2019全国中考真题解析考点汇编☆相似三角形

2019年全国中考试题汇编知识点35 相似、位似及其应用（通用版全解全析）一、选择题 10．（2019·苏州）如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点．且AD =AB =2，AD ⊥AB ，过点D 作DE ⊥AD ，DE 交AC 于点F ．若DE =1，则△ABC 的面积为 （ ）A ．B ．4C ．D ．8第10题图【答案】B【解析】∵AB ⊥AD ，AD ⊥DE ，∴∠BAD ＝∠ADE ＝90°，∴DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠CAB ，∵∠C ＝∠C ，∴△CED ∽△CAB ，∵DE ＝1，AB ＝2，即DE ∶AB ＝1∶2，∴S △DEC ∶S △ACB ＝1∶4，∴S 四边形ABDE∶S △ACB ＝3∶4，∵S 四边形ABDE ＝S △ABD +S △ADE 12=⨯2×212+⨯2×1＝2+1＝3，∴S △ACB ＝4，故选B ．10．（2019·绍兴 ）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( ) A.524 B.532C.173412D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM ＝x ，则CM ＝8﹣x ， 根据题意得：（8﹣x +8）×3×3＝3×3×5，解得：x ＝4，∴DM ＝6，∵∠D ＝90°，由勾股定理得：BM=＝5， 过点B 作BH ⊥AH ，∵∠HBA+∠ABM ＝∠ABM+∠ABM ＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM ，所以Rt △ABH ∽△MBD ， ∴BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝524，即水面高度为524． 6.（2019·杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)连接AM 交DE 干点N ，则 （ ） A.AD AN AN AE = B. BD MN MN CE = C. DN NE BM MC = D. DN NEMC BM=【答案】C【解析】根据DE ∥BC ，可得△ADN ∽△ABM 与△ANE ∽△AMC ，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴DN AN BM AM =，∵NE ∥MC ，∴△ANE ∽△AMC ，∴NE AN MC AM =，∴DN NEBM MC=．故选C ．7．（2019·常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．26【答案】D【解析】∵图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC 的面积为42，∴最小的三角形与△ABC∵△ADE ∽△ABC ，∴ADE ABC S S V V ＝2DE BC ⎛⎫⎪⎝⎭，∵DE BC ＝4，∴ADE ABC S S V V ＝1642＝821， ∴S △ADE ＝821×42＝16，∴四边形DBCE 的面积＝S △ABC －S △ADE ＝26，故选项D 正确． 5．（2019·陇南）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）BA ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】B【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选：B ．1. (2019·枣庄)如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D 等于A.2B.3C.4D.32【答案】B 【解析】由平移可得,△ABC ∽△A'MN,设相似比为k,∵S △ABC ＝16,S △A'MN ＝9,∴k 2＝16:9,∴k ＝4:3,因为AD 和A'D分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D ＝k ＝4:3,∵AD ＝AA'+A'D,∴AA':A'D ＝1:3,∵AA'＝1,则A'D ＝3,故选B.2.（2019·淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B. 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（）A .2aB .52a C .3a D .72a 【答案】C .【解析】在△BAC 和△ADC 中，∵∠C 是公共角，∠CAD ＝∠B.，∴△BAC ∽△ADC ，∴2BCAC=, ∴2AB DA =()4C C S BC S AC=V V ，又∵△ADC 的面积为a ，∴△ABC 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为3a . 3. (2019· 巴中)如图，Y ABCD,F 为BC 中点,延长AD 至E,使DE:AD ＝1:3,连接EF 交DC 于点G,则S△DEG:S△BCFG ＝() A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9【答案】D【解析】因为DE:AD ＝1:3,F 为BC 中点,所以DE:CF ＝2:3,Y ABCD 中,DE ∥CF,所以△DEG ∽△CFG,相似比为2:3,所以S △DEG :S △CFG ＝4:9.故选D.4.（2019·乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ） A ．61 B ．31 C ．51 D ．41【答案】A第8题答图【解析】∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，∴AD =DC =1，CE =2，AD ∥CE ，∴△ADH ∽△ECF ，∴AD DH CE CH =，∴121DH DH =-，解得DH =13，∴阴影部分面积为12×13×1=16，故选A. 5.（2019·乐山）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（ ） A ．13- B ．1C ．21D ．23第9题图【答案】A【解析】∵BC AE ⊥，∴∠AEB=90°，菱形ABCD 的边长为3，︒=∠30B ，∴AE=12AB=12，BE=CF=22AB AE -=1.5，BF=3，CF=BF -BC=3-3，∵AD ∥CF ，∴△AGD ∽△FGC ，∴DG ADCG CF=，∴3333CG -=-，解得CG =31-，故选A. 6.（2019·凉山）如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，O 是BD 的中点，连接A 0并延长交BC于 E ，则BE ∶EC =（ ▲ ）A. 1∶2 B . 1∶3 C . 1∶4 D . 2∶3 【答案】B【解析】过点D 作DF ∥AE ，则1==OD BO EF BE ,21==CD AD FC EF ，∴BE ∶EF ∶FC =1∶1∶2，∴BE ∶EC =1∶3.故选B .7.（2019·眉山）如图，一束光线从点A （4，4）出发，经y 轴上的点C 反射后，经过点B （1，0），则点C 的坐标是A ．（0，12）B ．（0，45）C ．（0，1）D ．（0，2）【答案】B【解析】解：过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，∵∠ADC=∠COB=90°，∠ACD=∠BCO ，∴△OBA ∽△DAC ，∴OC DC OB AD =，∴414OC OC -=，解得：OC=45，∴点C （0，45），故选B.8.（2019·眉山）如图，在菱形ABCD 中已知AB =4，∠ABC =60°，∠EAF =60°，点E 在CB 的延长线上，点F 在DC 的延长线上，有下列结论：①BE =CF ，②∠EAB =∠CEF ；③△ABE ∽△EFC ，④若∠BAE =15°，则点F 到BC的距离为2，则其中正确结论的个数是A ．1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】B 【解析】连接AC ，在菱形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF ，∵∠ABE=∠ACF=120°，∴△ABE ≌△ACF ，∴BE=CF ，故①正确；由△ABE ≌△ACF ，可得AE=AF ，∵∠EAF=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°，∴∠CEF=∠EAB ，故②正确；在△ABE 中，∠AEB ＜60°，∠ECF=60°，∴③错误；过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点F 作FH ⊥EC 于点H ，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt △AGB 中，∵∠ABC=60°，AB=4，∴BG=12AB=2，Rt △AEG 中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，∴EB=EG-BG=-2，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF ，∵∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°在△AEB 和△AFC 中，⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠︒EAB FAC AB AC ABE ACF 120＝＝＝＝，∴△AEB ≌△AFC ，∴AE=AF ，EB=CF=-2，在Rt △CHF 中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=，∴FH=CF •sin60°=（-2∴点F 到BC 的距离为故④错误.故选B.9.（2019·重庆B 卷）下列命题是真命题的是（ ）A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9 【答案】Ｂ【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81.故选Ｂ．10.（2019·重庆A卷）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】∵△ABO∽△CDO，∴AB BOCD DO=．∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴623AB=．∴AB＝4．故选C．11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题16．（2019·滨州）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________________________．【答案】（－1，2）或（1，－2）【解析】点A的对应点C的坐标是（－2×12，4×12）或（－2×（－12），4×（－12）），即（－1，2）或（1，－2）．2.（2019·滨州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】在Y ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ACB=90°．在Y ABCD 中，AO=CO，BO=DO，∴OE是△ACB的中位线，∴OE∥BC，∴OE⊥AC，故①正确；∵OE是△ACB的中位线，∴OE=12BC，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OF：BF=OE：BC=1：2，∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误；在Rt△ABC中，∵AB=2BC，∴，∴OC=2BC．在Rt△BCO中，BC，∴BC，∴AC：BC =：7，故③正确；∵OF：BF=1：2，∴BF=2OF，OB=3OF，∵OD=OB，∴DF=4OF，∴BF2=（2OF）2=4OF2，OF·DF=OF·4OF=4OF2，∴BF2=OF·DF，故④正确．3.（2019·凉山）在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF是▲.【答案】4：25或9∶25【解析】在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图1，当AE∶DE=2∶3时，AE∶AD=2∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25；如答图2，当AE∶DE=3∶2时，AE∶AD=3∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.（第16题图答图1） （第16题图答图2）4. （2019·自贡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC于点E ，DE =.【答案】95√5.【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠CBD ， ∵AB ∥CD , ∴∠D =∠ABD , ∴∠CBD =∠D ， ∴CD =BD =6.在Rt △ABC 中，AC =√AB 2−BC 2=√102−62=8. ∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ， ∴CEAE =DEBE =CDAB =610=35, ∴CE =35AE ，DE =35BE .即CE =38AC =38×8=3.在Rt △BCE 中，BE =√BC 2+CE 2=√62+32=3√5. ∴DE =35BE =35×3√5=95√5.5.（2019·衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

1. （2019年四川内江市）如图，将△ ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点 B 落在AC 边上的B i 处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 仁还原纸片后，再将△ BDE沿着过BD 的中点D i 的直线折叠，使点 B 落在DE 边上的B 2处， 痕D i E i 到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第 D n -i E n -i ,到AC 的距离记为h n .若h i = i ，则h n 的值为（h 4、h 5、……h n ,再对h n 进行计算变形即可.【解答】解：••• D 是BC 的中点，折痕 DE 到AC 的距离为 •••点B 到DE 的距离=h i = i ,•••D i 是BD 的中点，折痕 D i E i 到AC 的距离记为h 2, •••点 B 到 D i E i 的距离=h 2= i^h i = i+ ,22同理：h 3= h 2+—h i=i+ 1 + 丄,42 4h 4=h 3+ h i = i+-!-+—+—:: ::-:;.i+l +l +l + + 1 2 1 hn = i+_ —+ +__+••• + ------- = 2 — --------2 4 8211-1 2n_1故选：C .【点评】考查图形变化规律的问题，首先根据变化求出第一个、第二个、第三个……发 现规律得出一般性的结论.2. （20i9 年四川内江市）如图，在△ ABC 中，DE // BC , AD = 9, DB = 3, CE = 2,贝U AC 的 长为（）A . 6B . 7C . 8D . 9【分析】利用平行线分线段成比例定理得到二=「，利用比例性质求出AE ,然后计算 AE+EC 即可.【解答】解：• DE // BC ,称为第二次操作，折 n 次操作后得到折痕A . i+— 2n_1B . 1 + 2nC . 2 - 尹1【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出 D . 2 -2nh 2 = -L ，依次得出h 3、 ::hiAD = AE 即9 = AEDB 丽’3~••• AE= 6,•. AC= AE+ EC= 6+2 = 8.故选：C.【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.3. （2019年广西玉林市）如图，AB // EF // DC , AD // BC, EF与AC交于点G,则是相似三角形共有（）A . 3对B . 5对C. 6对 D . 8对【分析】图中三角形有：△ AEG ,△ ADC , CFG , △ CBA，因为AB // EF // DC , AD // BC,所以△ AEGADC s CFGCBA，有 6 种组合【解答】解：图中三角形有：△ AEG,^ ADC , CFG , △ CBA ,T AB// EF // DC , AD // BC• △AEG s^ ADC s CFGCBA共有 6 个组合分别为：AEGADC , △ AEG s CFG , △ AEGCBA, △ ADC s CFG , △ ADC CBA , CFG CBA故选：C.【点评】本题主要考查相似三角形的判定.4. （2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ ABC边AB , AC上的点，/ ADE = /ACB , 若AD = 2 , AB= 6 , AC= 4,贝U AE 的长是（）A . 1B . 2 C. 3 D. 4【分析】证明△ ADE ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.【解答】解：•••/ ADE = / ACB ,Z A=Z A,• △ ADEACB ,.AD AE 0n2 AE-- = ，即__= ,AC AB 4 6解得，AE = 3,故选：C.【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.5. （2019年海南省）如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AB= 5, BC = 4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ // AB交BC于点Q, D为线段PQ的中点，当BD平分/ ABC时，PQ // AB ,• / ABD = Z BDQ ，又/ ABD = Z QBD , • / QBD = Z BDQ , -QB = QD , • QP =2QB , PQ / AB ,• △ CPQ s^ CAB ,CP^Q = PQ:=7T =7T 解得，CP ==,13AP = CA - CP = ,13故选：B .【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定 理是解题的关键.6. （2019年黑龙江省哈尔滨市）如图，在？ABCD 中，点E 在对角线AB 于点M , EN // AB ,交AD 于点N ,则下列式子一定正确的是（D【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质. 【解答】解：•••在？ABCD 中，EM // AD.易证四边形AMEN 为平行四边形15 13AC ,根据角平分线的定义、平行线的性质得到/C .13【分析】根据勾股定理求出BDQ ,得到QB = QD ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可. 【解答】解：•••/ C = 90°, AB = 5, BC = 4,D .二13QBD = Z2QBBD 上，EM // AD ，交)Alt NE A ------- = ----- .-'i rir. Alt ANB =B .「’ MBC BEC . - r.riD .「厂BE EM)•••易证△ BEM s\ BAD S \ END、' =亠=-,A 项错误BM BN BE=—,B 项错误AD=丄_=二_, C 项错误ME BE=二_=上_, D 项正确ME ME故选：D .【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相 似三角形，利用相似三角形的性质求解.7. （2019年黑龙江省鸡西市）如图，在平行四边形ABCD 中，/ BAC = 90°, AB = AC ,过点A 作边BC 的垂线AF 交DC 的延长线于点 E ,点F 是垂足，连接 BE 、DF , DF 交AC 于点O .则下列结论： ①四边形ABEC 是正方形；②CO : BE = 1: 3;③DE =「BC ; ④S 四边形OCEF = Ss OD ,正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4【分析】①先证明厶ABF ◎△ ECF ，得AB = EC ,再得四边形ABEC 为平行四边形，进而 由/BAC = 90。

（△S ABD ＝（ ） （（冲刺 2019 届中考：2019 年全国各地中考模拟卷《相似三角形》压轴题集锦（含答案与解析）一．选择题1． 2019△?萧山区模拟）如图，已知在 ABC 中，点 D 为 BC 边上一点（不与点 B ，点 C 重合），连结 AD ，点 E 、点 F 分别为 AB 、AC 上的点，且 EF ∥BC ，交 AD 于点 G ，连结 BG ，并延长BG 交 AC 于点 H ．已知＝2，①若 AD 为 BC 边上的中线， 的值为 ；②若 BH ⊥AC ，当 BC ＞2CD 时，＜2sin ∠DAC ．则（ ）A ．①正确；②不正确C ．①不正确；②正确B ．①正确；②正确D ．①不正确；②正确2． 2019 春△?北碚区校级月考）如图， ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 、F 分别是边 AB 、AC 上两点，且 EF ∥BC ，若 AE ：EB ＝2：1，则： △S AEFA ．2：1B ．4：9C ．2：3D ．8：9 3． 2019•云南模拟）如图，点 D 、E 分别在△ABC 的边 AB 、AC 上，且 AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，若使△ADE 与△ABC 相似，则 AE 的长为（）A ．2B ．C ．2 或D ．3 或（△S BDF ；4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点 A （7，5），B （4，3），先将线段 AB向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，然后以原点 O 为位似中心，将其缩小为原来的 ，得到线段 CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A ．（4，3）C ．（﹣4，﹣3）B ．（4，3）或（﹣4，﹣3）D ．（3，2）或（﹣3，﹣2）5．（2019•平房区一模）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，射线 BF 交 AC 于点 G ，交 CD的延长线于点 E ，则下列等式正确的为（）A ．B ．C ． ＝D ． ＝6． 2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 △B ，将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD ，则 OC 的长度是（ ）A ．1B ．2C ．D ．7．（2019•铁西区三模）如图，在 △R tABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD ．过点 B 作 BG ⊥CD ，分别交 CD 、CA 于点 E 、F ，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G ，连结 DF ，给出以下四个结论：①②若 AF ＝；AB ，则点 D 是 AB 的中点；③若△S ABC＝1，则 ＝9④当 B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；其中正确的结论序号是（）FA．①②B．①②④C．①②③D．①②③④8．（2019•杭州模拟）如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为（）A．6B．8C．10D．12 9．（2019•宣州区一模）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（）A．B．C．D．10．（2019△?中原区校级模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（）A．CD2＝AD•DBC．AD•BC＝AC•CDB．AC•DB＝BC•ADD．BC2＝BD•AB11．（2019△?香坊区一模）如图，ABC中，G、E分别为AB、AC边上的点，GE∥BC，BD∥（CE交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二．填空题12．（2019△?沈阳模拟）如图，在ABC中，AB：AC＝5：4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在线段AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，AG＝8，则线段DF的长是．13．2019•拱墅区校级模拟）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB＝5，BC＝3，则的值为．14．（2019△?福田区校级模拟）如图，分别以ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角△EBC和等腰直角△DAC，连结DE，且DE∥BC，EB＝BC＝6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为．15．（2019•昆明模拟）如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝7：2，连接AE交BD于点△F，则DEF的面积与△BAF的面积之比为．16．（2019•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD ＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为．17．（2019春•和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰△R t ABC和等腰△R t ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是18．（2019•邗江区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．19．（2019•咸宁模拟）如图，▱ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE＝2，EC＝△3，BEF的面积是1，则▱ABCD的面积为．20．（2019•简阳市模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A B C C；延长C B111111交x轴于点A，作正方形A B C C…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为；22221第4个正方形的面积为．三．解答题21．（2019•徐汇区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（△1）求证：ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．22．（2019青山区模拟）（1）如图1，AH⊥CG，EG⊥CG，点D在CG上，AD⊥CE于点F，求证：；（△2）在ABC中，记tan B＝m，点D在直线BC上，点E在边AB上①如图2，m＝3，点D在线段BC上，且AD⊥CE于点F，若AD＝3CE，则＝；②如图3，m＝＝2AC，CD＝，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE ，求BE的长．23．2019闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，（垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．24．（2019•合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE 并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（△1）求证：ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．25．（2019•安徽一模）如图，四边形ABCD内一点E满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，AC交DE于点F，交BD于点G．（1）∠AGB的度数为．（2）若四边形AECD是平行四边形．①求证：AC＝AB；②若AE＝2，求AF•CG的值．26．（2019宣州区一模）将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．11/5727．（2019郊区一模）（1）问题发现如图（△1），在OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为；②∠AMB的度数为；（2）类比探究如图（△2），在OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（△2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．12/5728．（2019都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC 为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤△4），求BDP的面积；（用含n的代数式表示）（△3）当BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．13/5729．（2019曹县一模）如图1，ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（△1）求证：ADE≌△BFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG，交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC＝2AK；②当点G是边BC中点时，求的值．14/5730．（2019春江岸区校级月考）如图（1），AB⊥BC，CD⊥BC，点E在线段BC上，AE⊥ED，求证：＝．（△2）在ABC中，记tan B＝m，点E在边AB上，点D在直线BC上．①如图（2），m＝2，点D在线段BC上且AD⊥EC，垂足为F，若AD＝2EC，求；②如图（3），m＝＝2AC，若CD＝3，点D在线段BC的延长线上，ED交AC于点H，∠CHD＝60°，ED，BC＝4△，直接写出BED的面积．15/5731．（2019春包河区校级月考）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．（1）①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系；（3）正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，求正方形CEGF和正方形ABCD的边长．16/57（答案与解析一．选择题1．2019萧山区模拟）如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），连结AD，点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG，并延长BG交AC于点H．已知＝2，①若AD为BC边上的中线，的值为；②若BH⊥AC，当BC＞2CD时，＜2sin∠DAC．则（）A．①正确；②不正确C．①不正确；②正确B．①正确；②正确D．①不正确；②正确解：①过点B作BM∥AC，与AD的延长线相交于点M，∴∠C＝∠MBD，在△ACD和△MBD中，，∴△ACD≌△MBD（ASA），∴AD＝MD，∵EF∥BC，，∴∴，，∵BM∥AC，∴△MBG∽△AHG，∴∴，，17/57△S ABD ＝（ ） （故①正确；（2）过点 D 作 DN ⊥AC 于点 N ，则 DN ＝AD sin ∠DAC ，∵BH ⊥AC ，DN ⊥AC ，∴BH ∥DN ，∴，即 ，∵BC ＞2CD ，∴∴，．故②错误；故选：A ．2． 2019 春 北碚区校级月考）如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 、F 分别是边 AB 、AC 上两点，且 EF ∥BC ，若 AE ：EB ＝2：1，则： △S AEFA ．2：1B ．4：9C ．2：318 / 57D ．8：9△S ABC ， （解：∵AE ：EB ＝2：1，∴AE ：AB ＝2：3，∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，∵D 为 BC 的中点，∴BD ＝CD ，△S ABD∴ ＝∴＝ ，故选：D ． 3． 2019•云南模拟）如图，点 D 、E 分别在△ABC 的边 AB 、AC 上，且 AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，若使△ADE 与△ABC 相似，则 AE 的长为（）A ．2B ．C ．2 或D ．3 或解：①若∠AED 对应∠B 时，解得 AE ＝ ；＝ ，即＝ ，②当∠ADE 对应∠B 时，＝ ，即 ＝ ，解得 AE ＝2．故选：C ．4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点 A （7，5），B （4，3），先将线段 AB向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，然后以原点 O 为位似中心，将其缩小为原来的 ，得到线段 CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A ．（4，3）B ．（4，3）或（﹣4，﹣3）19 / 57C．（﹣4，﹣3）D．（3，2）或（﹣3，﹣2）解：∵点A（7，5），B（4，3），先将线段AB向右平移1个单位，再向上平移1个单位，∴点A，B平移后的对应点的坐标为A′（8，6），B（5，4），∵以原点O为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段CD，∴则点A′的对应点C的坐标为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．故选：B．5．（2019平房区一模）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，射线BF交AC于点G，交CD 的延长线于点E，则下列等式正确的为（）A．B．C．＝D．＝解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△ABF∽△DEF，△AFG∽△CBG，△EFD∽△EBC，△ABG∽△CEG，∵△ABF∽△DEF，∴＝，故A错误；∵△AFG∽△CBG，△ABG∽△CEG，∴∴＝＝，＝，，故B正确；∵△AFG∽△CBG，∴＝，故C错误；∵△EFD∽△EBC，∴＝，故D错误；故选：B．20/57（△S BDF ；6． 2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 △B ，将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD ，则 OC 的长度是（ ）A ．1B ．2C ．D ．解：∵点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴于点 △B ．将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD ，∴C （2，1），则 OC 的长度＝．故选：C ．7．（2019•铁西区三模）如图，在 △R tABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD ．过点 B 作 BG ⊥CD ，分别交 CD 、CA 于点 E 、F ，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G ，连结 DF ，给出以下四个结论：①；②若 AF ＝AB ，则点 D 是 AB 的中点；③若△S ABC＝1，则 ＝9④当 B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；其中正确的结论序号是（）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．①②③④解：依题意可得 BC ∥AG ，∴△AFG ∽△BFC ，∴ ＝ ，又AB＝BC，∴＝．故结论①正确；如右图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG与△BCD中，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，又BD＝AD，∴AG＝AD，在△AFG与△AFD中，∴△AFG≌△AFD（SAS），∵△ABC为等腰直角三角形，，，∴AC＝AB；∵△AFG≌△A FD，∴AG＝AD＝AB＝BC；∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∴∠2＝∠ACB∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴∠2＝45°，∴∠CFD＝∠AFD＝90°，△S ABC ；△S ABF ，△S BDF ＝△S BDF ． ∴CD 是 B 、C 、F 、D 四点所在圆的直径，∵BG ⊥CD ，∴＝ ，∴DF ＝DB ，故③正确；∵∴＝ ，∵AG ＝BD ， ＝ ，＝ ，∴ ＝ ，AF ＝ AC ，△S ABF ∴ ＝△S BDF ∴ ＝△S ABC △S ABC ∴，即 ＝12故结论④错误．故选：B ．8．（2019 杭州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长，分别交对角线 BD 于点 F ，交 BC 边延长线于点 E ．若 FG ＝2，则 AE 的长度为（）A ．6解：∵AB ∥DG ，∴△ABF ∽△GDF ．∴＝2．B ．8C ．10D ．1223/57F，∴AG＝6．在△ADG和△ECG中，∴△ADG≌△ECG（AAS）．∴AG＝EG．∴AE＝2AG＝12．故选：D．9．（2019•宣州区一模）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，分别在边AB BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（）A．B．C．D．解：设七巧板的边长为x，则AB＝x+x，BC＝x+x+x＝2x，∴＝＝．故选：C．10．（2019△?中原区校级模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（）A．CD2＝AD•DB B．AC•DB＝BC•ADC．AD•BC＝AC•CD解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴CD2＝AD•DB，BC2＝BD•AB，故A、D选项正确；∵△ACD∽△CBD，∴＝＝，∴AC•DB＝BC•CD，故B选项错误；AD•BC＝AC•CD，故C选项正确；故选：B．D．BC2＝BD•AB11．（2019△?香坊区一模）如图，ABC中，G、E分别为A B、AC边上的点，GE∥BC，BD∥CE 交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：如图，设AB交CD于点O．∵DG∥BC，∴△DOG∽△COB，∴＝，∵BD∥AC，∴△DOB∽△COA，∴＝，∵BD∥AC，DE∥BC，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD＝EC，∵GE∥BC，∴∴＝＝，，故选：D．二．填空题（共9小题）12．（2019沈阳模拟）如图，在△ABC中，AB：AC＝5：4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在线段AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，AG＝8，则线段DF的长是6．解：∵点H是AC的中点，∴AC＝2AH∵FG＝FD，EF⊥AD，∴EF为DG的中垂线∴GE＝DE∴∠EDG＝∠EGD∴∠AGH＝∠ADB∵AD平分∠BAC（∴∠BAD＝∠CAD，且∠AGH＝∠ADB∴△AGH∽△ADB∴∴＝＝＝，且AB：AC＝5：4，∴AD＝AG＝20∴DG＝AD﹣AG＝12，∴DF＝DG＝×12＝6故答案为：613．2019•拱墅区校级模拟）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB＝5，BC＝3，则的值为．解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠CAD＝∠BAC∴△ACD∽△ABC，∴．故答案为：．14．（2019△?福田区校级模拟）如图，分别以ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角△EBC和等腰直角△DAC，连结DE，且DE∥BC，EB＝BC＝6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为．△S DEC＝24﹣18＝6 △S ABC ＝ ＝3解：∵ ＝ BC ×BE ＝18，四边形 EBCD 的面积为 24，△S BEC ∴∵△EBC 与△DAC 是等腰直角三角形∴BE ＝BC ＝6，AC ＝DA ，∠EBC ＝∠DAC ＝90°，∠ECB ＝45°＝∠DCA ，∴EC ＝∵BC ，DC ＝ AC ，∠BCA ＝∠DCE ，，且∠BCA ＝∠DCE ，∴△ABC ∽△DEC∴∠DEC ＝∠ABC ，∴∵DE ∥BC∴∠DEC ＝∠ECB ＝45°∴∠ABC ＝45°如图，过点 A 作 AM ⊥BC 于 M∵ ＝ ×BC ×AM ＝3△S ABC∴AM ＝1∵∠ABC ＝45°，AM ⊥BC∴BM＝AM＝1，∴AB＝故答案为：15．（2019•昆明模拟）如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝7：2，连接AE交BD于点△F，则DEF的面积与△BAF的面积之比为49：81．解：∵＝，∴＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴∠FDE＝∠FBA，∠FED＝∠FAB，＝，∴△DFE∽△BFA，∴＝（）2＝，故答案为：49：81．μ16．（2019•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD ＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为2+．解：过D点作DF∥AB，∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠3＝∠4，∴AF＝DF，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∴∠FDE＝∠2＝∠B ∴CD＝CF，∴BD＝AF，∵AD＝AF，∴∠3＝∠E，∴∠E＝∠1，在△ABD和EFD中，，△ABD≌△EFD（AAS）∴EF＝AB＝6，∵CE＝2，∴CF＝4，∵DF∥AB，∴△ABC∽FDC∴，∴，解得，（舍去）故答案为：2+．17．（2019春•和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰△R t ABC和等腰△R t ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是①②③解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴＝，∠BAC＝45°，同理，＝，∠EAD＝45°，∴＝，∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，②正确；∵∠BEA＝∠CDA，∴P、E、D、A四点共圆，∴∠APM＝∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAM＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴＝，∴AC2＝CP•CM，∵AC2＝2CB2，∴2CB2＝CP•CM，③正确，故答案为：①②③．18．（2019•邗江区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC 上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，∴∠BEP+∠BPE＝90°∵E为AB的中点，∴BE＝3∵PQ⊥EP∴∠BPE+∠CPQ＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ，且∠B＝∠C＝90°∴△BEP∽△CPQ∴∴CQ＝∴CQ的最大值为＝∴点Q路程＝2×＝∴点Q运动的平均速度＝÷（8÷1）＝故答案为：19．（2019•咸宁模拟）如图，▱ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE＝2，EC＝△3，BEF的面积是1，则▱ABCD的面积为．△S DFA＝△S BAF＝△S AFD＝+＝解：▱ABCD中，BE∥AD，∴△BFE∽△DFA而△BEF的面积是1，∴又∵△BFE∽△DFA∴利用＝，即可知△S ABD△S BAF△S DFA而＝+∴∴▱ABCD的面积＝×2＝故答案为．20．（2019简阳市模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A B C C；延长C B111111交x轴于点A，作正方形A B C C…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为5；22221第4个正方形的面积为（）3×5．解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．在△R t AOD中，AD＝∴正方形ABCD的面积为：（＝，）2＝5；∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝∠ABA＝90°＝∠DOA，1∴∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA＝90°，1∴∠ADO＝∠BAA，1∵∠DOA＝∠ABA，1∴△DOA∽△ABA，1∴＝，即＝，解得：A B＝1，∴A C＝A B+BC＝11，∴正方形A B C C的面积为：（111）2＝；∵第1个正方形ABCD的面积为：5；第2个正方形A B C C的面积为：＝×5；111同理可得：第3个正方形A B C C的面积为：××5＝（）2×5；2221∴第4个正方形A B C C的面积为：（）3×5．3332故答案为：5，（）3×5．三．解答题（共11小题）21．（2019•徐汇区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（△1）求证：ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DAF＝∠B，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠CAD＝∠ACB，∴∠DEC＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADF，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF．（2）∵AC•FC＝AE•EC，AC＝AB，∴AB•FC＝AE•EC，∴＝，∵∠B＝∠FCE，∠BAE＝∠FEC，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∴＝，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠B，∴∠B＝∠FEC，∴AB∥DE，∵AD∥BE，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD＝BE．22．（2019青山区模拟）（1）如图1，AH⊥CG，EG⊥CG，点D在CG上，AD⊥CE于点F，求证：；（△2）在ABC中，记tan B＝m，点D在直线BC上，点E在边AB上①如图2，m＝3，点D在线段BC上，且AD⊥CE于点F，若AD＝3CE，则＝；②如图3，m＝＝2AC，CD＝，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE，求BE的长．（1）证明：∵AH⊥CG，EG⊥CG，AD⊥CE，∴∠AHD＝∠G＝∠AFC＝90°，∴∠A+∠ADC＝∠C+∠CDF＝90°，∴∠A＝∠C，∴△ADH∽△CEG，∴；（2）解：如图2，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝2＝＝，∴设EH＝2x，BH＝x，AM＝2BM∴BE＝＝x，∵AF⊥EC，AM⊥CD∴∠ADC+∠DCE＝90°，∠ADC+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝∠DCE，且∠AMD＝∠EHC＝90°∴△EHC∽△DMA，且AD＝2EC，∴＝＝＝2，∴DM＝2EH＝4x，AM＝2HC，∵AM＝2HC，AM＝2BM∴HC＝BM∴HC﹣HM＝BM﹣HM∴BH＝MC＝x∴DC＝DM+MC＝5x∴＝＝，故答案为：；（3）解：如图3，作∠BCF＝∠B，交AB于点F，过点D作GD⊥BD交BA的延长线于点G，过点F作FH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝，∴∠B＝30°，∵∠BCF＝∠B＝30°，∴BF＝FC，且FH⊥BC，BC＝4，∴BH＝HC＝2，且∠B＝30°，FH⊥BC∴FH＝2，BF＝FC＝4，∵CD＝3∴BD＝7，BC＝4，，又∵∠BCF＝∠B＝30°，GD⊥BD，∴∠G＝60°，∠AFC＝60°，GD＝7，BG＝2DG＝14，∵∠BCA＝∠BDE+∠CMD＝∠BDE+60°＝∠BCF+∠ACF＝30°+∠ACF，∴∠ACF＝30°+∠BDE，且∠AEM＝∠B+∠BDE＝30°+∠BDE，∴∠ACF＝∠AEM，且∠G＝∠AFC＝60°∴△GED∽△FCA（∴＝＝，且DE＝2AC，∴GD＝2AF，EG＝2FC＝8，∴AF＝，∴BE＝BG﹣EG＝14﹣8＝6．23．2019闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．（1）证明：∵PB⊥AM，PC⊥AN，∴∠PBA＝∠PCA＝90°，∵∠BAC+∠PCA+∠BPC+∠PBA＝360°，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠MAN＝∠BPD；（2）解：∵BE⊥AP，∠D＝90°，BE＝BD，∴∠BPD＝∠BPE．∴∠BPE＝∠BAC，在△R t ABP中，由∠ABP＝90°，BE⊥AP，∴∠APB＝∠ABE，∴∠BAC＝∠ABE，∴sin∠BAC＝sin∠ABE＝＝，，∵AB＝2∴AE＝6，∴BE＝＝2，∴BD＝BE＝2；（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，设BD＝2a，PC＝2b，∵∠BPD＝∠MAN＝45°，∴DP＝BD＝2a，∴CD＝2a+2b，在△R t ABG和△R t BDP中，∠BAC＝∠BPD＝45°，∴BG＝AG，DP＝BD，∵QH∥BD，点Q为BP的中点，∴PH＝PD＝a．QH＝BD＝a，∴CH＝PH+PC＝a+2b，∵BD∥AC，CD⊥AC，BG⊥AC，∴BG＝DC＝2a+2b．∴AC＝4a+2b，∵BE∥QC，BE⊥AP，∴∠CFP＝∠BEP＝90°，又∠ACP＝90°，∴∠QCH＝∠PAC，∴△ACP∽△QCH，∴＝，即＝，解得，a＝b，∴CH＝3a．由勾股定理得，CQ＝＝a，∵∠QHC＝∠PFC＝90°，∠QCH＝∠PCF，∴△QCH∽△PFC，∴＝，即＝，解得，FC＝a，∴QF＝QC﹣FC＝a，∵BE∥QC，Q是PB的中点，∴PE＝EF，∴△PQF与△CEF面积之比等于高之比，∴＝＝．24．（2019•合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE 并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（△1）求证：ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）；（2）∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由（△1）得ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD＝∠ADE，∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴，所以ED2＝EF•EG；∴EB2＝EF•EG；（3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2，∵AE：EC＝1：3，∴AE＝OE＝1．．∴BE＝∵AD∥BC，∴，∴EF＝BE＝．由（2）得EB2＝EF•EG，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝4．25．（2019•安徽一模）如图，四边形ABCD内一点E满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，AC交DE于点F，交BD于点G．（1）∠AGB的度数为90°．（2）若四边形AECD是平行四边形．①求证：AC＝AB；②若AE＝2，求AF•CG的值．解：（△1）在DEB和△AEC中，，∴△DEB≌△AEC（SAS）．∴∠EDB＝∠EAC．∵∠EFA+∠EAF＝90°，∠EFA＝∠DFG，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∴∠AGB＝90°．故答案为90°；（2）①∵四边形AECD是平行四边形，∴∠AED＝∠EDC＝90°，AE＝AD．∵△ADE是等腰三角形，∴AE＝ED．∴ED＝EC，∠CED＝45°．∴∠BED＝90°+45°＝135°．∵∠AED＝∠BEC＝90°，∴∠AEB＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°．又EB＝EB，ED＝EA，∴△BAE≌△BDE（SAS），∴DB＝AB；∵∠BEC＝∠AED＝90°，∴∠BED＝∠CEA．∵EB＝EC，EA＝ED，∴△BED≌△CEA（SAS），∴BD＝CA，∴AC＝AB．②∵△BAE≌△BDE，∴△CAE≌△BAE．∴∠BAE＝∠CAE＝∠BDE．∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠BAE＝90°．∵∠GFD＝∠AFE，∠EDB＝∠EAB，∴∠EDB+∠GFD＝90°，即∠CGD＝90°．∵∠FAE＝90°，∠GCD＝∠AEF，∴△CGD∽△AEF，∴，∴AF•CG＝CD•AE＝4．故答案为90°．26．（2019△?宣州区一模）将ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．解：（△1）①∵ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∵∠EAC＝α＝60°．∴△AEC为等边三角形，∴∠ACE＝∠BAC＝60°，∴AB∥EC；②∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠ADE＝∠FDC，∴△ADE∽△FDC，∴＝，∴＝，又∵∠ADF＝∠EDC，∴△DAF∽△DEC；（△2）①∵ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠AGE＝∠FGC，∴△AGE∽△F G C；②∵△AGE∽△FGC，∴∴＝＝，，又∵∠AGF＝∠EGC，△AGF∽△EGC；综上所述，△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；27．（2019郊区一模）（1）问题发现如图（△1），在OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为1；②∠AMB的度数为36°；（2）类比探究如图（△2），在OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（△2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，∴∠COA＝∠DOB，又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，故答案为：1；②设AO与BD交于点E，由①知，△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB+∠DBO＝∠DEO，∠AMB+∠CAO＝∠DEO，∴∠AOB＝∠AMB＝36°，故答案为：36°；（△2）在OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴tan30°＝＝＝，∵∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，即∠DOB＝∠COA，∴△DOB∽△COA，∴＝＝，∠DBO＝∠CAO，∵∠DBO+∠OEB＝90°，∠OEB＝∠MEA，∴∠CAO+∠MEA＝90°，∴∠AMB＝90°，∴＝，∠AMB＝90°；（3）①如图3﹣1，当点M在直线OB左侧时，在△R t OCD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，在△R t OAB中，∠OAB＝30°，OB＝∴AB＝2，，由（2）知，∠AMB＝90°，且＝，∴设BD＝x，则AC＝AM＝在△R t AMB中，AM2+MB2＝AB2，x，∴（x）2+（x+2）2＝（2）2，解得，x＝3，x＝﹣4（舍去），12∴AC＝AM＝3；②如图3﹣2，当点M在直线OB右侧时，在△R t AMB中，AM2+MB2＝AB2，∴（x）2+（x﹣2）2＝（2）2，解得，x＝4，x＝﹣3（舍去），12∴AC＝AM＝4，综上所述，AC的长为3或4．28．（2019都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC 为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤△4），求BDP的面积；（用含n的代数式表示）（△3）当BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．（△1）证明：∵PCD，△EBC都是等腰直角三角形，∴CD＝PC，BC＝CE，∴∴＝＝＝，＝＝，（2）解：如图1中，作PH⊥BD于H，∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，∴∠PCD＝∠BCE＝45°，∠PBC＝∠PDC＝45°，∴B、C、P、D四点共圆，∴∠DBP＝∠PCD＝45°，∴∠CBD＝∠DBP+∠PBC＝45°+45°＝△90°，PBH是等腰直角三角形，∵∠BCE＝∠DCP＝45°，∴∠BCD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠CBD＝90°，∴△CBD∽△CEP，∴＝＝，∵PE＝n，∴BD＝∵tan A＝∴BC＝4n，＝，AC＝6，，∴EC＝BE＝4，∴PB＝4+n，PH＝BH＝（4+n），。

专题17 相似三角形问题一、基础知识1.相似三角形的定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。

2.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

3.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

4.相似三角形的判定定理判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

判定2：三边成比例的两个三角形相似。

判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

判定4：两角分别相等的两个三角形相似。

5.相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形对应线段的比等于相似比；（4）相似三角形周长的比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

二、对理解本节课知识点的例题及其解析【例题1】如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1【答案】B．【解析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，即可得出结果．∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积：△ABC的面积=（）2=1：4，∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3【例题2】如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．4C．6 D．4【答案】B．【解析】根据AD是中线，得出CD=4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出=，求出AC即可．∵BC=8，∴CD=4，在△CBA和△CAD中，∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，∴△CBA∽△CAD，∴=，∴AC2=CD•BC=4×8=32，∴AC=4【例题3】如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【答案】B．【解析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=，∵DE∥AC，∴==，∴=，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4三、相似三角形问题训练题及其答案和解析1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．=D．=【答案】D【解析】考点是相似三角形的判定．分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．A.当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B.当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C.当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D.无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．2．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B． C．D．【答案】A【解析】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么=；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到AE=2k，BC=3k；得到=，即可解决问题．如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴=，设ED=k，则AE=2k，BC=3k；∴==3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B【解析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=1=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．4.如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）A． B． C． D．【答案】D．【解析】由DE∥BC可得求出AE的长，由GF∥BN可得，将AE的长代入可求得BN．∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥BC，GF∥BN，且DE=GF=EF=1，∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，∴①，②，由①可得，，解得：AE=，将AE=代入②，得：，解得：BN=5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法不正确的是（）A．DE=BC B． =C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC=1：2【答案】D．【解析】根据中位线的性质定理得到DE∥BC，DE=BC，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定．∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴=，△ADE∽△ABC，∴，∴A，B，C正确，D错误.6．在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC等于（）A．10 B． 8 C． 9 D． 6【答案】A【解析】根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴BC=10．7．在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED=1：8，则AD= cm．【答案】．【解析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方，意识到有两种情况分类讨论是解决问题的关键．由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．∵S△ADE：S四边形BCED=1：8，∴S△ADE：S△ABC=1：9，∴△ADE与△ABC相似比为：1：3，①若∠AED对应∠B时，则，∵AC=5cm，∴AD=cm；②当∠ADE对应∠B时，则，∵AB=6cm，∴AD=2cm8．如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为m．【答案】3．【解析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三角形的性质可知，，即可得到结论．如图，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，∴，，即，，解得：AB=3m．。