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高三理数第二次诊断性检测试卷一、单项选择题1.设集合，，那么〔〕A. B. C. D.i为虚数单位．那么复数的虚部为〔〕A. B. C. -1 D. 13.命题“ ，〞的否认为〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，4.袋子中有5个大小质地完全相同的球．其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球．那么摸出的两个球颜色相同的概率为〔〕A. B. C. D.5. ，，那么的值为〔〕A. B. C. -3 D. 36.在中，，为边中点，点在直线上，且，那么边的长度为〔〕A. B. C. D. 67.圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，那么该圆柱的侧面积的最大值为〔〕A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π8. 是曲线上的动点，点在直线上运动，那么当取最小值时，点的横坐标为〔〕A. B. C. D.9.数列的前项和满足，记数列的前项和为，．那么使得成立的的最大值为〔〕A. 17B. 18C. 19D. 2010.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为．如果前2小时消除了20%的污染物，那么污染物减少50%大约需要的时间为〔参考数据：，，〕〔〕A. 4hB. 6hC. 8hD. 10h11. 为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．那么当取最大值时，的值为〔〕A. 2B.C.D.12.四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有以下结论：①线段的长度为1；②假设点为线段上的动点，那么无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；③ 的余弦值的取值范围为；④ 周长的最小值为．其中正确结论的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题13.函数，假设，那么的值为________．14.正项数列满足，．假设，，那么的值为________．15.设双曲线的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，直线与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为．假设点恰好为线段的中点，那么直线的斜率的值为________．16.定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都有成立．假设，，，那么，，的大小关系为________．〔用符号“ 〞连接〕三、解答题17.的内角，，的对边分别为，，，．〔1〕求角的大小；〔2〕假设，，求的面积．18.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量〞换算成费用，称之为“失效费〞．某种机械设备的使用年限〔单位：年〕与失效费〔单位：万元〕的统计数据如下表所示：使用年限〔单位：年〕 1 2 3 4 5 6 7失效费〔单位：万元〕〔Ⅰ〕由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；〔精确到0.01〕〔Ⅱ〕求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式：相关系数．线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，．参考数据：，，．19.如图①，在等腰三角形中，，，，满足，．将沿直线折起到的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥，点满足．〔Ⅰ〕证明：平面；〔Ⅱ〕当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.椭圆：经过点，其长半轴长为2．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求△的面积的取值范围．21.函数，其中．〔Ⅰ〕假设存在唯一极值点，且极值为0，求的值；〔Ⅱ〕讨论在区间上的零点个数．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，直线的方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求曲线和直线的极坐标方程；〔2〕假设点在直线上且，射线与曲线相交于异于点的点，求的最小值．23.设函数的最小值为．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设，，证明：．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】由题设，，而，∴.故答案为：A.【分析】首先由对数函数的单调性求解出集合A，再由并集的定义得出答案即可。
成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.2.已知向量，，.若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，故选B.3.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.4.设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又.可得，则故选D.5.已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.6.若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式的通项为令，解得，，解得故选B.7.已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 由题意可知的振幅，周期 则 ，由，，解得：，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则故选D.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的坐标变换，考查数形结合思想，属于基础题．8.若为实数，则“”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解不等式可得，是的真子集，故“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．则该阳马的外接球的直径为∴该阳马的外接球的体积=故选C.10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时．此时有，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．故选D．【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．11.已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意在区间内有唯一实数解令，解得，∴函数在区间[1，e]上单调递增，则，则的取值范围为.故选A.12.已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】可设的面积为由题意可得，解得由，可得即为代入双曲线的方程，可得解得故选A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知，，则__________．【答案】【解析】由题即答案为.14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为__________人．【答案】24【解析】由等高条形图可知，500名女同学中喜欢篮球运动的频率为，即女同学中喜欢篮球运动的由100人，500名男同学中喜欢篮球运动的频率为，即男同学中喜欢篮球运动的由300人.故从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为即答案为24人.15.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．【答案】【解析】由题，直线圆心到直线的距离为由题意以为直径的圆截直线所得的弦长为，则即答案为，16.已知数列共项，且，.记关于的函数，.若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为.则满足条件的数列的个数为__________．【答案】1176【解析】由题，，是函数的极值点，即又故这七项中必有2项取1,5项取-1，，即中方法，又曲线在点处的切线的斜率为.，即或，（或-4），故这八项中必有2项取-1,6项取1，（这八项中必有6项取-1,2项取1），故满足条件的数列共有（或中方法，所以方法总数为个即答案为1176.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（1化简可得.由，了求其单调递减区间；（2）由，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得.试题解析;（1）.由，，得，.∴函数的单调递减区间为，.（2）∵，，∴.∵，∴由正弦定理，得.又由余弦定理，，得.解得.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.【答案】(1)在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.(2)分布列见解析；（元）.【解析】试题分析：（1）由题意求得的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．试题解析（1）由列联表的数据，有.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.∵，，，，，∴的分布列为：的数学期望为（元）.19.如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.（1）若点是线段的中点，证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，. .由四边形为菱形，可证.由平面平面，可证平面.即可证明平面；2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面，平面的法向量，.。
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四川省成都市201８届高三数学第二次诊断性检测试题 文第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共6０分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|11}P x x =-<,{|12}Q x x =-<<,则P Q =（ )A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D.(0,2) ２。
已知向量(2,1)a =，(3,4)b =,(,2)c k =.若(3)//a b c -,则实数的值为（ ) A.8- Ｂ.6- C.1- D ． ３.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于( )Ｂ．32 D ．12４.设等差数列{}n a 的前项和为n S ．若420S =，510a =,则16a =（ ) A.32- B ．12 C.16 D.32５．已知m ,是空间中两条不同的直线,α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A ．若m α⊂,则m β⊥ B.若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ Ｃ．若m α⊄,m β⊥，则//m α D.若m αβ=,n m ⊥，则n α⊥６．在平面直角坐标系中,经过点P ）A ．22142x y -= B.221714x y -=C.22136x y -=D.221147y x -=７.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示．现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为( ）A.()2sin(2)4g x x π=+ B ．3()2sin(2)4g x x π=+C.()2cos 2g x x =D.()2sin(2)4g x x π=-8．若为实数,则“2222x ≤≤”是“22223x x +≤≤”成立的( ） A.充分不必要条件 Ｂ.必要不充分条件C ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件９.《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( ）Ａ86B ．86πC 6π D.24π 10。
2018年高考数学二诊试卷（成都市理科附答案和解释）
5 2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）
一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分
1．已知复数z= ，则z的共轭复数是（）
A．1﹣iB．1+ic．iD．﹣i
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（）A．﹣2B．0c．3D．6
3．已知向量， =（3，），∈R，则“=﹣6”是“ ”的（）
A．充要条B．充分不必要条
c．必要不充分条D．既不充分也不必要条
4．设函数f（x）=lg2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（）
A． B． c． D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）
A． B． c．20D．40
6．已知x，满足条（为常数），若目标函数z=x+3的最大值为8，则=（）
A．﹣16B．﹣6c． D．6
7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）
A． B． c．4D．6
8．如图，在正四棱锥S﹣ABcD中，E，，N分别是Bc，cD，Sc的中点，动点P在线段N上运动时，下列四个结论
①EP⊥Ac；
②EP∥BD；。
成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（ ）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ．3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x的展开式中含32x 项的系数为160，则实数的值为（ ）A ．B ．2-C ．．- 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.若为实数，则“2x ≤≤223x x +≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B ． C D ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ）A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++ C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e+ 12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．329 B ．169 C ．89 D ．49第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ． 16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求. 18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为2，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆的面积的最大值为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n n n n ++⋅⋅⋅+<+.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
成都市2018级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷（选择题）1至2页，第II 卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|lgx<1},B={x|x>3},则A ∪B=（A)(0,+∞) （B)(3,10) （C)(-∞,+∞) （D)(3,+∞)2.已知i 为虚数单位，则复数z=(1+i)(2-i)的虚部为·（A)-i （B)i （C)-1 （D)13.命题“∀x>0,x 2+x+1>0”的否定为（A) ∃x o ≤0,x 02+x o +1≤0 （B) ∀x≤0,x 2+x+1≤0（C) ∃x o >0,x 02+x o +1≤0 （D) ∀x>0,x 2+x+1≤04.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为（A)15 （B) 25 （C) 35 （D) 455.已知sin(α+β)= 23，sin(α-β)= 13，则tan tan αβ的值为 （A) -13 （B) 13 （C)-3 （D)36.在ΔABC 中，已知AB=AC,D 为BC 边中点，点O 在直线AD 上，且BC BO ⋅=3,则BC 边 的长度为（A) （（ （D)67.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为323π的球O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 （A)4π （B)8π （C)12π （D)16π8.已知P 是曲线y=sinx+cosx(x ∈[0, 34π］）上的动点，点Q 在直线x+y-6=0上运动，则 当|PQ|取最小值时，点P 的横坐标为（A) 4π （B) 3π （C) 2π （D) 23π9.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足Sn=n 2,记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ,n ∈N*.则使得T n <2041成立的n 的最大值为 （A)17 （B)18 （C)19 （D)2010.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P 0e -kt .如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据：ln2≈0.69,ln3≈1.10,ln5≈1.61)（A)4h （B)6h （C)8h （D)10h11.已知F 为抛物线y 2=2x 的焦点，A 为抛物线上的动点，点B(-1,0).则当2||2||1AB AF +取最 大值时，|AB|的值为（A)2（ B) 5 （C) 6 （D)2212.已知四面体ABCD 的所有棱长均为2,M,N 分别为棱AD,BC 的中点，F 为棱AB 上异于A,B 的动点。
2018届2017~2018学年下期二诊模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，则复数61ii-的虚部为.3A.3B -.3C i.4D i -2.已知全集U =R ，集合{|30}A x x =-<，1{|2}.4x B x =>那么集合U A C B ⋂等于.{|23}A x x -≤≤.{|23}B x x -<< .{|2}C x x ≤-.{|3}D x x <3.若,x y 满足约束条件02326x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =+ 的最小值是.3A -.6B3.2C .3D4.若1sin()3πα-=，2παπ≤≤,则sin 2α的值为 42.9A -22.9B -22.9C 42.9D 5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为.2A 3.2B 5.3C 8.5D 6. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积 为2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为 .23A .11B .13C .10D7.等比数列{}n a 中，20a >则25""a a <是35""a a <的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数()f x 对任意x ∈R 都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(2018)f = A. B. C. D.9、已知是双曲线的左、右焦点, 点在上,23B π∠=若,则的离心率为A. B. C. D.10.已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =⋅-+，将()f x 图像的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位后得到函数()g x ，在区间[0,]π上随机取一个数x ，则()1g x ≥的概率为 1.3A 1.4B 1.5C 1.2D 11.若函数y =f (x )的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ,则称函数y =f (x )为“t 函数”.下列函数中为“2函数”的个数有 ① y =x -x 3 ②y =x +e x ③y =x ln x ④y =x +cos xA.1个B.2 个C.3 个D.4个12、已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于A. B.2 C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、若1()nx x-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14、已知数列{}n a 的各项都为正数，前n 项和为n S ，若2{log }n a 是公差为1的等差数列，且5=62S ，则2=a15．已知四面体ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为,x ,和y ,则+的最小值是 .16．为抛物线上一点，且在第一象限，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点,为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）如图，,,a b c 分别是锐角ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，sin cos =2b A a B a +，4sin 5BAC ∠=.（1）求sin C 的值；（2）若点D 在边BC 上,3BD CD =，ABC ∆的面积为14，求AD 的长度.18. （本小题满分12分）2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科，每个考生，英语，语文，数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等. （1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立，用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABC D 所在平面垂直，点M 为AE 的中点. （1）求证：BM //平面EFC（2）若DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆上顶点和右顶点的直线与圆2212:7O x y +=相切,O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率大于0的直线l 交椭圆C 于A B 、两点（A 在x 轴上方），交x 轴正半轴于P 点,若3PB PA +=0u u u r u u u r，求AOB ∆面积的最大值以及此时直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知a ∈R ，()(1)ln f x ax x =-（1）若2()ln f x x x x ≤--恒成立，求a 的值；（2）若()f x 有两个极值点，，求a 的范围并证明1()4f x >.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为222242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； (2)若2PA PB AB ⋅=,求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|32|f x x =+. （1）解不等式()4|1|f x x <--（2）若0a >，不等式||()4x a f x --≤恒成立，求实数a 的取值范围．石室中学高2018届2017-2018学年下期二诊模拟考试数学参考答案（理科）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACCACCADDDBC13. 20-； 14. 4； 15. 2213+；16. 2215227()()248x y -+-=三、解答题17. 解：（1）由题知sin sin sin cos 2sin B A A B A +=，则sin cos 2B B +=，sin()14B π+=，因B 为锐角，所以4B π=……………………3分，由43sin ,cos 55BAC BAC ∠=∠=得所以72sin sin()10C B BAC =∠+∠=…………………….6分 （2）由正弦定理sin 42sin 7BC BAC AB C ∠== 又1sin 142BC AB B ⋅⋅=，282BC AB ⋅=……………….8分 解得7,42AB BC ==……………………9分所以32BD =，由余弦定理，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅， 解得5AD =…………………………12分18..(1).记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，分 (2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.所以X 的分布列为:19..(1)由题知BDEF ABCD ⊥面面，而BD ED ⊥，BDEF ABCD=BD 面面∩，DE BDEF ⊂面 所以DE ABCD 面⊥，以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD=1，则()1,1,0B ，，()0,0,1E ，()1,1,1F ，()0,1,0C ， 所以而面EFC 的法向量为()1,1,1m =-u r ，则0MB m ⋅=u u u r u r 即MB m ⊥u u u r u r ，又面MB EFC ⊄，所以//面MB EFC ;……………6分(2)由（1）知所以面BDM 的法向量为()1,1,1n =-r又()1,0,1AE =-u u u r ,所以直线AE 与面BDM 12分 20.解： （1）设切线为0bx ay ab +-=，则，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程分（2）设直线l 为(0,0)x my n m n =+>>，联立22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)63120m y mny n +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，122634mn y y m -+=+①2122312,34n y y m -=+②由0∆>，可得22340m n -+>…….6分 又因为3PB PA +=0u u u r u u u r，可得123y y -=③…………7分由①③解得122239,3434mn mny y m m -==++， 代入②22222227312(34)34m n n m m --=++，整理得2223431m n m +=+……….9分212221666()31234313AOBmn m S n y y m m m m∆=⋅-===≤+++………11分 当且仅当13103,32m m n m ===即，时，满足0∆>， 所以AOB ∆面积的最大值为3,此时直线l 的方程为31032x y =+………12分 21. 解(1)由题:得1ln 0x a x --≥ 令:，，…………………1分 所以F ，且．所以当 时恒成立，此时 在上单调递增，(0,1),()0x F x ∴∈<这与F 矛盾；………………………………..3分 当 时令，解得，所以 在上单调递减，在 上单调递增，即，又因为，又F(1)=0 所以………………………..6分(2)1'()ln f x a x a x =+-21''()(0)ax f x x x+=> ①若0a ≥时, 知:'()f x 在(0,)+∞单调递增,不合题… ②若0a <时, 知:'()f x 在1(0,)a -单调递增,在1(,)a-+∞单调递减 只需要22111'()ln()20f a a e a e a a a--=-+>∴-<∴<-………………….9分 此时知道：()f x 在1(0,)x 单减，12(,)x x 单增，2(,)x +∞单减且易知:1210x x a<<-< 又由1111111'()0ln 0ln 1f x a x a x x ax =⇒+-=∴=- 111111111()(1)ln (1)(1)2f x ax x ax ax ax ax ∴=-=--=--又110ax -<<1()4f x ∴>…………………………………………………12分 22. (1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=…………………………………………………….4分(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得, 设两点对应的参数分别为,则有==,……………………………….6分∵=,∴=即=…………………………….8分∴= 即,解得或者(舍去),∴的值为1…………………………………………………………………………….10分23. （1）不等式． 当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为．…………………… 5分 （2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即…………………………….10分。
成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合{}11P x x =-<，{}12Q x x =-<<，则P Q =（ ）A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,2 【答案】 D【解析】集合{}{}1102P x x x x =-<=<<，所以()0,2P Q =，故选D.考点：集合的基本运算.2．已知向量()()()2,1,3,4,,2k ===a b c .若()3-a b c ，则实数k 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．1-D ．6【答案】 B【解析】由题意得()33,1-=-a b ，所以60,6k k +==-.故选B. 考点：1、平面向量坐标运算；2、平面向量共线的坐标表示． 3．若复数z 满足()31i 12i z +=-，则z 等于（ ）A ．2 B ．32 C ．22 D ．12【答案】 A【解析】由31i 12i z +=-，得312i 5101i22z -===+.故选A.考点：复数的模及其运算．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4520,10S a ==，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．32【解析】由41514620,410S a d a a d =+==+=，解得2d =，所以1651132a a d =+=.故选D. 考点：等差数列基本运算.5．已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ C ．若,m m αβ⊄⊥，则m α D ．若,m m n αβ=⊥，则n α⊥【答案】 C【解析】若m α⊂，可能mβ，所以A 不正确；若,m n αβ⊂⊂，则m 与n 平行或相交，所以B 不正确；因为αβ⊥，m β⊥，所以m α或m α⊂，又m α⊄，所以C 正确；对于D 选项缺少条件n β⊂，所以D 不正确.故选C.考点：点、线、面的平行和垂直关系.6．若6x⎛ ⎝的展开式中含32x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．22D ．22-【答案】 B【解析】展开式通项为()3662166rrr r r r r T C x a C x x --+⎛==- ⎝，令33622r -=，得3r =，所以()333620160a C a -=-=，所以2a =-.故选B.考点：二项式定理.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示．现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A．()2sin 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 24g x x 3π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2cos2g x x =D ．()2sin 24g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】由图象可知2A =，534884T πππ=-=，T ∴=π，2ω=， 代入点5,28π⎛⎫-⎪⎝⎭得5sin 14ϕπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，4ϕπ∴=，()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 244g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D. 考点：1、三角函数的图象；2、三角函数图象的变换.8．若x 22x ≤≤22223x x+≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B【解析】由22223x x +≤≤，解得12x ≤≤，所以“2222x ≤≤”是“22223x x+≤≤” 必要不充分条件.故选B.考点：1、充分条件与必要条件；2、简单的分式不等式的解法. 9．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B ．6πC D ．24π【答案】 C【解析】由阳马的定义和正视图和侧视图该几何体的直观图如图所示，其中1,2P A A D A B ===，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则可设球心O 的坐标为11,,2x ⎛⎫⎪⎝⎭，点()0,0,1P ，由AO OP =得()221111144x x ++=++-，解得12x =， 所以球的半径62R =，所以体积为3463V R π==π.故选C.考点：1、三视图；2、空间几何体的体积.10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 【答案】 D【解析】该程序框图的功能为求2462n S n =++++，所以()156n S n n =+=，所以7n =，所以则判断框中的条件可以是6?n >.故选D. 考点：1、算法与程序框图；2、等差数列求和. 11．已知函数()()1ln 0,0e m f x n x m n x =-->≤≤在区间[]1,e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A ．2e 2e ,1e e 12+⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ B ．2e ,1e 12⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦ C ．2,1e 1⎡⎤⎢⎥+⎣⎦ D ．e 1,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】 A【解析】由题意知()f x 在区间[]1,e 上为减函数，所以()()10,e 0f f ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩所以10,10e m m n -≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩，所以1,e e 0,0e,m m n n ≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩所表示的可行区域（如图）是四边形ABCD ，其中()1,0A ，()e,0B ，()2e e,e C +，()1,e D ，21n m ++表示点(),m n 与点()1,2P --连线的斜率，又2e 2e e 1PC k +=++，e12PD k =+， 所以2e 22e 1e e 112n m ++≤≤++++.故选A.考点：1、函数的零点；2、线性规划.12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点，若点,A B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点，当12AP PB =时，AOB △的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．329 B ．169 C ．89 D ．49【答案】 A【解析】双曲线C 渐近线方程为b y x a =±，可设11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,b B x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()120,0x x >>.因为122112*********AOB b b bS x y x y x x x x x x b a a a=-=+==△，所以122x x a =， 因为12AP PB =，所以点P 的坐标为()121222,33b x x x x a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以()()222121222222199x x b x x a a b+--=，化简得21289x x a =， 所以2169a a =，所以169a =，所以双曲线C 的实轴长为329.故选A. 考点：双曲线方程及其性质.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上. 13．已知132a =，2312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2log ab = . 【答案】 13-【解析】因为2112133333122222ab --⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，所以()13221log log 23ab -==-.考点：指数与对数的运算.14．如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 . 【答案】 24【解析】由条形图可得喜欢篮球运动的女生有100名，喜欢篮球运动的男生有300名，所以抽取的男生人数为332244⨯=人. 考点：1、统计图表；2、分层抽样.15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为 . 【答案】 22【解析】由题意可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2p P P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，所以AF PF p ==， 所以AFP △是等腰直角三角形，所以AF 为直径的圆截直线AP 22222==，2p =考点：抛物线的性质.16．已知数列{}n a 共16项，且181,4a a ==.记关于x 的函数()()32213n n n x f x a x a x =-+-，*n ∈N .若()1115n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线()8y f x =在点()()1616,a f a 处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{}n a 的个数为 . 【答案】 1176【解析】由题意可得()()()()222111n n n n n f x x a x a x a x a '=-+-=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以11n n a a +=+或11n n a a +=-，所以11n n a a +-=.又()28815f x x x '=-+，所以2161681515a a -+=，所以160a =或168a =.①当160a =时，由()()()812132873a a a a a a a a -=-+-++-=，得()*117,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有2个为1-，5个为1；由()()()1689810916154a a a a a a a a -=-+-++-=-，得()*1815,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有个6为1-，2个为1， 所以此时数列{}n a 的个数为2278588C C =.①当168a =时，由()()()812132873a a a a a a a a -=-+-++-=，得()*117,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有2个为1-，5个为1；由()()()1689810916154a a a a a a a a -=-+-++-=，得()*1815,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有个2为1-，6个为1，所以此时数列{}n a 的个数为2278588C C =. 综上，数列{}n a 的个数为222278781176C C C C +=.考点：1、数列的概念；2、函数的极值；3、排列组合.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数()213cos cos 2222x x x f x =-+. （I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若ABC △的内角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，()12f A =，3a =sin 2sin B C =，求c . 【答案】（I ）()252,233k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ；（Ⅱ）1c = 【解析】考点：1、三角函数的性质；2、正余弦定理.18．（本小题满分12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22⨯列联表如下：（I ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑券.用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元的概率分别是11,25，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d K -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（I ）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系；（Ⅱ）1.8元 【解析】考点：1、独立性检验；2、独立事件概率公式；3、随机变量的分布列与数学期望. 19．（本小题满分12分）如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（I ）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （Ⅱ）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（I）详见解析；（Ⅱ）1 7【解析】考点：1、空间直线与平面垂直关系；2、面面角的向量求法. 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A ，离心率为22，点B 是椭圆上的动点，1ABF △的面积的最大值为212. （I ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线为l '. 若直线l '与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQMN的最小值. 【答案】（I ）2212x y +=；（Ⅱ）2 【解析】考点：1、椭圆的标准方程及其性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式. 21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x x ax =++，a ∈R .（I ）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）当*n ∈N 时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<+++<++. 【答案】（I ）[)1,-+∞；（Ⅱ）详见解析. 【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题；3、导数与不等式的证明；4、放缩法.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为232sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，()0,απ.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.（I ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】（I ）100x y --=，()2210124x y y +=>；（Ⅱ）【解析】考点：极坐标与参数方程. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()211f x x x =++-. （Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m .若,,a b c 均为正实数，且122a b c m ++=，求222a b c ++的最小值. 【答案】（I ）(][),11,-∞-+∞；（Ⅱ）37【解析】考点：1、绝对值不等式解法；2、柯西不等式.。
成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合{}11P x x =-<，{}12Q x x =-<<，则P Q = （ ） A ．11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,2【答案】 D 【解析】集合{}{}1102P x x x x =-<=<<，所以()0,2P Q = ，故选D. 考点：集合的基本运算.2．已知向量()()()2,1,3,4,,2k ===a b c .若()3-a b c ，则实数k 的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ．6【答案】 B 【解析】由题意得()33,1-=-a b ，所以60,6k k +==-.故选B. 考点：1、平面向量坐标运算；2、平面向量共线的坐标表示． 3．若复数z 满足()31i 12i z +=-，则z 等于（ ）A B ．32 C D ．12【答案】 A 【解析】由31i 12i z +=-，得312i 1i z -===+故选A. 考点：复数的模及其运算．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4520,10S a ==，则16a =（ ）A ．32-B ．12C ．16D ．32【答案】 D 【解析】由41514620,410S a d a a d =+==+=，解得2d =，所以1651132a a d =+=.故选D. 考点：等差数列基本运算.5．已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C ．若,m m αβ⊄⊥，则m αD ．若,m m n αβ=⊥ ，则n α⊥ 【答案】 C【解析】若m α⊂，可能m β ，所以A 不正确；若,m n αβ⊂⊂，则m 与n 平行或相交，所以B 不正确；因为αβ⊥，m β⊥，所以m α 或m α⊂，又m α⊄，所以C 正确；对于D 选项缺少条件n β⊂，所以D 不正确.故选C.考点：点、线、面的平行和垂直关系.6．若6x⎛ ⎝的展开式中含32x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．D ．-【答案】 B【解析】展开式通项为()3662166rr r r r r r T C x a C x --+⎛==- ⎝，令33622r -=，得3r =，所以()333620160a C a -=-=，所以2a =-.故选B.考点：二项式定理.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示．现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()2sin 24g x x 3π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2cos2g x x =D ．()2sin 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】 D【解析】由图象可知2A =，534884T πππ=-=，T ∴=π，2ω=， 代入点5,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭得5sin 14ϕπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，4ϕπ∴=，()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 244g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D.考点：1、三角函数的图象；2、三角函数图象的变换.8．若x 为实数，则“2x ≤≤223x x +≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】由223x x +≤≤，解得12x ≤≤，所以“2x ≤≤223x x +≤≤” 必要不充分条件.故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、简单的分式不等式的解法.9．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B ．C D ．24π【答案】 C【解析】由阳马的定义和正视图和侧视图该几何体的直观图如图所示，其中1,2PA AD AB ===，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则可设球心O 的坐标为11,,2x ⎛⎫⎪⎝⎭，点()0,0,1P ， 由AO OP =得()221111144x x ++=++-，解得12x =，所以球的半径R =，所以体积为343V R π==.故选C. 考点：1、三视图；2、空间几何体的体积.10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 【答案】 D【解析】该程序框图的功能为求2462n S n =++++ ，所以()156n S n n =+=，所以7n =，所以则判断框中的条件可以是6?n >.故选D.考点：1、算法与程序框图；2、等差数列求和. 11．已知函数()()1ln 0,0e m f x n x m n x =-->≤≤在区间[]1,e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A ．2e 2e ,1e e 12+⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ B ．2e ,1e 12⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦ C ．2,1e 1⎡⎤⎢⎥+⎣⎦ D ．e 1,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】 A【解析】由题意知()f x 在区间[]1,e 上为减函数，所以()()10,e 0f f ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩所以10,10e m m n -≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩，所以1,e e 0,0e,m m n n ≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩所表示的可行区域（如图）是四边形ABCD ，其中()1,0A ，()e,0B ，()2e e,e C +， ()1,e D ，21n m ++表示点(),m n 与点()1,2P -- 连线的斜率，又2e 2e e 1PC k +=++，e12PD k =+，所以2e 22e1e e 112n m ++≤≤++++.故选A.考点：1、函数的零点；2、线性规划.12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点，若点,A B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点，当12AP PB =时，AOB △的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．329B ．169C ．89D ．49【答案】 A【解析】双曲线C 渐近线方程为b y x a =±，可设11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,b B x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()120,0x x >>. 因为122112*********AOBb b b S x y x y x x x x x x b a a a=-=+==△，所以122x x a =， 因为12AP PB = ，所以点P 的坐标为()121222,33b x x x x a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()()222121222222199x x b x x a a b +--=，化简得21289x x a =，所以2169a a =，所以169a =，所以双曲线C 的实轴长为329.故选A.考点：双曲线方程及其性质.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上. 13．已知132a =，2312b ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()2log ab =.【答案】 13-【解析】因为2112133333122222ab --⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，所以()13221log log 23ab -==-.考点：指数与对数的运算.14．如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 .【答案】 24【解析】由条形图可得喜欢篮球运动的女生有100名，喜欢篮球运动的男生有300名，所以抽取的男生人数为332244⨯=人. 考点：1、统计图表；2、分层抽样.15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为 .【答案】 【解析】由题意可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2p P P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，所以AF PF p ==，所以AFP △是等腰直角三角形，所以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为22==，p =考点：抛物线的性质.16．已知数列{}n a 共16项，且181,4a a ==.记关于x 的函数()()32213n n n x f x a x a x =-+-，*n ∈N .若()1115n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线()8y f x =在点()()1616,a f a 处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{}n a 的个数为 . 【答案】 1176【解析】由题意可得()()()()222111n n n n n f x x a x a x a x a '=-+-=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以11n n a a +=+或11n n a a +=-，所以11n n a a +-=.又()28815f x x x '=-+，所以2161681515a a -+=，所以160a =或168a =.①当160a =时，由()()()812132873a a a a a a a a -=-+-++-= ，得()*117,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有2个为1-，5个为1；由()()()1689810916154a a a a a a a a -=-+-++-=- ，得()*1815,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有个6为1-，2个为1，所以此时数列{}n a 的个数为2278588C C =. ①当168a =时，由()()()812132873a a a a a a a a -=-+-++-= ，得()*117,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有2个为1-，5个为1；由()()()1689810916154a a a a a a a a -=-+-++-= ，得()*1815,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有个2为1-，6个为1，所以此时数列{}n a 的个数为2278588C C =.综上，数列{}n a 的个数为222278781176C C C C +=. 考点：1、数列的概念；2、函数的极值；3、排列组合. 三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数()21cos cos 2222x x x f x =-+. （I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若ABC △的内角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，()12f A =，a =sin 2sin B C =，求c .【答案】（I ）()252,233k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ；（Ⅱ）1c = 【解析】考点：1、三角函数的性质；2、正余弦定理.18．（本小题满分12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22⨯列联表如下：（I ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元的概率分别是11,25，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d K -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（I ）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系；（Ⅱ）1.8元 【解析】考点：1、独立性检验；2、独立事件概率公式；3、随机变量的分布列与数学期望. 19．（本小题满分12分）如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（I ）若点是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （Ⅱ）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.【解析】考点：1、空间直线与平面垂直关系；2、面面角的向量求法. 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A 2B是椭圆上的动点，1ABF △的面积的最大值为212. （I ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线为l '. 若直线l '与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.【答案】（I ）2212x y +=；（Ⅱ）2 【解析】考点：1、椭圆的标准方程及其性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式. 21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x x ax =++，a ∈R .（I ）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）当*n ∈N 时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<+++<++ .【答案】（I ）[)1,-+∞；（Ⅱ）详见解析. 【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题；3、导数与不等式的证明；4、放缩法.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，()0,απ.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （I ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】（I ）100x y --=，()2210124x y y +=>；（Ⅱ）【解析】考点：极坐标与参数方程. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()211f x x x =++-. （Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m .若,,a b c 均为正实数，且122a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（I ）(][),11,-∞-+∞ ；（Ⅱ）37【解析】考点：1、绝对值不等式解法；2、柯西不等式.。
