二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数一般式、顶点式、交点式这节课我们学什么1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象；了解特殊与一般相互联系和转化的思想；3. 根据交点求解解析式．知识点梳理1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可；3、一般式2y ax bx c =++的性质对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？将一般式配方成顶点式：2y ax bx c =++=2()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a+++- =222424b b ac a x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；典型例题分析1、 二次函数一般式；例1、抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是直线 ．【答案：1x =】例2、抛物线2243y x x =-+的顶点坐标是 ．【答案：(1,1)】例3、二次函数223y x x =--，当0y <时，自变量x 的取值范围是 ． 【答案：根据一般式，画出图像，求出与x 轴的两个交点，位于x 轴下方的部分就是0y <；∴13x -<<】例4、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则a 、b 、c 的正负性分别是 ．【答案：0a <；0b <；0c >】例5、如果)21y A ，（-，)12y B ，（-为二次函数241y x x =-+的图像上的两点，试判断1y 与2y 的大小为 ．【答案：21y y <】例6、若二次函数()32122--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值为 ． 【答案：3】例7、二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么2,4,2,abc b ac a b a b c -+++值为正数的有 个．【答案：2】例8、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(2,0)-、1(,0)x 且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b c -+>；③0a b c ++<；④0a b <<．其中正确结论的是 ．【答案：①正确，将2x =-即可；②正确，将1x =-代入得：0a b c -+>； ③错误，将1x =代入得：0a b c ++>；④正确，将2x =-代入得：420a b c -+=，将1x =代入得：0a b c ++>，所以(42)()0a b c a b c -+-++<，整理得：330a b -<】例9、已知二次函数2231y x x =++的顶点是A ，与x 轴的两个交点为B 、C （B 点在C 点的左侧）与y 轴的交点为D ，求四边形ABCD 的面积．【答案：31(,)48A --；(1,0)B -；1(,0)2C -；(0,1)D ；面积为932】2、 二次函数顶点式；例10、把二次函数221x y =的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得图像的解析式为： ． 【答案：21(1)32y x =++或21722y x x =++】例11、如果抛物线23y x mx m =-++的顶点在x 轴上，那么m = ． 【答案：6m =或2m =-】例12、抛物线21y ax =-上有一点(2,2)P ，平移该抛物线，使其顶点落在点(1,1)A (1,1)A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．【答案：(3,4)Q ，原函数顶点坐标是(0,1)-】例13、将函数2287y x x =-+-写成()2y a x m k =++的形式为_______________． 【答案：22(2)1y x =--+】例14、已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？【答案：（1）3m =-或2m =；（2）2m =，(0,0)；当0x =时，y 有最小值为0，当0x >，y 随x 的增大而增大（3）3m =-，(0,0)；当0x =时，y 有最大值为0，当0x >，y 随x 的增大而减小】例15、（1）若抛物线m mx x y 22++=的顶点在y 轴右侧，求m 的取值范围； （2）已知抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在x 轴上，求k 的值； （3）若抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在y 轴，求k 的值．【答案：（1）0m <；（2）3k =或5k =-；（3）1k =-】3、 二次函数交点式；例16、抛物线c bx x y ++=2经过点(0,3)-和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 【答案：223y x x =--】例17、二次函数的图像经过点(1,0)-，(3,0)，且最大值是3，求二次函数的解析式．【答案：2339424y x x =-++】例18、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的两交点的横坐标分别是1-和3，与y 轴交点的纵坐标是32-；（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．【答案：（1）21322y x x =--；（2）开口向上；对称轴：直线1x =；顶点坐标(1,2)】课后练习练1． 抛物线265y x x -=+的顶点坐标为 ．【答案：(3,4)-】练2． 已知一元二次方程230x bx -=+的一根为3-，在二次函数23y x bx +=-的图象上有三点14(,)5y -、25(,)4y -、31(,)6y -，1y 、2y 、3y 的大小关系是 ． 【答案：123y y y <<】练3． 已知函数21()32y k x x +=+－的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ． 【答案：4k ≤】练4． 若二次函数232y x x c =-+图象的顶点在x 轴上，则c = ． 【答案：916c =】练5． 抛物线2y ax bx c =++在点(3,1)处达到最高点，抛物线与y 轴交点的纵坐标为8-，则它的解析式为 ．【答案：268y x x =-+-】练6． 已知抛物线2y ax bx c =++经过(1,2)、(3,0)两点，它在x 轴上截得线段的长为6．求此抛物线的函数解析式．【答案：21327828y x x =-+或21944y x =-+】练7． 已知抛物线22y x mx =-+-与直线2y x b =-+相交于M N 、两点，点M 、点N 的横坐标分别是7和－2．求：（1）M N 、两点的坐标；（2）直线和抛物线的解析式；（3）若坐标原点是O ，求MON ∆的面积．【答案：（1）(7,30)M -，(2,12)N --；（2）232y x x =-+-；216y x =--；（3）72MON S ∆=】练8． 抛物线2y ax bx c =++过点()0,1-与点()3,2，顶点在直线33y x =-上，0a <，求此二次函数的解析式．【答案：142-+-=x x y 】练9． 已知二次函数图象与x 轴交于(2,0)A -，(3,0)B 两点，且函数有最大值是2． （1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P ，求ABP ∆的面积．【答案：（1）25482582582++-=x x y ；（2）5ABP S ∆=】练10． 已知抛物线22y x mx m =-+-． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为.B 若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．【答案：（1）240b ac ∆=->；（2）2m =；（3）(1)0，或(0,1)】课后小测验1. 将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向右平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 ．【答案：2123y x =-；21(3)23y x =--；(0,2)-；(3,2)-】2. 抛物线1662--=x x y 的顶点坐标为_________．【答案：(3,25)-】3. 二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于________． 【答案：－6，6】4. 已知抛物线的顶点坐标为(1,1)，且抛物线过原点，则抛物线的关系式是 ．【答案：22y x x =-+】5. 抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，ABC ∆的面积为1，则b 的值为______．【答案：3-】本章小结精品文档考试教学资料施工组织设计方案。
