人教版八年级下册第十九章：19.2一次函数
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一次函数
【教学目标】
1．知识技能目标：
（1）理解一次函数和正比例函数的概念。
（2）根据实际问题列出简单的一次函数的表达式。
2．过程与方法目标：
（1）经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系。
（2）探求一次函数解析式的求法，发展学生的数学应用能力。
3．情感目标：
（1）通过函数与变量之间的关系的联系，发展学生的数学思维能力。
（2）经历利用一次函数解决实际问题的过程，培养学生将理论运用于实践的能力。
【教学重点】
从具体背景中列出相应的一次函数表达式，从而概括出一次函数的概念。
【教学难点】
根据已知信息准确写出一次函数的表达式。
【课时安排】
4课时
【第一课时】
【教学过程】
一、新课导入，创设情境。
1．某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系？
（y=5－6x或y=－6x+5）。
2．弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，现设某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
有如下表数据。
元但低于2100元的部分征收5%的所得税……如某人某月收入1960元，他应缴个人工资薪金所得税为（1960－1600）×5%=18（元）。
（1）当月收入大于1600元而又小于2100元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式？
（y=0.05x－80）。
（2）某人某月收入为1760元，他应缴所得税多少元？
（0.05×1760－80=8）。
（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？
（19.2=0.05x－80→x=1984）。
【第二课时】
【教学过程】
一、创设情境、提出问题
（教材例2）画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象。
并比较两个函数图象，探究它们的联系及解释原因。
二、分析问题、探究新知
比较上面两个函数的图象的相同点与不同点。
观察：这两个函数的图象形状都是_____，并且倾斜程度_____。
函数y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点_____，即它可以看作由直线y=-6x向___平移___个单位长度而得到。
比较两个函数解析式,试解释这是为什么？
猜想：一次函数y=kx+b的图象是什么形状，它与直线y=kx有什么关系？
结论：①一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）。
即k值相同时，两直线一定_________。
②____个点确定一条直线。
因此今后再画一次函数和正比例函数的图象时，只需要取____个点即可。
（取哪两个点呢？）与一次函数相比，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过_____的一条直线，因此只要再取___个点即可。
【探究】在不同坐标系中作出下列函数的图象：
（1）y=x+1 (2)y= -x+1 (3)y=2x-1 (4)y= -2x-1
归纳：一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为（理解掌握）：
三、随堂练习
1.(1)将直线y＝3x向下平移2个单位，得到直线；
(2)将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线；
(3)将直线y＝-2x＋3向下平移5个单位，得到直线。
2．函数y＝kx-4的图象平行于直线y＝-2x，求函数表达式。
3．一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点(0,-2)，且与直线y=3x-1平行，求它的函数表达式。
4．已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？
5．已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围。
6．说出直线y＝3x＋2与y＝3x+5；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处。
7．在直线y=-3x+2上有两点A（x
1,y
1
）和（x
2
,y
2
）,若x
1
＜x
2
,则y
1
y
2。
四、课时小结
一次函数解析式中的k反映了直线的倾斜程度，b反映了直线在y坐标轴的截距。
【第三课时】
【教学过程】
一、创设情境、提出问题
一次函数关系式y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k与b的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k和b呢？
二、分析问题、探究新知
例1、已知一次函数的图象过点（3，5）和（-4，-9）求这个一次函数的解析式。
分析：图象经过（3，5）和（-4，-9）两点，所以这两点的坐标必定适合解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b，
因为y=kx+b的图象过点（3，5）与（-4，-9）
所以3k+b=5,-4k+b=-9
解方程组得k=2,b=-1
这个一次函数的解析式为y=2x-1
定义：像这个先设出解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
由于一次函数中有两个待定系数k和b，因此用待定系数法时需要根据两个条件列关于k 和b二元一次方程组，解方程组后就能具体写出一次函数的解析式。
例2、已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？
根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为y＝kx＋b(k≠0),问题就归结为如何求出k 与b的值。
由已知条件x＝-2时，y＝-1，得-1＝-2k＋b。
由已知条件x＝3时，y＝-3，得-3＝3k＋b。
两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程
例3、若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m的值．
分析：考虑到直线y＝mx-(m-2)过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，这里虽然已知条件中没有直接给出x和y的对应值，但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．所以此题转化为已知x＝0时，y＝3，求m。
即求关于m的一元一次方程。
三、随堂练习
1.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(-1,1)和点(1，-5),求当x＝5时，函数y的值。
2.某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示。
(1)写出v 与t 之间的关系式； (2)下滑3秒时物体的速度是多少？
分析：要求v 与t 之间的关系式，首先应观察图象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函数的图象，然后设函数解析式，再把已知的坐标代入解析式求出待定系数即可。
3.已知弹簧的长度y （厘米）在一定的限度内是所挂物质量x （千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式。
四、课时小结
1.待定系数法求函数解析式的一般步骤。
2.数形结合解决问题的一般思路。
五、课后作业
函数解析式 y=kx+b
满足条件的两定点（x ，y ）
与（x 2，与y 2）
选 取
解 出
满足条件的两定点（x ，y ） 与（x 2，与y 2）
一次函数的图象直线l
画 出
选 取
补充作业
1.根据下列条件求出相应的函数关系式。
(1)直线y＝kx＋5经过点(-2,-1)；
(2)一次函数中，当x＝1时，y＝3；当x＝-1时，y＝7。
2.写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2,3)。
3.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1)．求它的函数关系式。
【第四课时】
【教学过程】
一、创设情境、提出问题
例1“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子的价格打8折，
（1）填出下表。
（2）写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式，并画出函数图象。
（3）
二、分析问题、探究新知
例2求直线y＝-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。
解：因为x轴上点的___坐标是0，y轴上点的___坐标是0，所以当y＝0时，x＝___，点A______就是直线与x轴的交点；当x＝0时，y＝___，点B______就是直线与y轴的交点。
过点______和______所作的直线就是直线y＝-2x-3。
线段OA=________，线段OB=______,△AOB的面积为________。
三、随堂练习
(2)A,B哪个速度快? (3)15分内B能否追上A？
(4)如果一直追下去,那么B能否追上A?
(5)当A逃到离海岸的距离12海里的公海时,B将无法对其进行检查。
照此速度,B能否在A逃入公海前将其拦截?
四、课时小结
学会识图，利用一次函数知识解决相关实际问题。
