第六讲---相似三角形的中位线及其应用培优辅导(三)

典中点图形的相似专训3 三角形中位线的应用◐名师点金◑三角形中位线定理有着广泛的应用,可以用来证明或求解许多问题,但我们往往不能直接利用这个定理,要仔细观察图形中与定理有关的基本图形,特别是涉及与中点有关的条件时,要通过巧妙添辅助线构造三角形中位线。

应用1：利用三角形中位线进行证明类型1：证相等关系1.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC=BD,E,F 分别为AB,CD 的中点,点O 为AC,BD 的交点,G,H 为EF 与BD,AC 的交点.求证:OG=OH 。

类型2：证倍分关系2.如图,在平行四边形ABCD 中,BD 为对角线,点E,F 分别是AB,BC 的中点,连结EF,交BD 于M 点。

求证:(1)BM=41BD;(2)ME=MF类型3：证不等关系3.如图,M,N 是四边形ABCD 的边BC,AD 的中点,且AB 与CD 不平行.求证:MN<21(AB+CD)。

类型4：证位置关系4.如图,自△ABC的顶点A向∠ABC和∠ACB的平分线作垂线,垂足分别为D,E,连结DE。

求证:DE∥BC。

应用2：利用三角形中位线探究多边形形状5.顺次连结对角线相等的四边形各边中点,所得四边形是( )A.矩形B.平行四边形C.菱形D.任意四边形6.顺次连结正方形各边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形7.D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连结OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连结点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,试判断四边形DGFE的形状,并说明理由。

应用3：利用三角形中位线求值8.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=8,且AD:BC=3:7,E,F分别是BD,AC的中点,求EF的长。

2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为 ： （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究 试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想 如图1，当60α︒=时，BDCP的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形： （2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ， 动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ； 第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==， 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC 于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD ＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似 【解析】 【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果． 【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】 【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得； （3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==， 故答案为：2； （2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ； （3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时， 可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==． 故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝， 综上所述，满足条件的BD 的长为355． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题． （2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒， 故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】 【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==， 故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化， 由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=， 在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==； （3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形． 【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒，//OM AB ∴， OB OD =， 5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形， 易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=， 当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-． 故答案为：5，1，41045-． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】 【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=， 而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ， 在△ E 和△CED 中， ，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ， 四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=， 解得：80t 41=， 综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】 【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC， 即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP， 即8=614x x-， 解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】 【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。

初三上数学培优专题讲义九AB 相似三角形提高训练一.相似三角形中的几个基本图形：两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：二、典例分析：考点（一）-------有关三角形的内接矩形或正方形的计算问题例题1、已知：如图，正方形DEFG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=12。

求正方形边长.变式：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，试比较图中正方形CDEF 和正方形PQRS 的面积的大小考点（二）------ 两个三角形相似的判定 例题2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由.(2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.变式：如图,⊿ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE。

(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗?说说你的理由。

(3)BD 2=AD·DF 吗?请说明理由。

考点（三）------相似三角形中的面积问题EF AFFC FD +例题3. 如图，在□ABCD 中，E 为CD 中点，AE 与BD 相交于点O ，S △DOE ＝12cm 2，求S △AOD 、 S △AOB ．变式：（2011•丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，求S △DPQ ：S △ABC ．考点（四）------作平行线构造相似三角形例题4.如图，E 是ABC ∆中线AD 上的一点，CE 交AB 于F ，已知AE ：ED=1：2，求AF ：BF 的值。

变式：如图，已知△ABC 中，AE:EB=1:4,BD:DC=2:1，AD 与CE 相交于F.求： 的值.考点（5）------利用相似三角形测高例5. 某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC=1米，CD=6米，求电视塔的高ED 。

三角形中位线培优复习课题三角形中位线培优F M E C B A P F E D C B A F N M E C B A例题2：BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M 。

求证：MN ∥BC练习：如图，在∆ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF=2ME 。

方法二、【取中点构造中位线】例题1：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，∠CBD=20°，∠BDA=110°，E 、F 、P 分别为AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.练习：如图，在∆ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，E ，F 分别为CA ，CB 上一点，CE=CF ，M ，N 分别为AF ，BE 的中点，求证：AE=2MNNM D C B A 例题2：如图，四边形ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，边BD ，若AB=10，CD=8，求MN 的取值范围。

练习：已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF ＝∠BGF ．方法三、【借助平行四边形的性质】例题：如图，（1）E 、F 为△ABC 的中点，G 、H 为AC 的两个三等分点，连接EG 、FH 并延长交于D ， 连接AD 、CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.练习：已知：如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G ．求证：GF ＝GC ．课后作业1.如图，在△ABC 中，AB=10，BC=7，BE 平分∠ABC ，AE ⊥BE ，点F 为AC 的中点，连接EF ，求EF 的长度.3.如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点。

2017-2018下学期八数专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈 第 1页（共 8页） 第 2页 （共 8页）2017—2018下学期八年级数学专题复习 二:三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用;下面我精选一部分“含"三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点:三角形的中位线平行于三角形第三边,并且等于第三边的一半.1。

三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的周长 ⊿ABC 的周长的关系？分析: 点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、,,,111EF BC DE AB DF AC 222=== ∴()12EF DE DF BC AC AB ++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半。

追踪练习：以上面的图为例，若⊿DEF 的周长为23cm ，则⊿ABC 的周长为 . ⑵。

面积关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的面积与⊿ABC 的面积关系？ 略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC是全等的，故它们的面积是相等的,则S ⊿ABC =4S ⊿DEF .所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14. 说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了。