第五章定积分的应用01284

⾼等数学第五章定积分及其应⽤第五章定积分及其应⽤第⼀节定积分概念1、内容分布图⽰★曲边梯形★曲边梯形的⾯积★变速直线运动的路程★变⼒沿直线所作功★定积分的定义★定积分存在定理★定积分的⼏何意义★定积分的物理意义★例1 ★定积分的近似计算★例2★内容⼩结★课堂练习★习题5-1 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1利⽤定积分的定义计算积分01dx x 2?.讲解注意：例2的近似值．⽤矩形法和梯形法计算积分-102dx ex讲解注意：第⼆节定积分的性质1、内容分布图⽰★性质1-4★性质5及其推论★例1★性质6★例2★例3★性质7★例4★函数的平均值★例5★内容⼩结★课堂练习★习题5-2★返回2、讲解注意：例1⽐较积分值dx e x ?-2和dx x ?-2的⼤⼩.讲解注意：例2估计积分dx xπ+03sin 31的值.讲解注意：例3估计积分dx xxππ/2/4sin 的值.讲解注意：例4设)(x f 可导1)(lim =+∞→x f x 求且,,dt t f tt x x x ?++∞→2)(3sin lim .讲解注意：例5计算纯电阻电路中正弦交流电t I i m ωsin =在⼀个周期上的()功率的平均值简称平均功率.讲解注意：第三节微积分基本公式1、内容分布图⽰★引例★积分上限函数★积分上限函数的导数★例1-2★例3★例4★例5★例6★例7-8 ★例9★例10★例11★例12★例13★例14★内容⼩结★课堂练习★习题5-3★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?x tdt dxd 02cos 求[].讲解注意：例2dt e dxdx t ?321求[].讲解注意：例3.)()((3);)()((2);)((1).,)(00sin cos )(?-===x x x x t f dt t x f x F dt t xf x F dt e x F x f 试求以下各函数的导数是连续函数设讲解注意：例4求.1cos 02x dte x t x ?-→讲解注意：设)(x f 在),(+∞-∞内连续0)(>x f .证明函数且,??=xxdtt f dtt t x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数.f 例5讲解注意：例6],1[)ln 21()(1上的最⼤值与最⼩在求函数e dt t t x I x ?+=.值讲解注意：例7求.dx x ?12讲解注意：例8求.1dxx ?--12讲解注意：例9设求??≤<≤≤=215102)(x x x x f ?2讲解注意：例10.|12|10-dx x 计算讲解注意：.cos 1/3/22?--ππdx x 计算例11讲解注意：例12求.},max{222?-dx x x讲解注意：例13计算由曲线x y sin =在,0π之间及x .轴所围成的图形的⾯积x =x =A讲解注意：例14?,./5.,362了多少距离问从开始刹车到停车刹车汽车以等加速度到某处需要减速停车速度⾏驶汽车以每⼩时s m a km -=汽车驶过设讲解注意：第四节换元法积分法和分部积分法1、内容分布图⽰★定积分换元积分法★例1★例2★例3★例4★定积分的分部积分法★内容⼩结★课堂练习★习题5-4★返回★例5★例6★例7★例16★例17★例182、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1计算.sin cos /25?πxdx x讲解注意：例2?a0dx 计算.0a >)(-2x 2a讲解注意：例3计算.sin sin 053?π-dx x x讲解注意：例4计算定积分dx x x ++412.2?讲解注意：例5当)(x f 在],[a a -上连续,,,)(x f 为偶函数当当有(1)(2)则 ??-=aaadx x f dx x f 0)(2)()(x f 为奇函数有?-=aa dx x f 0)(.;讲解注意：例6.--+dx e x x x 计算讲解注意：例7计算.11cos 21122?--++dx x xx x讲解注意：例8若)(x f 在]1,0[上连续证明,(1)?=00)(cos )(sin dx x f dx x f ;(2)πππ=)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,由此计算?π+02cos 1sin dx x x x ./2π/2π讲解注意：例9计算.arcsin 0?xdx 1/2讲解注意：例10计算.2cos 10+x xdx/4π讲解注意：例11计算.sin 0?xdx /2π2x讲解注意：例12.1dx e x 计算1/2讲解注意：例13.1)1ln(102++dx x x 求定积分讲解注意：例14-22ln e e dx x x求.讲解注意：例15.,612ln 2x e dt xt 求已知?=-π讲解注意：例16).(,)(13)()(1022x f dx x f x x x f x f 求满⾜⽅程已知? --=讲解注意：例17证明定积分公式xdx I n n n 0--?-??--?-=n n n n n n n n n n ,3254231,22143231π为正偶数.为⼤于1的正奇数./2π/2π??讲解注意：例18?π05.2cos dx x 求讲解注意：第五节定积分的⼏何应⽤1、内容分布图⽰★平⾯图形的⾯积A ★例1 ★例2 ★平⾯图形的⾯积B ★例3 ★例4 ★平⾯图形的⾯积C ★例5 ★平⾯图形的⾯积D★例6 ★例7 ★例8 旋转体★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9 ★例 10 ★例 11 ★平⾏截⾯⾯积为已知的⽴体的体积★例 12 ★例 13 ★内容⼩结★课堂练习★习题5-5 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1]1,1[]1,0[2之间的⾯积.和轴上⽅在下⽅与分别求曲线-∈∈=x x x x y讲解注意：例2],1[ln 之间的⾯积.轴上⽅在下⽅与求e x x y =讲解注意：例3.1,1,03所围图形⾯积与直线求=-===x x y x y讲解注意：例44,0,042所围图形⾯积.和直线求由曲线===-=x x y x y讲解注意：例5.2所围成平⾯图形的⾯积与求由抛物线x y x y ==讲解注意：例642,2,所围成图形的⾯积.求由三条直线=-=+=y x y x x y422围成图形的⾯积与求+-==x y x y讲解注意：例8.0cos sin 之间所围图与在和求由曲线π====x x x y x y 形的⾯积讲解注意：例9r 圆锥体的直线、h x =及x 轴围直线连接坐标原点O 及点),(r h P 成⼀个直⾓三⾓形.x 轴旋转构成⼀个底半径为计算圆锥体的体积.h ,将它绕⾼为,的讲解注意：例10.12222y x V V y x by a x 和积轴旋转所得的旋转体体轴和分别绕求椭圆=+讲解注意：例112,22轴旋转⽽成的旋转体的体积.轴和所围成的图形分别绕求由曲线y x x y x y -==讲解注意：例12⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼计算这平⾯截圆柱体所得⽴体的体积.并与底⾯交成,,⾓讲解注意：例13.的正劈锥体的体积的圆为底、求以半径为h R ⾼位平⾏且等于底圆直径的线段为顶、讲解注意：第六节积分在经济分析中的应⽤1、内容分布图⽰★由边际函数求原经济函数★需求函数★例1★总成本函数★例2★总收⼊函数★例3★利润函数★例4由边际函数求最优问题★例5★例6其它经济应⽤★例7⼴告策略★消费者剩余★例8★国民收⼊分配★例9★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1),80,(80,4) (,==-='q pp qp格的函数关系.时即该商品的最⼤需求量为且边际需求的函数已知对某商品的需求量是价格求需求量与价讲解注意：例2, 90,2)(0.2 ==ceqCq 求总成本函数.固定成本的函数若⼀企业⽣产某产品的边际成本是产量讲解注意：例310,40),/(2100)(个单位时单位时的总收⼊及平均收⼊求⽣产单位元单位时的边际收⼊为已知⽣产某产品-='q q R q 并求再增加⽣产所增加的总收⼊.讲解注意：例45,10,413)(,225)(0==-='-='q c q q C q q R 时的⽑利和纯利.求当固定成本为边际成本已知某产品的边际收⼊讲解注意：例5吨产品时的边际成本为某企业⽣产q )/30501)(吨元q q C +='(?,900试求产量为多少时平均成本最低元且固定成本为讲解注意：例6q q q C q q R ,1(3)?(2);54(1)),/(/44)(),/(9)(+='-='求总成本函数和利润函数.万元已知固定成本为当产量为多少时利润最⼤万台时利润的变化量万台增加到试求当产量由其中产量万台万元成本函数为万台万元假设某产品的边际收⼊函数为以万台为单位.边际讲解注意：例70.02,10%,,100000,130000)(,.10%,1000000t e t 则决如果新增销售额产⽣的利润超过⼴告投资的美元的⼴告活动对于超过按惯例⾏⼀次类似的总成本为以⽉为单位下式的增长曲线⼴告宣传期间⽉销售额的变化率近似服从如根据公司以往的经验平均利润是销售额的美元某出⼝公司每⽉销售额是美元的⼴告活动.试问该公司按惯例是否应该做此⼴告.1000000公司现在需要决定是否举定做⼴告讲解注意：8例.2,318)(-=CS q q D 并已知需求量为如果需求曲线为个单位试求消费者剩余,表⽰某国某年国民收⼊在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由讲解注意：第七节⼴义积分1、内容分布图⽰★⽆穷限的⼴义积分★⽆穷限的⼴义积分⼏何解释★例1★例2★例3★例4★例5★例6★⽆界函数的⼴义积分例7★例8★例9★例10★例11★例12★例13★内容⼩结★课堂练习★习题5-7★返回★2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?∞+-0.dx e x 计算⽆穷积分讲解注意：例2.sin 0的收敛性判断⽆穷积分∞+xdx讲解注意：例312?∞+∞-+x dx计算⼴义积分讲解注意：例4计算⼴义积分.1sin 12∞+dx x x 2/π讲解注意：例5计算⼴义积分∞+-pt dt e 且0>p 时收敛p 是常数,(). t 0讲解注意：例6证明⼴义积分∞+11dxx p当1>p 时收敛当1≤p 时发散.,讲解注意：例7计算⼴义积分).0(022>-?a x a dxa讲解注意：例8证明⼴义积分11dx x q当1""讲解注意：例9计算⼴义积分.ln 21x dx讲解注意：例10计算⼴义积分.30dx1=x 瑕点)1(2/3-x .讲解注意：例11计算⼴义积分?∞+03+x x dx1().讲解注意：例12.)1(arcsin 10-dx x x x计算⼴义积分讲解注意：例13.11105?∞+++x x x dx 计算⼴义积分讲解注意：。

定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。

本文将从三个方面来论述定积分的应用。

一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。

以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。

其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。

以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。

最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。

二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。

比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。

若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。

三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。

比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。

而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。

在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。

在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。

总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。

熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。

第5章 定积分及其应用学习目标理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质. 掌握变上限定积分的导数的计算方法.熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法. 了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理,最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.5.1 定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1实例分析1.曲边梯形的面积在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线0,,===y b x a x 及曲线)(x f y =所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.现在求0)(≥x f 时，在连续区间],[b a 上围成的曲边梯形的面积A （如图5.1(a),(b)所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点：b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210，把区间(a)],[b a 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i x x x x x x x x -- ，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，过每个分点作垂直于x 轴的直线段，它们把曲边梯形分成n 个小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为),2,1(n i A i ⋅⋅⋅=∆.(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ，作以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则),,2,1()(n i x f A i i i ⋅⋅⋅=∆≈∆ξ.(3)求和——求n 个小矩形面积之和n 个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A ，即n A A A A ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=21n n x f x f x f ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈)()()(2211ξξξi ni i x f ∆=∑=)(1ξ.(4)取极限令{}i ni x ∆=≤≤1max λ，当分点n 无限增多且0→λ时，和式i ni i x f ∆∑=)(1ξ的极限便是曲边梯形的面积A ，即i ni i x f A ∆=∑=→)(lim1ξλ.2．变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间t 的连续函数)(t v v =，求物体在时刻1T t =到2T t =间所经过的路程S .我们知道，匀速直线运动的路程公式是：vt S =，现设物体运动的速度v 是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1)分割——把整个运动时间分成n 个时间段图5.2在时间间隔],[21T T 内任意插入1-n 个分点：21101T t t t t T n n =<<⋅⋅⋅<<=-，把],[21T T 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i t t t t t t t t --⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第i 个小区间的长度为),,2,1(1n i t t t i i i ⋅⋅⋅=-=∆-第i 个时间段内对应的路程记作),2,1(n i S i ⋅⋅⋅=∆.(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程 在小区间],[1i i t t -上任取一点),2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ,用速度)(i v ξ近似代替物体在时间],[1i i t t -上各个时刻的速度，则有),,2,1()(n i t v S i i i ⋅⋅⋅=∆≈∆ξ.(3)求和——求n 个小时间段路程之和将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即n S S S S ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=21n i t v t v t v ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈)()()(2211ξξξi ni it v ∆=∑=)(1ξ.(4)取极限令{}i ni t ∆=≤≤1max λ，当分点的个数n 无限增多且0→λ时，和式i ni i t v ∆∑=)(1ξ的极限便是所求的路程S .即i ni it v S ∆=∑=→)(lim1ξλ从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2定积分的概念定义5.1 设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任取分点b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210 把区间],[b a 任意分割成n 个小区间],[1i i x x -，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，记{}i ni x ∆=≤≤1max λ.在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ作和式i ni i x f ∆∑=)(1ξ，当0→λ时，若极限i ni i x f ∆∑=→)(lim1ξλ存在（这个极限值与区间],[b a 的分法及点i ξ的取法无关），则称函数)(x f 在],[b a 上可积，并称这个极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim1ξλ .其中，“)(x f ”称为被积函数，“dx x f )(”称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间.根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为： ①曲边梯形的面积A 是曲线)(x f y =在区间],[b a 上的定积分.⎰=b adx x f A )((0)(≥x f ).②变速直线运动的物体所走过的路程S 等于速度函数)(t v v =在时间间隔],[21T T 上的定积分.⎰=21)(T T dt t v S .关于定积分的定义作以下几点说明：⑴闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的. ⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数)(x f 和积分区间],[b a ，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有⎰⎰=b abadt t f dx x f )()(.⑶在定积分的定义中，有b a <，为了今后计算方便，我们规定：⎰⎰-=baa b dx x f dx x f )()(.容易得到 0)(=⎰aa dx x f .5.1.3定积分的几何意义设)(x f 是[]b a ,上的连续函数，由曲线)(x f y =及直线0,,===y b x a x 所围成的 曲边梯形的面积记为A .由定积分的定义及5.1.1实例1，容易知道定积分有如下几何意义：（1）当0)(≥x f 时，A dx x f ba =⎰)(（2）当0)(≤x f 时，A dx x f ba-=⎰)(（3）如果)(x f 在[]b a ,上有时取正值，有时取负值时，那么以[]b a ,为底边，以曲线 )(x f y =为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于x 轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有321)(A A A dx x f b a+-=⎰其中321,,A A A 分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.例5.1.1 利用定积分的几何意义，证明21112π=-⎰-dx x .证 令]1,1[,12-∈-=x x y ，显然0≥y ，则由21x y -=和直线1,1=-=x x ，0=y所围成的曲边梯形是单位圆位于x 轴上方的半圆. 如图5.4所示.因为单位圆的面积π=A ，所以 半圆的面积为2π.由定积分的几何意义知：21112π=-⎰-dx x .5.1.4定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.性质5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()(.性质5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即[]⎰⎰⎰±=±b ab abadx x g dx x f dxx g x f )()()()(.这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形. 性质5.1.3（积分的可加性）对任意的点c ，有⎰⎰⎰+=b cc ab adx x f dx x f dx x f )()()(.注意 c 的任意性意味着不论c 是在],[b a 之内，还是c 在],[b a 之外，这一性质均成立.性质5.1.4如果被积函数c c x f (,)(=为常数),则⎰-=b aa b c cdx )(.特别地,当1=c 时,有⎰-=baa b dx .性质5.1.5（积分的保序性）如果在区间],[b a 上,恒有)()(x g x f ≥，则⎰⎰≥b ab adx x g dx x f )()(.性质5.1.6（积分估值定理）如果函数)(x f 在区间],[b a 上有最大值M 和最小值m ,则).()()(a b M dx x f a b m b a-≤≤-⎰性质 5.1.7 (积分中值定理) 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则在),(b a 内至少有一点ξ,使得⎰-=b aa b f dx x f ))(()(ξ ),(b a ∈ξ.证 因)(x f 在],[b a 内连续，所以)(x f 在],[b a 内有最大值M 和最小值m ， 由性质5.1.6知： ).()()(a b M dx x f a b m b a-≤≤-⎰从而有 .)(1M dx x f ab m b a≤-≤⎰这就说：⎰-b adx x f ab )(1是介于m 与M 之间的一个实数.由连续函数的介值定理1.10知：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()(1ξf dx x f ab b a=-⎰.即⎰-=b aa b f dx x f ))(()(ξ ),(b a ∈ξ.注 性质5.1.7的几何意义是:由曲线)(x f y =,直线b x a x ==,和x 轴所围成曲边梯形的面积等于区间],[b a 上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间],[b a ,矩形的 高为区间],[b a 内某一点ξ处的函数值)(ξf ， 如图5.5所示.显然，由性质5.1.7可得⎰-=b adx x f ab f )(1)(ξ，)(ξf 称为函数)(x f 在区间],[b a 上的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.性质5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设)(x f 在对称区间],[a a -上连续,则有 ①如果)(x f 为奇函数,则⎰-=a a dx x f 0)(； ②如果)(x f 为偶函数,则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.例5.1.2 估计定积分dx e x ⎰--112的值.解 设2)(x e x f -=,22)('x xe x f --=，令0)('=x f ,得驻点0=x ，比较0=x 及区间端点1±=x 的函数值,有1)0(0==e f ,eef 1)1(1==±-.显然2)(x e x f -=在区间]1,1[-上连续,则)(x f 在]1,1[-上的最小值为em 1=,最大值为1=M ，由定积分的估值性质,得22112≤≤⎰--dx ee x.例5.1.3 比较定积分dx x ⎰12与dx x ⎰13的大小.解 因为在区间]1,0[上,有32x x ≥,由定积分保序性质,得dx x ⎰102dx x ⎰≥103.习题5.11.用定积分表示由曲线322+-=x x y 与直线4,1==x x 及x 轴所围成的曲边梯形的面积.2.利用定积分的几何意义,作图证明：(1)⎰=1012xdx (2)2224R xRR π=-⎰3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小.(1)dx x ⎰10,dx x ⎰102 (2)dx e x ⎰10,dx e x ⎰-12(3)⎰43ln xdx ,xdx ⎰432ln (4)⎰40cos πxdx , ⎰40sin πxdx4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围. (1)dx e x ⎰1(2)⎰-2)2(dx x x(3)dx x x ⎰+2121(4)dx xx ⎰--202955.试用积分中值定理证明0sin lim1=⎰++∞→dx xx n nn .5.2 定积分的基本公式定积分就是一种特定形式的极限，直接利用定义计算定积分是十分繁杂的，有时甚至无法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具——牛顿—莱布尼兹公式.5.2.1变上限定积分定义5.2 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分⎰xadt t f )(和x 对应，因此⎰xadt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记为⎰=Φx adt t f x )()(，],[b a x ∈.称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.变上限积分函数的几何意义是： 如果0)(>x f ，对][b a ,上任意x ，都对应唯一一个曲边梯形的面积)(x Φ， 如图5.6中的阴影部分.因此变上限 积分函数有时又称为面积函数.函数)(x Φ具有如下重要性质.定理 5.1 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则⎰=Φx adt t f x )()(在],[b a 上可导，且)()()()(b x a x f dt t f dxd x x a≤≤==Φ'⎰.证 给定函数)(x Φ的自变量x 的改变量x ∆，函数)(x Φ有相应的改变量∆Φ.则⎰⎰⎰∆+∆+=-=Φ-∆+Φ=∆Φx x xx ax x adt t f dt t f dt t f x x x )()()()()(.由定积分的中值定理，存在),(),(x x x x x x ∆+∆+∈或ξ，使x f dt t f x x x∆=⎰∆+)()(ξ成立.所以)()(lim )(lim )(limlim)()(0x f f f xx f xx x f xx x x 连续ξξξξ→→∆→∆→∆==∆∆=∆∆Φ=Φ'.由定理5.1可知，如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则函数⎰=Φx adt t f x )()(就是)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数.由定理5.1我们有下面的结论.定理5.2（原函数存在定理） 如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为⎰=Φx adt t f x )()(.注 这个定理一方面肯定了闭区间],[b a 上连续函数)(x f 的一定有原函数（解决了第四章第一节留下的原函数存在问题），另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础.例5.2.1 计算tdt edxd x tsin 0⎰-.解tdt edxd x tsin 0⎰-=]sin [0'⎰-tdt e xt =x exsin -.例5.2.2 求⎰+→x x dt t x2)1ln(1lim.解 当0→x 时，此极限为00型不定式，两次利用洛必塔法则有⎰+→x x dt t x2)1ln(1lim=2)1ln(limxdt t x x ⎰+→ =xx x 2)1ln(lim+→=211lim 0x x +→=21例5.2.3 求dt t dxd x )1(212+⎰.解 注意，此处的变上限积分的上限是2x ，若记2x u =，则函数dt t x )1(212+⎰可以看成是由dt t y u )1(12+=⎰与2x u =复合而成，根据复合函数的求导法则得dt t dxd x )1(212+⎰=dxdu dt t dud u ])1([12+⎰=x u 2)1(2+=x x 2)1(4+=x x 225+.一般地有，如果)(x g 可导，则)()]([])([])([)()(x g x g f dt t f dt t f dx d x x g ax g a'='=⎰⎰.上式可作为公式直接使用.例5.2.4 求极限402sin limxtdt x x ⎰→. 解 因为0lim 4=→x x ，⎰⎰==→2000sin sin limx x tdt tdt ，所以这个极限是00型的未定式，利用洛必塔法则得42sin limxtdt x x ⎰→=3242sin lim x x x x ⋅→=222sin limxx x →=22sin lim 21xx x → =21.5.2.2微积分基本公式定理5.3 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(.证 由定理5.2知，⎰=Φx adt t f x )()(是)(x f 在区间],[b a 的一个原函数，则)(x Φ与)(x F 相差一个常数C ，即C x F dt t f x a+=⎰)()(.又因为C a F dt t f a a+==⎰)()(0，所以)(a F C -=.于是有)()()(a F x F dt t f x a -=⎰.所以 ⎰-=baa Fb F dx x f )()()(成立.为方便起见，通常把)()(a F b F -简记为ba x F )(或ba x F )]([，所以公式可改写为)()()()(a F b F x F dx x f bab a-==⎰上述公式称为牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式，又称为微积分基本公式. 定理5.3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.确切地说，要求连续函数)(x f 在],[b a 上的定积分，只需要求出)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数)(x F ，然后计算)()(a F b F -就可以了.例5.2.5 计算dx x ⎰102.解 因为C x dx x +=⎰3231，所以dx x ⎰102=10331x=33031131⨯-⨯=31.例5.2.6 求dx eexx ⎰-+111.解 dx eexx ⎰-+111=⎰-++111)1(xxee d =11)1ln(-+xe=)1ln()1ln(1-+-+e e =1.例5.2.7 求dx x ⎰--312.解 根据定积分性质5.1.3，得dx x ⎰--312=⎰⎰⎰⎰---+-=-+-21322132)2()2(|2||2|dx x dx x dx x dx x=322212)221()212(x x x x -+--=2129+=5.例5.2.8 求极限.)321(lim4333nn n ++++∞→解 根据定积分定义,得.4141)(1lim)321(lim14110334333====++++∑⎰=∞→∞→xdx x ni n nn ni n n习题5.21.求下列函数的导数： (1)dt t x F x ⎰+=21)( (2)dt tt x F x a⎰=2sin )((3) dt e t x F xt⎰-=12)( (4)tdt x F xx⎰-=22cos )(2.求下列函数的极限： (1)xtdt x x ⎰→02cos lim(2)211)1()1(lim--⎰→x dtt t x x(3)2arctan limxtdt x x ⎰→ (4)2)11(limxdtt t x x ⎰--+→3.求函数⎰-=x dt t t x F 0)2()(在区间]3,1[-上的最大值和最小值.4.求由曲线x x y 22+-=与直线2,0==x x 及x 轴所围成的曲边梯形的面积.5.求下列定积分的值：(1)dx x x )1(212-+⎰ (2)dx x x )2(21+⎰(3)dx xx ⎰+2021 (4)dx x⎰211(5)dx x ⎰πcos (6)dx e x⎰225.3 定积分的积分法在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式.5.3.1定积分的换元积分法定理5.4 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并且满足下列条件： （1）)(t x ϕ=，且)(αϕ=a ，)(βϕ=b ；（2）)(t ϕ在区间],[βα上单调且有连续的导数)(t ϕ'； （3）当t 从α变到β时，)(t ϕ从a 单调地变到b . 则有⎰⎰'=b adt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)(上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点： ①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用)(t x ϕ=把原积分变量x 换成新变量)(t ϕ，积分限也必须由原来的积分限a 和b 相应地换为新变量t 的积分限α和β，而不必代回原来的变量x ，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值.例5.3.1 求dx xx ⎰+301.解 令t x =+1，则12-=t x ，tdt dx 2=，当0=x 时，1=t ，当3=x 时，2=t ， 于是dx xx ⎰+301=tdt tt 21212⋅-⎰=dt t ⎰-212)1(2=213]31[2t t -=38例5.3.2 求xdx x sin cos 203⎰π.解法一设x t cos =，则xdx dt sin -=，当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是xdx x sin cos 203⎰π=)(013dt t -⋅⎰=dt t ⎰103=104]41[t =41.解法二xdx x sin cos 203⎰π=x xd cos cos 203⎰-π=204]cos41[πx -=41.解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变. 例5.3.3 求dx e x⎰-2ln 01.解 令t e x=-1，则)1l n (2t x +=，dt tt dx 212+=，当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t ，于是dx e x⎰-2ln 01=dt tt t ⎰+⋅1212=dt tt⎰+102212=dt t)111(212⎰+-=10]arctan [2t t -=22π-.例5.3.4 设)(x f 在区间],[a a -上连续，证明： （1）如果)(x f 为奇函数，则⎰-=a a dx x f 0)(； （2）如果)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.这结论是定积分的性质5.1.8，下面我们给出严格的证明. 证 由定积分的可加性知x d x f x d x f x d x f a aa a⎰⎰⎰+=--00)()()(，对于定积分⎰-0)(adx x f ，作代换t x -=，得⎰-0)(a dx x f =⎰--0)(adt t f =⎰-a dt t f 0)(=⎰-adx x f 0)(，所以 ⎰⎰⎰-+-=a aa a dx x f dx x f dx x f 0)()()(=⎰-+a dx x f x f 0)]()([（1）如果)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-，则0)()()()(=-=-+x f x f x f x f ， 于是 ⎰-=a adx x f 0)(.（2）如果)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，则)(2)()()()(x f x f x f x f x f =+=-+，于是 ⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.例5.3.5 求下列定积分： （1）dx xx x ⎰-+33421sin （2）dx x x 22224-⎰-解 （1）因为被积函数421sin )(xx x x f +=是奇函数，且积分区间]3,3[-是对称区间，所以dx xx x ⎰-+33421sin =0.（2）被积函数224)(x x x f -=是偶函数，积分区间]2,2[-是对称区间，所以dx x x22224-⎰-=dx x x22242-⎰，令t x sin 2=，则tdt dx cos 2=，t x cos 242=-，当0=x 时，0=t ；当2=x 时，2π=t ，于是dx x x22224-⎰-=tdt t ⎰2022cos sin 162π=tdt 2sin 8202⎰π=dt t ⎰-20)4cos 1(4π=20)4sin 4(πt t -=π2.2.分部积分法定理5.5 设函数)(x u u =和)(x v v =在区间],[b a 上有连续的导数，则有)()()]()([)()(x du x v x v x u x dv x u b ab ab a⎰⎰-=.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取)(x u 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.例5.3.6 求⎰21ln xdx x .解 ⎰21ln xdx x =⎰212)(ln 21x xd =)(ln 21ln 21212212x d x xx ⎰-=⎰-21212ln 2xdx =212412ln 2x -=432ln 2-.例5.3.7 求⎰πsin xdx x .解 ⎰πsin xdx x =⎰-πcos x xd =⎰+-ππcos cos xdx xx=ππ0sin x +=π.例5.3.8 求dx ex⎰10.解 令t x =，则2t x =，tdt dx 2=,当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t .于是dx ex⎰10=dt te t⎰12=⎰12t tde =dt e tett⎰-11022=1022tee -=222+-e e =2.此题先利用换元积分法，然后应用分部积分法.习题 5.31.求下列定积分的值： (1)dx xxe ⎰+1ln 1 (2)dx x x ⎰-121(3)dx e xx12121⎰(4)⎰++3011x dx(5)⎰+6413xx dx (6)dx xx ⎰-1011(7)dx e x x 2202⎰ (8)⎰1arctan xdx(9)⎰-+10)1ln(e dx x (10)xdx excos 202⎰π2.求下列定积分：(1)dx x x x x )cos sin 3(2112++⎰- (2)dx x x xx ⎰-++11242312sin(3)dx ax xa a⎰-+222(4)dx xx ⎰--+1121sin 15.4 定积分的应用由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.问题1 在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程)cos 1(θ+=a r)0(>a 确定的，要计算该凸轮的面积和体积.问题2 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m 和4m ，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.为了解决这些问题，下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些具体应用的计算公式，而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法.5.4.1定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A 的方法和步骤：(1)将区间],[b a 分成n 个小区间，相应得到n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为i A ∆),2,1(n i =；(2)计算i A ∆的近似值，即i i i x f A ∆≈∆)(ξ（其中],[,11i i i i i i x x x x x --∈-=∆ξ）；(3)求和得A 的近似值，即i ni i x f A ∆≈∑=1)(ξ；(4)对和取极限得⎰∑=∆==→b ai ni i dx x f x f A )()(lim1ξλ.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积A ）具有的特性：即A 在区间],[b a 上具有可分割性和可加性.第(2)步是关键，这一步确定的i i i x f A ∆≈∆)(ξ是被积表达式dx x f )(的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对i i i x f A ∆≈∆)(ξ省略下标，得x f A ∆≈∆)(ξ，用],[dx x x +表示],[b a 内的任一小区间，并取小区间的左端点x 为ξ，则A ∆的近似值就是以dx 为底，)(x f 为高的小矩形的面积（如图5.7阴影部分），即dx x f A )(≈∆.通常称dx x f )(为面积元素，记为dx x f dA )(=.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在],[b a 上“无限累加”，就得到面积A .即⎰=b adx x f A )(.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行： （1）确定积分变量x ，并求出相应的积分区间],[b a ；（2）在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，并在小区间上找出所求量F 的微元dx x f dF )(=；（3）写出所求量F 的积分表达式⎰=b adx x f F )(，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法. 注 能够用微元法求出结果的量F 一般应满足以下两个条件： ①F 是与变量x 的变化范围],[b a 有关的量；②F 对于],[b a 具有可加性，即如果把区间],[b a 分成若干个部分区间，则F 相应地分成若干个分量.5.4.2定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==，))()((x g x f ≥及直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）.下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈.②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高)()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素图5.7 图5.8dx x g x f dA )]()([-=.③写出积分表达式，即⎰-=b adx x g x f A )]()([.⑶求由两条曲线)(),(y x y x ϕψ==，))()((y y ϕψ≤及直线d y c y ==,所围成平 面图形（如图5.9）的面积.这里取y 为积分变量，],[d c y ∈， 用类似 (2)的方法可以推出：⎰-=d cdy y y A )]()([ψϕ.例5.4.1 求由曲线2x y =与22x x y -= 所围图形的面积.解 先画出所围的图形（如图5.10） 由方程组⎩⎨⎧-==222xx y x y ，得两条曲线的交点为 )1,1(),0,0(A O ，取x 为积分变量，]1,0[∈x .由公式得dx x x x A )2(1022⎰--=1032]32[x x -=31=.例5.4.2 求曲线x y 22=与4-=x y 所围图形的面积. 解 画出所围的图形（如图5.11）.由方程组⎩⎨⎧-==422x y xy 得两条曲线的交点坐标为)4,8(),2,2(B A -，取y 为积分变量，]4,2[-∈y .将两曲线方程分别改写为4212+==y x y x 及得所求面积为dy y y A ⎰--+=422)214(图5.92x x -图5.104-=x4232)61421(--+=y y y 18=.注 本题若以x 为积分变量，由于图形在]8,2[]2,0[和两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：⎰⎰--+=8220)]4(2[22dx x x dx x A822232023]421322[324x x x x +-+=18=.显然，对于例5.4.2选取x 作为积分变量，不如选取y 作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可使计算简化.例5.4.3 求曲线x y x y sin cos ==与在区间],0[π上所围平面图形的面积.解 如图5.12所示，曲线x y x y sin cos ==与的交点坐标为)22,4(π，选取x 作为积分变量，][π,0∈x ，于是，所求面积为dx x x dx x x A ⎰⎰-+-=πππ440)cos (sin)sin (cosπππ440)sin cos ()cos (sin x x x x --++=22=.2.极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程)(θρρ=与射线)(,βαβθαθ<==所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角θ为积分变量，它的变化区间是],[βα，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为)(θρ，中心角为θd 的圆扇形的面积，从而得面积微元为θθρd dA 2)]([21=x图5.12于是，所求曲边扇形的面积为 ⎰=βαθθρd A 2)]([21.例5.4.4 计算心形线)0)(cos 1(>+=a a θρ所围图形的面积（如图5.14）. 解 此图形对称于极轴，因此所求图形的面积A 是极轴上方部分图形面积1A 的两倍.对于极轴上方部分图形，取θ为积分变量， ],0[πθ∈，由上述公式得：θθπd a A A 221)cos 1(2122+⨯==⎰θθθπd a ⎰++=022)cos cos 21(θθθπd a⎰++=02)2cos 21cos 223(πθθθ02]2sin 41sin 223[++=a 223a π=.这个结果就是本节前面问题1提到的凸轮横截面的面积，如果知道凸轮的厚度，可进一步求出它的体积，这里不再赘述.3．定积分求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴. 设旋转体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成（如图5.15）.取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，相应薄片的体积近似于以)(x f 为底面圆半径，dx 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为dx x f dV 2)]([π=，于是，所求旋转体体积为dx x f V b ax ⎰=2)]([π.)θ图5.14)图5.13类似地，由曲线)(y x ϕ=和直线d y c y ==,及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为dy y V d cy ⎰=2)]([ϕπ.例5.4.5 求由椭圆12222=+by ax 绕x 轴及y 轴旋转而成的椭球体的体积.解 (1)绕x 轴旋转的椭球体如图5.17所示,它可看作上半椭圆22x a ab y -=与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转而成.取x 为积分变量,],[a a x -∈,由公式所求椭球体的体积为dx x a abV aax 222⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-=πdx x a ab a ⎰-=2222)(2πax x a a b 0322232⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=π 234ab π=.(2)绕y 轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆22yb ba x -=与y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转而成（如图5.18所示）,取y 为积分变量, ],[b b y -∈,由公式所求椭球体体积为dy y b baV b by ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-=222πdy y b ba b)(202222⎰-=πby y b b a 0322232⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πb a 234π=.图5.18当R b a ==时,上述结果为334R V π=,这就是大家所熟悉的球体的体积公式..4.定积分在物理上的应用举例 (1)变力作功由物理学知道,物体在常力F 的作用下,沿力的方向作直线运动,当物体发生了位移S 时,力F 对物体所作的功是FS W =.但在实际问题中,物体在发生位移的过程中所受到的力常常是变化的,这就需要考虑变力作功的问题.由于所求的功是一个整体量,且对于区间具有可加性,所以可以用微元法来求这个量. 设物体在变力)(x f F =的作用下,沿x 轴由点a 移动到点b ,如图5.21所示,且变力方向与x 轴方向一致.取x 为积分变量,],[b a x ∈.在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +,该区间上各点处的力可以用点x 处的力)(x F 近似代替.因此功的微元为dx x F dW )(=，因此,从a 到b 这一段位移上变力)(x F 所作的功为⎰=b adx x F W )(.例5.4.7 弹簧在拉伸过程中,所需要的力与弹簧的伸长量成正比,即,kx F =(k 为比例系数).已知弹簧拉长m 01.0时,需力N 10,要使弹簧伸长m 05.0,计算外力所做的功.解 由题设,m x 01.0=时,N F 10=.代入kx F =,得m N k 1000=.从而变力为x F 1000=,由上述公式所求的功为⎰=05.001000xdx W 05.002500x=)(25.1J =.例5.4.9 已知某产品边际成本函数)(Q MC 24+=Q 且固定成本为1000元，求总成本函数C(Q).解 QQ Q x x dx x C dx x MC Q C 0202421)24()0()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+=⎰⎰Q Q24212+=.例5.4.10 某工厂生产某产品Q （百台）的边际成本为)(Q MC =2（万元/百台）设固定成本为0，边际收益为Q Q MR 27)(-=(万元/百台).求：图5.21（1）生产量为多少时，总利润L 最大？最大总利润是多少？（2）在利润最大的生产量的基础上又生产了50台，总利润减少多少？ 解 （1）因Q dx C dx x MC Q C Q Q 22)0()()(0==+=⎰⎰，27)27()()(Q Q dx x dx x MR Q R Q Q -=-==⎰⎰所以利润函数25)()()(Q Q Q C Q R Q L -=-=，则Q Q L 25)(-='， 令0)(='Q L ，得唯一驻点5.2=Q ，且有05)(<-=''Q L . 故5.2=Q ，即产量为2.5百台时，有最大利润，最大利润为25.6)5.2(5.25)5.2(2=-⨯=L 万元.（2）在2.5百台的基础上又生产了50台，即生产3百台，此时利润为6335)3(2=-⨯=L 万元.即利润减少了0.25万元.习题5.41.求下列曲线围成平面图形的面积. (1)x y x y ==,2 (2)2,,1===y x y xy(3)2,0,cos ,sin π====x x x y x y (4)0,42=-=y x y(5)42,42=++=y x x y （6）0,)2(,22=-==y x y x y 2.求由直线0=y 与曲线2x y =及它在点)1,1(处的法线所围成图形的面积. 3.求下列平面图形分别绕x 轴,y 轴旋转所产生的立体的体积. (1)0,12==+x x y 及0=y (2)2,1,2===x x x y 及0=y4.有一弹簧,用N 10的力可以把它拉长m 005.0,求把弹簧拉长m 03.0时力所做的功. 5.有一圆柱形贮水桶,高m 2,底圆半径为m 8.0,桶内装m 1深的水,试问要将桶内的水全部吸出要作多少功?6.求曲线θcos 2a r =所围成图形的面积.7.已知物体作变速直线运动的速度为)/(2)(2s m t t t v +=,求该物体在前5秒内经过的路程.8.设一沿x 轴运动的物体所受的外力是x 3cos π(牛顿),试问当此物体从1=x (米)处移到2=x (米)处时外力所做的功.10.已知某产品的的固定成本为1万元，边际收益和边际成本分别为（单位：万元/百台） 44)(,8)(Q Q MC QQ MR +=-=.(1)求产量由1百台增加到5百台时，总收益增加了多少？ (2)求产量由2百台增加到5百台时，总成本增加了多少？ (3)求产量为多少时，总利润最大；(4)求总利润最大时的总收益、总成本和总利润.本章小结1.定积分的概念函数)(x f y =在区间],[b a 上的定积分是通过部分和的极限定义的：i ni i x b ax f dx x f ∆=∑⎰=→∆1)(lim)(ξ这与不定积分的概念是完全不同的。