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自动控制原理实验教程第2章

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《自动控制原理》第2章 线性系统的传递函数

《自动控制原理》第2章 线性系统的传递函数

+
anc(t)
=
b0
dm dtm
r(t)
+
b1
d m−1 d t m −1
r(t)
++
bm−1
d dt
r(t)
+
bmr(t)
(m n)
设r(t), c(t)及各阶导数在t=0时的值均为零(零初始条件)， 则对方程两端求拉氏变换，可得系统的传递函数
Ch2 控制系统的数学模型
◼ 传递函数的一般形式：
Ch2 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
本章内容
❖ 引言 ❖ 物理系统的微分方程 ❖ 拉氏变换与拉氏反变换 ❖ 线性系统的传递函数 ❖ 方框图及其等效变换 ❖ 信号流图与Mason公式*
Ch2 控制系统的数学模型
2.3 线性系统的传递函数
一. 传递函数的定义
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
(2)
I 2 (s)
=
Ux
(s) −Uo(s) R2
(3)
U o (s)
=
I 2 (s) sC2
(4)
Ch2 控制系统的数学模型
I (s) = Ui (s) −U x (s) (1) R1
Ui _
I
1/R1
Ux
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
Uo (s)
Ui (s) （b）
I(s) Uo (s)
Ch2 控制系统的数学模型
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
－ Uo (s) （d）

自动控制原理第2章

自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：

自动控制原理实验教程

自动控制原理实验教程

Ui(S )
TS
(3) 阶跃响应： Uo(t) = K + 1 t
T
(t ≥ 0)
(4) 模拟电路图：如图 1.1-6 所示。
其中 K = R1 / R0 ； T = R0C
4
自动控制原理
第 1 章 线性系统的时域分析
比例积分环节
R1
C
Ui
R0
_
10K
信号输入端
反相器
10K _
R0 = R1 = 200K; C = 1uF 或 2uF
Ui(S)
1
Uo(S)
TS
(2) 传递函数： Uo(S) = 1
Ui(S) TS
(3) 阶跃响应： Uo(t) = 1 t (t ≥ 0)
T
(4) 模拟电路图：如图 1.1-4 所示。
图 1.1-3
其中 T = R0C
Ui
R0
信号输入端
积分环节 C
_
反相器
10K
10K
_
Uo
输出测量端
R0 = 200K; C = 1uF 或 2uF
图 1.1-4 3
自动控制原理
(5) 理想与实际阶跃响应曲线对照： ① 取 R0 = 200K；C = 1uF。
理想阶跃响应曲线
Uo 无穷
Uo(t)
1 Ui(t)
0 0.2s
t
② 取 R0 = 200K；C = 2uF。
第 1 章 线性系统的时域分析
实测阶跃响应曲线
Uo
10V
Uo(t)
1 Ui(t)
(5) 理想与实际阶跃响应曲线对照： ① 取 R0 = R1 = 200K；C = 1uF。
图 1.1-6

《自动控制原理》课件第二章

《自动控制原理》课件第二章

Cen idRd
Ld
d id dt
ud
(2-4)
当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动
微分方程式为
M GD2 d n 375 d t
(2-5)
式中，M为电动机的转矩(N·m)； GD2为电动机的飞轮矩
(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电
流成正比，即电动机转矩为
M=Cmid
称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变
量f(t)、y(t)为对应的相似量。
2.1.2 线性定常微分方程求解及系统运动的模态 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条
件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变 化的特性。
若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为 y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)
x0
( x x0 )2
当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有
y
y0
f (x)
f (x0)
d f (x) dx
x0
(x x0)
令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性
化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作
点A附近的线性化方程为y=Kx。
图2-4 小偏差线性化示意图
对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样 可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y
f (x1 ，x2 )
f

自控原理cp2第二章

自控原理cp2第二章

23
叠加原理
叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或 叫齐次性）。
例： 设线性微分方程式为
d 2c(t) dc(t) c(t) r(t) dt dt
若 r(t) r1(t) 时，方程有解 c1(t)，而 r(t) r2(t)时，
方程有解 c2(t) ，分别代入上式且将两式相加，则显 然有，当 r(t) r1(t) ＋r2 (t) 时，必存在解 为 c(t) c1(t) c2(t) ，即为可叠加性。
ur
8
• 例3. 设有一弹簧•质 量• 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将
产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
基本步骤： 分析各元件工作原理,明确输入、输 出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
4
列写微分方程的一般方法
• 例1. 列写如图所示RC网络的微分方程。 R
i
ur
C
uc
5
解：由基尔霍夫定律得:
ur

Ri
1 C
idt
uc

1 C
idt
i＝C duC dt
1 C2s
(1 R1C1s)(1 R2C2 s)
Ur (s)
1 R1 C1s
R1C1C2 s 2
R1

1 C1s
(c)
R2

1 Cs
Uc
(s)


R2

自控控制原理第2章课件

自控控制原理第2章课件
第一节 列写系统微分方程
人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律 用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间 关系的数学表达式或图形称为系统的数学模型。
建立数学模型有两种方法：机理分析法和实验辨识法。机 理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循 的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数 据通过整理编写出来。
Ld Rd
Tm
GD2 375
Rd cmce
则得
TmTd
d 2n dt 2
Tm
dn dt
n
ud ce
6
列写系统微分方程
以上两例中的物理部件（环节）不尽相同，但它们的数学 模型却是相同的。我们把具有相同数学模型的不同物理系统称 之为相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相 似量。
对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出 的数学模型却是不同的。利用相似系统的概念，我们可以用一 个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系 统的理论出现了仿真研究法。
C
R
uo
C
11
列写系统微分方程
方法一：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo dt
uo
uo1
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo1 dt
uo1
ui
代入上式中得：
(RC)2
d 2uo dt 2
2RC
duo dt
uo
ui
但实际上第一个网络和第二个网络之间存在负载效应（耦合），因此 它们不能划分为独立的两个环节。
di ed id Rd Ld dt ud ed cen
根据电动机力矩平衡原理列微分方程

自动控制原理第2章课后习题及解答


uc
= R1RL2C ur
2-3 证明图 2-34 (a) 所示的力学系统和图 2-34 (b) 所示的电路系统是相似系统（即 有相同形式的数学模型）。
图 2-34 系统原理图
解
(a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-3(a)所示。对A点有
k2 (x − y) + f 2 (x − y) = f1 ( y − y1 )
9
- 17 -
(3)
X (s) =
1
s(s + 2)3 (s + 3)
(4) X (s) =
s +1
s(s 2 + 2s + 2)
解
(1) x(t) = et−1
(2)
原式
=
2 3
⋅
s
2
3 + 32
x(t) = 2 sin 3t 3
(3)
原式 ＝ −1 + 1 − 3 + 1 + 1 2(s + 2)3 4(s + 2)2 8(s + 2) 24s 3(s + 3)
+
1 C2R2
uc
=
du
2 r
dt 2
+
2 CR
dur dt
+
1 C2R2
ur
(c) 由图解 2-2（c）可写出
Ur (= s) R1 [I1(s) + I2 (s)] + (Ls + R2 )I2 (s) (6)
1 Cs
I1
(s)
=
(Ls
+
R2
)I2
(s)
(7)

自动控制原理第2章


拉普拉斯变换
因果
t f1 (t) f (t)e

s jw
象函数
( jw )t w F1 ( ) f (t )e dt
0
正LT
F(s) f (t)e dt
st
0

原函数 逆LT
1 jw st f (t ) F ( s )e ds w 2j j
d 2 y (t ) F (t ) mg Fk (t ) Ff (t ) m dt 2 由虎克定律：
Fk (t ) k[ y(t ) y0 ]
其中ky0 mg
摩擦力和速度成正比：
非重根系数的计算
cr +1 ,...,cn按式2-12或2-13计算获得；
重根系数的计算 cr ,cr -1 ,...,c1按下式计算：
cr lim( s - s1 ) r F ( s) d cr -1 lim [( s - s1 ) r F ( s )] s s1 ds ... cr - j ... 1 d (r-1) r c1 = [( s s ) 1 F ( s )] lim j (r -1)! s s1 ds1 1 d (j) lim j [( s - s1 ) r F ( s )] j! s s1 ds1
无量纲化
可用数学模型
标准化
标准数学模型
数学模型的分类
按输入输出的表达形式

微分方程（时间域）


传递函数（复数域）
动态结构图（各元件传函的连接关系） 响应曲线（step、pulse） 频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）
状态变量形式
• 静态数学模型 • 动态数学模型

自动控制原理第2章

传递函数是在拉氏变换基础上的复域中的数学模型。
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）

s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2

自动控制原理第2章


第三节 传递函数
4．微分环节
理想微分环节数学模型： C(s) dr(t) G(s) = R(s) = Ts c (t) = T dt T — 微分时间常数
R(S) C(S) Ts
微分环节方框图
单位阶跃响应函数： c(t) =Tδ(t)
第三节 传递函数
单位阶跃响应曲线
r(t) c(t)
c(t)
0
r(t)
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型
第一节 控制系统的微分方程 第二节 数学模型的线性化 第三节 传递函数 第四节 动态结构图
第五节 反馈控制系统的传递函数
第二章 自动控制系统的数学模型
第一节 控制系统的微分方程
一、建立微分方程的一般步骤
二、常见环节和系统的微分 方程的建立
三、 线性微分方程式的求解
1
r(t) t
c(t)
0
由于微分环节的输出量反映输入量的变化，而不反 映输入本身的大小，有些场合不能单独使用，故常用 比例微分环节。 C(s) 其传递函数： = K (Ts + 1) G(s) =
R(s)
比例微分环节的单位阶跃响应：
c(t) r(t)
c(t) = KTδ(t) +K = K [Tδ(t) + 1]
c(t) = e –t sin t= 0 r(t) =δ(t), c(0) = c'(0)
第一节 控制系统的微分方程
输出响应曲线
r(t) c(t)
0
r(t)
c(t)
t
第二章 自动控制系统的数学模型
第二节 数学模型的线性化(自学)
绝大多数物理系统在参数某些范围 内呈现出线性特性。当参数范围不加限 制时，所有的物理系统都是非线性的。 对每个系统都应研究其线性特性和相 应的线性工作范围。
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2020/2/18
自动控制原理实验教程
【范例2-8】已知系统，。求负反馈闭环传递函数。
G(s)

2s2 5s 1 s2 2s 3
H (s) 5(s 2) s 10
【自我实践2-6】已知系统，求它的单位负反馈闭环传递函 数。
G(s) 2s 1 s2 2s 3
2020/2/18
2020/2/18
自动控制原理实验教程
【范例2-3】已知系统传递函数
G(s)
10 s 5
(s 0.5)(s 2)(s 3)
【自我实践2-2】建立控制系统的零极点模型：
G(s) 8(s 1 j)(s 1 j) s 2 (s 5)(s 6)(s 2 1)
2020/2/18
自动控制原理实验教程
2. 实验原理 动态特性可采用阶跃响应或脉冲响应测量法，即给被测对 象施加阶跃输入信号或脉冲输入信号，利用示波器或记录 仪测量被测对象的输出响应，如图所示。
阶跃信号 或
脉冲信号
被测对象
uc
超低频示波器 或
数字示波器
ur
2020/2/18
自动控制原理实验教程
G(s) b0sm b1sm1 ... bm num(s) , a0sn a1s n1 ... an den(s)
nm
在MATLAB中用分子、分母多项式系数按s的降幂次序构 成两个向量： num = [ b0 , b1 ,…, bm ] ，den = [ a0 , a1 ,…, an]。
第2章 控制系统的数学模型
实验一 基于MATLAB/Simulink建立控制系统数学模型
1. 实验目的
（1）熟悉MATLAB实验环境，掌握MATLAB命令窗口的基本操作。 （2）掌握MATLAB建立控制系统数学模型的命令及模型相互转换的 方法。 （3）掌握使用MATLAB命令化简模型基本连接的方法。 （4）学会使用Simulink模型结构图化简复杂控制系统模型的方法。
自动控制原理实验教程
（4）用系统Simulink模型结构图化简控制系统模型 【范例2-9】已知系统结构图，求系统闭环传递函数 。
1
5
1
1
s+1
s+2
R(s)
C(s)
G1
G2
2020/2/18
自动控制原理实验教程
3. 实验能力要求
（1）熟练使用各种函数命令建立控制系统数学模型。 （2）完成实验的范例题和自我实践，并记录结果。
2020/2/18
自动控制原理实验教程
用函数tf ( ) 来建立控制系统的传递函数模型， 用函数printsys ( ) 来输出控制系统的函数， 其命令调用格式为：
sys = tf ( num , den ) 和printsys ( num , den )
Tips：对于已知的多项式模型传递函数，其分子、分母多 项式系数两个向量可分别用sys.num{1}与sys.den{1}命令 求出。
2020/2/18
自动控制原理实验教程
实验二 典型环节模拟电路及其数学模型
1. 实验目的 （1）掌握典型环节模拟电路的构成，学会运用模拟电子 组件构造控制系统。 （2）观察和分析各典型环节的单位阶跃响应曲线，掌握 它们各自的特性。 （3）掌握各典型环节的特征参数的测量方法，并根据阶 跃响应曲线建立传递函数。
若G（s）为闭环前向通道的传递函数sys1，H （s）为反馈函数的传递函数sys2，
则feedback（）函数调用格式为：
sys = feedback（sys1, sys2, sign）
其中sign是反馈极性，sign缺省时，默认为 负反馈，sign＝-1；正反馈时，sign＝1， 单位反馈时，sys2＝1，且不能省略。
G(s)

s2 5s 6 s3 2s2 s
【自我实践2-4】建立控制系统的多项式模 型。
G(s) 8(s 1)(s 2) s(s 5)(s 6)(s 3)
2020/2/18
自动控制原理实验教程
（3）控制系统反馈连接之后的等效传递函数
两个环节反馈连接后，其等效传递函数可用 feedback ( ) 函数求得。
5 1)(s2
4s

4)
2020/2/18
自动控制原理实验教程
2）零极点增益模型
零极点模型是是分别对原传递函数的分子、分母进行因式 分解，以获得系统的零点和极点的表示形式。
G(s) K (s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
式中，K为系统增益，z1，z2，…，zm为系统零点，p1， p2，…，pn为系统极点。 在MATLAB中，用向量z，p，k构成矢量组 [ z, p, k ] 表示 系统。即 z = [ z1, z2 ,…,zm ] ，p = [ p1, p2,…, pn ] ，k = [ k ] 用函数命令zpk ( ) 来建立系统的零极点增益模型，其函数 调用格式为： sys = zpk ( z, p, k )
2020/2/18
自动控制原理实验教程
2. 实验内容
（1）控制系统模型的建立 控制系统常用的数学模型有四种：传递函数模型（tf对 象）、零极点增益模型（zpk对象）、结构框图模型和状 态空间模型（ss对象）。经典控制理论中数学模型一般 使用前三种模型，状态空间模型属于现代控制理论范畴。
1）传递函数模型（也称为多项式模型） 连续系统的传递函数模型为：
【范例2-1】已知系统传递函数
G(s)

s3

s 3 2s2 2s
1
2020/2/18
自动控制原理实验教程
【范例2-2】已知系统传递函数
G(s)

5(s 2)2 (s1)
【自我实践2-1】建立控制系统的传递函数模型：
G(s)

s(s
（2）控制系统模型间的相互转换 [num , den] = zp2tf ( z, p, k ) 零极点模型转换为多项式模型 [z , p , k] = tf2zp ( num, den ) 多项式模型转化为零极点模型
2020/2/18
自动控制原理实验教程
【范例2-6】已知系统传递函数 ，求其等效
的零极点模型。