函数、导数、不等式 课时1：集合、简易逻辑例1．设2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=， （1）若A B B =，求a 的值； （2）若AB B =，求a 的值．[分析]：（1）由AB B =转化为考虑B A ⊆；（2）由AB B =转化为A B ⊆．这样均可建立a 的关系式，进而、确定a 的值．[解析]：由已知2{|40}A x x x =+=，得{0,4}A =-． （1）22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=A B B =，∴B A ⊆．①若0B ∈，则210a -=，解得1a =±． 当1a =时，B A =，显然B A ⊆． 当1a =-时，{0}B =，显然B A ⊆．②若4B -∈，则2870a a -+=，解得71a a ==或． 当7a =时，{12,4}B =--，B A ⊄．③若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-． 由①②③得1a =或1a ≤-． （2）,A B B A B =∴⊆．{0,4}A =-，B 至多有两个元素，∴A B =，由（1）知1a =． [启迪]：（1）注意条件“A B B =”和“A B B =”的转化：A B B B A =⇔⊆，A B B A B =⇔⊆；（2）条件B A ⊆包含B =∅和B ≠∅两种情况，不能遗漏； （3）优先化简集合是解答有关集合问题常用的策略．变式训练：设集合22{|190}A x x ax a =-+-=，2{|560}B x x x =-+=，2{|280}C x x x =+-=．（1）若AB A B =，求a 的值；（2）若,A B A C ∅=∅Ø，求a 的值． 解：（1）∵AB AB =，∴A B =，而{2,3}B =∴22190x ax a -+-=有两个实根122,3x x ==．∴235a =+=且219236a -=⨯= ∴5a =．（2）∵{2,4}C =-，A C =∅，∴2A ∉，4A -∉， 又∵AB ∅Ø，∴A B ≠∅．又∵2A ∉，∴3A ∈，即3是方程22190x ax a -+-=的根． ∴22333190a -+-=，∴52a a ==-或．当5a =时，2{|560}{2,3}A x x x =-+==与2A ∉矛盾． 当2a =-时，2{|2120}{3,5}A x x x =+-==-，合题意． ∴2a =-．例2．已知28200p x x --≤：,22210(0)q x x m m -+-≤>：,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[分析]：先化简两不等式，再利用p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求得m 的取值范围．[解析]：由28200x x --≤，得210x -≤≤， 由22210(0)x x m m -+-≤>，得11m x m -≤≤+． ∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件． 即p q ⇒但q p ⇒/．∴{|210}x x -≤≤是{|11}x m x m -≤≤+的真子集，∴12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得9m ≥．∴实数m 的取值范围为9m ≥． [启迪]：（1）本题还可以由p 、q 求得p ⌝、q ⌝，再进而求解；（2）一个命题与它的逆否命题是等价命题，故常将p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，等价转化为q 是p 的必要不充分条件．变式训练：用“充分条件、必要条件、充要条件”填空：（1）“0a b +<且0ab >”是“0a <且0b <”的 ；（2）“1x >”是“11x<”的 ； （3）“2x =”是“27100x x -+=”的 ． 解：（1）∵0a b +<且0ab > ∴a ，b 同号且都是负数． 即0a b +<且0ab >⇒0a <且0b <．又∵0a <且0b <，∴0a b +<，0ab >即0a <且0b <⇒0a b +<且0ab >．∴“0a b +<且0ab >”是“0a <且0b <”的充要条件．（2）∵1x >时，11x <成立 ，即1x >⇒11x <，又∵11x<时，x 未必大于1（如3x =-），即11x <⇒/1x >，∴“1x >”是“11x<”的充分条件． （3）∵当2x =时，22710272100x x -+=-⨯+=∴2x =⇒27100x x -+=，当27100x x -+=时，则122,5x x ==， ∴27100x x -+=⇒/2x =，∴“2x =”是“27100x x -+=”的充分条件． 答案：（1）充要条件 （2）充分条件 （3）充分条件 例3．写出下列命题的否定： （1）所有的正方形都是菱形；（2）每一个平行四边形的四个顶点共圆； （3）x R ∀∈，210x x -+>；（4）0x N ∃∈，301x <；（5）有的整数能被9整除；（6）存在一个函数，既是奇函数又是偶函数．分析：全称命题的否定式特称命题，特称命题的否定是全称命题．解析：（1）有的正方形不是菱形．（2）存在一个平行四边形的四个顶点不共圆． （3）0x R ∃∈，20010x x -+≤． （4）x N ∀∈，31x ≥．（5）所有的整数都不能被9整除．（6）所有的函数，都不能既是奇函数又是偶函数．启迪：含有一个量词的命题的否定，首先要找到所含量词，明确是全称命题还是特称命题，然后进行否定，注意要在改变量词的同时对结论进行否定． 变式训练：写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p ：x R ∀∈，2104x x -+≥；（2）q ：所有的正方形都是矩形； （3）r ：0x R ∃∈，200220x x ++≤；（4）s ：至少有一个实数x ，使310x +=．解：（1）p ⌝：0x R ∃∈，200104x x -+<． （假） 这是由于x R ∀∈，2211()042x x x -+=-≥恒成立．（2）q ⌝：至少存在一个正方形不是矩形．（假） （3）r ⌝：x R ∀∈，2220x x ++>．（真）这是由于x R ∀∈，2222(1)110x x x ++=++≥>恒成立． （4）s ⌝：x R ∀∈，310x +≠．（假） 这是由于1x =-时，310x +=．1题）设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð( )A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >解析： 对于{}1U C B x x =≤，因此U AB =ð{|01}x x <≤．答案：B 点评：本题主要考查集合交补集运算，应特别注意端点的取舍．（2009年浙江省高考理科第1题）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的．答案：C 点评：本题考查充分、必要条件的概念，应分清楚谁是条件，谁是结论．1．定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ==+∈∈，设集合{0,1}A =，{2,3}B =，则集合AB 的所有元素之和为（ ）A ．0B ．6C ．12D ．18 答案：D2．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B Ø是()U A B U =ð的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A3．给出两个命题，p ：|x |=x 的充要条件是x 为正实数，q ：存在函数既是奇函数又是偶函数，则下列由逻辑联结词得到的命题中为真命题的是（ ） A ．p 且q B ．p 或q C ．p 且q ⌝ D ．p ⌝且q ⌝答案：B4．下列命题中，真命题的个数是（ ） ①所有的偶函数都能被2整除； ②所有的奇函数都能被3整除； ③存在一个指数函数不是单调函数；④存在一个有理数是无理数十无限不循环小数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B 5．已知集合{|12}A x a x a =-≤≤+,{|35}B x x =<<,则能使B A ⊆成立的实数a 的取值范围是（ ）A ．{|34}a a <≤B ．{|34}a a ≤≤C ．{|34}a a <<D ．∅ 答案：B6．若集合2{1,}A m =，{2,4}B =，则“2m =”是“{4}A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A7．已知命题p 、q ，则“命题 p 或q 为真”是“命题 p 且q 为真”的 条件． 答案：必要不充分8．命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为 ． 答案：若a b ≤，则221a b ≤- 9．，命题“每一个素数都是奇数”的否定为 ． 答案：存在一个素数不是奇数10．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⊆⇔/对任意x A ∈，有x B ∉； ②A B ⊆⇔/A B =∅； ③A B ⊆⇔/A B ⊇/； ④A B ⊆⇔/存在x A ∈，使得x B ∉．其中为真命题的是 ．（把真命题的序号都填上） 答案：④11．已知集合：2{|280}A x x x =--<，{|0}B x x m =-<， （1）若A B =∅，求实数m 的取值范围； （2）若AB A =，求实数m 的取值范围．解：2{|280}{|24}A x x x x x =--<=-<<，{|}B x x m =< （1）若AB =∅，则2m ≤-．所以实数m 的取值范围为2m ≤-．（2）若A B A =，则A B ⊆，∴4m ≥ 所以实数m 的取值范围为4m ≥．12．已知p ：方程210x mx ++=有两个不相等的负实根，q ：方程244(2)10x m x +-+=无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 解：∵方程210x mx ++=有两个不相等的负实根，∴240,0,m m ⎧∆=->⎨-<⎩∴2m >．又∵方程244(2)10x m x +-+=无实数根， ∴216(2)160m ∆=--<，∴13m <<．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p 和q 中有一个成立，另一个不成立．于是有213m m ≤⎧⎨<<⎩，或213m m m >⎧⎨≤≥⎩或，∴123m m <≤≥，或．所以实数m 的取值范围为123m m <≤≥，或（1）A B A A B B A B =⇔=⇔⊆． （2）()()()U U U C A B C A C B =．()()()U U U C A B C A C B =（3）若集合123{,,,,}n A a a a a =，则集合A 的子集有2n 个，真子集有21n -个． （4）若集合A 满足123{,,,,}m a a a a A ⊆⊆123{,,,,}()n a a a a n m ≥，则A 的个数为2n m -．2．用集合的观点看充分条件、必要条件 A ={x|x 满足条件p }，B ={x|x 满足条件q }，（1）如果A B Ø，那么p 是q 的充分不必要条件； （2）如果B A Ø，那么p 是q 的必要不充分条件；（3）如果A =B ，那么p 是q 的充要条件； （4）如果A B ⊆/且B A ⊆/，那么p 是q 的既不充分也不必要条件；4．两个口诀（1）学好充分和必要，分清条件和结论；条件可以推结论，条件就是充分的；结论能把条件推，条件就是必要的；充分缩小必要大，小推大来记心间．（2）联结词，或且非，有真即真或命题，有假则假且命题，真假相反非命题； 命题否定变量词，特称全称是互否，命题否定否命题，大不一样分清它．。
