T场论与张量运算简介

张量的知识点总结一、张量的定义张量最早由数学家黎曼引入，描述了一种可以沿任意方向变化的数学对象。

在现代数学和物理学中，张量通常被定义为一种可以描述不同维度物理量间关系的数学对象。

张量是一个多维数组，它包括0维标量、1维向量、2维矩阵等，可以描述不同级别的物理量。

二、张量的特点1. 多维性：张量可以描述多维物理量之间的关系，可以用来描述空间中的各种物理量。

2. 方向性：张量可以沿任意方向变化，可以用来描述各种不同方向的物理量。

3. 连续性：张量可以描述连续的物理量，如电磁场、应力场等连续性的物理量。

三、张量的运算1. 张量的加法和减法张量的加法和减法与普通向量和矩阵非常类似，只不过在多维情况下需要注意张量的维度和方向。

2. 张量的乘法张量的乘法包括外积和内积两种，外积用于描述不同张量的叉乘关系，内积用于描述相同张量的点乘关系。

3. 张量的导数和积分张量的导数和积分是描述张量微分和积分的运算，包括对张量的微分和积分操作。

四、张量的应用1. 物理学中的应用张量在物理学中有着广泛的应用，可以描述各种力学量、电磁场、应力场等物理量之间的关系，同时也可以描述空间对称性和不变性等物理性质。

2. 工程学中的应用在工程学中，张量广泛应用于材料力学、流体力学、弹性力学等领域，能够描述各种物理场和物理量之间的相互作用和变化。

3. 计算机科学中的应用张量在深度学习和神经网络领域有着广泛应用，能够描述各种数据结构和数据间的关系，同时也可以描述各种算法和计算模型之间的联系。

五、结语张量作为一种描述多维物理量之间关系的数学对象，在物理学、工程学和计算机科学领域有着非常重要的应用。

对张量的深入理解和运用，对于理解和描述空间中的各种物理量和数据结构是至关重要的。

希望通过本文的总结，能够帮助读者更好地理解张量的概念和运用，为相关领域的学习和研究提供一定的帮助。

§4 张量算法一、 张量概念[张量的一般定义] 若一个量有n N 个分量，而每个分量在n 维空间R n 中的坐标变换()n i i x x x x ''⋅⋅⋅=,,1 (i = 1 , ·, n )之下，按下面的规律变化：lm mm l l j l mj j i i i i i i j j j j j i i T x x x x x x x x T⋅⋅⋅⋅⋅⋅'''⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂⋅⋅⋅∂∂='111111 1 1 式中l mj j i i T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11是x i的函数，11l mj j i i T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是x i '的函数，则量lmj j ii T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11(共有n N个分量)称为l 阶逆变(或抗变)m 阶协变的N (=l ＋m )阶混合张量(或称为(l ＋m )型混合张量).张量概念是矢量和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵(方阵)是二阶张量，而三阶张量(例如T jk i)好比“立体矩阵”(图8.18右).更高阶的张量不能用图形表达.下面列出n =2时的张量示意图：[张量举例]1可乘张量 设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a , b 是已知的，则由等式i k i k k i ik k i ik k i ik b a T b a T b a T b a T ====⋅,.,,确定的都是二阶张量，称为可乘张量.2克罗内克尔符号克罗内克尔符号δj i 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是因为从ij ji i i xx x x δ=∂∂∂∂'' 可得i j j j i i j i i i i j xx x x x x x x δδ''''''∂∂∂∂=∂∂∂∂= [二阶对称张量与反对称张量] 若张量满足等式k i i k ki ik ki ik T T T T T T ===,,则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式T T T T T T ik ki ik ki k i i k =-=-=-,,则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量. 张量的逆变(协变)指标的对称性质在坐标变换下是不变的.在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价.二、 张量代数[指标的置换] 指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过指标置换，可由张量T ki 得到新的张量T ik ，它的矩阵是张量T ki 的矩阵的转置矩阵. [加(减)法] 同类型的若干个张量的对应分量相加(或相减)就得到一个新的同类型张量的分量，这种运算称为张量的加法(或减法).任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如()()ki ik ki ik ik T T T T T -++=2121[张量的乘法] 把两个张量的分量按各种可能情形相乘起来，就会得到一个新张量的分量.这个张量的逆变与协变的阶数分别等于原来两个张量的逆变与协变的阶数之和.这种运算称为张量的乘法.例如khl mk l hm s s tt r r p p s s r r t t p p T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11111111这是一个l ＋k 阶逆变m ＋h 阶协变的混合张量，它的阶数为l ＋m ＋k ＋h . 注意，张量乘法的次序是不可交换的.[张量的缩并] 对一个给定的混合张量，把它的一个逆变指标与一个协变指标相等的相加起来，得出阶数较低(逆变和协变各低一阶)的张量，这种运算称为张量的缩并.例如lml mss s q q s s s q q T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=212122是一个l －1阶逆变m －1阶协变的混合张量.[指标的升降] 在应用中经常用二阶逆变张量()()a a ij ij det ≠0的相乘与缩并来“升高”张量的协变指标，用二阶协变张量()()a a ij ij det ≠0相乘与缩并来“降低”张量的逆变指标.这种运算称为指标的升降.例如T ijk 就可由a ij和a ij 升降：ijkkp jm il lmp ijk jm il k lm ijk il jk l lmp ijk kp jm il lm j ijk km il lm k ijk jm il lij ijk kl l ik ijk jl ljk ijk il T a a a T T a a T T a T T T a a a T T a a T T a a T T a T T a T T a =========,,,,,,[张量的商律] 设T j j i i ml11⋅⋅⋅⋅⋅⋅和Tj j i i ml 11''''⋅⋅⋅⋅⋅⋅各为一组x i 和x i '的函数，如果对任意逆变矢量λi 与λ'i 及任一指标j k ，j k '使jk i i j j j l m k T λ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11与''⋅⋅⋅''⋅⋅⋅'⋅⋅⋅'kl m k j i i j j j T λ11 成为张量，则T j j i i m l11⋅⋅⋅⋅⋅⋅必为张量.这种判别张量的法则称为张量的商律.例如 T k l m ij 与T k l m i j '''''各为x i ，x i '的函数，而且m mk k j j i i lij klm l j i m l k x x x x x x x x T T ''''''''''∂∂∂∂∂∂∂∂=λλ则m mk k j j i i l l l ij klm l j i m l k xx x x x x x x x x T T ''''''''''''∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=λλ即0'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-''''''''''l m m l l k k j j i i ij klm j i m l k x x x x x x x x x x T T λ 对所有的λ'l 都成立，所以上式括号中的表达式等于零，因此T klm ij是张量.以任意协变矢量代替逆变矢量可得相仿的结果. [张量密度] 按下面规律变化的量⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'''⋅⋅⋅'⋅⋅⋅'⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂=l k wa a k kl l l k T xx x x x x T 称为张量密度，式中w 为一常数，称为张量密度的权.张量就是权为零的张量密度.根据张量的阶数，还可以定义标量密度和矢量密度.两个指标的数目相同，且权相同的张量密度之和是一个同类型的张量密度.两个张量相乘时，权相加.三、 张量分析上述张量都假定它的分量是空间R n 中点M (x i)的函数：()T T xj j i i j j i i im l m l 1111⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 当点M (x i )在空间R n中某一区域D 中变动时，则称T j j i i m l11⋅⋅⋅⋅⋅⋅是区域D 中的一个张量场.上面所建立的张量代数的各种运算，都可以应用到张量场上来.对于张量场还有一个不变的运算——绝对微分(也称为协变微分)，这就是张量分析要讨论的内容.一个标量场的普通导数是一个协变矢量场(梯度场)的分量.但是，一般说来，一个张量场的普通导数并不构成新的张量场.[仿射联络空间] 若对空间R n中的每一坐标系(x i)，在一已知点M 给定了一组(n 3个)数k ij Γ，并在坐标变换()x x x i i i ''=下，它们按下列规律变化k ijkk j j i i kk j i k k j i x x x x x x x x x x x Γ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=Γ'''''''''2 (1) 则称在点M 给定了一个联络对象(或联络系数)，其中偏导数是在点M 取值的. 假定在空间R n中给定了联络对象场()()n k ij k ij x x M ,,1⋅⋅⋅=ΓΓ而且这些函数是连续可微的，则称R n为仿射联络空间，记作L n.一般说来，k ji k ij ΓΓ≠[挠率张量] (1)式中k ij Γ的变换规律包括两项：第一项不依赖于旧坐标系中的k ij Γ；第二项依赖于k ij Γ，并和张量的变换规律的形式完全相同.由于第一项对两个下标''i j ,是对称的，它一般不等于零，所以k ij Γ不是一个张量.但是k ji k ij k ij T ΓΓ-=构成一个张量，称为仿射联络空间L n的挠率张量.如果挠率张量k ij Γ等于零，即k ji k ij ΓΓ=则称所给定的空间是无挠率的仿射联络空间，记作L n 0.[矢量的绝对微分与平行移动] 若在空间L n中给定一个逆变矢量{}a i ，则在坐标变换下有iMi i i a x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=''(2) 这构成矢量{}a i 在点M 的变换规律.如果从点M ( x i )移到点N (x i ＋d x i)，则有()i i jM ji i M i i i i a a x x x x x x a a d d d 2+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+''''式中d a i表示矢量{}a i 从M 移到N 时的改变量的分量.在上式中只取一次项就得到ji Mji i iM i i i x a x x x a x x a d d d 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='''(3) 若变换的二阶偏导数在M 不等于零，则一个矢量的改变量决不是一个矢量的分量. 如果R n 为仿射联络空间，可由(1)，(2)，(3)式得到()kj i jk i Mi i k j i k j i x a a x x x a ad d d d ΓΓ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+'''''''这表明k j ijk i i x a a Da d d Γ+=是一个逆变无穷小矢量.称Da i为矢量{}a i 在点M 处关于分量为d x i的位移MN 的绝对微分.如果联络对象()0=MijkΓ，则绝对微分与普通微分一致.若矢量{}Da i 等于零，即k j ijk i i x a a Da d d Γ+==0就称矢量{}a i 关于联络i jk Γ从点M 平行地移动到点N .当()0=MijkΓ，分量a i 保持不变(d a i= 0)时，矢量从点M 平行移动到点N ，就相当于欧氏空间中的平行移动. 如果给定一条曲线Cx i = x i( t )和一个逆变矢量{}a i ，沿这条曲线C 可以作伴随于{}a i 的矢量tx a t a t Da kj i jk i i d d d d d Γ+= 称它为沿曲线C 的导矢量.如果{}a i 的导矢量为零，即0d d d d =+tx a t a kj i jk i Γ (4) 则矢量a i自身沿曲线C 平行地移动，(4)式与坐标系的选择无关，就是说，矢量沿曲线的平行移动在坐标变换下是不变的.同样地可以考虑协变矢量{}a i 的绝对微分与平行移动.称k i ijk j j x a a Da d d Γ-=为协变矢量{}a i 关于位移d x i的绝对微分.平行移动的条件为0d d =-k i i jk j x a a Γ或沿曲线C 平行移动的条件为0d d d d =-tx a t a kiijk j Γ [协变导数] 从逆变矢量与协变矢量的绝对微分的定义公式可以得到量j i jk k i a xa Γ+∂∂和i ijk kja x a Γ-∂∂它们是关于指标k 协变的二阶张量，分别称为矢量{}a i 和{}a j 的协变导数，分别记作a i k ;和a j k ;或∇k i a 和∇k j a .[张量的绝对微分与平行移动及其协变微分法]由乘积的微分公式和张量的定义可以推出张量的平行移动规律. 例如，三阶张量的平行移动规律为()s rik l rs l ir r ks l rk r is l ik x T T T T d d ΓΓΓ-+=四阶张量的平行移动规律为()s lrij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is lk ij x T T T T T d d ΓΓΓΓ--+=可以看出,张量平行移动规律中所包含的项数与张量的阶数是相同的, 对于张量的逆变指标, 类似于逆变矢量平行移动的规律; 对于张量的协变指标, 类似于协变矢量平行移动的规律.记()s lr ij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is lk ij lk ij x T T T T T DT d d ΓΓΓΓ--+-=则称DT ij lk 为张量T ij lk 的绝对微分. [张量的协变导数及其运算法则]lr ij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is slkijlk ij s lk s ij T T T T x T T T ΓΓΓΓ++--∂∂=∇≡;称为张量T ij lk 的协变导数，它是一个五阶张量的分量.在普通导数中，对于已微分的张量的每个指标再加上一项就可以构成任意张量的协变导数，对于逆变指标，这项的形式是⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ri rs s i T T Γ;对于协变指标是⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r ks s k T T Γ;协变导数的运算法则如下：1若干个同样结构的张量之和的协变导数等于各个张量的协变导数之和，即()∇+=∇+∇⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅s j j i i j j i i s j j i i s j j i i T U T U m l m l m l m l111111112满足积的微分法则，即()()()()∇=∇+∇+∇s s s s ABC A BC A B C AB C[自平行曲线] 在仿射联络空间中，如果切于曲线上一点M 0的每个矢量{}a i0沿这曲线平行移动时是切于这曲线的，则称这曲线为自平行曲线.设曲线的方程为x i=x i(t ), 它的切矢量为tx i d d ，它沿曲线平行移动的条件为0d d d d d d 22=+t x t x tx kj i jk i Γ 这就是联络ijk Γ的自平行曲线的微分方程.设()ikj i jk i jk S ΓΓ+=21 上面的微分方程可写成t x t x S tx kj i jk i d d d d d d 22-= 系数S jk i 显然关于j 和k 是对称的，并构成一个仿射联络.称S jk i 构成伴随于ijk Γ的对称仿射联络，如果i jk Γ关于j , k 也是对称的，则S jk i 与ijk Γ一致.。

张量概念•标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方向的物理量。

如物体的质量、密度、体积及动能、应变能等。

•张量：向量的推广。

在一个坐标系下，它是由若干个数(称为分量)来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。

一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的动量等都需用张量来表示。

张量的阶•一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空间中某点的几何位置和位移。

•二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合，如空间中某点的应力、应变等•n阶张量：由3n个分量组成的集合张量的阶◆现令n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。

当n =0时，零阶张量，M = 1，标量；当n =1时，一阶张量，M = 3，矢量；、、、当取n 时，n 阶张量，M = 3n 。

张量的表示(下标记法)•点的坐标：(x,y,z) →x i (i=1,2,3)•应力张量：•n阶张量可以表示为：n阶张量的下标有n个。

()3,2,1;3,2,1333231232221131211==→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡j i ij σσσσσσσσσσ()3,2,1;3,2,1;3,2,1a 21i 21===n i i i i i nEinstein求和约定•求和约定：在用下标记号法表示张量的某一项时，如有两个下标相同，则表示对此下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求和标号（哑标），不重复出现的下标称为自由标号,可取从1至3的任意值∑=++==31332211i i ii i b a b a b a b a b a ∑=++==31332211j i i i j ij j ij b a b a b a b a b a ()23322112312)(σσσσσ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=i ii ii ∑∑===3131i j ijij ij ij εσεσ131312121111εσεσεσ++=232322222121εσεσεσ+++333332323131εσεσεσ+++2332222113122a a a a a j ii ii ++==∑=★关于求和标号，即哑标有：◆求和标号可任意变换字母表示。