，由抛物线的定义，结合||2||FA FB =求得,A B x x 的关系式，联立直线()1y k x =+的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得A x ，进而求得FA . 【详解】方法一：由题意得抛物线24y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)P -，过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，由||2||FA FB =，则||2||AM BN =，所以点B 为AP 的中点，又点O 是PF 的中点， 则1||||2OB AF =，所以||||OB BF =，又||1OF = 所以由等腰三角形三线合一得点B 的横坐标为12， 所以13||122FB =+=，所以||2||3FA FB ==．方法二：抛物线24y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+ 由题意设,A B 两点横坐标分别为,(,)0A B A B x x x x >， 则由抛物线定义得||1,||1A B FA x FB x =+=+又||2||,12(1)21A B A B FA FB x x x x =∴+=+⇒=+ ①222224(24)01(1)A B y xk x k x k x x y k x ⎧=⇒+-+=⇒⋅=⎨=+⎩ ② 由①②得220,2,||13A A A A x x x FA x --=∴==+=.故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.4．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 5．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u u u r u u u rB ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u u r u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.6．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A B ．2 C ．4D ．【答案】C 【解析】 【分析】设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==，所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．128【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解. 【详解】由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，1,1S k ==；第2次循环，满足判断条件，2,2S k ==； 第3次循环，满足判断条件，8,3S k ==； 第4次循环，满足判断条件，64,4S k ==； 不满足判断条件，输出64S =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i【答案】B 【解析】 【分析】复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .【详解】∵()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-. 2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．53π【答案】C 【解析】 【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =(3422233V π=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定. 10．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③C ．②③D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数()sin 23f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值求出1512224k k ω-+剟或51112224k k ω++剟.再根据已知求出1132ω<…，判断函数的单调性和零点情况得解. 【详解】因为函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422332k k πππππωπωππ--<-+剟，或32242,2332k k k πππππωπωππ+-<-+∈Z 剟 解得1512224k k ω-+剟或51112224k k ω++剟. 又212,23T ππωω=>…，所以1132ω<„. 令0k =.可得511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时，2,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，且72,3212ππππω⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[0,]π上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④ 故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 故选：A ． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．12．已知函数()(1)x f x x a e =--，若22log ,ab c ==则（ ）A ．f(a)<f(b) <f(c)B ．f(b) <f(c) <f(a)C ．f(a) <f(c) <f(b)D ．f(c) <f(b) <f(a)【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求得()f x 在(),a +∞上递增，结合y c =与22,log ,xy y x y x ===图象，判断出,,a b c 的大小关系，由此比较出()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】因为()()e x f x x a ¢=-，所以()f x 在(,)a +∞上单调递增； 在同一坐标系中作y c =与22,log ,xy y x y x ===图象，22log a b c ==Q ，可得a c b <<，故()()()f a f c f b <<.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年天津市宁河区芦台一中高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本题共9个小题，每题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，有一个是正确的）1．（5分）已知R 为实数集，2{|10}A x x =-„，1{|}B x l x =…，则()(R A B =⋂ð )A ．{|10}x x -<„B ．{|01}x x <„C ．{|10}x x -剟D ．{|10x x -剟或1}x =2．（5分）已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝为( ) A ．02x ∃>，380x -„ B ．2x ∀>，380x -„C ．02x ∃„，380x -„ D ．2x ∀„，380x -„3．（5分）8()x x-的二项展开式中，2x 的系数是( )A ．70B ．70-C ．28D ．28-4．（5分）设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．（5分）函数1()||1xf x ln x-=+的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，点P是C的右支上一点，连接1PF与y轴交于点M，若1||2||(FO OM O=为坐标原点），12PF PF⊥，则双曲线C的渐近线方程为()A．3y x=±B．3y x=±C．2y x=±D．2y x=±8．（5分）已知函数()3(0)0,,362f x sin x cos xπωωωπ⎛⎫⎡⎤=++>⎤⎡⎪⎦⎣⎢⎥⎝⎭⎣⎦在上的值域为，则实数ω的取值范围为()A．11[,]63B．12[,]33C．1[,]6+∞D．12[,]239．（5分）在四边形ABCD中，//AD BC，2AB=，5AD=，3BC=，60A∠=︒，点E在线段CB的延长线上，且AE BE=，点M在边CD所在直线上，则AM MEu u u u r u u u rg的最大值为( )A．714-B．24-C．514-D．30-二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）10．（5分）设121iz ii-=++，则||z=．11．（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则(2)P X<=；随机变量X的数学期望EX=．12．（5分）如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD-，该四棱锥的体积为42，则该半球的体积为．13．（5分）过点(2,2)M的直线1与圆22280x y x+--=相交于A，B两点，则||AB的最小值为；此时直线1的方程为．14．（5分）已知a，b均为正数，且1a b+=，2112aab+-的最小值为．15．（5分）已知函数231,0()26,0ax xf x xlnx x x⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x的方程()()0f x f x+-=恰有四个不同的解，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，且cos 2cos a Ab B=-． （Ⅰ）求a c． （Ⅱ）若4b =，1cos 4C =，求ABC ∆的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos(2)3C π+的值．17．（15分）如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点 （Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．18．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，F 为其右焦点，1111B A B F =u u u u r u u u u r g ，且该椭圆的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1A 作斜率为k 的直线1交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交直线4x =于点D ，直线2A D 与椭圆C 的另一个交点为G ，直线OG 与直线1A D 交于点H ．若11A P A H λ=u u u r u u u u r ，求λ取值范围．19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(,)n n S 在函数122x y +=-的图象上．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和公式；()III 在第()II 问的条件下，若对于任意的*n N ∈不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围．20．（16分）已知函数21()2x f x e ax x =-+，其中1a >-． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设21()()2h x f x ax x lnx =+--，求证：()2h x >；（Ⅲ）若21()2f x x x b ++…对于x R ∈恒成立，求b a -的最大值．2020年天津市宁河区芦台一中高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共9个小题，每题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，有一个是正确的）1．（5分）已知R 为实数集，2{|10}A x x =-„，1{|}B x l x =…，则()(R A B =⋂ð )A ．{|10}x x -<„B ．{|01}x x <„C ．{|10}x x -剟D ．{|10x x -剟或1}x =【解答】解：R Q 为实数集，2{|10}{|11}A x x x x =-=-剟?， 1{|}{|01}B x l x x x ==<厔，{|0R C B x x ∴=„或1}x >，(){|10}R A B x x ∴=-I 剟ð．故选：C ．2．（5分）已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝为( ) A ．02x ∃>，380x -„ B ．2x ∀>，380x -„C ．02x ∃„，380x -„ D ．2x ∀„，380x -„【解答】解：已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝是2x ∀>，38x -„， 故选：B ． 3．（5分）8(x的二项展开式中，2x 的系数是( )A ．70B ．70-C ．28D ．28- 【解答】解：根据二项式定理，8(x-的通项为38218(1)r rrr T C x -+=-gg ，当3822r -=时，即4r =时，可得2570T x =．即2x 项的系数为70， 故选：A ．4．（5分）设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：因为2log 3(1,2)a =∈，42log 6log 6(1,2)b ==∈，且a b >，0.10.115(0,1)5c -==∈， 所以c b a <<． 故选：A ．5．（5分）函数1()||1xf x ln x-=+的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数1()||1xf x ln x-=+， 可知11()||||()11x xf x ln ln f x x x+--==-=--+，函数是奇函数，排除选项A ，C ， 当0x >时，1||11x x-<+，1||01xln x -<+， 对应点在第四象限，排除D ． 故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC ∆中，cos cos sin sin A B A B A B <⇔>⇔>， 故“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充要条件， 故选：C ．7．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若1||2||(FO OM O =为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．3y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±【解答】解：由题意双曲线的图形如图，设1PF m =，2PF n =，点P 是C 的右支上一点， 连接1PF 与y 轴交于点M ，若1||2||(FO OM O =为坐标原点），12PF PF ⊥， 可得：112OM n OF m ==，所以2m n =，2n a =，所以4m a =， 可得22222164444a a c a b +==+， 解得2ba=， 所以双曲线的渐近线方程为：2y x =±． 故选：C ．8．（5分）已知函数()3(0)0,362f x sin x cos x πωωωπ⎛⎫⎡=++>⎤⎡ ⎪⎦⎣⎢⎝⎭⎣在上的值域为，则实数ω的取值范围为( )A ．11[,]63B ．12[,]33C ．1[,]6+∞D ．12[,]23【解答】解：因为函数3133()sin()cos cos cos cos 3sin()6223f x x x x x x x x x ππωωωωωωωω=++=++=++，在[0，]π上，[33x ππω+∈，]3πωπ+． 若()f x 在[0，]π上的值域为3[2，3]，则3sin()[3x πω+∈，1]，∴2233πππωπ+剟，求得1163ω剟， 故选：A ．9．（5分）在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME u u u u r u u u rg 的最大值为() A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【解答】解：如图：；因为：在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒， 点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =；2AE BE AB ∴===；∴四边形AECD 为平行四边形；且AD u u u r 与DC u u u r所成角为60︒． 设DM xDC =u u u u r u u u r ，∴222()()()[(1)](1)[(1)]4620AM ME AD DM MC CE AD xDC x DC AD AD x x DC x x AD DC x x =++=+--=-+-+--=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ；Q 对称轴为34x =，开口向下 34x ∴=时，AM ME u u u u r u u u r g 的最大值为：233714()620444-⨯+⨯-=-．故选：A ．二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上） 10．（5分）设121iz i i-=++，则||z = 1 ．【解答】解：21(1)222 1(1)(1)i iz i ii i ii i i--=+=+=-+=++-Q，||1z∴=．故答案为：1．11．（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则(2)P X<=4960；随机变量X的数学期望EX=．【解答】解：X表示取得次品的个数，~(10X，3，2)的超几何分布，12337733101049(2)60C C CP XC C<=+=，320.610EX==g，故答案为：49,0.66012．（5分）如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD-，该四棱锥的体积为42，则该半球的体积为423π．【解答】解：设球的半径为R，则底面ABCD的面积为22R，Q半球内有一内接正四棱锥S ABCD-42，∴2142233R R⨯⨯=，322R∴=∴该半球的体积为3144223V Rπ=⨯．42．13．（5分）过点(2,2)M的直线1与圆22280x y x+--=相交于A，B两点，则||AB的最小值为4；此时直线1的方程为．【解答】解：Q圆22280x y x+--=，即22(1)9x y-+=，圆心(1,0)C，半径为3，点(2,2)M在圆内，20221MCk-==-，要使||AB的值最小，则MC AB⊥，此时||MC=，||4AB==；直线l的斜率为12-，则直线l的方程为12(2)2y x-=--，即260x y+-=．故答案为：4；260x y+-=．14．（5分）已知a，b均为正数，且1a b+=，2112aab+-【解答】解：因为1a b+=，所以2221()11222a a ab a bab ab b a+++-=-=+…，当且仅当2a bb a=，即1a=、2b=时取等号，15．（5分）已知函数231,0()26,0ax xf x xlnx x x⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x的方程()()0f x f x+-=恰有四个不同的解，则实数a的取值范围是(2,0)-．【解答】解：已知定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数231,0()26,0ax xf x xlnx x x⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若()()0f x f x+-=在定义域上有四个不同的解等价于231ay xx=++关于原点对称的函数231ay xx=-+-与函数()26(0)f x lnx x x=->的图象有两个交点，联立可得226310alnx x xx-+-+=有两个解，即23263a xlnx x x x=-++，0x>，可设23()263g x xlnx x x x=-++，0x>，2()32129g x lnx x x'=+-+，2()1812120g x xx''=+-=…，可得()g x'在(0,)+∞递增，由g'（1）0=，可得01x<<时，()0g x'<，()g x递减；1x>时，()0g x'>，()g x递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为2-，作出()y g x =的图象，可得20a -<<时，226310alnx x x x-+-+=有两个解， 故答案为：(2,0)-．三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，且cos 2cos a Ab B=-． （Ⅰ）求a c． （Ⅱ）若4b =，1cos 4C =，求ABC ∆的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos(2)3C π+的值．【解答】解：()I 因为cos sin 2cos sin a A Ab B B==-， 所以2sin sin cos sin cos A A B B A -=，所以2sin sin cos sin cos sin()sin A A B B A A B C =+=+=， 由正弦定理可得，sin 1sin 2a A c C ==； ()II 由余弦定理可得，22116448a a a+-=， 整理可得，232160a a +-=， 解可得，2a =， 因为15sin C =所以1115sin 241522ABC S ab C ∆==⨯⨯=；()III 由于15115sin 22sin cos 24C C C ===，27cos22cos 18C C =-=-．所以1317315735cos(2)cos2sin 2()3228C C C π--+=-=⨯--⨯=． 17．（15分）如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点 （Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC 中点P ，连结MP 、FP ，ABC ∆Q 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，//EF MP =∴，∴四边形EFPM 是平行四边形，//FP EM ∴，EM ⊂/Q 平面ACF ，FP ⊂平面ACF ，//EM ∴平面ACF ．（Ⅱ）解：取AB 中点O ，连结CO ，FO ，Q 在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点， FO ∴⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0B ，1，0)，(3C 0，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，1)， (3BC =u u u r 1-，0)，(0BE =u u u r ，0，1)，(0BF =u u u r，1-，1)，设平面BCE 的法向量(n x =r，y ，)z ，则30n BC x yn BE z⎧=-=⎪⎨==⎪⎩u u u rrgu u u rrg，取1x=，得(1n=r，3，0)，设平面BCF的法向量(m a=r，b，)c，则30m BC a bm BF b c⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u rrgu u u rrg，取1a=，得(1,3,3)m=r，设二面角E BC F--的平面角为θ，则||27cos||||47m nm nθ===r rgr rg g．∴二面角E BC F--的余弦值为27．（Ⅲ）解：假设在线段EF上是存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为21，设EN t=．则(0N，1t-，1)，(3CF=-u u u r，1t-，1)，平面BCF的法向量(1,3,3)m=r，2|||33|27|cos,|||||4(1)7CF m tCF mCF m t-∴<>===+-u u u r ru u u r gru u u r rg g，整理得2(1)16t-=-，无解，∴线段EF上是不存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121．18．（15分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为1A、2A，上、下顶点分别为1B，2B，F为其右焦点，1111B A B F=u u u u r u u u u rg，且该椭圆的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1A 作斜率为k 的直线1交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交直线4x =于点D ，直线2A D 与椭圆C 的另一个交点为G ，直线OG 与直线1A D 交于点H ．若11A P A H λ=u u u r u u u u r，求λ取值范围．【解答】解：（Ⅰ）1(,0)A a -，1(0,)B b ，(,0)F c ， 11(,)B A a b =--u u u u r ，1(,)B F c b =-u u u u r，由1111B A B F =u u u u r u u u u r g ，得21b ac -=，又12c a =，222a b c =+，解得：2a =，b =1c =．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（Ⅱ）设直线1:(2)(0)A D y k x k =+>，则与直线4x =的交点(4,6)D k ， 又2(2,0)A ，∴设直线2:3(2)A D y k x =-，联立223(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得2224(112)964840k k x k +-+-=．解得22242(112k G k -+，212)112kk -+， 联立22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2268(34k P k -+，212)34k k +， 直线26:121kOG y x k -=-，联立26121(2)k y x k y k x -⎧=⎪-⎨⎪=+⎩，解得22242(125k H k -++，212)125k k +， Q 11A P A H λ=u u u r u u u u r ，(2P x ∴+，)(2P H y x λ=+，)H y ， P H y y λ∴=，∴22222125129443344343P H y k k y k k k λ++-====-+++，函数24()343f k k =-+在(0,)+∞上单调递增， 5()(3f k λ∴=∈，3)．19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(,)n n S 在函数122x y +=-的图象上．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和公式；()III 在第()II 问的条件下，若对于任意的*n N ∈不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：()I 由题意可知，122n n S +=-． 当2n …时，1122(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， 当1n =时，1111222a S +==-=也满足上式， 所以2(*)n n a n N =∈．⋯（3分）()II 由()I 可知12(*)n n n b b n N ++=∈，即12(*)k k k b b k N ++=∈． 当1k =时，1212b b +=，⋯①当2k =时，2322b b +=，所以2322b b --=-，⋯② 当3k =时，3432b b +=，⋯③当4k =时，4542b b +=，所以4542b b --=-，⋯④⋯ ⋯当1k n =-时(n 为偶数），112n n n b b --+=，所以1121n n n b b n ----=-⋯- 以上1n -个式子相加，得2341122222n n b b -+=-+-+⋯+ 112[1(2)]2(12)221(2)333n n n ----+===+--，又10b =，所以，当n 为偶数时，2233n n b =+．同理，当n 为奇数时，2341122222n n b b --+=-+-+⋯- 12[1(2)]221(2)3n n----==--， 所以，当n 为奇数时，2233n n b =-．⋯（6分）因此，当n 为偶数时，数列{}n b 的前n 项和12n n T b b b =++⋯+2342222222222()()()()()3333333333n =-+++-+++⋯++ 2122212(12)2233331233n n n +-=++⋯+==--g ； 当n 为奇数时，数列{}n b 的前n 项和121n n n T b b b b -=++⋯++2122222222()()()()33333333n n -=-+++⋯+++- 21222224()333333n n +=++⋯+-=-． 故数列{}n b 的前n 项和()()1122332433n n n n T n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数．⋯（8分）()III 由()II 可知()()22332233n n nn b n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数， ①当n 为偶数时，111122221333222222233n n n n n n n b b ++++++===+-+-，所以1n n bb +随n 的增大而减小，从而，当n 为偶数时，1n n b b +的最大值是231bb =．②当n 为奇数时，111122221333222222233n n n n n n n b b ++++--===-+++，所以1n n b b +随n 的增大而增大，且1113112222n n n b b ++=-<<+．综上，1nn b b +的最大值是1． 因此，若对于任意的*n N ∈，不等式1n n b b λ+<恒成立，只需1λ>， 故实数λ的取值范围是(1,)+∞．⋯（13分） 20．（16分）已知函数21()2x f x e ax x =-+，其中1a >-． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设21()()2h x f x ax x lnx =+--，求证：()2h x >；（Ⅲ）若21()2f x x x b ++…对于x R ∈恒成立，求b a -的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，21()2x f x e x x =-+， 则()1x f x e x '=-+，所以(0)0f '=，又因为()10x f x e ''=+>，所以()f x '在R 上为增函数， 因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当0x <时，()0f x '<，()f x 为减函数，即函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞；（Ⅱ）2211()22x x h x e ax x ax x lnx e lnx =-++--=-，则令1()()x x h x e x ϕ='=-，则ϕ（1）10e =->，1()202ϕ=<，所以()x ϕ在区间(0,)+∞上存在唯一零点， 设零点为0x ，则01(,1)2x ∈，且001x e x =，当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(x x ∈，)+∞，()0h x '>， 所以函数()h x 在0(0,)x 递减，在0(x ，)+∞递增， 000001()()x h x h x e lnx lnx x =-=-…，由001x e x =，得00lnx x =-，所以0001()2h x x x =+…， 由于01(,1)2x ∈，0()2h x >，从而()2h x >；（Ⅲ）因为21()2f x x x b ++…对于x R ∈恒成立，即x e ax x b --…对于x R ∈恒成立，不妨令()x g x e ax x =--， 因为()(1)x g x e a '=-+，1a >-， 所以()0g x '=的解为(1)x ln a =+，则当(1)x ln a >+时，()0g x '>，()g x 为增函数， 当(1)x ln a <+时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()g x 的最小值为((1))1(1)(1)g ln a a a ln a +=+-++， 则1(1)(1)b a a ln a --++„，不妨令ϕ（a ）1(1)(1)a ln a =-++，1a >-，则ϕ'（a ）(1)10ln a =-+-=，解得11a e =-+，所以当11a e <-+时，ϕ'（a ）0>，ϕ（a ）为增函数，当11a e >-+时，ϕ'（a ）0<，ϕ（a ）为减函数，所以ϕ（a ）的最大值为11(1)1e e ϕ-+=+，则b a -的最大值为11e+．。

2020年天津市五区县高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i是虚数单位，复数=（）A．B．C． D．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．20203．已知命题p：∀x∈R，sin2x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，sin2x0≥1 B．￢p：∀x∈R，sin2x≥1C．￢p：∃x0∈R，sin2x0＞1 D．￢p：∀x∈R，sin2x＞14．已知a=log0.32，b=log20.3，c=0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．已知双曲线C的左右焦点为F1，F2，P双曲线右支上任意一点，若以F1为圆心，以|F1F2|为半径的圆与以P为圆心，|PF2|为半径的圆相切，则C的离心率为（）A．B．2 C．4 D．6．如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，若BC=8，则CD=（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=sin2x+cos2x+的图象关于点（a，b）成中心对称图形，若a∈（﹣，0）则a+b=（）A．πB．C．D．08．已知函数f（x）=，若函数g（x）=ax﹣+3（a＞0），若对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6]B．[6，+∞）C．（﹣∞，﹣4]D．[﹣4，+∞）二、填空题：本大题共/6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上.. 9．从区间[0，1]上随机取一个实数a，则关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根的概率为_______．10．一个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则此几何体的表面积为_______m211．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N的值是10，则输出的S的值是_______．12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，若f（m）＞f（1﹣m），则实数m的取值范围是_______．13．O是△ABC的外接圆的圆心，若AC=3，•=2，则AB=_______．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知甲、乙、丙三种食物的维生素及成本入戏表实数：食物类型甲乙丙维生素C（单位/kg）300 500 300维生素D（单位/kg）700 100 300成本（元/kg） 5 4 3某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．（1）设所用食物甲、乙、丙的质量分别为xkg，ykg，100﹣x﹣ykg（x≥0，y≥0），试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）用x，y表示这100kg混合食物的成本z，求出z的最小值．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a﹣c）sinA+csinC﹣bsinB=0．（1）求B的值；（2）求sinA+sinC的最大值及此时A，C的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥BC，平面PACD为直角梯形，∠PAC=90°，PD∥AC，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120°（1）求证：PA⊥AB；（2）求直线BD与平面PACD所成角的正弦值；（3）求二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．（1）求椭圆C的标准方程和圆O的方程；（2）设P、Q分别是椭圆C和圆O上位于y轴两侧的动点，若直线PQ与x平行，直线AP、BP与y轴的交点即为M、N，试证明∠MQN为直角．19．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（2）若∀x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围．20．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k﹣1≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（Ⅱ）设S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n），求S n（用a，b表示）；（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b k＞b k，求n的最大值（用﹣1a，b表示）．2020年天津市五区县高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i是虚数单位，复数=（）A．B．C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把分子利用虚数单位i的运算性质化简，然后分子分母同时乘以分母的共轭复数化简得答案．【解答】解：，故选：D．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．2020【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808故选B．3．已知命题p：∀x∈R，sin2x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，sin2x0≥1 B．￢p：∀x∈R，sin2x≥1C．￢p：∃x0∈R，sin2x0＞1 D．￢p：∀x∈R，sin2x＞1【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：：∃x0∈R，sin2x0＞1，故选：C．4．已知a=log0.32，b=log20.3，c=0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】由已知条件利用对数函数和指数函数的单调性能比较a，b，c的大小关系．【解答】解：∵﹣1=＜a=log0.32＜log0.31=0，∴b=log20.3=＜a，0＜c=0.20.3＜0.20=1，∴b＜a＜c．故选：D．5．已知双曲线C的左右焦点为F1，F2，P双曲线右支上任意一点，若以F1为圆心，以|F1F2|为半径的圆与以P为圆心，|PF2|为半径的圆相切，则C的离心率为（）A．B．2 C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据两圆相切的等价条件，结合双曲线的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设两圆相切时的切点为A，∵|F1F2|=c，∴PA=c，∴|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PF2|=|AF1|=2a，∵|AF1|=c，∴c=2a，即离心率e==2，故选：B．6．如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，若BC=8，则CD=（）A．B．C．D．【考点】弦切角．【分析】利用弦切角定理可得∠DCA=∠CBA，分别求出其余弦值，即可解得CD的值．【解答】解：∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，cos∠CBA==，又AD⊥CD，cos∠DCA===，∵由已知可得：∠DCA=∠CBA，∴cos∠DCA=cos∠CBA，可得：=，进而解得：CD=．故选：D．7．已知函数f（x）=sin2x+cos2x+的图象关于点（a，b）成中心对称图形，若a∈（﹣，0）则a+b=（）A．πB．C．D．0【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用两角和的正弦化简，由相位落在x轴上求得x值，可得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵f（x）=sin2x+cos2x+=．由，得x=．∵a∈（﹣，0），取k=0，得x=．又f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称图形，∴，则a+b=0．故选：D．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=ax﹣+3（a＞0），若对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6]B．[6，+∞）C．（﹣∞，﹣4]D．[﹣4，+∞）【考点】全称命题．【分析】函数f（x）=，当时，f（x）∈.时，f（x）=，利用导数研究函数的单调性可得：f（x）∈．可得∀x1∈[0，1]，f（x1）∈[0，1]．由于函数g（x）=ax﹣+3（a＞0）在[0，]上单调递增，由于对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[0，1]∈{g（x）|x∈}，即可得出．【解答】解：函数f（x）=，当时，f（x）∈．时，f（x）=，f′（x）==＞0，∴函数f（x）在上单调递增，∴f（x）∈．∴∀x1∈[0，1]，∴f（x1）∈[0，1]．由于函数g（x）=ax﹣+3（a＞0）在[0，]上单调递增，若对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴[0，1]∈{g（x）|x∈}，∴，解得a≥6．故选：B．二、填空题：本大题共/6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..9．从区间[0，1]上随机取一个实数a，则关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根，得到△=1﹣4a＜0，解得：a＞，从而求出符合条件的事件的概率．【解答】解：若关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根，则△=1﹣4a＜0，解得：a＞，设事件“从区间[0，1]上随机取一个实数a，则关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根”为事件A，则P（A）==，故答案为：．10．一个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则此几何体的表面积为12π+12m2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是半个圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的侧面积公式、圆的面积公式和三角形的面积公式求出此几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆锥，且底面圆的半径r=3m、圆锥的高是4m，则母线l==5（m），∴此几何体的表面积S===12π+12（m2），故答案为：12π+12．11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N的值是10，则输出的S的值是．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得N=10，S=0，k=1执行循环体，S=，满足条件k≤10，执行循环体，k=2，S=+，满足条件k≤10，执行循环体，k=3，S=++，…满足条件k≤10，执行循环体，k=11，S=++…++，不满足条件k≤10，退出循环，输出S=++…+=（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）=．故答案为：．12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，若f（m）＞f（1﹣m），则实数m的取值范围是（﹣∞，）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性可得|m|＜|1﹣m|，由此求得m的范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称．∵f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，若f（m）＞f（1﹣m），则|m|＜|1﹣m|，∴m＜，故答案为：．13．O是△ABC的外接圆的圆心，若AC=3，•=2，则AB=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把=代入•=2，再转化为与的等式求解．【解答】解：如图，•=，∵AC=3，∴，则，∴AB=．故答案为：．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，则实数a的取值范围是a≤0或1≤a＜2．【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数f（x）=的图象，函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，即函数y=f（x）与y=ax﹣1恰有两个交点，利用图象，即可得出结论．【解答】解：函数f（x）=，图象如图所示，函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，即函数y=f（x）与y=ax﹣1恰有两个交点，由图可得a≤0时，函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，（1，1）代入y=ax﹣1得a=2，∴1≤a＜2．函数y=f（x）与y=ax﹣1恰有两个交点，综上所述，a≤0或1≤a＜2．故答案为：a≤0或1≤a＜2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知甲、乙、丙三种食物的维生素及成本入戏表实数：食物类型甲乙丙维生素C（单位/kg）300 500 300维生素D（单位/kg）700 100 300成本（元/kg） 5 4 3某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．（1）设所用食物甲、乙、丙的质量分别为xkg，ykg，100﹣x﹣ykg（x≥0，y≥0），试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）用x，y表示这100kg混合食物的成本z，求出z的最小值．【考点】简单线性规划．【分析】（1）根据条件建立不等式关系，即可作出对应的平面区域．（2）根据线性规划的应用进行平移求解即可．【解答】解：（I）因为x≥0，y≥0，则，化简为，结合100﹣x﹣y≥0，可列出x，y满足的数学关系式为，在xOy平面中，画出相应的平面区域如图所示；…（II）这100kg混合食物的成本z=5x+4y+3=2x+y+300，平面区域是一个三角形区域，顶点为A（37.5，25），B（50，50），C（75，25），目标函数z=2x+y+300在经过点A（37.5，25）时，z取得最小值400元．…16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a﹣c）sinA+csinC﹣bsinB=0．（1）求B的值；（2）求sinA+sinC的最大值及此时A，C的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知的式子，再由余弦定理求出cosB，由内角的范围求出B；（2）由（I）和内角和定理求出C，代入sinA+sinC后利用两角和与差的正弦公式化简，利用正弦函数的性质求出式子sinA+sinC的最大值，以及此时A，C的值．【解答】解：（1）由已知得，（a﹣c）sinA+csinC﹣bsinB=0，根据正弦定理得（a﹣c）a+c2﹣b2=0，化简得b2=a2+c2﹣ac …由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，所以cosB=，由0＜B＜π得B=…（II）由（I）得：C=π﹣A﹣B=，sinA+sinC=sinA+sin（）==…当时，所以当A=时，且C=，sinA+sinC取得最大值．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥BC，平面PACD为直角梯形，∠PAC=90°，PD∥AC，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120°（1）求证：PA⊥AB；（2）求直线BD与平面PACD所成角的正弦值；（3）求二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由PA⊥BC，PA⊥AC，得到PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥AB．（Ⅱ）过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，则∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角，由此能求出直线BD与平面PACD所成角的正弦值．（Ⅲ）过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，则∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥BC，∠PAC=90°，即PA⊥AC，因为AC，BC交于点C，所以PA⊥平面ABC，…而AB⊂底面ABC，所以PA⊥AB．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面PACD⊥平面ABC，过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，则∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角；…取AC的中点E，连接BE，DE，则DE∥PA；在△ABE中，AB=AE=1，∠BAE=120°，所以BE==，，所以…因为DE∥PA，所以DE⊥平面ABC，BD==2，…在直角三角形△BDM中，，即直线BD与平面PACD所成角的正弦值为．…（Ⅲ）过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，则∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，…在△EBC中，，则BC==，，，…，即二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值为．…18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．（1）求椭圆C的标准方程和圆O的方程；（2）设P、Q分别是椭圆C和圆O上位于y轴两侧的动点，若直线PQ与x平行，直线AP、BP与y轴的交点即为M、N，试证明∠MQN为直角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的定义和a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程和圆的方程；（2）设P（x0，y0），直线AP：y=k（x+2）（k≠0），求得M，代入椭圆方程，求得P的坐标，求出直线BP的方程，可得N的坐标，设Q（x Q，y0），求得向量QM，QN的坐标，运用向量数量积计算即可得证．【解答】解：（1）由椭圆定义可得2a=4，又b=c且b2+c2=a2，解得a=2，b=c=，即椭圆C的标准方程为，则圆O的方程为x2+y2=2；（2）证明：设P（x0，y0），直线AP：y=k（x+2）（k≠0），令x=0可得M（0，2k）．将和y=k（x+2）（k≠0）联立可得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0，则，，，故，直线BP的斜率为，直线BP：，令x=0可得．设Q（x Q，y0），则，由，，可得，所以，即∠MQN是定值90°．19．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（2）若∀x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定出a的具体范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2﹣lnx，f′（x）=2x﹣，因为f'（1）=1，f（1）=1，所以切点为（1，1），切线方程为y=x．（2）由已知得f′（x）=2ax﹣．①若f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，则2a≤恒成立，所以2a≤=1，即a≤．即a≤时，f（x）在（0，1]单调递减，（f（x））min=f（1）=a，与|f（x）|≥1恒成立矛盾．②当a＞时，令f′（x）=2ax﹣=0，得x=∈（0，1]，所以当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，1]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以（f（x））min=f（）=（1+ln2a），由|f（x）|≥1得，（1+ln2a）≥1，所以a≥．综上，所求a的取值范围是[，+∞）．20．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k﹣1≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（Ⅱ）设S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n），求S n（用a，b表示）；（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b k﹣1＞b k，求n的最大值（用a，b表示）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意可直接写出答案；（Ⅱ）分情况计算b k﹣a k，得{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，从而可得S n；（Ⅲ）由b k﹣1＞b k，数列{a n}与{b n}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，结合（Ⅱ）知，解之即可．【解答】解：（Ⅰ）a2=﹣1，b2=0，a3=，b3=0；（Ⅱ）∵=，=，∴无论是a k﹣1+b k﹣1≥0，还是a k﹣1+b k﹣1＜0，都有b k﹣a k=，即{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，所以S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n）=；（Ⅲ）∵b k﹣1＞b k，及数列{a n}与{b n}满足的关系，∴a k﹣1+b k﹣1≥0，∴a k=a k﹣1，即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，由（Ⅱ）知b k﹣a k=，∴b k=a+，所以a k﹣1+b k﹣1=，解得，所以n的最大值为不超过的最大整数．2020年9月8日。

天津市宁河县2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ．(C ．13⎛ ⎝⎦,D ．【答案】C【解析】【分析】 由444222222a b c a b c a b+++=+，化简得到cos C 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】 由444222222a b c a b c a b +++=+，可得222422222(2)a b c a b c a b++-=+， 可得22222222222()c a b c a b a b c a b +-++-=+， 通分得2222222222()()0a b c c a b a b a b+---+=+， 整理得222222()a b c a b +-=，所以22221()24a b c ab +-=， 因为C 为三角形的最大角，所以1cos 2C =-， 又由余弦定理2222222cos ()c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-2223()()()24a b a b a b +≥+-=+，当且仅当a b =时，等号成立，所以)2c a b >+，即3a b c +≤， 又由a b c +>，所以a b c +的取值范围是(1,]3. 故选：C.【点睛】 本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.2．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B ．22C ．4D ．8 【答案】D 【解析】 【分析】 画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z 的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，其中()51,,2,22A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于22529122OA ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,22OC =，所以OC OA >，所以原点到可行域上的点的最大距离为22.所以z 的最大值为()2228=.故选：D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．2【答案】A【解析】【分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】 ()1252512511152550442a a S a a a a +==⇒+=⇒+=. 故选:A .【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.4．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A【解析】【分析】 利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++ 故选A ．【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用． 5．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =±>，320x y +=可化为32y x =-，则32m =，解得49m =. 故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.6．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D【解析】【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】 对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确；对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=， 乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确； 对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.7．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ） A ．212 B ．9 C ．172 D ．7【答案】A【解析】【分析】先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ．【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列，1239a a a ++=Q ，48a =，1339a d ∴+=，138a d +=，52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．8．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【解析】【分析】 列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=；38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=；48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=；58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=；68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=；78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=；88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=；98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．203【答案】D【解析】【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.10．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）【答案】D【解析】【分析】原问题转化为221x x a a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论.【详解】由题意，a ＞2，令t =， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t -=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t -）单调递减，且g （﹣2）＝2，又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlnt t =-， 记h （t ）221tlnt t =-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--． 令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2． ∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由211222112t t tlnt lnt lim lim t →→+==-1，即a ＜2． ∴实数a 的取值范围是（2，2）．【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.11．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >> 【答案】D【解析】【分析】构造函数()ln x f x x =，利用导数求得()f x 的单调区间，由此判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意，得ln 33a ==，1ln e b e e -==，3ln 2ln888c ==.令ln ()x f x x=，所以21ln '()x f x x -=.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.所以max 1[()]()f x f e b e ===，且(3)(8)f f >，即a c >，所以b a c >>.故选：D.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ） A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒ 【答案】C【解析】【分析】 根据椭圆的定义可得14PF =，12F F =.【详解】由题意，12F F =126PF PF +=，又22PF =，则14PF=， 由余弦定理可得22212121212164281cos 22242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故12120F PF ︒∠=. 故选：C.本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共40分）1．（5分）i为虚数单位，复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y+4的最小值为（）A．29B．25C．11D．93．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．0B．2C．4D．64．（5分）甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“x ＝9”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝m，（m∈R），若直线l与圆M相交于A，B两点，△MAB的面积为2，则m值为（）A．﹣1或3B．1或5C．﹣1或﹣5D．2或66．（5分）已知双曲线﹣＝1的离心率为，圆心在x轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切，且圆M的半径为2，则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 7．（5分）已知函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，且对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，则函数g（x）＝f（x）﹣x在区间[0，2n]（n∈N*）上所有零点的和为（）A．B．22n﹣1+2n﹣1C．D．2n﹣1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）8．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{m|m＝2n，n∈A}，M＝{x∈R|x＞2}，则集合B∩∁R M＝．9．（5分）（x﹣）6的展开式中x3的系数为，（用数字作答）10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其中俯视图为正三角形，则该几何体的体积为m3．11．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P，则点P落在阴影部分内的概率为．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且对于任意x1，∈[0，+∞），x1≠x2，均有＞0，若f（﹣）＝，2f（x）x＜1，则x的取值范围为．13．（5分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD＝2，＝，动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共80分）14．（13分）已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）cos x+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．15．（13分）某校高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件A的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（13分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2，G为EF中点．（Ⅰ）求证：OG∥平面ABE；（Ⅱ）求二面角D﹣BE﹣A的正弦值；（Ⅲ）当直线OF与平面BDE所成角为45°时，求异面直线OF与DE所成角的余弦值．17．（13分）已知数列{a n}满足a n+2﹣a n＝d（d∈R，且d≠0），n∈N*，a1＝2，a2＝2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求d的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，c n＝（﹣1）n•b n，求数列{c n}的前2n项和S2n．18．（14分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，直线BF2的方程为x﹣y﹣b＝0．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线BF2的距离为b，且三角形PF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相切，过焦点F1，F2分别作F1M⊥l，F2M⊥l，垂足分别为M，N，求（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值．19．（14分）设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+ab，x∈R，其中a，b∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处有极小值﹣，求a．b的值；（Ⅱ）若|a|＞1，设g（x）＝|f′（x）|，求证：当x∈[﹣1，1]时，g（x）max＞2；（Ⅲ）若a＞1，b＜1﹣2a，对于给定x1，x2∈（﹣∞，1），x1＜x2，α＝mx1+（1﹣m）x2，β＝（1﹣m）x1+mx2，其中m∈R，α＜1，β＜1，若|f（α）﹣f（β）|＜|f（x1）﹣f（x2）|，求m的取值范围．2017年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共40分）1．（5分）i为虚数单位，复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i【解答】解：∵（1+i）2+＝，∴．故选：C．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y+4的最小值为（）A．29B．25C．11D．9【解答】解：画出约束条件，表示的可行域，由图可知，由：，解得A（3，1）．当直线z＝x+2y+4，过A（3，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3+2+4＝9．故选：D．3．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．0B．2C．4D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i＝2，s＝2；经第二次循环得到i＝3，s＝4；经第三次循环得到i＝4，s＝0；不满足判断框的条件，输出0，故选：A．4．（5分）甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“x ＝9”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意，x＝9时甲的平均数为＝25.8；乙的平均数为＝25.6＞25.8，所以“x＝9”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的充分条件；而已知甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数得到x可能比9大，因此已知甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数的充分不必要条件；故选：A．5．（5分）在直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝m，（m∈R），若直线l与圆M相交于A，B两点，△MAB的面积为2，则m值为（）A．﹣1或3B．1或5C．﹣1或﹣5D．2或6【解答】解：圆M的参数方程为（t为参数），化为普通方程：（x ﹣1）2+（y+2）2＝4，可得M（1，﹣2），半径r＝2．直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝m，展开可得：（sinθ﹣cosθ）＝m，化为：y﹣x﹣m＝0，即x﹣y+m＝0．∴圆心M到直线l的距离d＝＝．∵△MAB的面积为2，∴|AB|×＝2．又|AB|＝2，∴×d＝2，解得d＝．∴＝，解得m＝﹣1或﹣5．故选：C．6．（5分）已知双曲线﹣＝1的离心率为，圆心在x轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切，且圆M的半径为2，则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x【解答】解：设圆心M（x0，0），x0＞0，由双曲线的离心率e＝＝＝，则b＝2a，双曲线双曲线﹣＝1渐近线方程：ay±bx＝0，即y±2x＝0，则圆心到渐近线的距离d＝＝＝2，∴x0＝，则抛物线的焦点坐标为（，0），∴抛物线的标准方程为：y2＝4x，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，且对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，则函数g（x）＝f（x）﹣x在区间[0，2n]（n∈N*）上所有零点的和为（）A．B．22n﹣1+2n﹣1C．D．2n﹣1【解答】解：∵函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，∴m≥1，由因为对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，∵函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，且图象连续，所有m＝1其图象如下：函数g（x）＝f（x）﹣x在区间[0，2n]（n∈N*）上所有零点分别为0，1，2，3，…2n，∴所有零点的和等于．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）8．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{m|m＝2n，n∈A}，M＝{x∈R|x＞2}，则集合B∩∁R M＝{0，2}．【解答】解：根据题意，集合A＝{0，1，2，3，4}，则B＝{m|m＝2n，n∈A}＝{0，2，4，6，8}，而M＝{x∈R|x＞2}，则∁R M＝{x|x≤2}，故B∩∁R M＝{0，2}；故答案为：{0，2}．9．（5分）（x﹣）6的展开式中x3的系数为15，（用数字作答）【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝C6r•（﹣1）r•，令6﹣r＝3，可得r＝2，故展开式中含x3的项的系数为C62＝15，故答案为：15．10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其中俯视图为正三角形，则该几何体的体积为m3．【解答】解：由已知的三视图得到几何体如图：其体积为m3；故答案为：11．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P，则点P落在阴影部分内的概率为1﹣．【解答】解：由题意，首先B（1，e）在y＝a x的图象上，所以e＝a1，所以a＝e，长方形的面积为1×e＝e，阴影部分的面积为：＝（e x﹣x）＝e﹣，由几何概型的公式得到点P落在阴影部分内的概率为；故答案为：1﹣．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且对于任意x1，∈[0，+∞），x1≠x2，均有＞0，若f（﹣）＝，2f（x）x＜1，则x的取值范围为（0，）∪（2，+∞）．【解答】解：由f（﹣x）＝f（x），得函数f（x）是偶函数，若对于任意x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，均有＞0，则此时函数f（x）为减函数，若f（﹣）＝，2f（x）＜1，则f（﹣）＝，f（x）＜，即不等式等价为f（x）＜f（﹣），即f（x|）＜f（），则x＞或x＜﹣，得0＜x＜（）＝或x＞（）﹣＝2，即x的取值范围是（0，）∪（2，+∞），故答案为：（0，）∪（2，+∞）13．（5分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD＝2，＝，动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为[，]．【解答】解：由＝，得∠DAC＝60°．根据数量积的几何意义，可知，当点E在D处时，最大，过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、N则的最大值为BA•BM＝，∴BM＝，⇒AM＝，BN＝以A为原点，ADF方向为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（2，0），C（），D（）根据数量积的几何意义，可知，当点F在C处时，最小，此时＝．当点F在B处时，最大，此时＝．∴则的取值范围为[]故答案为：[]三、解答题（本大题共6小题，共80分）14．（13分）已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）cos x+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．【解答】解：（I）函数f（x）＝2sin（π﹣x）cos x+2cos2x+a﹣1＝sin2x+cos2x+a ＝2+a．∴f（x）的最小正周期T＝＝π．（II）∵x∈[﹣，]，∴≤2x+≤，∴∈．∴f（x）∈[a﹣1，a+2]．∴a﹣1+a+2＝2，解得a＝．15．（13分）某校高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件A的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查，基本事件总数n＝，A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，则事件A的概率p＝1﹣＝，（Ⅱ）由题意知随机变量X的所有可能取值为0，2，4，P（X＝4）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝0）＝＝．∴随机变量X的分布列为：E（X）＝＝．16．（13分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2，G为EF中点．（Ⅰ）求证：OG∥平面ABE；（Ⅱ）求二面角D﹣BE﹣A的正弦值；（Ⅲ）当直线OF与平面BDE所成角为45°时，求异面直线OF与DE所成角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，∴AE∥CF，∵四边形ABCD为菱形，∴O为AC中点，又G为EF中点，∴OG∥AE，∵OG⊄面ABE，AE⊂平面ABE，∴OG∥平面ABE．解：（Ⅱ）分别以OD、OA、OG为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（，0，0），E（0，1，2），B（﹣，0，0），A（0，1，0），＝（﹣，1，2），＝（），＝（），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝2，得＝（0，2，﹣1），设平面ABE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝3，得＝（﹣），∴cos＜＞＝＝，∴sin＜＞＝，∴二面角D﹣BE﹣A的正弦值为．（Ⅲ）设F（0，﹣1，a），＝（0，﹣1，a），∵OF与平面BDE所成角为45°，∴＝，解得a＝3，或a＝﹣（舍），∴＝（0，﹣1，3），cos＜＞＝＝，∴异面直线OF与DE所成角的余弦值为．17．（13分）已知数列{a n}满足a n+2﹣a n＝d（d∈R，且d≠0），n∈N*，a1＝2，a2＝2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求d的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，c n＝（﹣1）n•b n，求数列{c n}的前2n项和S2n．【解答】解：（Ⅰ）由已知，a3＝2+d，a7＝2+3d，∵a1，a3，a7成等比数列，∴（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2或d＝0（舍）．于是a n+2﹣a n＝2．当n＝2k时，a n＝a2k＝a2+（k﹣1）×2＝2k＝n；当n＝2k﹣1时，a n＝a2k＝a1+（k﹣1）×2＝2k＝n+1．﹣1∴；（Ⅱ）b n＝＝，．又c n＝（﹣1）n•b n，∴＝．于是，．18．（14分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，直线BF2的方程为x﹣y﹣b＝0．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线BF2的距离为b，且三角形PF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相切，过焦点F1，F2分别作F1M⊥l，F2M⊥l，垂足分别为M，N，求（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线BF2的方程为x﹣y﹣b＝0．则F2（b，0），c＝b，则a2＝b2+c2＝2c2，椭圆的离心率e＝＝，∴椭圆C的离心率；（Ⅱ）（1）设P（x0，y0），则＝b，则x0﹣y0﹣3b＝0，或x0﹣y0+b＝0，由，无解，，解得：，由△PF1F2的面积为S＝×2b×b＝．解得：b＝1，∴椭圆的标准方程为：，（2）设直线l：y＝kx+m，则，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由△＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝0，整理得m2＝2k2+1，丨F1M丨＝，丨F2M丨＝，当k≠0时，则丨MN丨＝，则（|F1M|+|F2N|）•|MN|＝＝＝＝≤4，当且仅当丨m丨＝1时，取等号，而k≠0，则丨m丨≠1，因此（|F1M|+|F2N|）•|MN|＜4，当k＝0时，四边形F1MF2N为矩形，此时（|F1M|+|F2N|）•|MN|＝（1+1）×2＝4，综上可知：（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值为4．19．（14分）设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+ab，x∈R，其中a，b∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处有极小值﹣，求a．b的值；（Ⅱ）若|a|＞1，设g（x）＝|f′（x）|，求证：当x∈[﹣1，1]时，g（x）max＞2；（Ⅲ）若a＞1，b＜1﹣2a，对于给定x1，x2∈（﹣∞，1），x1＜x2，α＝mx1+（1﹣m）x2，β＝（1﹣m）x1+mx2，其中m∈R，α＜1，β＜1，若|f（α）﹣f（β）|＜|f（x1）﹣f（x2）|，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵＜f′（x）＝﹣x2+2ax+b，由已知可得f′（1）＝﹣1+2a+b＝0，且f（1）＝﹣+a+b+ab＝﹣，解得a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝5，当a＝2，b＝﹣3时，f′（x）＝﹣x2+4x﹣3，x＝1是f（x）的极小值点，当a＝﹣2，b＝5时，f′（x）＝﹣x2﹣4x+5，x＝1是f（x）的极大值点，故舍去，∴a＝2，b＝﹣3；（Ⅱ）g（x）＝|f′（x）|＝|﹣x2+2ax+b|＝|﹣（x﹣a）2+b+a2|，∵|a|＞1，∴函数f′（x）的对称轴为x＝a位于区间[﹣1，1]之外，于是g（x）在[﹣1，1]上的最大值在两端点处取得，即g（x）max＝max{g（﹣1），g（1）}，于是2g（x）max≥g（1）+g（﹣1）＝|b﹣1+2a|+|b﹣1﹣2a|≥4|a|＞4，故g（x）max＞2；（Ⅲ）由题设知，f′（x）＝﹣x2+2ax+b＜﹣x2+2ax+2a﹣1＝（x+1﹣2a）（﹣x+1），∴当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，①m∈（0，1），α＝mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1＝x1α＝mx1+（1﹣m）x2＝x2﹣m（x2﹣x1）x2＜x2，∴α∈（x1，x2），同理可得β∈（x1，x2），∵f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，∴f（x1）＞f（α）＞f（x2）且f（x1）＞f（β）＞f（x2），从而有|f（α）﹣f（β）|＜|f（x1）﹣f（x2）|符合题意，即m∈（0，1）符合题意，②m≤0时，α＝mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2＝x2β＝（1﹣m）x1+mx2≤（1﹣m）x1+mx1＝x1于是可知f（β）≥f（x1）≤f（x2）≤f（α），∴进而可得|f（α）﹣f（β）|≥|f（x1）﹣f（x2）|与题设不符③m≥1时，同理可得α＝mx1+（1﹣m）x2≤mx1+（1﹣m）x1＝x1，β＝（1﹣m）x1+mx2≥（1﹣m）x2+mx2＝x2，进而可得|f（α）﹣f（β）|≥|f（x1）﹣f（x2）|与题设不符综合①②③可得m∈（0，1）。

2017年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{x∈N|x≤4}，A＝{0，1，3}，B＝{1，3，4}，则∁U（A ∩B）＝（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{0，2，4} 2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．﹣2B．4C．7D．83．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出k的值是（）A．3B．4C．5D．64．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝（b+c）2﹣4，△ABC的面积为，则A等于（）A．30°B．60°C．150°D．120°6．（5分）已知函数f（x）＝log a（4﹣ax）在[0，2]上是单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）7．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F 且斜率为﹣的直线与双曲线的渐近线交于点A，若△OAF的面积为4ab（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．48．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数＝．10．（5分）某四棱锥和球的组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积是11．（5分）直线y＝x+3与抛物线x2＝4y所围成的封闭图形的面积等于．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝3，则直线l被圆C所截得弦的长度为．13．（5分）若正数x，y满足x+2y＝4xy，则x+的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣ax＝0恰有1个实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝4tan（x+）cos2（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，）上的单调性．16．（13分）为丰富学生的课外生活，学校组织学生代表参加电视台的公益助演活动，初中部推选了6名代表，其中男生代表2名，高中部推选了4名代表，其中男生代表2名，现从这10名学生中随机选出2名男生和1名女生为压轴节目助演．（Ⅰ）设事件A为“在选出的3名代表中，2名男生都来自初中部”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名代表中高中部男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝ae x﹣x2﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（3）证明：当x＞1时，e x lnx＞x．2017年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{x∈N|x≤4}，A＝{0，1，3}，B＝{1，3，4}，则∁U（A ∩B）＝（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{0，2，4}【解答】解：全集U＝{x∈N|x≤4}＝{0，1，2，3，4}，∵A＝{0，1，3}，B＝{1，3，4}，∴A∩B＝{1，3}，∴∁U（A∩B）＝{0，2，4}，故选：D．2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．﹣2B．4C．7D．8【解答】解：画出变量x，y满足约束条件的平面区域，如图示：，由，解得A（4，﹣1），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x，结合图象直线过A（4，﹣1）时，z最大，z的最大值是7．故选：C．3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出k的值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：由框图知：n＝3，k＝0第一次循环n＝3不是偶数，n＝10，k＝1；第二次循环n是偶数，n＝5，k＝2；第三次循环n不是偶数，n＝16，k＝3；第四次循环n是偶数，n＝8，k＝4．满足条件n＝8，跳出循环体，输出k＝4．故选：B．4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得﹣1＜x＜3．由x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4．∴“|x﹣2|＜1”是“x2﹣2x﹣8＜0”的充分不必要条件．故选：B．5．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝（b+c）2﹣4，△ABC的面积为，则A等于（）A．30°B．60°C．150°D．120°【解答】解：∵a2＝（b+c）2﹣4＝b2+c2+2bc﹣4，∴cos A＝＝＝﹣1∵△ABC的面积为，∴bc sin A＝，∴bc＝，∴cos A＝﹣1＝sin A﹣1，∴sin A＝（cos A+1）∵cos2A+sin2A＝1，∴3（cos A+1）2+cos2A＝1，∴4cos2A+6cos A+2＝0（2cos A+1）（cos A+1）＝0，∵cos A+1≠0∴cos A＝﹣，∴A＝120°，故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝log a（4﹣ax）在[0，2]上是单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【解答】解：由题意可得，a＞0，且a≠1，故函数t＝4﹣ax在区间[0，2]上单调递减．再根据y＝log a（4﹣ax）在区间[0，2]上单调递减，可得a＞1，且4﹣a×2＞0，解得1＜a＜2，故选：C．7．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F 且斜率为﹣的直线与双曲线的渐近线交于点A，若△OAF的面积为4ab（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4【解答】解：过点F且斜率为﹣的直线方程为y＝﹣（x﹣c），与双曲线的渐近线y＝x，联立，得到A（，），∵△OAF的面积为4ab，∴＝4ab，∴c＝4a，∴双曲线的离心率为e＝＝4，故选：D．8．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5【解答】解：∵＝0，∴BA⊥BC，∵||＝1，∴M在以A为原点，1为半径的圆A上，∵＝2，∴N是MC的中点，以BC，BA为坐标轴建立坐标系，如图：则B（0，0），C（4，0），A（0，3），设M（cosθ，3+sinθ），则N（cosθ+2，sinθ+），∴||＝＝＝，∴||的最大值为＝3，最小值为＝2，∴||的最大值与最小值的和为5．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数＝i．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：i．10．（5分）某四棱锥和球的组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积是【解答】解：该组合体由上面为球，下面为正四棱锥组成，球的半径为1，正四棱锥的底面边长为2，高为2，则该组合体的体积是π•13+•22•2＝．故答案为：．11．（5分）直线y＝x+3与抛物线x2＝4y所围成的封闭图形的面积等于．【解答】解：由直线y＝x+3与抛物线x2＝4y，联立解得，x1＝﹣2，x2＝6．6（x+3﹣x2）dx故所求图形的面积为S＝∫﹣26＝，＝（+3x﹣）|﹣2故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝3，则直线l被圆C所截得弦的长度为2．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ＝3，化为直角坐标方程为x2+y2＝9，直线l的参数方程为（t为参数），化为标准形式，代入圆方程可得t′2﹣6t′+17＝0设方程的根为t′1，t′2，∴t′1+t′2＝6，t′1t′2＝17，∴曲线C被直线l截得的弦长为|t′1﹣t′2|＝＝2．故答案为：2．13．（5分）若正数x，y满足x+2y＝4xy，则x+的最小值为．【解答】解：根据题意，若x+2y＝4xy，则有+＝4，则x+＝×（x+）（+）＝（++）≥（+2）＝，当且仅当x＝y＝时等号成立；即x+的最小值为；故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣ax＝0恰有1个实数根，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞）．【解答】解：f（x）＝，作出y＝f（x）的函数图象如图所示：设直线y＝ax与y＝﹣lnx相切，切点为（x0，y0），则，解得x0＝e，y0＝﹣1，a＝﹣．∵f（x）﹣ax＝0只有一解，∴y＝f（x）与y＝ax的函数图象只有1个交点，∴a≥1或a＜﹣．故答案为：（﹣∞，﹣）∪[1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝4tan（x+）cos2（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，）上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝4tan（x+）cos2（x+）﹣1．∵正切函数的定义域满足，x+，可得：x≠，k∈Z∴函数f（x）的定义域为{x|x≠，k∈Z}，函数f（x）化简可得：f（x）＝＝2sin（2x+）﹣1∴f（x）的最小正周期T＝；（Ⅱ）∵f（x）＝2sin（2x+）﹣1，由2x+，k∈Z得：，∵x∈（0，）上时，令k＝0，可得f（x）在区间（0，]上是单调增区间．由2x+，k∈Z．得：，∵x∈（0，）上，令k＝0，可得f（x）在区间[，）上是单调减区间．∴f（x）在区间（0，）上时，（0，]是单调增区间，[，）上是单调减区间．16．（13分）为丰富学生的课外生活，学校组织学生代表参加电视台的公益助演活动，初中部推选了6名代表，其中男生代表2名，高中部推选了4名代表，其中男生代表2名，现从这10名学生中随机选出2名男生和1名女生为压轴节目助演．（Ⅰ）设事件A为“在选出的3名代表中，2名男生都来自初中部”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名代表中高中部男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“在选出的3名代表中，2名男生都来自初中部”，则P（A）＝＝，所以事件A发生的概率为；（Ⅱ）设X为选出的3名代表中高中部男生的人数，则X的可能取值为0，1，2；则P（X＝0）＝P（A）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝；∴随机变量X的分布列为数学期望为EX＝0×+1×+2×＝1．17．（13分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，∴平面ABD⊥平面BCD，∵∠CBD＝90°，∴BC⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴BC⊥平面ABD，AD⊂面ABD，∴BC⊥AD，由AB＝AD＝，BD＝2，得BD2＝AB2+AD2，∴AD⊥AB，∵AB∩BC＝B，∴AD⊥平面ABC．解：（Ⅱ）连结OE，分别以OE、OD、OA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），＝（2，﹣1，﹣1），＝（0，﹣1，﹣1），＝（1，0，﹣1），设＝（x，y，z）为平面ABE的一个法向量，则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），设AC与平面ABE所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴直线AC与平面ABE所成角的正弦值为．（Ⅲ）＝（2，﹣1，﹣1），＝（1，0，﹣1），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，则＝（1，1，1），平面ABE的法向量＝（1，﹣1，1），设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝．∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）由S n＝，得当n＝1时，，得a1＝1；当n≥2时，，化简得：﹣2）（a n+a n﹣1）＝0，得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2）．（a n﹣a n﹣1∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）∵b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，∴T2n＝b1+b2+b3+b4+…+b2n＝（﹣1﹣12）+（3+32）+（﹣5﹣52）+（7+72）+…+[（4n﹣1）+（4n﹣1）2]＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）]+（﹣12+32）+（﹣52+72）+…+[﹣（4n﹣3）2+（4n﹣1）2]＝2n+8[1+3+5+…+（2n﹣1）]＝2n+8•＝8n2+2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：e＝＝，则a＝2c，由上顶点与右焦点的距离为2，则a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．，整理得：（3+4k2）x2+16kx+4＝0，由x1+x2＝﹣，x1x2＝，由△＝256k2﹣4×4（3+4k2）＞0，解得：k＜﹣，k＞，∵|DA|＝|DB|，则（+）•＝0，解得：t＝﹣，t∈[﹣，﹣]，则﹣≤﹣≤﹣，整理得：，由k＜﹣，k＞，则＜k≤，∴实数k的取值范围（，]．20．（14分）已知函数f（x）＝ae x﹣x2﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（3）证明：当x＞1时，e x lnx＞x．【解答】解：（1）f（x）＝ae x﹣x2﹣x的导数f′（x）＝ae x﹣x﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为ae﹣2，由切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，可得（ae﹣2）•（﹣）＝﹣1，解得a＝1，即f（x）＝e x﹣x2﹣x的导数f′（x）＝e x﹣x﹣1，令g（x）＝e x﹣x﹣1，g′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）≥g（0）＝0，即有f′（x）≥0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；（2）解法一、由f′（x）＝ae x﹣x﹣1，函数f（x）有两个极值点，即为h（x）＝ae x﹣x﹣1有两个零点，h′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）不可能有两个零点；当a＞0时，令h′（x）＝0，可得x＝﹣lna，当x＞﹣lna时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＜﹣lna时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得x＝﹣lna处h（x）有极小值也为最小值，若函数h（x）有两个零点，则h（﹣lna）＜0，即lna＜0，即有0＜a＜1；解法二、由f′（x）＝ae x﹣x﹣1，函数f（x）有两个极值点，即为f′（x）＝ae x﹣x﹣1＝0有两个不等的实根，即有a＝有两个不等实根．令h（x）＝，h′（x）＝，当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x＜0时，h′（x）＞0，h（x）递增．h（x）在x＝0处取得最大值1，当x＞0时，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，当x≤0时，h（0）＝1，h（﹣2）＝﹣e2＜0，结合h（x）在（﹣∞，0）递增，可得h（x）在（﹣∞，0）只有一个零点；故0＜a＜1．（3）证明：由（1）可得x＞1时，e x＞x+1＞0，lnx＞0，即有e x lnx＞（x+1）lnx，设φ（x）＝（x+1）lnx﹣x+，φ′（x）＝lnx+﹣1﹣＝lnx+（1﹣）＞0（x＞1），所以φ（x）在（1，+∞）递增，即有φ（x）＞φ（1）＝0，即（x+1）lnx＞x﹣，故当x＞1时，e x lnx＞x．。

绝密★启用前天津市宁河区芦台一中2020届高三年级下学期第二次高考模拟考试数学试题(解析版)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，有一个是正确的）1.已知集合2{|20}A x x x =--<，{|1}B x x =>，则A B =（ ）A. (1-，1)B. (1，2)C. (1-，)+∞D. (1，)+∞【答案】C【解析】【分析】先解得不等式220x x --<,即12x -<<,再根据并集的定义求解即可【详解】由题,220x x --<,则12x -<<,所以{}|12A x x =-<<,则{}|1A B x x ⋃=>-,故选：C【点睛】本题考查集合间的并集运算,考查解一元二次不等式2.设x ∈R ,则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x ＜3,由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2,即“|x﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件,故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )A. 45B. 50C. 55D.【答案】B【解析】 根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据,在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为0.005,0.01,每组数据的组距为20, 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.又因为低于60分的人数是15人,所以该班的学生人数是15÷0.3=50.本题选择B 选项.4.已知函数()ln x f x e =,则函数()1y f x =+的大致图象为。