速的大小无关）
渡河位移：s L2 v s2t2
（2）渡河位移最短：
①当V c>V s时V s= V c cos θ渡河位移最短s min L ；渡河时间为t L
vsin 船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ=arccosV s/V c
②当V c>V s 时以V s的矢尖为圆心，以V c为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，的夹角为：θ =arccosV c/V s。
渡河的最小位移：s L V s L
cos V c V c =V s cos θ, 船头与河岸
曲线运动
一、曲线运动
（1）条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。
①匀变速曲线运动：若做曲线运动的物体受的是恒力，即加速度大小、方向都不变的曲线运动，如平
抛运动；
②变加速曲线运动：若做曲线运动的物体所受的是变力，加速度改变，如匀速圆周运动。
（2）特点：
①曲线运动的速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动。②曲线运动轨迹上某点的切线方向表示该点的速度方向。
③曲线运动的轨迹向合力所指一方弯曲，合力指向轨迹的凹侧。④当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为90 度时，物体做曲线运动速率将不变。
2.运动的合成与分解（指位移、速度、加速度三个物理量的合成和分解）
（1）合运动和分运动关系：等时性、等效性、独立性、矢量性、相关性①等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等。
②等效性：合运动的效果和各分运动的整体效果是相同的，合运动和分运动是等效替代关系，不能并存。③独立性：每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响
④矢量性：加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则⑤相关性：合运动的性质是由分运动性质决定的
（2）从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成；求已知运动的分运动，叫运动的分解。①物体的实际运动是合运动
②速度、时间、位移、加速度要一一对应③如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算。如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则3.小船渡河问题
一条宽度为L 的河流，水流速度为V s，船在静水中的速度为V c
（1）渡河时间最短：
设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=V c sin θ, 渡河所需时
间为：t
L
V c
sin
sin90=1 当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，t min
L
V
c
与水
2
4. 关联速度和绳（杆）端点速度分解 一根轻绳，沿绳的速度、位移、加速度的大小处
处相等。 绳（杆）端点速度分解为沿绳的速度和垂直绳的速度。 如图有 v A cos v B cos
二、平抛运动： ：将物体沿水平方向抛出，只在重力作用下的运动为平抛运动
1. 运动特点： （ 1）只受重力； （2）初速度与重力垂直。
2. 运动性质：平抛运动是初速度为零的匀变速曲线运动。
3. 处理方法：平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
4. 基本规律：
（ 1）水平方向：匀速直线运动 v x v 0 x=v o
t 12
（ 2）竖直方向：自由落体运动 v y gt y
gt 2
y
2
②竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立
5 类平抛：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动（处理方式和平抛运动处理方式一
样）
三、圆周运动
1. 描述述圆周运动物理量：
（1）线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值（描述质点沿切线方向运动的快 慢）
大小： v ＝ s
m/s
t
方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向
（2）角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值（描述 质点绕圆心转动的快慢）
大小：
矢量 单位： rad/s t （3）周期和转速
周期（ T ）：做圆周运动物体一周所用的时间（ s ）
转速（ n ）：做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数（ r/s r/min ） 4
4 V 、ω、 T 、n 的关系：
船漂的最短距离为： x min (V s V c cos )
L
V c sin
；渡河时间： t L v c
s
min
。
v sin
3)合速度： v v x 2 v y 2
tan
vy
gt
（θ为合速度与水平方向的夹
角）
4）合位移： s x 2 y 2
tan
y
x 2g v o t （α为合位移与水平方向的夹角）
5）特点
①运动时间由高度决定
n
， v ＝
2r
2 nr
与 v 0 无
2. 向心力
（ 1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小，向心力对做圆周运动的物体不 做
功。
（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化，即向心力是个变力．
说明 : 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合
2 3
力提供，要根据物体受力的实际情况判定。 3 向心加速度（描述线速度方向改变的快慢）
2
v 2）大小： F 向 m r m 2
r
m(2
T )2
r m(2 n)2 r mv
ma 向
1）大小： a 向
(2
T )2
r
2
(2 n) r v
（2）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化
4. 匀速圆周运动
（ 1）特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都 是恒定不变的。 .
（ 2）性质：匀速圆周运动是速度大小不变而速度方向时刻改变，加速度大小不变、方向时刻改变
的变加 速曲线运动。
（ 3）加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因 此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。
（ 4）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
5. 关联速度
①同轴转动的物体：各点角速度ω相等，而线速度 v ＝ω r 与半径 r 成正比
②链条传动、齿轮传动、皮带传动（不打滑） ：两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝ v/r 与半径 r 成反比。
6. 向心运动和离心运动 提供的向心力等于所需要的
向心力时物体做匀速圆周运动 提供的向心力大于所需要的向心力时物体做向心运动 提供的向心力小于所需要的向心力时物体做离心运动
7. 典型模型 （1）火车转弯：
如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供
mgtan
v grtan v 增加，外轨挤压，如果 v 减小，内轨挤压
（飞机转弯的向心力由升力和重力提供）
（ 2）竖直面内圆周运动（非匀速圆周运动） ①无支撑物情况：绳栓小球和小球在圆内轨运动（弹力只能指向圆心） 小球机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速 率最大。
最低点： mg F 弹
2 mv m
R 2
v m r
