2013届高考数学第一轮课时复习题3

第六章 第三节 基本不等式一、选择题1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为 ( )A ．2 2B ．4C ．12D ．6解析：由a ⊥b 得a ·b ＝0，即(x －1,2)·(4，y )＝0. ∴2x ＋y ＝2.则9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ·3y ＝232x ＋y ＝29＝6. 当且仅当32x ＝3y 即x ＝12，y ＝1时取得等号．答案：D2．(2011·重庆高考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是 ( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：依题意得1a ＋4b ＝121a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4a b a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.答案：C3．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是 ( ) A ．(－∞，－1] B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：y ＝log 2x ＋log x (2x )＝1＋(log 2x ＋log x 2)． 如果x >1，则log 2x ＋log x 2≥2， 如果0<x <1，则log 2x ＋log x 2≤－2， ∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：D4．(2012·温州模拟)已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xzy 2的 ( )A ．最小值为8B ．最大值为8C ．最小值为18D ．最大值为18解析：xz y 2＝xz x ＋2z 2＝xz x 2＋4xz ＋4z 2＝1x z ＋4z x＋4≤18. 当且仅当x z ＝4zx，x ＝2z 时取等号． 答案：D5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2解析：∵x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y)＝4＋4y x ＋xy ≥4＋24yx·x y＝8，当且仅当4y x＝xy，即4y 2＝x 2， x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.答案：D6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于 ( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－a ＋b 2ab，而a ＋b 2ab＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b 2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.答案：C 二、填空题7．(2011·湖南高考)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x2＋4y 2)·的最小值为________．解析：(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，则|xy |＝22时等号成立． 答案：98．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数ƒ(x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是____．解析：由题意知：P 、Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则m＞0，n ＞0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4(m 2＋4m 2)≥16(当且仅当m 2＝4m2，即m ＝2时，取等号)，故线段PQ 长的最小值是4. 答案：49．(2012·徐州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)， 则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________． 解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0， 因此有4ac －14a ＝0，从而c ＝14a>0， ∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝(2a ＋8a )＋(14a2＋4a 2)≥2×4＋2＝10， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，，即a ＝12时取等号．故所求的最小值为10.答案：10 三、解答题10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值． 解：(1)∵x >0，y >0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy 即xy ≥8xy ，∴xy ≥8， 即xy ≥64. 当且仅当2x ＝8y即x ＝16，y ＝4时，“＝”成立． ∴xy 的最小值为64.(2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， ∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8x＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )·(2y ＋8x )＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋22xy·8yx＝18当且仅当2x y ＝8yx，即x ＝2y ＝12时“＝”成立．∴x ＋y 的最小值为18.11．已知a ，b >0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b证明：∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·b a 2＝21ab >0，a ＋b ≥2ab >0，∴(a b2＋b a2)(a ＋b )≥21ab·2ab ＝4.∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a b 2＝b a2a ＝b，取等号．即a ＝b 时，不等式等号成立．12．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数． (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时， 企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 解：(1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－2t ＋1＋3. 当销售x (万件)时，年销售收入为 150%[32(3－2t ＋1)＋3]＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1＝50－(t ＋12＋32t ＋1)≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大。

山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且2α∈[0,2π），则tan α等于（ ） A ．－ 3 B ． 3 C ．－33 D ．33【答案】B 2． 已知tan()34πα-=， 则1sin cos αα=（ ）A ．52B ．75C ．52-D ．75-【答案】C 3．若1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．78-B ．14-C ．14D ．78【答案】A4．将函数cos()3y x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴是 ( ） A ．9x π=B ． 8x π=C ．x π=D ． 2x π=【答案】D5．函数)4(sin )4(cos 22ππ+-+=x x y 是（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】A6．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x ，y)．若初始位置为P 0(23，21)，当秒针从P 0 (注此时t =0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为（ ） A ．)630sin(ππ+=t yB ．)660sin(ππ--=t y C ．)630sin(ππ+-=t yD ．)330sin(--=t y【答案】C7．已知函数()y Asinx B =ω+ϕ+的一部分如下图所示。

如果A ＞0，0,2πωϕ><，则（ ）A ．A=4B ．B=4C ．1ω=D ．6πϕ= 【答案】D8． 若将函数2sin()y x ϕ=+的图像上每个点的横坐标缩短为原来的13倍（纵坐标不变）， 再向右平移4π个单位后得到的图像关于点(,0)3π对称，则ϕ的最小值是（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π【答案】A 9．函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A ．2,2πB ．1,2πC ．，1D ．，2【答案】C 10．已知31)tan(,41tan =-=βαα，则=βtan （ ） A ．117 B ．711- C ．131-D ．131【答案】C11．已知ABC ∆的三个内角满足：B C A cos sin sin ⋅= ，则ABC ∆的形状为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】B 12．已知tan()34πα-=， 则1sin cos αα= ( ）A ．52B ．75C ．52-D ．75-【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12； (2)图象上所有点的纵坐标不变， 横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移3π个单位； (4)图象向左平移3π个单位；(5)图象向右平移23π个单位；(6)图象向左平移23π个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sinx 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋ 3π)的图象，那么这两种变换正确的标号是______(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．【答案】(4)(2)或(2)(6) 14．已知21cos sin =-αα，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为 .【答案】214-15．如果21)4tan(,43)tan(=-=+παβα，那么)4tan(πβ+= . 【答案】11216．若ABC ∆的面积为3，O 60,2==C BC ，则边长AB 的长度等于 . 【答案】2三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= (1）求cos B 的值； (2）若2=⋅BC BA ，且22=b，求c a 和的值.【答案】（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B(II ）由2cos ,2==⋅B a 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以.6==c a18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin sin sin ()A C p B p R +=∈且214ac b =. (1)当5,14p b ==时，求,a c 的值；(2）若角B 为锐角，求p 的取值范围；【答案】由题设并利用正弦定理，得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (Ⅱ）解：由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-2()22cos a c ac ac B =+--2222cos ,22p b b b B =--即231cos ,22p B =+因为0cos 1B <<，得23(,2)2p ∈，由题设知0p >p <<19．已知函数f(x)=cos(-x 2)+cos(4k 1x22+π-)，k ∈Z ，x ∈R ． (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在［0,π)上的减区间； (3)若f(α)=5,α∈(0, 2π)，求tan(2α+ 4π)的值．【答案】(1)f(x)=cos(-x 2)+cos(4k 1x22+π-) =cos x 2+cos(2k π+ x 22π-)=sin x 2+cos x 2=x 2+4π),所以，f(x)的最小正周期T=2412π=π．(2)由2π+2k π≤x 32k 242π+≤π+π,k ∈Z得54k x 4k ,k Z 22π+π≤≤π+π∈． 令k=0，得5x 22π≤≤π；令k=-1，得73x .22π-≤≤-π 又x ∈［0,π)，∴f(x)在［0,π)上的减区间是［2π,π)． (3)由f(α)=5，得sin cos 225αα+=，∴1+sin α85=，∴sin α=35，又α∈(0, )2π， ∴cos α45==，∴232sin 32tan 244tan tan29cos 41tan 7116⨯ααα==∴α===α-α-，， ∴241tan2tan3174tan(2).244171tan2tan 147π+α+πα+===-π-α-20．已知向量()().cos 2,1,sin ,cos22x n x x m ==(I ）若n m ⊥且0＜x ＜π，试求x 的值； (II ）设(),n m x f ⋅=试求()x f 的对称轴方程和对称中心.【答案】（I ）∵.n m ⊥∴x x x n m cos sin 2cos 22+=⋅,0142sin 212sin 2cos =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x 即2242sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+πx ∵,0π＜x＜∴,49,442⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππx ∴，x 474542πππ或=+∴.432ππ或=x (II ）().142sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f令.,82,242Z k k x Z k k x ∈+=∈+=+πππππ可得 ∴对称轴方程为.,82Z k k x ∈+=ππ 令Z k k x ∈=+,42ππ可得,,82Z k k x ∈-=ππ ∴对称中心为.,1,82Z k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-ππ21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=． (1）求ABC ∆的面积；(2） 若6b c +=，求a 的值．【答案】（1）因为cos25A =，所以53cos =A ， 又π<<A 0,所以54sin =A ． 由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =所以5=bc故2sin 21==∆A bc S ABC ． (2）由5bc =，且6b c +=，解得⎩⎨⎧==,1,5c b 或⎩⎨⎧==.5,1c b 由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=， 故52=a22．如图，某园林绿化单位准备在一直角ABC 内的空地上植造一块“绿地△ABD ”，规划在△ABD 的内接正方形BEFG 内种花，其余地方种草，若AB=a ，θ=∠DAB ，种草的面积为1S ，种花的面积为2S ，比值12S S 称为“规划和谐度”。

又∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假， ∴p 真 q 假或 p 假 q 真． [8 分]
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①当 p 真，q
1 1 c|c> 且c≠1＝c| <c<1. 假时，{c|0<c<1}∩ 2 2
[10 分] ②当 p 假，q
1 c|0<c≤ ＝∅. 真时，{c|c>1}∩ 2 1 c| <c<1. 的取值范围是 2
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含有逻辑联结词命题的真假 判断
例 1 已知命题 p1：函数 y＝2x－2－x 在 R 上为增函数， p2：函数 y＝2x＋2－x 在 R 上为减函数， 则在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈 p1)∨p2 和 q4： p1∧(綈 p2)中，真命题是________．
先判断 p1 和 p2 的真假，然后对用逻辑联结词构成的复合 命题进行真假判断．
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失误与防范
1．p∨q 为真命题，只需 p、q 有一个为真即可，p∧q 为 真命题，必须 p、q 同时为真． 2．p 或 q 的否定为：非 p 且非 q；p 且 q 的否定为：非 p 或非 q. 3．全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是 全称命题． 4．简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较 多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题， 要注意其 他知识的提取与应用， 一般先化简转化命题， 再处理 关系．
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规范解答 ∵函数 y＝cx 在 R 上单调递减，∴0<c<1.[2 分]
即 p：0<c<1，∵c>0 且 c≠1，∴綈 p：c>1. 又∵f(x)＝x －2cx＋1
2
[4 分]

答案 B
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解析
若在平面 α 内存在与直线 l 平行的直线，因 l
⊄α，故 l∥α，这与题意矛盾，故选 B.
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4．(2010· 江西)
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如上图，M 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 DD1 的 中点，给出下列四个命题： ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB， 1C1 都相交； B ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB， 1C1 都垂直； B ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB， 1C1 都相交； B ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB， 1C1 都平行． B
四川文)如下图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝ 1 1 ∠FAB＝90° ，BC 綊 AD，BE 綊 FA，G、H 分别为 FA、 2 2 FD 的中点．
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(2)C、D、F、E 四点共面．理由如下： 1 由 BE 綊 AF，G 是 FA 的中点知，BE 綊 GF，所以 2
EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH，故 EC、FH 共面， 又点 D 在直线 FH 上，所以 C、D、F、E 四点共面．
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