清华大学数学(社科类)Lecture08微分中值定理

大学数学(1)清华大学数学科学系 Office: 理科楼A302 Tel: 62798531 张立平Email: lzhang@第四章 微分中值定理与导数应用§1.微分中值定理‹ 费马定理 ‹ 罗尔中值定理 ‹ 拉格朗日中值定理 ‹ 柯西中值定理LagrangeFermat费马‹费马定理山外青山楼外楼Def.设函数f ( x)在( x0 -δ ,x0 +δ )内有定义，若对∀x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ )有 f ( x) ≤ f ( x0 ) (或f ( x) ≥ f ( x0 )) 则称f ( x0 )为 f ( x)的极大值（或极小值）。

费马定理.设函数f ( x)定义在( x0 -δ ,x0 +δ )内且在x0点有导数， 若 f ( x )在x0取得极值，则f '( x0 ) = 0.f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) f '( x0 ) = lim− = lim+ x→x0 x→x0 x − x0 x − x0函数 f ( x ) 的导数为零的点称为 f ( x ) 的稳定点或驻点。

费马定理说明若 f '( x 0 )存在，则 f ( x ) 在 x 0 取得极值 的必要条件是 x 0 为 f ( x ) 的驻点。

问题: 驻点一定是极值点吗?y = x3驻点不一定是极值点！‹罗尔中值定理y = x2Thm.设函数 f ( x )在闭区间[ a , b ]上连续，在开区间( a , b )内可导， 且 f ( a ) = f (b )，则存在 ξ ∈ ( a , b )使得 f '(ξ ) = 0.【 例 】 设 函 数 f ( x ) = x 3 + 4 x 2 − 7 x − 10 ,则 它 在 [ − 1， 2]连 续 ， 在 (-1,2)可 导 ， 且 f ( − 1) = f (2). 由 罗 尔 定 理 ， f '( x ) 在 (-1,2)内 有 根 。

− 4 + 37 − 4 − 37 令 f '( x ) = 3 x + 8 x − 7 = 0 得 根 x1 = 和 x2 = . 3 3 x1 ∈ ( − 1, 2)且 f '( x1 ) = 0.2Thm.设函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内 可导，且f (a ) = f (b)，则存在ξ ∈ (a, b)使得f '(ξ ) = 0.Proof. f ( x )在闭区间[ a , b ]上连续，由最值定理 , f ( x )在 [ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m. 若 M = m , 则 f ( x )在[ a , b ]上是常数 , 故对任意的 ξ ∈ ( a , b ) 有 f '(ξ ) = 0.若 M ≠ m , 则 M 和 m必有一个不等于 f ( a ) = f (b ). 不妨设 M ≠ f ( a ), 则在 ( a , b )必有一点 ξ 使得 f (ξ ) = M . 由费马定理知, f '(ξ ) = 0.f (x) =| x |,x∈[−1,1]⎧ x, −1≤ x <1, f (x) = ⎨ ⎩−1, x =1.f (x) = x, x ∈[−1,1]注：罗尔中值定理中三个条件缺一不可! 只是充分条件, 不是必要条件.判定方程在某区间内有无实根：零点定理， 罗尔定理【例】证明方程5 x 4 − 4 x + 1 = 0在(0,1)内至少有一个实根.证： 设 f ( x ) = x 5 − 2 x 2 + x, 则 f '( x ) = 5 x 4 − 4 x + 1, 并且 f ( x )在[0,1]连续，在(0,1)可导,f (0) = f (1) = 0. 由罗尔定理，至少存在 ξ ∈ (0,1)是原方程的根.罗尔定理中去掉f (a) = f (b)的条件 会有什么结果呢？‹拉格朗日中值定理y = x3【 例 】 设 函 数 f ( x ) = x 3 在 [1,2]连 续 ， 在 (1,2)可 导 .7 f (2) − f (1) 存在ξ = ∈ (1,2)， 使 得 f '(ξ ) = . 3 2 −1Thm.设函数f ( x)在闭区间[ a, b]上连续，在开区间( a, b)内 f (b) − f (a ) . 可导，则存在ξ ∈ ( a, b)使得f '(ξ ) = b−a证：作辅助函数 f (b ) − f ( a ) ( x − a ). h( x) = f ( x) − b−a 则 h ( x ) 在 闭 区 间[ a , b ]上 连 续 ， 在 开 区 间 ( a , b )内 可 导 ， 且 h ( a ) = f ( a ), h ( b ) = f ( a ). 由 罗 尔 定 理 ， 存 在 ξ ∈ ( a , b ) 使 得 h '(ξ ) = 0. f (b ) − f ( a ) f (b ) − f ( a ) 易 知 h '(ξ ) = f '(ξ ) − ⇒ f '(ξ ) = . b−a b−a拉格朗日中值公式 ξ −a 令θ = , 则 0 < θ < 1, ξ = a + θ ( b − a ).b−a f ( b ) − f ( a ) = f '( a + θ ( b − a ))( b − a ) 函 数 的 增 量 Δ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) = f '( x + θ Δ x ) Δ xΔy的精确表达式 : 有限增量公式Δy = f '( x + θΔx)Δx (0 < θ < 1)推论1: 若在(a, b)内函数f ( x)的导数恒为零，则f ( x)在(a, b)内是常数.证：任取x1 , x2 ∈ ( a, b), 设x1 < x2 . 显然f ( x )在[ x1 , x2 ]连续, 在( x1 , x2 )内可导.故由Lagrange中值定理，存在ξ ∈ ( x1 , x2 ) 使得f ( x2 ) − f ( x1 ) = f '(ξ )( x2 − x1 ). 因f '(ξ ) = 0，故f ( x2 ) = f ( x1 ). 由x1 , x2的任意性知在( a, b)内f ( x ) = c (c常数).推论2：若在(a, b)内f '( x) − g '( x) = 0，则在(a, b)内f ( x) = g( x) + c (c常数).b−a b b−a 【例】证明不等式 < ln < (0 < a < b ). b a a 证 ： 考 虑 函 数 ln x在[ a , b ]连 续 , ( a , b )可 导. 故 由 Lagrangeln b − ln a 中 值 定 理 ， 存 在 ξ ∈ ( a , b )使 得 = ，从而有 b−a ξ b−a b b−a < ln < . b a a 1 【 例 】 证 明 恒 等 式 arcsin x + arccos x =π2 令 f ( x ) = arcsin x + arccos x ( − 1 ≤ x ≤ 1), 则 f '( x ) = 0(| x |< 1)( − 1 ≤ x ≤ 1).⇒ f ( x ) = c (| x |< 1).∵ f (0) = f ( ± 1) =π2, ∴ f ( x) =π2( − 1 ≤ x ≤ 1)f (1) = 0, 【例】已知函数 f ( x )在[0,1]上连续，在 (0,1)内可导， f (c ) . 求证： (a) 在 ( 0,1)内至少存在一点 c , 使得 f '( c ) = − c (b ) 在 (0,1)内至少存在一点 ξ , 使得 3 f (ξ ) + ξ f '(ξ ) = 0 . 令 g ( x ) = xf ( x ) , 则 g ( x ) 在 [0,1]上 连 续 ， 在 (0,1)内 可 导 ， 且 g (0) = 0, g (1) = f (1) = 0. 由 R o lle 中 值 定 理 ， 存 在 c ∈ (0,1) 使 得 g '( c ) = 0 . f (c ) 0 = g '( c ) = cf '( c ) + f ( c )(0 < c < 1) ⇒ f '( c ) = − . c f (1) = 1, 【例 * 】已知函数 f ( x )在[0,1]上连续，在 (0,1)内可导，f (0) = 0. 求证：在 (0,1)内至少存在一点 ξ , 使得 e ξ −1 [ f (ξ ) + f '(ξ )] = 1‹柯西中值定理Thm.设f ( x )和g ( x )在闭区间[ a, b]上连续，在开区间( a, b)内可导 f '(ξ ) f (b) − f ( a ) . 且g '( x ) ≠ 0,则存在ξ ∈ ( a, b)使得 = g '(ξ ) g (b) − g ( a )证 ： 因 在 ( a , b )内 g '( x ) ≠ 0,由 Lagrange中 值 定 理 g (b ) − g ( a ) = g '(η )(b − a ) ≠ 0 ( a < η < b ) f (b ) − f ( a ) 作 辅 助 函 数 h( x) = f ( x) − [ g ( x ) − g ( a )]. g (b ) − g ( a ) 则 h ( x ) 在 闭 区 间[ a , b ]上 连 续 ， 在 开 区 间 ( a , b )内 可 导 ， 且 h ( a ) = f ( a ), h (b ) = f ( a ). 由 罗 尔 定 理 ， 存 在 ξ ∈ ( a , b )使 得 h '(ξ ) = 0. f (b ) − f ( a ) f '(ξ ) f (b ) − f ( a ) 易 知 h '(ξ ) = f '(ξ ) − g '(ξ ) ⇒ = . g (b ) − g ( a ) g '(ξ ) g (b ) − g ( a )函数的整体性质微分中值定理 函数的局部性质§2. 洛必达(L’Hospital)法则约翰· 伯努利雅格布 · 伯努利0 ∞ 型未定式和 型未定式，不能直接用商的极限运算法则。