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题目：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。
假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。
一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。
但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
1 建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。
主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度 2 模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高h 米，宽度w 米，厚度d 米。
淋雨总量用C 升来记。
2）降雨大小用降雨强度I 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。
在这里可视其为一常量。
3）风速保持不变。
4）你一定常的速度v 米/秒跑完全程D 米。
3 模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。
淋雨的面积 )( 222米wd dh wh S ++=雨中行走的时间 )(秒vD t = 降雨强度 )/()3600/01.0()/(01.0)/(s m I I I ==时米时厘米（升）米S I v D S I t C ⨯⨯=⨯⨯⨯=3600/)/(10)(01.0)3600/(3 模型中为变量。
为参数，而v S I D ,,结论，淋雨量与速度成反比。
这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。
米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000======S d w h I D 秒。
分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6=v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。
经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。
淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。
计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设四、（1）、将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；五、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S＝（㎡）V＝ (cm3)= (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：()v sin u +⋅θ则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v 1800v 875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ 由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。
淋雨数学建模摘要：本文通过对人在雨中直线行走时雨垂直降落、从前吹来、从后吹来这三种情况的分析讨论，得到了在不同情况下淋雨总量与人的行走速度的数学模型。
并发现，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角α满足tan caα<时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当αsin u v =时，淋雨量最小。
关键词：淋雨 直线行走一 问题重述人在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。
试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少，并用MATLAB 编程实现。
假设跑步距离d=100米，跑步最大速度为m v =5 m/s ，雨速u=4m/s ，降雨量为w=2cm/h 。
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为θ,问跑步速度v 为多大？淋雨量最少。
二 问题的分析人在雨中行走时可能出现以下三种情形：情形一：雨垂直下落，人以速度v 前行，此时降雨淋遍全身（如图1所示）图 1情形二：雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为θ，此时后背淋不到雨（如图2所示）图2情形三：雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人的背后夹角为α，此时正面淋不到雨（如图3所示）图 3我们知道当人在雨中前行的时候，人和雨相对地面都是运动的，故知人与雨是相对运动的。
为此我们选择人作为参考系，再考虑雨的相对速度及其与人体方向（即与人体夹角θ、α）对总淋雨量的影响。
三合理的假设3.1 将人体看成一个长方体；3.2 雨速为常数且方向不变；3.3 降雨量为一定值；3.4 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内；3.5 符号的假定:a: 身高（颈部以下） b: 身宽 c: 身厚v: 跑步最大速度d: 跑步距离 v: 跑步速度mw: 降雨量 u: 雨速 Q: 总淋雨量θ: 雨迎面吹来与人的夹角α: 雨背面吹来与人的夹角s：有效淋雨面积v：以人为参考系时的相对雨速四模型的建立我们先考虑如下情形，现有一块土地面积为s，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w ，则有时间t内该土地的淋雨量为Q stw=。
淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度vm及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论：[17]（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。
计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S＝2.2（㎡）V＝0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：()v sin u +⋅θ则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v1800v875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。
最小淋雨量问题一、模型准备人在雨中从一处跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
假设跑步距离d=100m,跑步最大速度为v=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2 cm/h，按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为 ，问速度m v为多大，总淋雨量最少。
人运动的速度决定了上表面暴露在雨中得时间，也就间接影响了人的总的淋雨量，而由于雨滴垂直下落，所以前表面淋雨量只与走过的路程有关。
所以速度愈大，淋雨量愈小，这是个最优解问题。
二、模型假设○1假设降雨面积相对大地来说面积较小，弧度可以忽略不计，降雨地区的地面是平面；○2对问题1人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定；○3假设人在雨中的运动看做在直线上做匀速的平动；○4将人体理想化为一个长(1.7m)、宽(0.5m)、高(0.2m)、已知的长方体模型，且人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。
三、符号说明1)a雨中人的身高2)b雨中人的宽度3)c雨中人的厚度4)d人奔跑的距离5)ω降雨量6)u雨的速度7)θ雨与人之间的夹角8)m v人奔跑的最大速度9)sω上表面降雨量10)qω前表面降雨量11)p u雨速水平分量12)c u雨速垂直分量13)s s人的上表面积14)q s人的前表面积有些符号在文中或题目中已有解释，此处并未全部列出。
四、模型建立问题一不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，除了地面外各面均会淋雨，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下：() 22dR ab bc ac wv =++问题二此时，会淋到雨的面为顶与正前面，故可以将落在人体上的雨线进行正交分解为垂直于水平方向。
正文：数学建模之雨中行走问题模型摘要：考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。
① 当αsin r v <时,淋在背上的雨量为[]v vh rh pwD -αsin ,雨水总量()[]v v r h dr pwD C -+=ααsin cos .② 当αsin r v =时,此时02=C .雨水总量αcos v pwDdr C =,如030=α,升24.0=C这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨.③ 当αsin r v >时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度αsin r .此时将不断地赶上雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量()v r v pwDh C αsin 2-=关键词：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度1.问题的重述人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？2.问题的分析.由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。
但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
，一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以最大速度跑的话，估计总的淋雨量；二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为 ，如图1，建立总淋雨量与速度v 及参数a,b,c,d,u,w,θ之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算=0，=090时的总淋雨量；θθθ三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a , b , c, d , u , w , α之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；四、以总淋雨量为纵轴，对（三）作图，并解释结果的实际意义；五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。
淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处,若雨速为常数且方向不变,试建立数学模型讨论是否跑得越快,淋雨量越少;将人体简化成一个长方体,高a=颈部以下,宽b=,厚c=,设跑步的距离d=1000m,跑步的最大速度v m=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量ω=2cm/h,及跑步速度为v,按以下步骤进行讨论17：1、不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量;2、雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为θ,如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,ω,θ之间的关系,问速度v多大,总淋雨里最少;计算θ=0,θ=30°的总淋雨量.3、雨从背面吹来,雨线方向跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为α,如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,ω,α之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最小;计算α=30°的总淋雨量.说明：题目中所涉及的图形为网上提供（4）、以总淋雨量为纵轴,速度v为横轴,对3作图考虑α的影响,并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内,试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积,可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积;可得：淋雨量V=降雨量ω×人体淋雨面积S×淋浴时间t ①时间t=跑步距离d÷人跑步速度v ②由①②得：淋雨量V=ω×S×d/v三、模型假设1、将人体简化成一个长方体,高a=颈部以下,宽b=,厚c=.设跑步距离d=1000m,跑步最大速度v m=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量ω=2cm/h,记跑步速度为v；参考2、假设降雨量到一定时间时,应为定值；3、此人在雨中跑步应为直线跑步；4、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨,而不是人工,或者流失的水量,因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、模型求解：一、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向,降雨淋遍全身,则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V ＝ω×S ×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 m/s将相关数据代入模型中,可解得：S ＝㎡V ＝ cm3= L（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为θ.,则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. 如图1设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ,且 0°<θ<90°,建立a,b,c,d,u,ω,θ之间的关系为：1、考虑前部淋雨量：由图可知雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反,故人相对于雨的水平速度为：则前部单位时间单位面积淋雨量为：又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅,时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：即：()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①2、考虑顶部淋雨量：由图可知雨速在垂直方向只有向下的分量, 且与v 无关,所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅,顶部面积为()c b ⋅ ,淋雨时间为()v /d ,于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :代入数据求得：由Vv 函数可知：总淋雨量V 与人跑步的速度v 以及雨线与人的夹角θ两者有关;对函数Vv 求导,得：显然：V '<0, 所以V 为v 的减函数,V 随v 增大而减小;因此,速度v=v m =5m/s ,总淋雨量最小;Ⅰ当θ=0,代入数据,解得：V 3≈LⅡ当θ=30°,代入数据,解得：V ＝m3≈L三、模型Ⅲ建立及求解：若雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为α则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量.如图2设雨从背部吹来时与人体夹角为α, 且0°＜α﹤90°,建立a,b,c,d,u,α,ω之间的关系为：1、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来,而对于人顶部的淋雨量 V 1 ,它与模型①中一样,雨速在垂直方向只有向下的分量,同理可得：2、后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅≤-⋅ααααsin u v sin v sin u v v sin ，，u u从而可得,人背部单位时间单位面积淋雨量为：()()⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅≤-⋅⋅ααωααωsin u v u /sin u v sin u v u /v sin ，，u 可得人背部淋雨量为： ()()⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅⋅⋅⋅⋅=ααωααωsin u v u /sin u v a V sin u v u /v sin a V 33，，d b u d b而总淋雨量：V=V 1＋ V 3从而有：⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=ααωαωααωαωsin u v u /)sin u v (d b a v /cos c b V sin u v u /)v sin (d b a v /cos c b V ，，d u d ③ 化简③式得：()()⎩⎨⎧⋅>+⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅+⋅⋅⋅⋅=αααωαααωsin u v /a v /sin cos b V sin u v /a v /sin cos b V ，，u a c d u a c d ④ 代入相关数据化简得：()[]()[]⎩⎨⎧⋅>+-=⋅≤-+=ααααααsin u v 360/375.0v /1.5sin cos 2.0V sin u v 360/375.0v /1.5sin cos 2.0V ，， ⑤ 由Vv 函数可知：总淋雨量V 与人跑步的速度v 以及雨线与人的夹角α两者有关;Ⅰ、 当αsin u v ⋅≤时,且0°＜α﹤90°,可得：c cos α＋a sin α>0对⑤式求导,易知V '<0；所以,总淋雨量V 随着速度v 的增加而减少,因此,αsin u v ⋅= 总淋雨量最小;Ⅱ、当v >u sin α时,且0°＜α﹤90°,对⑤式求导,解得：2v 180cos 2.0sin 5.1V ）（⋅-='αα ⅰ、当α－ cos α<0时,即 ：tan α<2/15,即V`<0；从而推出,总淋雨量V 随着速度v 的增加而减少,所以,速度v=v m ,总淋雨量最小;ⅱ、当α－ cos α>0时,即 ：tan α>2/15,即V`>0；从而推出,总淋雨量V 随着速度v 的增加而增加,所以,当速度v 取最小,即v=u sin α 总淋雨量最小;当α＝30°,tan α>2/15 ,由模型⑶分析的,当v=u sin α=4×1/2=2m/s总淋雨量最小,且V=m3=L五、结果分析：1在该模型中考虑到雨的方向问题,这个模型跟模型二相似,将模型二与模型三综合起来跟实际的生活就差不多很相似了; 由这三个模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少; 2若雨迎面吹来时,跑得越快越好3若雨从背面吹来时,分为两种情况：当tanα>c/a时,跑步速度v=u sinα时V最小；当tanα<c/a时,跑得越快越好;但是该模型只是考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内,若是雨线方向与人的跑步方向不在同一平面内建立坐标系上,对于这种情况,我们认为在本质和考虑问题的思想上来说模型是不变的,应分别对几个淋雨面进行以上同样方法建立求解模型, 但是解算的过程,我想应该更复杂; 参考文献：1 姜启源, 数学模型第三版M, 高等教育出版社,2。
人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系摘要：本文通过分析人在雨中奔跑的速度与淋雨量之间存在的关联，针对不同的降雨方向，将人简化为长方体模型，建立了奔跑速度与总淋雨量的优化模型。
针对问题一，假设雨水淋遍全身且不考虑雨的方向，通过简单的模型分析得到跑完全程的总淋雨量。
针对问题二，考虑雨从迎面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向雨速和水平方向雨相对于人的速度，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数的单调性分析，得知总淋雨量最少时奔跑速度最大。
针对问题三，考虑雨从后面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向速度和水平方向上的相对速度，针对不同情况，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数单调性的分析讨论，得出了总淋雨量最少时的奔跑速度。
针对问题五，针对雨线方向与跑步方向不在同一平面内的情况，对雨速进行空间直角坐标分解，结合问题三，分析模型发生的变化。
关键词：跑步速度；总淋雨量；相对速度；单调性分析；矢量分解一、问题重述对于行人来说，下雨天最糟糕的情况莫过于出门在外雨伞没带。
在这种情况下，人们习惯用快跑来摆脱困境。
归根结底，“跑得越快淋雨就越少”的观点只是一种感性认识。
因此，考虑通过建模来科学分析两者之间的关系。
对于下列四个问题，分别给出奔跑速度与淋雨量之间的定性分析。
问题1：在不考虑雨线方向的情况下，计算以最大速度跑完全程的淋雨量。
问题2：考虑雨从迎面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为α。
建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。
问题3：考虑雨从背面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为β。
建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。
问题5：考虑雨线方向与跑步不在同一铅直面上时，模型的变化。
二、问题分析问题1，将人简化为长方体模型，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，分析人的淋雨面积共五个面分别为前面、背部、顶部、左侧面和右侧面。
摘要夏天日益临近，天气情况也逐渐变幻莫测。
我们常常遇到过这样的问题，我们走在大街上，突然下起大雨，目的地离我们不远，所以我们并不准备避雨。
这是我们就遇到一个问题，是按照正常速度前行，还是大步奔跑地前进，以减少身上的淋雨量。
按照常理，我们大多数人都会奔跑前行。
但是，这样果真能够减少被淋湿的程度吗？1.问题重述一个雨天，你有件急事需要从家中要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。
假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。
一个似乎很简单事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少淋雨时间。
但如果考虑将与方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
2.建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最少。
主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度。
3.模型假设即符号说明（1）把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米。
淋浴总量用C升来记。
（2）降雨大小用降雨强度I（cm/h）来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。
在这里可视为一常量。
（3）风速保持不变。
（4）你一定速度v(m/s)跑完全程D米。
4.模型建立与计算（1）不考虑雨的方向，此时你的前后左右和上下都将被淋雨。
淋雨面积：S=2wh+2dh+wd（米2）雨中行走的时间：t=（秒）降雨强度：I（厘米/时）=0.01I（米/时）=（米/秒）淋雨量：C=（米3）=（升）（模型中D，I，S为参数，而v为变量）结论：淋雨量与速度成反比。
这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。
若取参数D=1000m, I=2cm/h, h=1.5m, w=0.5m, d=0.2m时，则有S=2.2m2 .若你在雨中行走的最大速度v=6m/s, 则计算得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。
数学模型论文学校：班级：姓名：学号：雨中行走问题摘要当我们在雨中冒雨行走时总会下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就会越小。
但事实上会是这种情况吗？在这里，我们将给予综合性的考虑，来解释不同情况下的淋雨量。
在不考虑风向的情况下，若人的全身都受到雨淋，理所当然人跑的越快所淋的雨就会越少。
那么模型也可算出淋雨量。
当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成θ角。
因为迎着雨的方向跑，所以全身都会淋到雨，由于有夹角，可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。
便可根据题的要求解出模型。
当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成α角。
因为背着雨的方向跑，所以全身不一定都会淋到雨。
可分几种情况分别来说。
关键词人速；雨速；风向；夹角1.问题的重述当人们在雨中行走时，是不是走的越快就会淋越少的雨呢？对于这个问题，建立合理的数学模型。
讨论一下，在不考虑风向时，人的淋雨量为多少；进而进一步讨论一下，在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋雨量。
2.问题的分析当人在雨中行走时，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案当然不是。
人在雨中所淋到的雨量和风向有关，因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角度。
从而使人所淋到的雨量有所不同。
3.模型的假设与符号说明3.1模型的假设（1）把人体视为长方体，身高h米，身宽w米，身厚d米，淋雨总量C升。
（2）把降雨强度视为常量，记为：I（cm h）。
（3）风速保持不变。
v m s跑完全程D。
（4）以定速度()3.2符号说明h人体的身高（m）w 人体的宽度(m)d 人体的厚度(m)D 人跑步的全程(m)v 人跑步的速度(m/s)i 降雨强度(cm/h)c 人在跑步中的淋雨总量(L)s 人在雨中会被雨淋的面积 (㎡)t 人在雨中跑步的时间 (s)v 雨滴下落速度 (m/s)θ 雨滴反方向与人速度方向的夹角ρ 雨滴密度4.模型的建立与求解（1）不考虑雨的方向，此种情况，人的前后左右都会淋雨。
《数学模型与数学实验》摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函数关系。
分析表明当v时，淋雨量最少。
行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解。
关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；雨滴下落的速度，角度；降雨强度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。
当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。
1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。
淋雨数学模型一、提出问题当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如何做？假设一人在雨中沿直线从一处走向另一处，雨速为常数且方向不变，但雨下降的方向不同，所以就降雨的方向与人行走方向考虑建立数学模型，讨论是否走得越快，淋雨量就越少。
将人体看成一个立方体，高（身高）a,长（身宽）b,宽（身厚）c。
二、分析问题从两类情形考虑：(1)若你行走的方向是顺风与雨保持一定的角度，且以雨速水平分量的速度行走，使雨相对于人是垂直下落的，可以将人看成质点考虑。
(2)而在其他情况下，在三维空间里，我们应从三个方面来考虑：1)当雨垂直下落时，淋雨面积考虑顶部、前后两面与两侧面。
2）当雨迎面吹来时，淋雨面积考虑人体顶部、前面与两侧面。
3) 当雨从背面吹来时，淋雨面积考虑人体顶部、后面与两侧面。
三、模型假设与符号说明（1）将人看成立方体（2）雨速为常数且方向不变（3）人以一定的速度匀速前行（4）降雨量为常数（5）不考虑风对人产生任何外在影响（如：风过大而无法前行）c ba符号说明：长方体的高、长、宽分别为a,b,c。
（如上图）:v: 行走速度 ; u: 雨速 ; w: 降雨量;d: 走路距离 ; Q：总淋雨量 ; s: 有效淋雨面积; v: 以人为参考系时的相对速度;mv:人的最大速度；θ：降雨方向与人行走方向的夹角；α：雨迎面吹来与人体方向的夹角；β：雨从背面吹来与人体方向的夹角。
四、模型假设第一类情形：(图形如下)当v ≥ u水平时，人的淋雨量不考虑水平方向，只考虑竖直方向，且当 v =u水平时淋雨量最少。
∴ v=u*sinθ∴ θ=arcsin(u v)Oy人行走 方向第二类情形：1) 当雨垂直下落时： （如下图）v abc有效淋雨面积：s=2*ab+2*ac+bc淋雨时间： t=vd总淋雨量： Q=stw=(2*ab+2*ac+bc)*w*vd（1）2) 当雨迎面吹来时：(如下图)c由于在三维空间考虑，所以人的顶部、迎面部分和两侧面为有效淋雨面积，记顶部面积s 1=bc,迎面部分面积s 2=ab ，侧面面积s 3=2*ac淋雨时间 t=vd雨速水平分量 v1= u*sin α雨速竖直分量 v 2= u*cos α雨水相对速度 v = u*sin α+v顶部淋雨量Q1=s1*t*w* cosα=bc*v d*w* cosα迎面淋雨量Q2=s2*t*w*u v- =ab*v d*w* u v+sin*uα侧面淋雨量Q3=s3*t*w*sinα=2*ac*v d*w*cosα总淋雨量为:Q= Q1+Q2+Q3=vd*W*(bc* cosα+ ab* uv+sin*uα+2*ac*conα) （2）3)当雨从背面吹来时：（如下图）c同理，人的顶部、背面部分和两侧面为有效淋雨面积，记顶部面积为s4= bc，背面部分面积为s5=ab,侧面面积s6=2*ac淋雨时间： t=vd雨速水平分量v1= u*sinβ雨速竖直分量v2= u*cosβ雨水相对速度v=u*sinβ-v顶部淋雨量Q4=s4*t*w* cosβ=bc*v d*w* cosβ背面淋雨量Q5=s5*t*w*u v- =ab*v d*w* u v-sin*uβ侧面淋雨量Q6=s6*t*w*sinβ=2*ac*v d*w*cosβ总淋雨量为:Q= Q1+Q2+Q3=vd*W*(bc*cosβ+ ab* uv-sin*uβ+2*ac*sinβ) （3）五、模型求解运用数学分析中求函数最值的知识，对于以上所建的模型我们求解得到不同情况下人的淋雨量Q与行走速度v的具体关系如下：第一类情形：当 v ≥ u*sin(θ)时，虑竖直方向，且当 v=u*sin(θ)时,淋雨量最少。
《数学模型与数学实验》课程设计任务书题目雨中漫步学生姓名学号专业班级设计内容与要求生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。
给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函数关系。
分析表明当行走速度为maxv时，淋雨量最少。
针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解。
学生签名起止时间摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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旁边有人感到奇怪：“你怎么不快点跑啊？下雨啊！”那人头一抬，问道：“前面不也在下雨吗”？于是引出这一个问题，人在路上遇到下雨总想快步跑，赶往别处躲雨，这似乎已成为定式。
但是跑步就一定会减少淋雨量吗？跑得越快淋雨量就越少吗？关键词：相对性人体平面运动。
一、问题的提出本文就是根据速度的相对性，运用简单的刚体平面运动知识，研究人在雨中快跑时是否真的可以少淋一些雨的问题。
二、模型的假设与符号说明假设：①下雨的速度是匀速的；②下雨的面积是平均的；③路程是相等；④下雨所经过的路程上没有遮住受雨等障碍物；⑤没有摔跤等情况；⑥研究应是同一物体。
符号说明：TSV*V表示雨量S表示速度T表示时间三、模型的建立走的时候人是抬头挺胸的，脚步是匀速的；跑得时候身体是微向前倾的，脚步也是匀速的。
雨中行走，速度越快，淋雨越少吗？--从数学建模角度分析
2011年的一道高考题
李金兴
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2013(000)006
【总页数】3页(P24-26)
【作者】李金兴
【作者单位】浙江省萧山中学 311201
【正文语种】中文
【相关文献】
1.人在雨中行走时的淋雨量问题 [J], 邱仰聪
2.高中化学教学中有关“活化能”概念的误区——基于2011年海南省一道高考题的思考 [J], 朱碧雯;包朝龙
3.人在雨中行走时人身上淋雨量的分析 [J], 李志业;李秋红
4.问题引导,分组讨论式的数学建模教学实践--以“在雨中以不同的速度行走的淋雨量问题”为例 [J], 谢明德
5.妙用探究式教学培养科学思维——构建物理模型解决雨中行走淋雨量问题 [J], 王春山
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