一元一次方程的应用(航行问题)

一元一次方程应用题归类聚集〔含答案〕一、一般行程问题〔相遇与追击问题〕1.行程问题中的三个根本量及其关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间2.行程问题根本类型〔1〕相遇问题：快行距＋慢行距＝原距〔2〕追及问题：快行距－慢行距＝原距二、环行跑道与时钟问题：三、行船与飞机飞行问题：航行问题：顺水〔风〕速度＝静水〔风〕速度＋水流〔风〕速度逆水〔风〕速度＝静水〔风〕速度－水流〔风〕速度水流速度=〔顺水速度-逆水速度〕÷2四、工程问题1．工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．一元一次方程应用题型1.两车站相距275km，慢车以50km/一小时的速度从甲站开往乙站，1h时后，快车以每小时75km的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时后与快车相遇？设慢车开出a小时后与快车相遇50a+75〔a-1〕=27550a+75a-75=275125a=350a=2.8小时2.一辆汽车以每小时40km的速度由甲地开往乙地，车行3h后，因遇雨，平均速度被迫每小时减少10km，结果到乙地比预计的时间晚了45min，求甲乙两地间隔。

设原定时间为a小时45分钟=3/4小时根据题意40a=40×3+〔40-10〕×〔a-3+3/4〕40a=120+30a-67.510a=52.5a=5.25=5又1/4小时=21/4小时所以甲乙间隔40×21/4=210千米3、某车间的钳工班，分两队参见植树劳动，甲队人数是乙队人数的 2倍，从甲队调16人到乙队，那么甲队剩下的人数比乙队的人数的一半少3人，求甲乙两队原来的人数？解：设乙队原来有a人，甲队有2a人那么根据题意2a-16=1/2×〔a+16〕-34a-32=a+16-63a=42a=14那么乙队原来有14人，甲队原来有14×2=28人如今乙队有14+16=30人，甲队有28-16=12人4、某商店3月份的利润为10万元,5月份的利润为13.2万元,5月份月增长率比4月份增加了10个百分点.求3月份的月增长率。

《一元一次方程：行程问题》解答题【基本知识】路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．行程问题：解行程问题的关键是抓住时间关系或路程关系，借助草图分析来解决问题．路程=速度×时间相遇路程=速度和×相遇时间追及路程=速度差×追及时间航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2一、【求距离】1、七年级列队以每小时6千米的速度去甲地，小刚从队尾以每小时10千米的速度赶到队伍的排头后，又以同样的速度返回排尾，一共用了7.5分钟，求队伍的长。

【解】设队伍长度x 千米 ，等量：时间81164=+x x 52=∴x 答：略 2、队伍以每小时4千米的速度去甲地，小刚从队尾以每小时12千米的速度赶到队伍的排头后，又以同样的速度返回排尾，一共用了4.5分钟，求队伍的长。

【解】605.4168=+x x x = 0.4千米 3、队伍以每小时6千米的速度去甲地，小刚从队尾以每小时12千米的速度赶到队伍的排头后，又以同样的速度返回排尾，一共用了5分钟，求队伍的长。

【解】605186=+x x x = 0.375千米 4、一队学生从学校出发去部队军训，以每小时5千米的速度行进4.5千米时，一名通讯员以每小时14千米的速度从学校出发追赶队伍，他在离部队6千米处追上了队伍，设学校到部队的距离是x 千米，求x . 【解】565.4146--=-x x ∴ 13=x 5、已知某铁路桥长500m ，现在一列火车匀速通过该桥，火车从开始上桥到过完桥共用了30s ，整列火车完全在桥上的时间为20s ，则火车的长度为多少m ？【解】设火车的长度为x m ，根据火车的速度不变可得方程：2050030500x x -=+ 2（500+x ）=3（500﹣x ） x =100． 答：火车的长度为100m ．6、王先生计划骑车以每小时10千米的速度由A 地到B 地，这样便可在规定时间到达B 地，但他因事将原计划的出发时间推迟了10分钟，便只好以每小时12千米的速度前进，结果比规定时间早5分钟到达B 地，求A 、B 两地间的路程．【解】设由A 、B 两地的路程是 x 千米，则60560101210++=x x 解得：x=15，答：A 、B 两地间的路程是15千米 7、李明和王华步行同时从A 、B 两地出发，相向而行，在离A 地52米处相遇，到达对方出发点后，两人立即以原来的速度原路返回，又在离A 地44米处相遇，求A 、B 两地距离多少米？解：（行程问题，全是路程比与比例）设AB 相距x 千米李明 王华 路程和52 x －52 x2x -44 3x31344252==-∴x x x 8、某周末小明从家里到西湾公园去游玩，已知他骑自行车去西湾公园，骑自行车匀速的速度为每小时8千米，回家时选择乘坐公交车，公交车匀速行驶的速度为每小时40千米，结果骑自行车比公交车多用1.6小时，问他家到西湾公园相距多少千米？【解答】设小明家到西湾公园距离x 千米， 根据题意得：6.1408=-x x 解得：x =16． 答：小明家到西湾公园距离16千米．9、小张和父亲预定搭乘家门口的公交汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。

行程问题【基本关系式】（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）基本类型①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。

常见的还有：相背而行；环形跑道问题。

【经典例题】例1．甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？例2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。

A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。

【专项训练】一、行程（相遇）问题A．基础训练1.小李和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60米，小刚每分走90米，几分钟后两人相遇？2.小明和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，5分钟后两人相遇，小刚每分走80米，小明每分走多少米？3.王强和赵文从相距2280米的两地出发相向而行，王强每分行60米，赵文每分行80米，王强出发3分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？4.两辆车从相距360千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇？5.两村相距35千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行了多长时间？6.甲乙二人从相距45千米的两地同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后二人相遇，求两人的速度。

08列一元一次方程解应用题(航行问题)1.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了3小时。

已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。

解析：设船在静水中的速度为v，甲、乙两地的距离为d。

则有：d = (v+3)×2.（顺流行驶的距离）d = (v-3)×3.（逆流行驶的距离）解得：v=15（千米/小时），船在静水中的平均速度为15千米/小时。

2.在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h。

求1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；2）两机场之间的航程是多少？解析：设飞机在无风状态下的速度为v，机场间的距离为d。

则有：d = 2.8(v+24)。

（顺风行驶的距离）d = 3(v-24)。

（逆风行驶的距离）解得：v=360（千米/小时），d=1008（千米）。

1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速为（1008/5.8）= 174.48（千米/小时）。

2）两机场之间的航程是1008千米。

3.某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/小时，船在静水中的速度为8km/小时。

已知甲、丙两地间的距离为2km，求甲、乙两地间的距离是多少千米？（注甲、乙、丙三地在同一条直线上）解析：设甲、乙两地间的距离为x，乙、丙两地间的距离为y。

则有：x/y = 3/2.（由题可知逆流行驶的时间是顺流行驶的1.5倍）x+y = 2.（甲、丙两地间的距离为2km）解得：x=1.2（千米），甲、乙两地间的距离是 1.2千米。

4.某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返航到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/小时，水流速度为2.5千米/小时，若A与C的距离比A与B的距离少40千米，求A与B的距离。

解析：设A与B的距离为x，B与C的距离为y。

则有：x/y = 3/2.（由题可知逆流行驶的时间是顺流行驶的1.5倍）x-y = 40.（A与C的距离比A与B的距离少40千米）2(x+y) = 20(7.5+2.5)。

1 / 18一元一次方程应用题一、工程问题工作量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作量÷工作时间工作时间＝工作量÷工作效率 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝11. 一件工作，甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，两人合作几天完成？2. 一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独做，需6小时，乙单独做需要4小时，甲先做30分钟， 然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？3. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独打开乙管8小时 可注满水池，单独开放丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，打开丙管后几小时可注满水池？4. 一项工程甲单独做需要10天，乙单独做需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离 去，乙参与工作，问还需几天完成？5. 一项工程甲单独做需要12天，乙单独做需要18天，丙单独做需要36天，甲、乙先做9天，其中，乙因 事离去几天，剩下工作由乙丙完成，3天后完成，那么乙离开了几天？乙做了几天？6. 一件工程，甲单独做15天完成，乙单独做12天完成，先由甲、乙合做3天后，甲有其他任务，剩下工 程由乙单独完成，问：乙还需要几天才能完成全部工程？7. 刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成，现在甲先单独绣1天，接着乙又单 独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣，问再绣多少天可以完成这件作品？8. 某工程队承包了某段全长1 755 米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进， 已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45 米． (1)求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米；(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2 米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3 米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？2 / 189. 某中学开展假期社会实践活动，七年级1班与2班承担了某片果林的施肥任务，已知单独做，(1)班需 7.5小时完成，(2)班需6小时完成.(1)现在由 (1)班先做 2小时，再由两个班合作完成，前后共需多少小时？(2)如果需要在一个上午内(不超过4小时)完成施肥任务，你将如何安排这项活动？列出三种安排方案，10. 某管道由甲、乙两工程队单独施工分别需要30天、20天． (1)如果两队从管道两端同时相向施工，需要多少天完工？(2)又知甲队单独施工每天需付200 元的施工费，乙队单独施工每天需付280 元的施工费，那么是由甲队单独施工，还是由乙队单独施工，还是由两队同时施工？请你按照少花钱多办事的原则，设计一个方案，并说明理由.1. [分析] 甲独作10天完成，说明的他的工作效率是,101乙的工作效率是,81等量关系是：甲乙合作的效率×合作的时间=1 解：设合作X 天完成, 依题意得方程 9401)81101(==+x x 解得答：两人合作940天完成3 / 18二、比值问题：技巧在于根据比值来设未知数1、 如果两个课外兴趣小组共有人数54人，两个小数的人数之比是4:5；如果设人数少的一组有4x 人，那么人数多的一组有________人，可列方程为: 。

08列一元一次方程解应用题（航行问题）一．解答题（共10小题）1．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了3小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．2．在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（2）两机场之间的航程是多少？3．某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/小时，船在静水中的速度为8km/小时．已知甲、丙两地间的距离为2km，求甲、乙两地间的距离是多少千米？（注甲、乙、丙三地在同一条直线上）4．某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返航到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/小时，水流速度为2.5千米/小时，若A与C 的距离比A与B的距离少40千米，求A与B的距离．5．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A，B两地之间的C地，一共航行7h，已知此船在静水中的速度为8km/h，水流速度为2km/h．A，C两地之间的路程为10km，求A，B两地之间的路程．6．一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？7．一艘轮船在A，B两个码头之间航行，顺水航行需4h，逆水航行需5h，已知水流速度为2km/h，求轮船在静水中的航行速度．8．某轮船从A码头到B码头顺水航行3h，返航时用4.5h，已知轮船在静水中的速度为4km/h，求两个码头之间的距离．9．如图，已知箭头的方向是水流的方向，一艘游艇从江心岛的右侧A点逆流航行3小时到达B点后，又继续顺流航行2小时15分钟到达C点，总共行驶了198km，已知游艇的速度是38km/h．（1）求水流的速度；（2）由于AC段在建桥，游艇用同样的速度沿原路返回共需要多少时间？10．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为22千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米？08列一元一次方程解应用题（航行问题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了3小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．【分析】等量关系为：顺水时间×顺水速度=逆水的时间×逆水速度，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设船在静水中的平均速度是v千米/时．则：2（v+3）=3（v﹣3）解得：v=15．答：船在静水中的平均速度是15千米/时．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．2．在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（2）两机场之间的航程是多少？【分析】（1）设无风时飞机的航速是x千米/时，根据顺风速度×顺风时间=逆风速度×逆风时间，列出方程求出x的值即可．（2）由“航程=速度×时间”进行计算．【解答】解：（1）设无风时飞机的航速是x千米/时，依题意得：2.8×（x+24）=3×（x﹣24），解得：x=696．答：无风时飞机的航速是696千米/时．（2）由（1）知，无风时飞机的航速是696千米/时，则3×（696﹣24）=2016（千米）．答：两机场之间的航程是2016千米．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，用到的知识点是顺风速度=无风时的速度+风速，逆风速度=无风时的速度﹣风速，关键是根据顺风飞行的路程等于逆风飞行的路程列出方程．3．某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/小时，船在静水中的速度为8km/小时．已知甲、丙两地间的距离为2km，求甲、乙两地间的距离是多少千米？（注甲、乙、丙三地在同一条直线上）【分析】本题需分类讨论：（1）丙在甲地和乙地之间，（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，即可解题．【解答】解：（1）丙在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，则+=3，解得：x=12.5．（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，则+=3，解得：x=10．答：甲乙两地间的距离为12.5km或10km．【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，本题中分类讨论并分别列出方程求解是解题的关键．4．某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返航到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/小时，水流速度为2.5千米/小时，若A与C 的距离比A与B的距离少40千米，求A与B的距离．【分析】设A与B的距离为x千米，则A与C的距离为（x﹣40）千米，船顺水行驶的速度为10千米/小时，船逆水流行驶的速度为5千米/小时，然后分类讨论：当C在A与B之间时，顺水行驶x千米，逆水行驶40千米，根据速度公式利用时间列方程得到+；当C在点A的上游时，顺水行驶x千米，逆水行驶（2x+40）千米，根据速度公式利用时间列方程得到+=20，再分别解方程即可．【解答】解：设A与B的距离为x千米，则A与C的距离为（x﹣40）千米，当C在A与B之间时，+=20，解得x=120（千米）；当C在点A的上游时，+=20，解得x=56（千米）．答：A与B的距离为56千米或120千米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．5．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A，B两地之间的C地，一共航行7h，已知此船在静水中的速度为8km/h，水流速度为2km/h．A，C两地之间的路程为10km，求A，B两地之间的路程．【分析】设C、B两码头相距xkm，则A、B两码头之间的距离为（x+10）km，根据顺流航行的时间+逆流航行的时间=7h建立方程求出其解即可．【解答】解：设C、B两码头相距xkm，则A、B两码头之间的距离为（x+10）km，由题意，得+=7解得：x=22.5则A、B两码头间的距离为：22.5+10=32.5（km）答：A，B两地之间的路程是32.5km．【点评】本题考查了航行问题的数量关系的运用，顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度﹣水速，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．6．一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？【分析】设船在静水中的速度为x千米每小时，表示出顺水与逆水速度，根据两码头的距离相等列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设船在静水中的速度为x千米每小时，根据题意得：2（x+3）=3（x﹣3），去括号得：2x+6=3x﹣9，解得：x=15，2×（15+3）=36（千米）．答：两码头之间的距离为36千米．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．7．一艘轮船在A，B两个码头之间航行，顺水航行需4h，逆水航行需5h，已知水流速度为2km/h，求轮船在静水中的航行速度．【分析】设船在静水中的速度为x千米/时，则顺水速度为（x+2）千米/时，逆水速度为（x﹣2）千米/时，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论．【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/时，则顺水速度为（x+2）千米/时，逆水速度为（x﹣2）千米/时，由题意得4（x+2）=5（x﹣2），解得：x=18．答：该船在静水中的速度是18千米/时．【点评】本题是航行问题，主要考查了顺水速度，逆水速度与水速的关系及一元一次方程的解法的运用．解答时根据题意找到反映全题的等量关系是关键．8．某轮船从A码头到B码头顺水航行3h，返航时用4.5h，已知轮船在静水中的速度为4km/h，求两个码头之间的距离．【分析】设水速为xkm/h，由轮船顺流和逆流走过的路程相同列出一元一次方程，解出x的值，即可求出两个码头之间的距离．【解答】解：设水速为xkm/h，由题意得3（4+x）=4.5（4﹣x），解得x=0.8，3×（4+0.8）=3×4.8=14.4．答：两个码头之间的距离为14.4km．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键，此题难度不大．9．如图，已知箭头的方向是水流的方向，一艘游艇从江心岛的右侧A点逆流航行3小时到达B点后，又继续顺流航行2小时15分钟到达C点，总共行驶了198km，已知游艇的速度是38km/h．（1）求水流的速度；（2）由于AC段在建桥，游艇用同样的速度沿原路返回共需要多少时间？【分析】（1）设水流速度为x km/h，则游艇的顺流速度为（x+38）km/h，游艇的逆流航行速度为（38﹣x）km/h．根据“总共行驶了198km”列方程；（2）AB段的路程为3×36=108（km），BC段的路程为．则往返时间=两段时间之和．【解答】解：（1）设水流速度为x km/h，则游艇的顺流速度为（x+38）km/h，游艇的逆流航行速度为（38﹣x）km/h．据题意可得，．解得x=2．∴水流的速度为2km/h．（2）由（1）可知，顺流航行速度为40km/h，逆流航行的速度为36km/h．∴AB段的路程为3×36=108（km），BC段的路程为．故原路返回时间为：．答：游艇用同样的速度原路返回共需要5小时12分．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．10．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为22千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米？【分析】设A港和B港相距x千米，根据题意可得：顺流行驶比逆流行驶少用3小时，据此列方程求解．【解答】解：设A港和B港相距x千米，由题意得，+3=，解得x=360．答：A港和B港相距360千米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．。